专题2.2 基本不等式重难点题型专训讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦基本不等式核心知识点，系统梳理重要不等式（a²+b²≥2ab）和基本不等式（算术平均数≥几何平均数）的内容、等号条件及变形，结合求最值的“一正、二定、三相等”原则，通过2个知识点搭建基础，12大基础题型和1大提高题型构建从基础到综合的学习支架，辅以自我检测巩固。 该资料亮点在于题型分类细致，涵盖比较大小、证明、求最值等12类基础题型及提高题型，融入实际应用案例（如八边形休闲场所造价问题），培养学生用数学眼光观察现实世界，通过证明题和恒成立问题训练数学思维的推理能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

专题2.2 基本不等式重难点题型专训 （2个知识点+12大基础题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、由基本不等式比较大小 题型二、由基本不等式证明不等关系 题型三、基本不等式求积的最大值 题型四、基本不等式求和的最小值 题型五、二次与二次(或一次)的商式的最值 题型六、条件等式求最值 题型七、基本不等式的恒成立问题 题型八、对勾函数求最值 题型九、基本不等式的实际应用 题型十、基本(均值)不等式的应用 题型十一、基本不等式“1”的妙用求最值 题型十二、基本不等式的内容及辨析 第二部分·练提高题型 题型一、基本不等式的相关求值 第三部分・自我检测 知识点01 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a，b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤ (a>0，b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2. 基本不等式的常见变形(1). (2). 【即时训练】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式及已知条件得到，从而得到，即可判断. 【详解】∵、均为正数，且，∴． 又∵，∴．∵，∴，故排除A、B、D． 故选：C． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）中等号成立的条件是________． 【答案】 【分析】由已知结合基本不等式等号成立的条件即可求解． 【详解】解：由式， ， 当且仅当时取等号． 故答案为：． 知识点02 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【即时训练】 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求最值. 【详解】因为正数a，b满足，所以， 即，当且仅当时取“＝”，所以的最大值为. 故选： 2．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知，则的最小值为______________. 【答案】1 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知，则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 【基础题型一 由基本不等式比较大小】 【例1】（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 1．（24-25高一上·上海·阶段检测）下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：A 2．（24-25高一上·四川眉山·期末）（多选）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断大小关系，即可得答案. 【详解】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：ACD 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可比较, 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 4．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等．判断上述三者的大小关系，并证明. 【答案】， 因为、均为正数，由基本不等式可得， 则，则，所以， 由上可知，则，即， 所以，， 综上所述，，当且仅当时，两个等号都成立. 【分析】利用基本不等式可得出、、的大小关系. 【详解】略 【基础题型二 由基本不等式证明不等关系】 【例2】（24-25高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件. 【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意. 故选：A. 1．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 可化成 ，再根据基本不等式求解即可. 【详解】解：∵，∴， ∴ 当且仅当 ，即 时，等号成立. ∴． 故选：B． 2．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）（多选）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，举反例即可判断；对于BCD，结合基本不等式的相关知识即可判断. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，由基本不等式可得，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设a、，，有下列不等式：①；②；③；④．其中恒成立的个数是______个． 【答案】2 【分析】由基本不等式判断，可举反例说明不恒成立． 【详解】a、，恒成立，所以，①恒成立； ，所以，②恒成立； 时，，，③④不恒成立． 故答案为：2． 4．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 【基础题型三 基本不等式求积的最大值】 【例3】（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 1．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 2．（24-25高一上·福建莆田·期末）（多选）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用基本不等式可判断AC；举反例可判断BD. 【详解】选项 A：因为，，且， 所以由基本不等式，， 所以 ，当 时取等号，故A正确； 选项 B：取得：，故B错误； 选项 C：由 ，且 ， 得 ，所以 ，故C正确； 选项 D：取得：，故D不正确. 故选：AC 3．（25-26高二下·天津和平·期末）若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 4．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知实数满足． (1)求的最大值； (2)求的最大值及最小值． 【答案】(1)最大值为6． (2)的最大值为，最小值为． 【分析】（1）由已知条件及基本不等式可求得的取值范围，进而得到其最大值. （2）将已知等式变形为，再结合基本不等式建立关于的不等式求解. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时，等号成立． 故的最大值为6． （2）因为，所以， 解得，则， 当且仅当时，取得最大值，当且仅当时，取得最小值． 故的最大值为，最小值为． 【基础题型四 基本不等式求和的最小值】 【例4】（25-26高二下·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，等号成立时， 故的最小值为 1．（25-26高二下·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 2．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（多选）下列能够取得最小值为4的函数有（   ） A．函数 B．函数 C．函数 D．函数 【答案】BCD 【分析】利用均值不等式依次计算每个选项的最小值，A选项的最小值为3不满足，其余均满足即可得到答案. 【详解】对A：， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C：， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对D：， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 3．（25-26高二下·辽宁·期末）已知函数，则函数的最小值为______________此时______________. 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为 ， 当且仅当，即或(舍去)时等号成立. 所以函数的最小值为，此时. 4．（25-26高一上·北京西城·期末）某公司一年需采购某种元件18000件，每件元件的采购价为25元.公司对该元件每年分n次采购，每次采购的数量均为m件，每次采购的手续费为5000元.已购入未使用的元件要放入库房仓储备用，经统计，每年元件的平均仓储量为件，每个元件每年的仓储费为20元.为使该公司一年元件的采购费、手续费与仓储费之和最小，则每年采购的次数是多少? 【答案】6 【分析】设该公司一年元件的采购费、手续费与仓储费之和为，由题意得到，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意可知， ，即 设该公司一年元件的采购费、手续费与仓储费之和为， 则， 即 ， 当且仅当，即时，取等号， 故每年采购的次数是6，可使公司一年元件的采购费、手续费与仓储费之和最小. 【基础题型五 二次与二次(或一次)的商式的最值】 【例5】（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 1．（25-26高一上·安徽宣城·阶段检测）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 则，当且仅当时取等号. 故的最大值为. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏·阶段检测）（多选）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式分析各个选项的最小值即可得出正确答案. 【详解】对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误； 对于B，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD 3．（25-26高一上·广东·期中）若，则的最大值是______. 【答案】 【分析】根据已知化为，应用基本不等式求最大值即可. 【详解】由题设，则， 当且仅当，即时取等号，故的最大值是. 故答案为： 4．（25-26高一上·湖南岳阳·阶段检测）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最大值． 【答案】（1）1；（2）． 【分析】（1）先将变形为，再利用基本不等式求解； （2）先将变形为，再利用基本不等式求解. 【详解】（1），， 原式， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最大值为1． （2），， ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为． 【基础题型六 条件等式求最值】 【例6】．（25-26高一上·江苏扬州·期末）设为正实数，若，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求的最小值. 【详解】因为为正实数，故由基本不等式可得， 故，当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：B. 1．（2025·陕西汉中·一模）已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 【答案】B 【分析】根据基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为，所以， 即，解得（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）（多选）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 又，当且仅当时取等号，所以，故B正确； ，故C错误； ，当且仅当时取等号，故D错误. 3．（2026高三下·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】将代换后使用基本不等式求解. 【详解】因为正实数满足，所以，解得，则， 可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 4．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若，，且． (1)求的取值范围； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据基本不等式建立关于的一元二次不等式，由此可求的取值范围； （2）采用消元法，用表示，再通过配凑法可求的最小值. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，所以或(舍)， 所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为； （2）因为，所以，由，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【基础题型七 基本不等式的恒成立问题】 【例7】（25-26高一上·湖南·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，根据基本不等式求得，进而求解即可. 【详解】由题意，不等式对一切都成立， 则， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，则实数的取值范围为. 故选：C 1．（24-25高一上·云南临沧·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】已知，则， 因为4， 当且仅当时等号成立，由，解得. 故的最小值为4. 因为恒成立，所以，解得，即. 故选：B 2．（24-25高一上·广东·期中）（多选）若实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据常见不等式，结合题目中的等量关系，整理不等式，逐项检验，可得答案. 【详解】因为，，所以，所以，所以A正确，B错误； 因为，又，所以， 所以，所以，所以C正确，D错误. 故选：AC. 3．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若，且恒成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】因，则，则， 等号成立时， 因恒成立，则， 故实数的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高一上·湖北宜昌·阶段检测）（1）已知，，若不等式恒成立，求m的最大值； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）分离变量，利用基本不等式求解； （2）当时，不等式显然成立；当时，分离变量，利用基本不等式求解. 【详解】（1）因为，，则， 而， 当且仅当，即时取等号， 依题意，不等式恒成立，于是， 所以m的最大值为12； （2）当时，不等式化为，显然成立； 当时，, 又因为，（当且仅当“”时等号成立） 所以，即， 即实数b的取值范围为. 【基础题型八 对勾函数求最值】 【例8】（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据对勾函数的性质可得最小值. 【详解】由，令，则. ，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以时，函数. 故函数的最小值为. 故选：C. 1．（24-25高一上·北京·阶段检测）已知，则的最小值为（   ） A．8 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式求得最小值． 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 2．（24-25高一上·陕西西安·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则有最小值 B．若，则有最小值 C．若，则有最大值 D．若，则有最大值 【答案】AC 【分析】分和两种情况，结合均值不等式即可得出结果. 【详解】当时，，当且仅当时，等号成立；故A正确，B错误； 当时， ，当且仅当时，等号成立；故C正确，D错误； 故选：AC. 3．（25-26高一上·上海静安·阶段检测）已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用对勾函数的性质，对实数进行讨论可得其取值范围. 【详解】已知在上存在最小值, 当时，函数为对勾函数，在处取得最小值， 为使最小值点落在区间内，需，解得， 当时，函数单调递增，在区间内不存在最小值点， 因此实数的取值范围是. 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）由，结合基本不等式求解即可 【详解】（1）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为； 【基础题型九 基本不等式的实际应用】 【例9】（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 1．（25-26高一上·福建·期中）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 2．（25-26高一·全国·寒假作业）（多选）（多选）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称．小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速率为，下山（原路返回）的速率为（），小刚上山和下山的速率都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（    ） A．小明上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 【答案】BD 【分析】分别求出小明和小刚上山和下山所用的时间之和，再由基本不等式化简即可． 【详解】解：小明上山和下山所用时间之和为，故A错误，B正确； 对于C，D，小刚上山和下山所用时间之和为，因为， 所以，， 所以， 所以小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少，故C错误，D正确． 故选：BD． 3．（25-26高一上·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 【答案】 10 8 【分析】根据已知可得，应用基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得. 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 4．（25-26高一上·四川·阶段检测）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)米，元 (2) 【分析】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 【基础题型十 基本(均值)不等式的应用】 【例10】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【答案】D 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25． 1．（25-26高一上·新疆昌吉·期末）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（   ） A．7 B．8 C．24 D．40 【答案】B 【分析】设年平均利润为u，利用已知可表示出，利用基本不等式求出u的最大值即可. 【详解】设年平均利润为u，因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因此这批机器的年平均利润值最大为8万元， 故选：B 2．（24-25高一上·辽宁·阶段检测）（多选）下列命题中正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是2 C．的最大值是 D．当时， 【答案】ACD 【分析】对于A，C，D利用基本不等式进行判断即可，对于B利用对勾函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：，当且仅当时，等号成立，所以A正确； 对于B：令，则， 所以，由对勾函数知在为增函数， 所以，所以最小值为，故B错误； 对于C：当且仅当时，等号成立， 即， 等号成立，所以的最大值为故C正确； 对于D：因为，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 3．（25-26高三下·甘肃白银·期中）若均为正数，则的最大值为______. 【答案】 【分析】先配凑得，令，解得，再代入，结合基本不等式求解． 【详解】设，由， 得， 当且仅当时，等号成立， 所以，令，解得， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 4．（25-26高一上·重庆·期末）设矩形的周长为，把三角形沿折叠，折叠后与交于点. (1)设，用表示三角形面积，并写出的取值范围； (2)求三角形面积最大值及相对应的值. 【答案】(1)，． (2)最大值为，此时． 【分析】（1）设，则，设，则，，根据勾股定理得出，可得出关于的关系式，再利用三角形的面积公式可得出关于的表达式，结合题意可得出关于的不等式组，即可解得的取值范围； （2）利用基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件可求出对应的的值. 【详解】（1）设，则． 设，则，， 由勾股定理得，得， 可得，则， 三角形面积， 由，得，所以取值范围是． （2）因为，所以， 即的最大值为． 当且仅当，即时取等号． 故三角形面积最大值为：，此时． 【基础题型十一 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例11】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据基本不等式“1”的妙用计算求解. 【详解】， 当且仅当，时取等． 1．（25-26高一下·云南·开学考试）若正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．25 【答案】C 【详解】由，可得，所以， 故， 当且仅当,即，也即时取等号， 联立，解得，时，等号成立． 故最小值为. 2．（24-25高一上·江苏·期中）（多选）两个正数，，满足，则的值可以是（    ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】ABC 【分析】由得，展开化简之后利用基本不等式可求最小值，即可确定选项. 【详解】由得， ， 当且仅当，即时等号成立，故， 所以的值可以是8，6，4. 故选：ABC. 3．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过凑出均值不等式的前提条件后求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 4．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知. (1)若，求最小值； (2)若，求的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）考查基本不等式中“1”的妙用方法，按步骤进行计算即可； （2）考查基本不等式中“1”的妙用方法，按步骤进行计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为. （2）因为，所以 ， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为. 【基础题型十二 基本不等式的内容及辨析】 【例12】（25-26高二下·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 1．（24-25高一上·河南南阳·阶段检测）如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表示出，，进而结合勾股定理可得，进而判断即可. 【详解】， ， 而， 则由，可得，当且仅当时等号成立. 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 【答案】BC 【分析】根据不等式成立的条件即可判断． 【详解】为重要不等式，其中，A错，B对； 是基本不等式，其中，C对，D错. 故选：BC 3．（25-26高一上·山东威海·期中）下列各式中，最小值是2的有________. ①    ②    ③    ④， 【答案】① 【分析】通过基本不等式来分析每个选项式子的最小值即可.. 【详解】对于①，，当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为2，故①满足题意； 对于②，当时，，故②不满足题意； 对于③，，当且仅当等号成立， 因为，所以无解，所以等号不成立， 所以，故③不满足题意； 对于④，因为，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，故④不满足题意. 故答案为：① 4．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（1）如图，是圆的直径，点C是上一点，，，过点C作垂直于的弦，连接，.请利用这个图形，得出基本不等式的几何解释： （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）答案见解析；（2）1. 【分析】（1）利用相似三角形，以及圆中半弦与半径的关系即可解释； （2）先配凑再利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由图可知，，所以，所以， 由小于或等于圆的半径，用不等式表示为，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式等号成立， 基本不等式的几何解释：圆的半径不小于圆的半弦． （2）， 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，时等号成立， 所以， 当时，的最大值为1. 【提高题型一 基本不等式的相关求值】 【例1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，都是正数， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. 1．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，用表示并代入目标式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由正数 满足 ，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以时， 取得最小值8. 2．（25-26高二下·湖南长沙·期末）（多选）已知正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A：因为，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：由均值不等式，，当且仅当时取等，故B错误； 选项C：代入，得，当且仅当，时取等，故C正确； 选项D：取，，满足，但不满足，故D错误． 3．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知均为正数，，则的最大值为________． 【答案】 【分析】对式子进行整理化简，通过放缩和重要不等式计算最大值． 【详解】由题意得 当且仅当时等号成立，即． 4．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 1．（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 2．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 3．（25-26高二下·天津南开·期末）下列说法中正确的个数是（     ） ①的最小值为2 ②的最小值为9 ③已知，则 ④设，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合对勾函数性质判断①；结合基本不等式判断②③④. 【详解】①化简得：，令， 函数在时单调递增，因此最小值为， 等号取不到（等号成立条件不满足），①错误. ②展开得：，由基本不等式， 因此原式，等号成立条件为，因此最小值为9，②正确. ③已知，则，令，则， 由基本不等式，得，③正确. ④，要证，等价于证明：， 整理得，当且仅当时等号成立，④正确. 4．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 5．（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】由得，利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 6．（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）（多选）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】先利用基本不等式求出的最大值，再根据恒成立思想得到参数范围即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由题意得恒成立，故得. 故选：BCD． 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 8．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）（多选）下列各式中，最小值是2的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断. 【详解】对于A，，当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为2，故A符合题意； 对于B，当时，，B不符合题意； 对于C，，此时无解， 即，则C不符合题意； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为2，故D符合题意. 故选：AD. 9．（25-26高一上·山东潍坊·期中）（多选）上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中是有理数．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由“Lehmer均值”的定义可判断A和B，由“Lehmer均值”的定义及基本不等式可判断C和D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，由于，所以，故C错误； 对于D，， 当且仅当时，“”中的等号成立，由于，所以，故D正确. 故选：ABD. 10．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以，即， 所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为， 故C正确； 对于D，由，得，所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 11．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 12．（25-26高二下·天津·期末）已知a，且，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】变形后，由基本不等式进行求解 【详解】 ， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 13．（24-25高三上·河南·阶段检测）已知，则的最小值为______. 【答案】 【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 15．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 16．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 17．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，，且，求的最小值； (3)求在时的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，得到，化简，结合基本不等式，即可求解. （3）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2）由，，且，可得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值. （3）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以在时的最小值为. 18．（25-26高二下·重庆荣昌·期末）（1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 【答案】（1），；（2）的最小值为6，． 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）将已知等式变形为积定值和取最大值，或结合基本不等式建立关于的不等式求解． 【详解】（1）由题知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． （2）因为，所以，整理得， 解得或（舍）， 当且仅当时，取得最小值为6． 19．（24-25高一上·山东枣庄·期中）（1）已知，求函数的最大值，并求出此时的值; （2）已知，且,求的最小值，并求出此时的值; （3）已知，且,求的最大值，并求出此时的值. 【答案】（1）时函数有最大值为2；（2）时目标式最小值为16；（3），时目标式的最大值为. 【分析】（1）根据对勾函数最值的求法求函数最大值，并确定取值条件； （2）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件； （3）由代入目标式，结合基本不等式求最大值，并确定取值条件. 【详解】（1）由题意，则， 当且仅当时等号成立，所以时函数有最大值为2； （2）， 当且仅当，即时取等号， 所以时目标式最小值为16； （3）由，则， 所以， 当且仅当，对应时取等号， 所以，时目标式的最大值为. 20．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知a，b，c，d为正实数，利用基本不等式证明（1）.确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题. (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)①求的最小值； ②若，求的最小值； ③如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【答案】(1) 由基本不等式，（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）， 又（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）. (2)； (3)①3；②3；③边长是1时，容积最大. 【分析】（1）两次应用基本不等式证明； （2）由（1）涉及的两个不等式确定； （3）①②将问题转化为符合（2）中不等关系的形式，并利用（2）结论求最值；③设边长，并利用（2）关系求容积最值. 【详解】（1）略 （2）当两个变量时，，即（当且仅当时取等号）； 当四个变量时，（当且仅当时取等号）； 所以当三个变量时，（当且仅当时取等号）. （3）①， 当且仅当，即时取等号； ② 当且仅当时取等号； ③设切去的正方形边长为， 则盒子的容积， 当且仅当，即时取等号. 所以当切去的正方形边长为1时，盒子的容积最大. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 基本不等式重难点题型专训 （2个知识点+12大基础题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、由基本不等式比较大小 题型二、由基本不等式证明不等关系 题型三、基本不等式求积的最大值 题型四、基本不等式求和的最小值 题型五、二次与二次(或一次)的商式的最值 题型六、条件等式求最值 题型七、基本不等式的恒成立问题 题型八、对勾函数求最值 题型九、基本不等式的实际应用 题型十、基本(均值)不等式的应用 题型十一、基本不等式“1”的妙用求最值 题型十二、基本不等式的内容及辨析 第二部分·练提高题型 题型一、基本不等式的相关求值 第三部分・自我检测 知识点01 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a，b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤ (a>0，b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2. 基本不等式的常见变形(1). (2). 【即时训练】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）中等号成立的条件是________． 知识点02 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【即时训练】 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知，则的最小值为______________. 【基础题型一 由基本不等式比较大小】 【例1】（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海·阶段检测）下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川眉山·期末）（多选）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 4．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等．判断上述三者的大小关系，并证明. 【基础题型二 由基本不等式证明不等关系】 【例2】（24-25高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）（多选）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设a、，，有下列不等式：①；②；③；④．其中恒成立的个数是______个． 4．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【基础题型三 基本不等式求积的最大值】 【例3】（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 1．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·福建莆田·期末）（多选）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津和平·期末）若，则的最大值为________． 4．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知实数满足． (1)求的最大值； (2)求的最大值及最小值． 【基础题型四 基本不等式求和的最小值】 【例4】（25-26高二下·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 1．（25-26高二下·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（多选）下列能够取得最小值为4的函数有（   ） A．函数 B．函数 C．函数 D．函数 3．（25-26高二下·辽宁·期末）已知函数，则函数的最小值为______________此时______________. 4．（25-26高一上·北京西城·期末）某公司一年需采购某种元件18000件，每件元件的采购价为25元.公司对该元件每年分n次采购，每次采购的数量均为m件，每次采购的手续费为5000元.已购入未使用的元件要放入库房仓储备用，经统计，每年元件的平均仓储量为件，每个元件每年的仓储费为20元.为使该公司一年元件的采购费、手续费与仓储费之和最小，则每年采购的次数是多少? 【基础题型五 二次与二次(或一次)的商式的最值】 【例5】（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 1．（25-26高一上·安徽宣城·阶段检测）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏·阶段检测）（多选）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东·期中）若，则的最大值是______. 4．（25-26高一上·湖南岳阳·阶段检测）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最大值． 【基础题型六 条件等式求最值】 【例6】．（25-26高一上·江苏扬州·期末）设为正实数，若，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 1．（2025·陕西汉中·一模）已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）（多选）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三下·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 4．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若，，且． (1)求的取值范围； (2)求的最小值． 【基础题型七 基本不等式的恒成立问题】 【例7】（25-26高一上·湖南·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·云南临沧·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东·期中）（多选）若实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若，且恒成立，则实数的取值范围是___________ 4．（24-25高一上·湖北宜昌·阶段检测）（1）已知，，若不等式恒成立，求m的最大值； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围. 【基础题型八 对勾函数求最值】 【例8】（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 1．（24-25高一上·北京·阶段检测）已知，则的最小值为（   ） A．8 B．0 C．1 D． 2．（24-25高一上·陕西西安·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则有最小值 B．若，则有最小值 C．若，则有最大值 D．若，则有最大值 3．（25-26高一上·上海静安·阶段检测）已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 【基础题型九 基本不等式的实际应用】 【例9】（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 1．（25-26高一上·福建·期中）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 2．（25-26高一·全国·寒假作业）（多选）（多选）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称．小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速率为，下山（原路返回）的速率为（），小刚上山和下山的速率都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（    ） A．小明上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 3．（25-26高一上·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 4．（25-26高一上·四川·阶段检测）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【基础题型十 基本(均值)不等式的应用】 【例10】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 1．（25-26高一上·新疆昌吉·期末）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（   ） A．7 B．8 C．24 D．40 2．（24-25高一上·辽宁·阶段检测）（多选）下列命题中正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是2 C．的最大值是 D．当时， 3．（25-26高三下·甘肃白银·期中）若均为正数，则的最大值为______. 4．（25-26高一上·重庆·期末）设矩形的周长为，把三角形沿折叠，折叠后与交于点. (1)设，用表示三角形面积，并写出的取值范围； (2)求三角形面积最大值及相对应的值. 【基础题型十一 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例11】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 1．（25-26高一下·云南·开学考试）若正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．25 2．（24-25高一上·江苏·期中）（多选）两个正数，，满足，则的值可以是（    ） A．8 B．6 C．4 D． 3．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 4．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知. (1)若，求最小值； (2)若，求的最小值； 【基础题型十二 基本不等式的内容及辨析】 【例12】（25-26高二下·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·河南南阳·阶段检测）如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（   ）    A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 3．（25-26高一上·山东威海·期中）下列各式中，最小值是2的有________. ①    ②    ③    ④， 4．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（1）如图，是圆的直径，点C是上一点，，，过点C作垂直于的弦，连接，.请利用这个图形，得出基本不等式的几何解释： （2）已知，求的最大值. 【提高题型一 基本不等式的相关求值】 【例1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 2．（25-26高二下·湖南长沙·期末）（多选）已知正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知均为正数，，则的最大值为________． 4．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 1．（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（25-26高二下·天津南开·期末）下列说法中正确的个数是（     ） ①的最小值为2 ②的最小值为9 ③已知，则 ④设，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 6．（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）（多选）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 8．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）（多选）下列各式中，最小值是2的有（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·山东潍坊·期中）（多选）上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中是有理数．若，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 12．（25-26高二下·天津·期末）已知a，且，则的最小值为______． 13．（24-25高三上·河南·阶段检测）已知，则的最小值为______. 14．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 15．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    16．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 17．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，，且，求的最小值； (3)求在时的最小值. 18．（25-26高二下·重庆荣昌·期末）（1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 19．（24-25高一上·山东枣庄·期中）（1）已知，求函数的最大值，并求出此时的值; （2）已知，且,求的最小值，并求出此时的值; （3）已知，且,求的最大值，并求出此时的值. 20．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知a，b，c，d为正实数，利用基本不等式证明（1）.确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题. (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)①求的最小值； ②若，求的最小值； ③如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $