26.4实际问题与二次函数 第2课时课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决销售利润最大问题，通过商场促销场景导入，承接二次函数性质，以“审题—建模—计算—检验”流程为支架，分涨价、降价分类讨论，引导学生建立函数模型并求解最值。 其亮点在于情境化设计培养数学眼光，分类讨论与取值范围修正发展数学思维，完整建模流程强化数学语言。如探究中先引导涨价分析，再让学生自主推导降价，例题综合一次函数与二次函数。助力学生提升建模能力，教师可借分层练习提高教学效率。

第2课时 第二十六章 二次函数 数学人教版九年级上册 掌握销售问题等量关系，会建立二次函数模型，熟练利用顶点公式求解商品最大利润. 学会对涨价、降价分类列式求解，结合实际取值范围修正理论最值，突破多情形讨论难点. 经历“审题 —建模 —计算—检验” 解题流程，提升文字信息转化为函数式的数学建模能力. 感受二次函数的实用价值，养成理性分析经济问题的思维，体会数学服务生活的本质意义. 同学们平时去商场选购衣服时应该都遇到过这样的场景：导购员常会劝说大家多选购几件商品，消费达到一定金额就可以享受打折、满减或者降价优惠.从顾客的角度来说，单件衣服花费变少，买到就是划算；但站在服装店老板的视角，商品降价之后，卖出每件衣服赚到的单件利润会直接减少，老板的总收益一定会跟着变少亏损吗？ 今天我们就一起学习，如何借助二次函数解决实际销售中的利润最大化问题. 1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 活动：探究利用二次函数解决商品利润最大问题 公式：利润=售价进价 总利润=每件利润×销售量 进价为定值 调整价格包括涨价和降价两种情况，下面我们先讨论涨价的情况. 售价、销售量、每件利润和总利润都会随着价格调整而变化. 设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化. 活动：探究利用二次函数解决商品利润最大问题 涨价x元后，每件商品的售价是多少？销售量会发生什么变化？利润是多少？ 售价：(60+x)元. 销售量：每星期要少卖10x件，实际卖出：(30010x)件 每件利润：(60+x)(30010x)40(30010x)元. 建立函数关系式 y=(60+x)(30010x)40(30010x) 即 y=10x2+100x+6000 活动：探究利用二次函数解决商品利润最大问题 自变量 x 的取值范围如何确定？ ①涨价的金额不能是负数，所以 x≥0， ②销售量不能是负数，所以30010x≥0，即x≤30 因此自变量x的取值范围是 0≤x≤30，且x为整数. 活动：探究利用二次函数解决商品利润最大问题 涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 参考涨价的求解过程，试求出降价时最大利润是多少？ 活动：探究利用二次函数解决商品利润最大问题 设每件降价 m 元，每星期多卖______件，实际卖出___________件，销售额为__________________元，买进商品需付______________元． 20m (300+20m) (60m)(300+20m) 40(300+20m) 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 参考涨价的求解过程，试求出降价时最大利润是多少？ 活动：探究利用二次函数解决商品利润最大问题 建立函数关系式 y=(60m)(300+20m)40(300+20m)， 即 y=20m2+100m+6 000. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 活动：探究利用二次函数解决商品利润最大问题 自变量 m 的取值范围如何确定？ ①降价的金额不能是负数，所以 m≥0， ②单件利润不能是负数，所以20m≥0，即m≤20 因此自变量x的取值范围是 0≤m≤20，且m为整数. 活动：探究利用二次函数解决商品利润最大问题 降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 比较涨价、降价及现在的销售状况，我们应该如何定价才能使利润最大？ 活动：探究利用二次函数解决商品利润最大问题 原价利润：(6040)×300=6000元 涨价情况下的最大利润是6250元. 降价情况下的最大利润是6120元. 6250>6120>6000 所以定价为65元时，利润最大，最大利润是6250元. 活动：探究利用二次函数解决商品利润最大问题 求解最大利润问题的一般步骤： 1.建立利润与价格之间的函数关系式： 总利润=单件利润×销售量(总利润=总售价总成本) 2.结合实际意义，确定自变量的取值范围； 3.在自变量的取值范围内确定最大利润. 可以利用配方法或顶点公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是多少元? 原利润 原销量 新利润 新销量 A产品 B产品 12 8 40 80 12-x 8+x 40+2x 802x 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x/(元/件) 4 5 6 y/件 10 000 9 500 9 000 (1)求y与x的函数关系式(不求自变量的取值范围)； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ 设利润为w元，根据题意得，单件利润为(x3)元，销售量为y件， w=(x3)y=(x3)(500x+12 000) 即 w=500(x13.5)2+55 125. ∵ -500<0，∴当x<13.5时，w随x的增大而增大. ∵3≤x≤12，∴当x=12时，w取最大值. w最大值=500×(1213.5)2+55 125=54 000. 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54 000元，售价为12元. (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ (3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6)，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围. ∵ 500<0，∴当x≤13.5+0.5m 时，w随x的增大而增大. ∵捐赠后，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大． ∴15≤13.5+0.5m，解得，m≥3. ∵1≤m≤6，∴3≤m≤6． (3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6)，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围. 利用二次函数解决利润最大问题的一般策略： (1)明确利润、单价、销售量之间的关系，根据题意列出二次函数的解析式． (2)讨论最大值时可借助顶点式 y=a(xh)2+k ，然后利用二次函数的性质确定最大值． (3)在求商品利润最大问题时，要注意实际问题中自变量的取值范围，顶点求出的理论最值，不一定是自变量范围内的实际最值． 1.旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元.旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元，当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营额？最大营业额是多少？ 2.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 计算利润时不要漏掉 500 元固定成本. 任务 请自主创编一道贴合现实生活的商品调价利润问题，题目需同时包含涨价、降价两种不同销量变化规则，情境符合商家销售实际情况，完整规范书写全部演算过程，并完成后续思考探究. 双情形利润最优方案大比拼 1.实际问题里，为什么必须确定自变量的取值范围？ 2.分别结合涨价、降价情境，分析说明：什么情况下利润最值在抛物线顶点处取得？什么情况下利润最值在自变量取值范围端点处取得？ 探究 $