26.4实际问题与二次函数（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数在实际问题中的应用，核心内容为运用二次函数顶点坐标解决最大利润问题。课堂通过复习二次函数概念、图象性质及已学的最大高度、面积问题，搭建知识支架，自然过渡到新课题。 其亮点在于以合作探究（如商品涨价降价利润分析）和典例分析（旅行社营业额、生产利润计算）为载体，引导学生抽象变量关系、确定取值范围、转化函数模型，培养数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理运算）和数学语言（模型意识）。课堂小结归纳解题步骤，强调实际取值与最值关系，助力学生掌握建模方法，教师可高效开展教学。

人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数（第2课时） 学习目标 1 2 能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系.会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）. 能应用二次函数的性质解决最大利润问题. 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 二次函数 概念 相关概念 图象 和性质 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量. a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 与方程的关系 实际 应用 解析式 图象 性质 描点法 形状 位置 开口方向 顶点 ··· 增减性 对称性 最值 ··· 二次函数图象与x轴的交点 一元二次方程的实数根 转化 最大高度、最大面积问题 6 课堂小结 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： 实际问题 二次函数y=ax2+bx+c 抽象 设自变量和函数 列函数解析式 定自变量取值范围 利用二次函数的 图象和性质求解 实际问题 的答案 目标 分析： 探究1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数): 每涨价1元，则每星期要少卖出10件； 每降价1元，则每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大?最大利润是多少? 2 合作探究 调整价格包括涨价和降价两种情况. 售价-进价 调价情况 总利润 = 单件利润 × 销售量 探究1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数): 每涨价1元，则每星期要少卖出10件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大?最大利润是多少? 2 合作探究 ★涨价 设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元. 单件利润（元） 销售量（件） 总利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 20×300 2 合作探究 单件利润（元） 销售量（件） 总利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 20×300 追问 如何确定自变量的取值范围？ 答：∵价格上涨，销量下降， ∴x ≥0，300-10x ≥0， ∴自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. 解：(1)设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元. 由题意得，单件利润为(20+x)元，销售量为(300−10x)件， 所以 y=(20+x)(300−10x)=−10x2+100x+6000， 化为顶点式得 y=−10(x−5)2+6250， 其中，0≤x≤30，x为整数. 所以当x= 时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 元. 2 合作探究 5 5 65 6250 探究1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数): 每降价1元，则每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大?最大利润是多少? 2 合作探究 ★降价 设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元. 单件利润（元） 销售量（件） 总利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 20−x 300+20x y=(20−x)(300+20x) 20×300 2 合作探究 单件利润（元） 销售量（件） 总利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 20−x 300+20x y=(20−x)(300+20x) 20×300 追问 如何确定自变量的取值范围？ 答：∵价格下降，销量上升， ∴x ≥0，20−x ≥0， ∴自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. 解：(2)设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元. 由题意得，单件利润为(20−x)元，销售量为(300+20x)件， 所以 y=(20−x)(300+20x)=−20x2+100x+6000， 化为顶点式得 y=−20(x−2.5)2+6125， 其中，0≤x≤20，x为整数. 所以当x= 时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 元. 2 合作探究 2.5 2.5 57.5 6125 (1) 在涨价的情况下，涨价5元， 即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元. (2) 在降价的情况下，降价2.5元， 即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元. 2 合作探究 追问 由(1)(2)的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗? 例1 旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2 100元.旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额?最大营业额是多少? 3 典例分析 ★ 设增加x人，旅行社的营业额为y元. 每人缴费（元） 人数（人） 营业额（元） 20人团 (20+x)人团 2100 20 2100−30x 20+x y=(2100−30x)(20+x) 2100×20 3 典例分析 追问 如何确定自变量的取值范围？ 答：∵人数增加，每人缴费减少， ∴x ≥0，2100−30x ≥0， ∴自变量的取值范围是0 ≤x ≤70. 每人缴费（元） 人数（人） 营业额（元） 20人团 (20+x)人团 2100 20 2100−30x 20+x y=(2100−30x)(20+x) 2100×20 解：设增加x人，旅行社的营业额为y元. 由题意得，每人缴费(2100−30x)元，人数为(20+x)人， 所以 y=(2100−30x)(20+x)=−30x2+1500x+42000， 化为顶点式得 y=−30(x−25)2+60750， 其中，0≤x≤70，x为整数. 所以当x=25时，y最大，也就是说，当旅行团的人数为45人时，旅行社可获得最大营业额，最大营业额是60750元. 3 典例分析 例2 生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大?最大利润是多少? 3 典例分析 ★ 设产量为x件，生产这种商品的利润为y元. 单件利润（元） 产量（件） 固定花费（元） 总利润（元） 40− x x y=(40− x)x−500 500 追问 如何确定自变量的取值范围？ 答：∵产量增加，单件利润减少， ∴x ≥0，40− x ≥0， ∴自变量的取值范围是0 ≤x ≤320. 单件利润（元） 产量（件） 固定花费（元） 总利润（元） 40− x x y=(40− x)x−500 500 3 典例分析 解：设产量为x件，生产这种商品的利润为y元. 由题意得，单件利润为(40− x)元， 所以 y=(40− x)x−500=− x2+40x−500， 化为顶点式得 y=− (x−160)2+2700， 其中，0≤x≤320，x为整数. 所以当x=160时，y最大，也就是说，当产量为160件时，生产这种商品的利润最大，最大利润是2700元. 3 典例分析 中考演练(2026山东德州)某水果店单件水果售价y1（元）与销售月份x满足一次函数关系y1=−2x+21 ，单件水果进价y2（元）与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为(6，3)并且经过(3，12)，则这个水果店在一年中的最 高单件水果利润为___________元． 7 3 典例分析 3 典例分析 解：由题意设y2=a(x−6)2+3， 把(3，12)代入得：9a+3=12，解得：a=1， ∴抛物线为y2=(x−6)2+3=x2−12x+39， 设单件水果利润为w元， ∴w=y1−y2=−2x+21−x2+12x−39 =−x2+10x−18=−(x−5)2+7， ∵a=−1<0， ∴当x=5时，单件利润w最大，最大值为7元． 4 巩固练习 1. 金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价x元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A．y=(15+x)(30−5x) B．y=(15−x)(30+5x) C．y=(15−x)(30−5x) D．y=(15+x)(30+5x) B 4 巩固练习 2. 某服装品牌生产T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件．设厂家批发单价是x元/件，下列说法错误是（    ） A．销售量可以表示为70000−5000x B．销售额可以表示为13×(70000−5000x) C．所获利润可以表示为−5000(x−12)2+20000 D．当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元 B 4 巩固练习 3. 某商场进一批货物，销售量y（件）与每件货物的利润x（元）的关 系式为y=−2x+500，则总利润P与x之间的函数关系式为____________． P=−2x2+500x 解：由题意得， 总利润P=xy=x(−2x+500)=−2x2+500x. 5 当堂检测 1.某种一次性医用外科口罩的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为y=−x2+10x+11，且售价x的取值范围是1≤x≤4，则最大利润是______元． 35 解：y=−x2+10x+11=−(x−5)2+36， ∵1≤x≤4<5， ∴y随x的增大而增大， ∴当x=4时，y取得最大值，最大值为−(4−5)2+36=35. ∴最大利润是35元． 最值不一定在顶点处取得哦！ 5 当堂检测 2.(2024广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， 由题意得，w=(5−x−2)(100+50x)=−50x2+50x+300=−50(x−0.5)2+312.5， ∵−50<0， ∴当x=0.5时，w有最大值，最大值为312.5， ∴5−x=4.5， 答：当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元； 4 巩固练习 解：设每吨降价x万元，每天的销售收入为y万元， 由题意得，y=(5−x)(100+50x)=−50x2+150x+500=−50(x−1.5)2+612.5， ∵−50<0， ∴当x=1.5时，y有最大值，最大值为612.5， ∴5−x=3.5， 答：当定价为3.5万元每吨时，每天的销售收入最大，最大值为612.5万元． 4 巩固练习 6 课堂小结 归纳总结 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： 实际问题 二次函数y=ax2+bx+c 抽象 设自变量和函数 列函数解析式 定自变量取值范围 利用二次函数的 图象和性质求解 实际问题 的答案 目标 最值不一定在顶点处取得哦！ 6 课堂小结 二次函数 概念 相关概念 图象 和性质 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量. a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 与方程的关系 实际 应用 解析式 图象 性质 描点法 形状 位置 开口方向 顶点 ··· 增减性 对称性 最值 ··· 二次函数图象与x轴的交点 一元二次方程的实数根 转化 最大高度、最大面积问题 最大利润问题 7 布置作业 A B 习题26.4：第7题. 习题26.4：第8题. $