26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

课题

二次函数y=ax2的图像和性质

学科

数学

年级

九年级上册

知识目标

1.会用描点法画出形如y=ax2(a≠0)的二次函数图象,了解抛物线的有关概念.

2.通过观察图象能说出二次函数y=ax2(a≠0)的图象特征和性质.

重点难点

重点： 画出二次函数y=ax2的图象,根据图象观察、分析出二次函数y=ax2的性质

难点：二次函数y=ax2的性质的应用 

教学过程

知识链接

1. 什么是二次函数？
2. 一次函数的图像是一条直线，通常怎样画一个函数的图像?二次函数的图像是什么形状呢?

合作探究

知识点1、二次函数y=ax2的图象和画法

例1、画二次函数y=x2的图象。

解：（1）列表：

思考：自变量x的取值范围是什么?x取整数还是取其他数较好?y是一个数的平方,它的值与x的值有什么关系?在x的取值范围内列出函数对应值表：

（2）在直角坐标系中描点：

思考：在画坐标系时x轴的正、负半铀和y轴的正、负半轴是否都要画的一样长?

(3)连线：

观察这7个点的位置,它们是否在一条直线上?我们应该怎样连接这7个点?

请画函数y=－x2的图像

提问：观察这两个函数的图象，它有什么特点?

●归纳：抛物线概念：像这样的曲线通常叫做       。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的     。抛物线y=x2的顶点      是它的最    点.抛物线y=－x2的顶点      是它的最    点.

从图象可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是      图形,    是它们的对称轴.

全班学生分为两组，第一组完成操作1、第二组完成操作2，然后回答下列的问题：

操作1、在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=2x2的图像

函数y=x2和y=2x2的图像与函数y=x2的图像相比,有什么共同点和不同点?具有怎样的性质？

操作2、在同一直角坐标系中画出函数y=－x2和y=－2x2的图像

 函数y=－x2和y=－2x2的图像与y=-x2的图像相比,有什么共同点和不同点?

思考：在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线y= -x2的位置有什么关系？ 一般地，抛物线y=ax2与抛物线y=-ax2呢？

●总结：一般地,抛物线y=ax2的对称轴是　y轴　,顶点是　  　。当a>0时,抛物线的开口　   　,顶点是抛物线的最　  　点,a越大,抛物线的开口　   　,在对称轴的左侧,y随x的增大而　   　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　   　。当a<0时,抛物线的开口向　   ,顶点是抛物线的最　   　点,a越大,抛物线的开口越　  　,在对称轴的左侧,y随x的增大而　  　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　  　。 

你能说一说，二次函数在生活中有哪些应用吗？

例、已知y=(n+2)是关于x的二次函数

 (1)求函数满足条件的 n 的值；

 (2)当 n 为何值时，抛物线有最高点；

 (3)当 n 为何值时，抛物线开口向上．

自主尝试

1、函数y=πx2的图象的开口____________,对称轴____________,顶点是_________ ;是抛物线的最_______点

2、函数y=－4x2的图象的开口____________,对称轴____________,顶点是_________;是抛物线的最_______点

当堂检测

1.函数y=2x2的图象的开口___________, 对称轴___________,顶点是___________;

在对称轴的左侧，y随x的增大而___________ ,在对称轴的右侧, y随x的增大而___________.

 2.函数y=-3x2的图象的开口___________,对称轴___________ ,顶点是__________  ;在对称轴的左侧, y随x的增大而___________,在对称轴的右侧, y随x的增大而___________ .

 3.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（          ）．

A.y1＞0＞y2         B.y2＞0＞y1          C.y1＞y2＞0          D.y2＞y1＞0