26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质导学案2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，通过前置补偿复习y=ax²的基础，再经探究y=ax²+k、y=a(x-h)²到y=a(x-h)²+k，构建从基础到综合的学习支架，引导学生掌握顶点式性质及平移规律。 以学生自主探究为主线，通过列表描点、小组合作等活动培养几何直观与推理能力，例题与分层作业结合落实双基，体现从特殊到一般的数学思想，助力发展数学抽象与应用意识，提升分析解决问题的能力。

26.2.2 二次函数 y=a(xh)²+k 的图象和性质 导学案【解析版】 【学习目标】 1. 知识与技能：经历描点画图探究，理解抛物线 y=a (xh)²+k 可以由 y=ax² 平移得到；掌握顶点式抛物线的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性；能由解析式读出顶点、对称轴，也能根据顶点写出函数解析式。 2. 过程与方法：遵循课本编排顺序，先回顾 y=ax²，再依次探究上下平移 y=ax²+k、左右平移 y=a (xh)²，最后综合得到 y=a (xh)²+k，体会从特殊到一般、图象平移变换、数形结合思想。 3. 情感态度：能区分 h、k 对图象位置的影响，克服 “左加右减” 易错点，会利用顶点式分析简单实际问题。 学习重点：y=a (xh)²+k 的图象性质；抛物线的平移规律；识别顶点与对称轴。 学习难点：理解平移规律 “左加右减自变量，上加下减常数项”；准确识别 h 的符号；顶点式的简单应用。 【前置补偿】 1. 二次函数 y=ax²(a≠0) 图象名称：抛物线；对称轴：直线 x=0（y 轴）；顶点坐标：(0，0)。 2. a>0，开口向上，顶点为最低点，x=0 时 y 取最小值； a<0，开口向下，顶点为最高点，x=0 时 y 取最大值。 3. |a | 越大，抛物线开口越窄。 4. 思考：如果把抛物线 y=ax² 整体向上、向下或者向左、向右移动，图象的形状会不会改变？什么发生改变？ 答：形状、开口大小不变；顶点位置、对称轴位置发生改变。 【学生自学 课本递进探究活动】 阅读课本，课本探究顺序： ①y=ax² →②y=ax²+k（上下平移）→③y=a (xh)²（左右平移）→④y=a (xh)²+k（综合平移，顶点式） 探究一：探究 y=ax²+k（上下平移） 以函数 y=x²，y=x²+1，y=x²2 为研究对象。 1. 列表填表 表格 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x² … 9 4 1 0 1 4 9 … y=x²+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … y=x²2 … 7 2 -1 -2 -1 2 7 … 2. 在空白坐标系描点连线，画出三个函数图象。 思考课本问题： ①三条抛物线形状相同吗？相同。 ②y=x²+1 是由 y=x² 向上平移 1 个单位得到；顶点坐标 (0，1)； ③y=x²2 是由 y=x² 向下平移 2 个单位得到；顶点坐标 (0，2)。 归纳：y=ax²+k，顶点坐标 (0，k)，对称轴直线 x=0（y 轴）；k 控制抛物线上下方向平移。 【小组互查质疑 1】 参考提示：易错：平移方向搞反；混淆顶点坐标。 探究二：探究 y=a (xh)²（左右平移） 研究函数 y=1/2x²，y=1/2 (x2)²，y=1/2 (x+3)²。 1. 列表填表 表格 x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y=1/2x² … 12.5 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 12.5 … y=1/2(x2)² … 24.5 18 12.5 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=1/2(x+3)² … 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 12.5 18 24.5 32 … 2. 空白坐标系描点连线，自主画图。 思考课本问题： ①三条抛物线形状相同吗？相同。 ②y=1/2 (x2)²，可以看作 y=1/2x² 向右平移 2 个单位；对称轴直线 x=2；顶点 (2，0)。 ③y=1/2 (x+3)² = 1/2 [x(-3)]²，看作 y=1/2x² 向左平移 3 个单位；对称轴直线 x=3；顶点 (3，0)。 归纳：y=a (xh)²，对称轴直线 x=h；顶点坐标 (h，0)；h 控制抛物线左右方向平移。 易错提示：y=a (x+3)² 要改写为 y=a [x(-3)]²，此时 h=3。 【小组互查质疑 2】 参考提示：高频错误：看到 x+3 就认为 h=3，忽略是 xh 的标准形式。 探究三：综合探究 y=a (xh)²+k（课本核心探究，顶点式） 例：研究函数 y=(x1)²3 1. 猜想：它可以由 y=x² 先向右平移 1 单位，再向下平移 3 单位得到。 2. 列表，自主计算填写： 表格 x … -1 0 1 2 3 … y=(x1)²3 … 1 2 3 2 1 … 3. 描点、连线，空白坐标系自主画出图象。 知识点归纳【课本归纳，由特殊到一般】 一般地，抛物线 y=a (xh)²+k (a≠0) 叫做抛物线的顶点式。 1. 开口方向： a>0，开口向上；顶点 (h,k) 是抛物线最低点；当 x=h 时，y 取得最小值 = k； a<0，开口向下；顶点 (h,k) 是抛物线最高点；当 x=h 时，y 取得最大值 = k。 2. 对称轴：直线 x=h；顶点坐标：(h，k)。 3. 增减性： a>0：当 x>h 时，y 随 x 增大而增大；当 x<h 时，y 随 x 增大而减小。 a<0：当 x>h 时，y 随 x 增大而减小；当 x<h 时，y 随 x 增大而增大。 4. 图象平移规律 抛物线 y=a (xh)²+k 与抛物线 y=ax² 的形状、开口大小完全一样，只是位置不同。 由 y=ax² 得到 y=a (xh)²+k： h>0 向右平移 | h | 个单位；h<0 向左平移 | h | 个单位； k>0 向上平移 | k | 个单位；k<0 向下平移 | k | 个单位。 口诀提示：左加右减自变量，上加下减常数项。注意：改变的是 x 本身，不是括号外面。 思考：平移顺序是否可以交换？可以交换，最终得到图象一致。 【课本例题自学】 例 1 说出抛物线 y=-2 (x+3)²4 的开口方向、对称轴、顶点坐标；说明它是由抛物线 y=-2x² 经过怎样平移得到。 分析：先化成标准形式 y=-2 [x(-3)]²4，得 h=3，k=4。 开口方向：向下；对称轴：直线 x=3；顶点坐标：(3，4)。 平移过程：由 y=2x² 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位得到。 例 2【课本原题】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3.6 m，水管的长应为多少？ 解：以池中心为原点，竖直水管所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系。 抛物线顶点为 (1.6，3)，故设抛物线解析式为y=a(x-1.6)^2+3) 答：水管的长度应为 1.08 m。 例 3 已知一条抛物线顶点是 (2,-1)，并且开口、形状与 y=3x² 完全相同，写出 解：设顶点式 y=a (xh)²+k，代入 h=2，k=1，a=3； 解析式：y=3 (x2)²1。 【自学小测】 1. 抛物线 y=3 (x2)²+1，开口方向向上，对称轴直线 x=2，顶点坐标 (2，1)；当 x=2，y 有最小值 = 1。 2. 抛物线 y=1/2 (x+1)²，可以看作由抛物线 y=1/2x² 向左平移 1 个单位得到。 【合作学习，课堂研讨】 1. 为什么 y=a (x+h)² 实际对应的 h 是负数？举例说明，这是最容易错的地方。 答：标准形式是 y=a (xh)²；y=a (x+2)² = a [x(-2)]²，此时 h=2，学生容易直接把 + 2 当作 h。 2. 抛物线平移，什么不变？什么发生改变？ 答：a 不变，抛物线形状、开口宽窄不变；顶点坐标、对称轴、图象位置发生改变。 3. 顶点式中，我们不需要化成一般式就可以直接读出哪些信息？ 答：开口方向，对称轴直线 x=h，顶点 (h,k)，最大或最小值。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】（课堂笔记区） 🔔课本重点易错警示 1. 找 h 的时候：y=a (x+m)²+k = a [x(-m)]²+k，h 等于m，极易符号出错。 2. 平移只改变顶点位置，a 不变，所以抛物线开口大小、形状完全不变。 3. “左加右减” 是针对自变量 x，只改变括号内部，不要在括号外面对 x 加减。 4. 最值就在顶点处：x=h，最值等于 k；分清最大值、最小值由 a 正负决定。 课堂笔记： 【总结提升】（课本知识体系梳理） 1. 探究路径：y=ax²→上下平移 y=ax²+k→左右平移 y=a (xh)²→综合 y=a (xh)²+k（顶点式）。 2. 顶点式 y=a (xh)²+k (a≠0)：对称轴直线 x=h，顶点 (h,k)；a 定开口方向与宽窄，h 定左右位置，k 定上下位置。 3. 平移规律：形状大小由 a 决定保持不变；h 管左右，k 管上下；左加右减自变量，上加下减常数项。 4. 数学思想：数形结合、由特殊到一般、图形变换。 【课内自测】 1. 抛物线 y=4 (x5)²+2，开口方向向下，对称轴直线 x=5，顶点坐标 (5，2)；x=5，y 最大值 = 2。 2. 抛物线由 y=2x² 向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，写出解析式：y=2 (x3)²5。 3. 已知抛物线顶点 (2,3)，形状开口与 y=-x² 相同，求抛物线解析式。 解：a=1，h=2，k=3；y=(x+2)²+3。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 填写下表 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 y=2(x3)²+5 向上 直线 x=3 (3，5) x=3，y 最小值 5 y=-3(x+1)²2 向下 直线 x=1 (1，2) x=1，y 最大值2 2. 抛物线 y=5x² 向上平移 4 个单位，写出得到的抛物线解析式。 解：y=5x²+4。 B 组【能力提升・选做】 3. 抛物线 y=-2x²，先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，写出平移后的函数解析式。 解：y=-2 (x+2)²1。 4. 已知抛物线顶点坐标为 (1,4)，且过点 (0,2)，求抛物线的顶点式解析式。 解：设 y=a (x+1)²+4；代入 (0,2)，2=a+4，a=2；y=-2 (x+1)²+4。 C 组【拓广探索・培优】 5. 抛物线 y=3 (x2)²1，经过怎样平移变换可以得到抛物线 y=3x²？ 解：向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位。 6. 有同学说：把抛物线 y=(x1)²+2 向左平移 1 个单位得到 y=(x1+1)²+2 = y=x²+2，再向下平移 2 个单位得到 y=x²。请你判断他的平移计算是否正确，如果错误说明错在哪里。 解：计算正确。向左平移 1 个单位，自变量 x 变为 x+1，代入 y=[(x+1)-1]²+2=x²+2；向下平移 2，y=x²+22=x²。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2 二次函数y=a(xh)²+k的图象和性质导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 通过描点画图、观察对比图象的活动，经历抛物线 y=ax² 经过平移得到 y=a (xh)²+k 的完整探究过程，发展几何直观、推理能力；掌握顶点式抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性，落实基础知识与基本技能。 2. 能辨析参数 a、h、k 对抛物线图象的影响，厘清平移规律 “左加右减自变量，上加下减常数项”，能根据顶点写出解析式，提升数学抽象能力，体会从特殊到一般、数形结合、图形变换的数学思想，积累数学探究活动经验。 3. 能识别 h 符号的易错点，会处理正向、逆向平移问题，提高分析和解决问题的能力；在小组合作探究中养成严谨思考的习惯，发展应用意识。 学习重点：y=a (xh)²+k 的图象性质；抛物线的平移规律；识别顶点与对称轴。 学习难点：理解平移规律 “左加右减自变量，上加下减常数项”；准确识别 h 的符号；顶点式的简单应用。 【前置补偿】 1. 二次函数 y=ax²(a≠0) 图象名称： ； 2. 对称轴： ；顶点坐标：________。 3. a>0，开口向____，顶点为最____点，x=0 时 y 取最____值； a<0，开口向____，顶点为最____点，x=0 时 y 取最____值。 4. |a| 越大，抛物线开口越________。 5. 思考：如果把抛物线 y=ax² 整体向上、向下或者向左、向右移动，图象的形状会不会改变？什么发生改变？ 【学生自学】 阅读课本，探究顺序：①y=ax² →②y=ax²+k→③y=a(xh)²→④y=a(xh)²+k 探究一：探究 y=ax²+k（上下平移） 以函数 y=x²，y=x²+1，y=x²2为研究对象。 1. 列表填表（学生自主填写函数值） x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x² … ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ … y=x²+1 … ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ … y=x²2 … ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ … 2.在空白坐标系描点连线，画出三个函数图象。 思考问题： ①三条抛物线形状相同吗？。 ②y=x²+1 是由 y=x² 向____平移____个单位得到；顶点坐标 ； ③y=x²2 是由 y=x² 向____平移____个单位得到； 顶点坐标________； 归纳：y=ax²+k，顶点坐标________，对称轴________；k 控制抛物线________方向平移。 【小组互查质疑】 探究二：探究 y=a(xh)² 研究函数 y=x²，y=(x2)²，y=(x+3)²。 1. 列表填表（学生自主填写函数值） 表格 x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y=x² … ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ … y=(x2)² … ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ … y=(x+3)² … ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ … 2.空白坐标系描点连线，自主画图。 思考问题： ①三条抛物线形状相同吗？。 ②y=(x2)²，可以看作 y=x² 向____平移____个单位；对称轴；顶点________。 ③y=(x+3)²，看作 y=x² 向____平移____个单位；对称轴_______；顶点________。 归纳：y=a (xh)²，对称轴________；顶点坐标________；h 控制抛物线________方向平移。 【小组互查质疑】 探究三：综合探究 y=a(xh)²+k（课本核心探究，顶点式） 例：研究函数 y=-(x1)²3 1. 猜想：它可以由 y=x²先向___平移___单位，再向___平移___单位得到。 2. 列表，自主计算填写： 表格 x … -1 0 1 2 3 … y=-(x1)²3 … ___ ___ ___ ___ ___ … 3. 描点、连线，在坐标系中画出图象。 【知识点归纳】 一般地，抛物线 y=a(xh)²+k (a≠0) 叫做抛物线的顶点式。 1. 开口方向：a>0，开口向____；顶点是抛物线最____点；当x= 时，y 取得最___值 = ； a<0，开口向___；顶点是抛物线最____点；当x= 时，y 取得最___值 = 。 2. 对称轴：直线_____；顶点坐标： 。 3. 增减性：a>0：当x>h 时，y 随x 增大而 ；当x<h 时，y随x增大而________。 a<0：当 x>h 时，y随x增大而________；当x<h时，y随x增大而________。 4. 图象平移规律：抛物线 y=a(xh)²+k 与抛物线 y=ax²的________完全一样，只是 不同。 由y=ax²得到y=a(xh)²+k：h>0 向___平移 |h|个单位；h<0 向___平移 | h |个单位； k>0 向___平移|k|个单位；k<0 向___平移 |k| 个单位。 口诀提示： 加 减自变量， 加 减常数项。 注意：改变的是x本身，不是括号外面。 思考：平移顺序是否可以交换？________________________________。 【例题自学】 例1说出抛物线 y=-2 (x+3)²4 的开口方向、对称轴、顶点坐标；说明它是由抛物线 y=-2x² 经过怎样平移得到。 分析：标准形式 y=-2（x+3)²4，得 h= ，k= 。 所以开口方向： ；对称轴： ；顶点坐标：____。 平移过程：____________________________。 例 2要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m 处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，求水管的长度。 分析：以池中心为原点，竖直水管所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系。 (1) 确定抛物线顶点坐标： ，设顶点式解析式：________ (2) 水柱落地，对应图象上点坐标（ ），将该点代入解析式求a； (3) 水管在池中心，即求x=____时对应的 y 的值，即为水管长度。 书写完整解题步骤： 例3 已知一条抛物线顶点是 (2,-1)，并且开口、形状与 y=3x² 完全相同，写出这个抛物线解析式。 解：设顶点式________________，代入h= ，k= ，a= _； 解析式：______________。 【自学小测】 1. 抛物线 y=3 (x2)²+1，开口方向____，对称轴________，顶点坐标________；当 x= ，y 有最____值 =。 2. 抛物线 y=1/2 (x+1)²，可以看作由抛物线 y=x² 向____平移____个单位得到。 【合作学习】 1. 为什么 y=a (x+h)² 实际对应的h是负数？举例说明，这是最容易错的地方。 2. 抛物线平移，什么不变？什么发生改变？ 3. 顶点式中，我们不需要化成一般式就可以直接读出哪些信息？ 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】（课堂笔记区） 🔔课本重点易错警示 1. 找 h 的时候：y=a (x+m)²+k = a [x(-m)]²+k，h 等于m，极易符号出错。 2. 平移只改变顶点位置，a 不变，所以抛物线开口大小、形状完全不变。 3. “左加右减” 是针对自变量 x，只改变括号内部，不要在括号外面对 x 加减。 4. 最值就在顶点处：x=h，最值等于 k；分清最大值、最小值由 a 正负决定。 课堂笔记： 【总结提升】（课本知识体系梳理） 1. 探究路径：y=ax²→上下平移 y=ax²+k→左右平移 y=a (xh)²→综合 y=a (xh)²+k（顶点式）。 2. 顶点式 y=a (xh)²+k (a≠0)：对称轴直线 x=h，顶点 (h,k)；a 定开口方向与宽窄，h 定左右位置，k 定上下位置。 3. 平移规律：形状大小由 a 决定保持不变；h 管左右，k 管上下；左加右减自变量，上加下减常数项。 4. 数学思想：数形结合、由特殊到一般、图形变换。 【课内自测】 1. 抛物线 y=4(x5)²+2，开口方向____，对称轴________，顶点坐标________；x= ，y 最___值 =。 2. 抛物线由 y=2x² 向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，写出解析式：________________。 3. 已知抛物线顶点 (2,3)，形状开口与 y=-x² 相同，求抛物线解析式。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 填写下表 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 y=2(x3)²+5 y=-3(x+1)²2 2. 抛物线 y=5x² 向上平移 4 个单位，写出得到的抛物线解析式。 B 组【能力提升・选做】 3. 抛物线 y=-2x²，先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，写出平移后的函数解析式。 4. 已知抛物线顶点坐标为 (1,4)，且过点 (0,2)，求抛物线的顶点式解析式。 C 组【拓广探索・培优】 5. 抛物线 y=3 (x2)²1，经过怎样平移变换可以得到抛物线 y=3x²？ 6. 有同学说：把抛物线 y=(x1)²+2 向左平移 1 个单位得到 y=(x1+1)²+2 y=x²+2，再向下平移 2 个单位得到 y=x²。请你判断他的平移计算是否正确，如果错误说明错在哪里。 学科网（北京）股份有限公司 $