精品解析：四川省成都市第七中学2027届高三上学期开学考试数学试卷

27届高三数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集的定义即可求解. 【详解】已知集合，，则，故D正确. 2. 记为等差数列的前项和，，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出等差数列的通项公式即可得解. 【详解】设等差数列首项，公差， 则，解得， 所以，则. 3. 已知变量y与变量x线性相关，y与x的样本相关系数为，且样本数据的平均数分别为，，则y关于x的经验回归方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关系数的性质以及经验回归方程过样本中心点逐项分析判断. 【详解】因为x与y的样本相关系数为，可知x与y为负相关，故C，D错误； 又因为经验回归方程过样本中心点， 对于A项，，则，故A错误； 对于B项，，则，故B正确． 4. 已知角为的一个内角，向量，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直时数量积为的性质，结合三角函数运算及三角形内角的取值范围即可求解. 【详解】已知向量，， 由于，则，整理得， 又因为是的内角，故，此时，， 等式两边同除以可得，解得. 5. 若两个随机事件相互独立，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的运算公式和性质，结合条件概率的运算公式、对立事件的概率公式、和事件的概率公式进行求解即可. 【详解】因为两个随机事件相互独立， 所以两个随机事件也相互独立， 由， 由， 所以 6. 已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得在上恒成立，且能取等号，即，令，再利用导数得到，解方程即可． 【详解】由题意得在上恒成立，且能取等， 即在上恒成立，且能取等， 令，则的最小值为0， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，解得． 7. 设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，由椭圆定义，结合余弦定理求出，判断的形状，再利用三角形内角平分线的性质求解. 【详解】椭圆的焦点，，不妨令点在第一象限， 在中，， 则，解得，，则， 由平分，得，而，则， 所以. 故选：D 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于轴对称，即可依次求得的值，根据周期性即可求得答案. 【详解】因为为奇函数，所以． 对上述等式两边求导得， 即，所以的图象关于轴对称． 因为为偶函数，所以． 对上述等式两边求导得，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以为周期为4的函数，且． 由，，以及对称性可得，， 则， 则． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选题）若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算及复数的模计算判断即可. 【详解】设，，， 对于A，， ， ， 所以，故A正确； 对于B，，，所以不恒成立，故B错误； 对于C，，，，所以，故C正确； 对于D，，， ， 又，所以， 即，也即， 所以，即，故D正确. 10. 如图，平面ABCD，，，，，，，则（ ） A. B. 平面ADE C. 平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可. 【详解】对于A，根据题意可知，平面ABCD， 不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 则，， 所以，所以，不垂直，故A错误； 对于B，依题意，是平面的一个法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面，故B正确； 对于C，设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 所以平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，设直线与平面所成角为，而， 则，故D错误. 11. 已知各项都是正数的数列的前n项和为，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 是单调递增数列 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用与的关系，将中的消掉，求出判断符号即可判断A项的正误；判断数列是等差数列，进而求出，再利用作差法判断B项的正误；应用放缩法与裂项相消求出，再与比较即可；构造函数，并利用导数研究函数的最小值，再取即可判断D项的正误. 【详解】因为，所以当时，， 两式相减，可得， 所以， 所以， 所以是单调递减数列，故A错误； 当时，，所以； 当时，，化简整理得， 所以数列是等差数列，其首项为4，公差为4， 所以， 所以 ， 所以，故B正确； 因为， 所以 所以，故C正确； 设函数，则， 因为，所以， 所以在上单调递减， 所以， 取，,所以，即 又因为，所以.故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 【答案】##2.25 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线求解. 【详解】∵方程表示双曲线， ∴，解得. 由题意知，，，， 所以，即，整理得，解得. 13. 除以7的余数为_____. 【答案】1 【解析】 【分析】利用二项式定理将展开即可求解. 【详解】因为 ， 所以除以7的余数为1. 14. 函数有且仅有一个零点，则最小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】函数，. 设，则有 令，解得；令，解得； 在上单调递增，在上单调递减。 若满足函数有且只有一个零点，只有，.. 设 令解得；令解得 在单调递增，在单调递减， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）若不等式在上恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象确定A，利用特殊点的坐标求得的值，即得函数解析式； （2）根据正弦函数的单调性，解不等式，即得答案； （3）根据x的范围，结合正弦函数性质求得的最小值，即可得答案. 【小问1详解】 由函数图象可知，， 则，因为，所以． 由，得， 即， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 由，得， 所以的单调递减区间为． 【小问3详解】 因为不等式在上恒成立，所以， 因为，所以， 当时，， 则，即m的取值范围为． 16. 为了研究学生参加校园社团与抗压能力强弱的关系，某调查中心随机抽取了120名学生进行调研，所得数据如下表所示： 校园社团 抗压能力 合计 弱 强 参加 20 40 60 不参加 35 25 60 合计 55 65 120 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关？ （2）从参加校园社团的学生中按抗压能力强弱采用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生中抗压能力弱的人数为，求的分布列与数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】（1）认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关； （2）分布列为 0 1 2 【解析】 【分析】（1）求出的值，根据独立性检验的意义即可得答案； （2）由题意可知的所有可能取值为，，，求出对应的概率，即可得分布列，再由期望公式求解即可. 【小问1详解】 零假设为：学生参加校园社团与抗压能力强弱无关. 根据表中的数据，可得. 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关. 【小问2详解】 这6名学生中抗压能力弱的有人，抗压能力强的有人， 则的所有可能取值为，，. ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 故. 17. 如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. （1）过，，三点的平面与线段交于点，求证：； （2）若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 【答案】（1）取线段的中点，连接，，由于， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明面，再由线面平行的性质定理证得. （2）建立空间直角坐标系，设，，由点到平面距离的向量求法，表示出点到平面的距离，即可得的关系，根据棱锥的体积公式，利用基本不等式可求得四棱锥体积的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，交于点，因为底面为菱形，所以. 又平面，所以如图建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， 得，，. 设平面的法向量， 则， 所以点到平面的距离为，化简得， 因为，所以，即，当且仅当时，等号成立. 故，即四棱锥体积的最小值为． 18. 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算推得的斜率之和为0即得证；（ⅱ）结合图形，得到的面积为，利用韦达定理代入，借助于求导判断函数的单调性即可求得面积最大值. 【小问1详解】 由可得① 由点在上，则② 联立①②得，， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因，则 ， 令，设， 则， 所以在上单调递减，则， 故当，即时，取到最大值. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，正实数，满足，证明：； （3）设，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）证明：当时，， 令，则， 所以在上单调递增， 又，因为，所以， 若，都大于1，则，不合题意， 同理，都小于1也不满足， 设，欲证，即证，即证， 即证，即证． 令，， ， 所以在区间上单调递增，所以，则原不等式得证． （3） 【解析】 【分析】（1）根据导函数形式，讨论的范围，判断单调性即可； （2）利用已知，构造函数，根据构造函数单调性进行证明； （3）找到是题眼，通过放缩不等式，构造相应函数求解. 【小问1详解】 由题意知， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 因为，， 若对任意的恒成立，则，解得． 下面证明：时符合题意. 当时，， 以下证明：， 令， 则， 令，则， 令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以． 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 27届高三数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 记为等差数列的前项和，，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D. 7 3. 已知变量y与变量x线性相关，y与x的样本相关系数为，且样本数据的平均数分别为，，则y关于x的经验回归方程可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知角为的一个内角，向量，．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若两个随机事件相互独立，满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 7. 设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选题）若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平面ABCD，，，，，，，则（ ） A. B. 平面ADE C. 平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 11. 已知各项都是正数的数列的前n项和为，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 是单调递增数列 B. C. D. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 13. 除以7的余数为_____. 14. 函数有且仅有一个零点，则最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）若不等式在上恒成立，求m的取值范围. 16. 为了研究学生参加校园社团与抗压能力强弱的关系，某调查中心随机抽取了120名学生进行调研，所得数据如下表所示： 校园社团 抗压能力 合计 弱 强 参加 20 40 60 不参加 35 25 60 合计 55 65 120 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关？ （2）从参加校园社团的学生中按抗压能力强弱采用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生中抗压能力弱的人数为，求的分布列与数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 3.841 6.635 17. 如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. （1）过，，三点的平面与线段交于点，求证：； （2）若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 18. 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，正实数，满足，证明：； （3）设，若对任意的恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $