16.3.1 平方差公式（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦平方差公式，通过“地主租地调整”“绿化带面积变化”等生活情境导入，引导学生计算面积差异发现规律，再结合多项式乘法探究公式推导，构建从具体实例到抽象公式的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，以情境问题激发探究欲（数学眼光），通过多项式计算推理公式（数学思维），结合图形面积说明几何背景（数形结合）。例题涵盖直接应用、连续运算及简便计算，练习含基础题与中考题，助力学生发展运算能力与推理能力，教师可借此高效实施从具体到抽象的教学。

● ●人教版数学八年级上册培优精做课件 第十六章 整式的乘法 16.3.1 平方差公式 授课教师： 班 级 ： 8年级( ) 班 时 间 ： 2026年7月23日 理解平方差公式 (a+b)(a-b)=a²-b², 了解公式的几何背 景，体会从一般到 特殊和数形结合的 思想. 能利用公式进行简 单的计算和推理， 发展运算能力和推 理能力. 学习目标 从前有一个狡猾的地主， 他把一块边长x 米的正方形的 土地租给老张种植。有一天， 他对老张说：“我把这块地的 一边减少5米，另一边增加5 米，继续租给你，你也没有吃 亏，你看如何?”老张答应了。 你认为老张吃亏了吗? 2026年7月23日星期四8时30分56秒 情境导入 学校打算在操场边新建一块长方形的绿化带，原来计划的长 促15米，宽是10米.后来因为场地调整，长增加了2米，宽减 少了2米，调整后的绿化带面积和原来相比，是变大了、变小了 还是没变呢? 原来的面积是15×10=150(米2), 调整后的长是17米，宽是8米， 10m 面积是17×8=136(米2). 显 然 ，面积变小了. 15m 2m 2026年7月23日星期四8时30 调整后的面积是23×12=276(米2), 15m 20m 3m 2026年7月23日星期四8时30 我们再换一组数据试试?如果原来的长是20米，宽是15米， 怅增加3米，宽减少3米，面积又会怎么变呢? 原来的面积是20×15=300(米2), 面积还是变小了. 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律? (1)(x+1)(x-1)= x²-12 _ ; (2)(m+2)(m-2)= m²-22 ; (3)(2m+1)(2m-1)= (2m)²-12 问题1 等式的左边有什么特点?两个多项式是什么运算? 是两个二项式相乘， 另一项互为相反数(通常变形后放在第二项). 这两个二项式中有一项完全相同(通常变形后放在第一项), 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律? (1)(x+1)(x-1)= x²-12 _ ; (2)(m+2)(m-2)= m²-22 ; (3)(2m+1)(2m-1)= (2m)²-12 问题2 等式的右边有什么特点? 乘式中两项的平方差， 即相同项的平方减去相反项的平方. 2026年7月23日星期四8时30分 探究 上述规律如何用字母来表示呢? (a+b)(a-b)= a²-ab+ab-b² =a²-b² . 2026年7月23日星期四8时30分57秒 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写 出运算结果，即 (a+b)(a-b)=a²-b². 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 这个公式叫作(乘法的) 平方差公式. 平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中 p=a, q=-b的特殊情形. 2026年7月23日星期四8时30分58秒 思考 你能根据图中图形的面积，说明平方差公式吗? (a-b)(a+b)=a²-b². 例1 计算： (1)(3x+2)(3x-2); 解： (1)(3 x+2)(3x-2) =(3x)²-2² =9x²-4. (2)(-x+2y)(-x-2y). (2)(-x+2y)(-x-2y) =(-x)²-(2y)² =x²-4y² . 例2 计算： (1)(x-1)(x+1)(x²+1); 解： (1) (x-1)(x+1)(x²+1) =(x-1)(x+1)(x²+1) =(x²-1)(x²+1) =x⁴-1. (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5); (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y²-2²-(y²+4y-5) =y²-4-y²-4y+5 =-4y+1. 例2 计算： (3)102×98. 解： (3)102×98 =(100+2)(100-2) =100²-2² =10000-4 =9996. 1. 下列各式能用平方差公式计算的是( C ) A.(a-b)(b-a) B.(a+b)(b+a) C.(a-b)(-a-b) D.(a+b)(-a-b) 2. 下列多项式中，与-x+y 相乘的结果为x²-y² 的是 ( D ) A.X+y B.X-y C. 一X+ y D. 一X-y 2026年7月23日星期四8时3033 8 人 4.若a⁴=3, 则(1-a)(1+a)(1+a²) 的值为( D) A.4 B.2 C.—4 D.-2 2026年7月23日星期四8时303 50 3. 已知(x+2)(x-2)-2x=1, 则2x²-4x+3 的值为 (A ) A.13 B.3 C.-3 D.5 ∴M-N=2026²-(2026²-1)=1>0.∴M>N. 6.若(2x+3y)(mx-ny)=9y²-4x², 则m,n 的值分别为 -2,-3 2026年7月23日星期四8时303350 系是( A ) A.M>N B.M<N C.M=N D. 不能确定 【点拨】∵M=2026², N=2025×2027=(2026-1)(2026+1)=2026²-1, 5.已知M=2026²,N=2025×2027, 则M与N的大小关 7. 母题 教材P117习题T1(5) 计算： (1)10.3×9.7; 【解】原式=(10+0.3)×(10-0.3)=10²-(0.3)²=100- 0.09=99.91. 2026年7月23日星期四8时3 利 原式= (2) 中考考法 8.T2025厦门校级期中]先化简，再求值： (2x+y)(y-2x)-4x(y-x), 其中 ,y=-1. 【解】(2 x+y)(y-2x)-4x(y-x) =-( 2x+y)(2x-y)-4x(y-x) =-4x²+y²-4xy+4x² = y ²-4 xy , 2026年7月23日星期四8时3 A.k³-4k B.8k³-8k C.4k³-k D.8k³-2k 10. 已知4x²-y²=3, 则(2x+y)³(y-2x)³ 的值是( A) A.—27 B.-9 C.9 D.27 【点拨】(2x+y³(y-2x)³=—(2x+y³(2x-y³=-12 +y)(2x-y)]³=-(4x²-y²)³=-3³=-27. 2026年7月23日星期四8时3 9.三个连续偶数，中间一个数为k, 则这三个数的积为 ( A ) 12.[2025福州校级期中]若x,y 满 则式子 4x²-9y ²的值为-6 2026年7月23日星期四8时3 利 11.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=15, 那么a+b 的值 为( D ) A.±8 B.-4 C.2 D.±2 13. 情境 活· 期中 在一个艺术工作室中， 设计师正在进行一幅拼图作品的创作.他使用 了大小不同的正方形纸片来构建图案.如图， 其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起 用 城 应 晋 生 25 题 20 时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是24,那 阴影部分的面积是12 2026年7月23日星期四8时3 利 两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差. ↓ (a+b)(a-b)=a²-b² 紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在 应用时，只有两个二项式的积才有可 能应用平方差公式； 对于不能直接应用公式的，可能要经 过变形才可以应用. 内容 注意 平方差公式 $