26.4.2　二次函数的最值——最大利润问题 教学设计 2026——2027学年人教版九年级数学上册

课题

第2课时　二次函数的最值——

最大利润问题

授课人

教

学

目

标

1.通过对问题情境的分析确定二次函数的解析式,并体会二次函数的意义,能根据变量的变化趋势进行预测.

2.通过对实际问题的探究,体会数学知识的现实意义,进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题.

3.通过探索、分析建立两个变量之间的函数关系的过程,体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.

教学

重点

　　用二次函数的知识分析、解决有关利润最大值的实际问题.

教学

难点

　　根据问题中的数量变化关系列出函数解析式.

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

活动

一:

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

1.请求出下列二次函数的最大值或最小值:

(1)y=2x2-4x-5;　(2)y=-x2+3x.

2.用一根长为20 m的绳子围成一个矩形,求围成的矩形的最大面积是多少.

师生活动:学生自主进行解答,教师做好指导和点评.

提示:对于第1题,可指导学生运用两种不同的方法进行解答;

对于第2题,应先确定矩形相邻两边的长,再利用矩形面积公式列

　　1.回顾二次函数的最值问题,为讲解新课提供依据.

2.复习运用二次函数解答面积问题,采用类比的方法让教学效果较为明显.

函数解析式,最后求最值.

活动

二:

探究

与

应用

【探究】 利润最大问题

问题:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映,若调整单价(单价为整数):每涨价1元,则每星期要少卖出10件;每降价1元,则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?最大利润是多少?

师生活动:教师引导学生分析调整价格包括涨价和降价两种情况.

教师展示问题:先来看涨价的情况,应该如何定价呢?

学生分组讨论,如何利用函数模型解决问题,教师帮助学生解决问题.

活动一:针对上面的问题进行探究,教师总结解题过程.

师生活动:

教师展示问题:①该如何定价呢?②问题中的变量是什么?

提示:①学生分组讨论如何利用函数模型解决问题;②利润随着价格的变化而变化.

学生先独立思考,教师给予引导.

师生共同分析以下问题:

①销售额为多少?

②成本为多少?

③利润y与每件涨价x元之间的函数解析式是什么?

④变量x的取值范围如何确定?

⑤如何求最值?

教师引导学生探索确定变量x的取值范围的方法:300-10x≥0,x≥0.

师生共同写出涨价问题的函数解析式.

教师利用多媒体展示解答过程,指导学生进行对比:

解:设每件涨价x元,利润为y元.

根据题意,得y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)=-10x2+100x+6000(0≤x≤30,x为整数).

　　1.通过解答此题,使学生明确利润问题可以利用“总利润=单位利润×数量”列函数解析式.

∵a=-10<0,∴函数有最大值.

当x=5时,y有最大值,为6250.

教师指导、点拨,重点强调:

①怎样用函数观点来认识问题;②怎样建立函数模型;③怎样找到两个变量之间的关系;④从利润问题中体会函数模型对解决实际问题的价值.

活动

二:

探究

与

应用

　　活动二:按照上述涨价的解题过程,教师给予学生时间解答降价时的最值问题.

教师做好指导,待学生解答问题完毕后,与答案进行对比,教师做好展示:

解:设每件降价x元,利润为y元.

根据题意,得y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x)=-20x2+100x+6000(0≤x≤20,x为整数).

当x=-=-时,y最大.

又∵x为整数,∴x=2或3.也就是说,在降价的情况下,降价2元或3元,即定价58元或57元时,利润最大,最大利润是6120元.

综上,当定价为每件65元时,利润最大,最大利润为6250元.

师生总结:

教师指导学生总结解答问题的步骤和方法,学生代表进行说明,全班互相交流,师生共同确定解题思路:

①确定自变量和函数;

②利用“总利润=单位利润×数量”列函数解析式;

③确定自变量的取值范围;

④利用顶点坐标公式求出问题中的最大利润.

　　2.通过解答此题,让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的,培养学生考虑问题的全面性.

【理解应用】

例1　某旅馆有客房120间,当每间客房的日租金为160元时,每天

　　理解应用是对课题学习的针对性练习.