26.4.2　二次函数的最值——最大利润问题 教学设计 2026——2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数最值在最大利润问题中的应用，通过复习二次函数最值计算和矩形面积最值问题导入，搭建旧知到新知的学习支架，梳理函数建模与实际问题的关联。 此资料以“总利润=单位利润×数量”为主线，分涨价、降价两种情况引导学生抽象变量关系、列函数解析式，培养数学眼光和推理能力，实例具体且分层训练，助力学生提升建模意识，为教师提供结构化教学流程与实效反馈依据。

26.4.2　二次函数的最值——最大利润问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 课题 第2课时　二次函数的最值—— 最大利润问题 授课人 教 学 目 标 1.通过对问题情境的分析确定二次函数的解析式,并体会二次函数的意义,能根据变量的变化趋势进行预测. 2.通过对实际问题的探究,体会数学知识的现实意义,进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题. 3.通过探索、分析建立两个变量之间的函数关系的过程,体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系. 教学 重点 　　用二次函数的知识分析、解决有关利润最大值的实际问题. 教学 难点 　　根据问题中的数量变化关系列出函数解析式. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 1.请求出下列二次函数的最大值或最小值: (1)y=2x2-4x-5;　(2)y=-x2+3x. 2.用一根长为20 m的绳子围成一个矩形,求围成的矩形的最大面积是多少. 师生活动:学生自主进行解答,教师做好指导和点评. 提示:对于第1题,可指导学生运用两种不同的方法进行解答; 对于第2题,应先确定矩形相邻两边的长,再利用矩形面积公式列函数解析式,最后求最值. 　　1.回顾二次函数的最值问题,为讲解新课提供依据. 2.复习运用二次函数解答面积问题,采用类比的方法让教学效果较为明显. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 利润最大问题 问题:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映,若调整单价(单价为整数):每涨价1元,则每星期要少卖出10件;每降价1元,则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?最大利润是多少? 师生活动:教师引导学生分析调整价格包括涨价和降价两种情况. 教师展示问题:先来看涨价的情况,应该如何定价呢? 学生分组讨论,如何利用函数模型解决问题,教师帮助学生解决问题. 活动一:针对上面的问题进行探究,教师总结解题过程. 师生活动: 教师展示问题:①该如何定价呢?②问题中的变量是什么? 提示:①学生分组讨论如何利用函数模型解决问题;②利润随着价格的变化而变化. 学生先独立思考,教师给予引导. 师生共同分析以下问题: ①销售额为多少? ②成本为多少? ③利润y与每件涨价x元之间的函数解析式是什么? ④变量x的取值范围如何确定? ⑤如何求最值? 教师引导学生探索确定变量x的取值范围的方法:300-10x≥0,x≥0. 师生共同写出涨价问题的函数解析式. 教师利用多媒体展示解答过程,指导学生进行对比: 解:设每件涨价x元,利润为y元. 根据题意,得y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)=-10x2+100x+6000(0≤x≤30,x为整数). ∵a=-10<0,∴函数有最大值. 当x=5时,y有最大值,为6250. 教师指导、点拨,重点强调: ①怎样用函数观点来认识问题;②怎样建立函数模型;③怎样找到两个变量之间的关系;④从利润问题中体会函数模型对解决实际问题的价值. 　　1.通过解答此题,使学生明确利润问题可以利用“总利润=单位利润×数量”列函数解析式. 活动 二: 探究 与 应用 　　活动二:按照上述涨价的解题过程,教师给予学生时间解答降价时的最值问题. 教师做好指导,待学生解答问题完毕后,与答案进行对比,教师做好展示: 解:设每件降价x元,利润为y元. 根据题意,得y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x)=-20x2+100x+6000(0≤x≤20,x为整数). 当x=-=-时,y最大. 又∵x为整数,∴x=2或3.也就是说,在降价的情况下,降价2元或3元,即定价58元或57元时,利润最大,最大利润是6120元. 综上,当定价为每件65元时,利润最大,最大利润为6250元. 师生总结: 教师指导学生总结解答问题的步骤和方法,学生代表进行说明,全班互相交流,师生共同确定解题思路: ①确定自变量和函数; ②利用“总利润=单位利润×数量”列函数解析式; ③确定自变量的取值范围; ④利用顶点坐标公式求出问题中的最大利润. 　　2.通过解答此题,让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的,培养学生考虑问题的全面性. 【理解应用】 例1　某旅馆有客房120间,当每间客房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天的出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房每天的租金收入最高?最高收入是多少? 解:设每间客房的日租金增加10x元,客房每天的租金收入为y元,则客房每天的出租数会减少6x间. 根据题意,得y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440. ∵x≥0,且120-6x≥0,∴0≤x≤20. ∵-60<0,∴当x=2时,y有最大值,最大值为19440. 此时每间客房的日租金为160+10×2=180(元). 因此,当旅馆将每间客房的日租金提高到180元时,客房每天的租金收入最高,最高收入为19440元. 师生活动:学生自主进行解答,教师巡视、指导、点评. 师生总结: (1)确定自变量和函数; (2)表示出单位利润和销售数量; (3)利用利润公式列出函数解析式; (4)运用顶点坐标公式求出问题中的最大利润. 　　理解应用是对课题学习的针对性练习. 【拓展提升】 例2　某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为30元/个.经市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售价x(元/个)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60,且x为整数).设这种双肩包每天的销售利润为w元. (1)求w与x之间的函数关系式; (2)这种双肩包的销售价定为多少元/个时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? [答案:(1)w=-x2+90x-1800(30≤x≤60,且x为整数) (2)这种双肩包的销售价定为45元/个时,每天的销售利润最大,最大利润是225元] 　　拓展提升是对基础知识的提高和应用,培养学生的实际应用能力,提升思维能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 【当堂训练】 1.童装专卖店销售一种品牌的童装,已知这种童装每天的销售利润y(元)与销售价x(元/件)满足函数解析式y=-x2+50x-500,要想每天获得最大利润,销售价应定为 (B) A.20元/件　　B.25元/件　　C.30元/件　　D.40元/件 2.某服装店将每件进价为100元的服装按每件x元的价格出售,每天可销售(200-x)件.若想每天获得最大利润,则x应定为 (A) A.150 B.160 C.170 D.180 3.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1件,为了获得最大利润,决定降价x元,则单件的利润为　(30-x)　元,日销售量为　(20+x)　件,每日的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是y=　-x2+10x+600　(不要求写自变量的取值范围),所以每件降价　5　元时,每日获得的利润最大,最大利润为　625　元.  4.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件,每件可获利润12元.产品每提高1个档次,每件产品的利润增加2元,但一天的产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑,他生产哪个档次的产品可获得最大利润? [答案:他生产第8档次的产品可获得最大利润] 　　针对本课时的主要问题,从多个角度、分层次进行检测,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知环节中,通过解决实际生活中的利润问题,得到解答此类问题的一般方法,构建函数模型;在课堂训练环节中,教师给予学生充分的自由讨论时间,提高学生解答问题的积极性. ②[讲授效果反思] 教师强调:(1)利用利润公式列函数解析式;(2)在数量与价格的变化中可以利用表格的形式表示数量关系. ③[师生互动反思] 从课堂发言和练习来看,借助实际问题和开放、自由的讨论给予课堂活力,使学生能够充分理解利润问题的函数模型. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $