16.3.1 平方差公式 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦平方差公式，通过复习多项式乘法（如(x+3)(x+5)展开）引入，结合面积模型（大正方形挖去小正方形）构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解公式来源与内涵。 其亮点在于融合几何直观与代数推理，通过面积验证和代数推导培养数学眼光与思维，设置“填一填”“练一练”及实际问题（如102×98）强化模型意识，课堂小结强调“一同一反”特征，助力学生掌握公式应用，提升教师教学效率。

16.3.1 平方差公式 多项式与多项式是如何相乘的？ （x ＋ 3)( x＋5） =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15. (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 复习引入 面积变了吗？ a米 5米 5米 a米 (a-5)米 平方差公式 1.(x+3)(x-3)= . 2.已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2= . x2-9 12 计算： （1） (x+1)(x-1)= . （2） (m+2)(m-2)= . （3） (2x+1)(2x-1)= . （4） (x+5y)(x-5y)=___________ 问题1： 观察上述算式，你发现了什么规律？ 平方差公式：(a + b)(a－ b)=——————. a2－b2 - 1 - 4 - 1 - 25y2 问题2：你能用数学语言表达这一规律吗？ 规律：两个数的 与这两个数的 的积,等于这两个数的平方差. 和 差 (a+b)(a−b) =a2−ab+ab-b2 验证： =a2-b2 a b a b a a-b b a a-b b a a b b a-b 其他方法： 算一算！ 运用平方差公式因式分解 运算法则： 文字说明： 两个数的平方差，等于这两个数的___与这两个数的_____的乘积. a2 - b2 = (a + b)(a − b) 和 差 a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 a + b 1 (a + b)2－12 (a + b)(a - b) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (a + b - 1)(a + b + 1) (1 + a)(-1 + a) 填一填 1.利用平方差公式计算： (1) (3x－5)(3x＋5)； (2) (－2a－b)(b－2a)； (3) (－7m＋8n)(－8n－7m)． 解：(1) 原式＝(3x)2－52＝9x2－25. (2) 原式＝(－2a)2－b2＝4a2－b2. (3) 原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2. 练一练 例1 计算：(1) (3x＋2)(3x－2)；(2) (－x＋2y)(－x－2y). 解：(1) (3x＋2)(3x－2) ＝ (3x)2－ (a ＋ b) (a － b) ＝ a2 － b2 ＝ 9x2－4. 22 注意：实际使用平方差公式时，a，b可以是数、字母、式子等形式. (2) (－x＋2y)(－x－2y). 解：(2) (－x＋2y)(－x－2y) ＝ (－x)2－ ＝ x2－4y2. (2y)2 相同看作 a 相反看作 b 当堂检测 5 当堂检测 3 下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( )  A.(x+y)(y－x)　 B.(-a+b)(a－b) C.(x+2)(2+x) D.(x－2)(x+1) A 在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b).把余下的部分剪成两个直角梯形后,再拼成一个等腰梯形(如图),通过计算阴影部分的面积,验证了一个等式,这个等式是( )  A.a2－b2＝(a+b)(a－b)　 B.(a+b)2＝a2+2ab+b2 C.(a－b)2＝a2－2ab+b2　 D.a2－ab＝a(a－b) A 102×98 = 1002－22 = 10000－4 = (100＋2)(100－2) = 9996. (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) = y2 – 22 – (y2 + 4y – 5) = y2 – 4 – y2 – 4y + 5 = – 4y + 1. 不符合公式条件的乘法，仍按乘法法则进行运算. 探究点 ： 运用平方差公式进行计算 i 例3 利用平方差公式计算： (3x＋y－2)(3x＋2＋y)－12＝0，求 3x＋y. 解：(3x＋y)2－22＝12， (3x＋y)2＝16， (3x＋y)＝±4. 分析： (3x＋y－2)(3x＋y＋2)－12＝0 相同 相反 探究点 ： 运用平方差公式进行计算 　　2．计算： （1）(a ＋3b)(a－3b)； （2）(3＋2a)(－3＋2a)； （3）(xy＋1)(x2y2＋1)(xy－1)； （4）(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2)． 解：（4）(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2) ＝(3x)2－42－(6x2－4x＋9x－6) ＝9x2－16－6x2－5x＋6 ＝3x2－5x－10． 　　3．运用平方差公式计算： （1）51×49； （2） ． ＝(50＋1)(50－1) ＝502－12 ＝2 500－1 ＝2 499； 解：（1）51×49 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整倍吗？ 例 解　原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10. ∵(10n2－10)÷10＝n2－1，n为正整数， ∴n2－1为整数， 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍. 对于平方差公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题. 反思感悟 课堂小结 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用 4.已知，则代数式的值为__________. 解析：. ，，则，原式，故答案为5. 5.如果，那么的值为__________. 解析：，，，（负值舍去），故答案为3. $