专题04 二次函数的应用 同步培优讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的应用核心知识点，系统梳理从实际情境中建模转化、利用函数性质求解、结合实际条件校验的完整步骤，涵盖几何面积、销售利润、抛物线轨迹三大模型，关联二次函数图象性质与一元二次方程，搭建知识支架。 该资料以16类典型题型为载体，通过拱桥、销售等真实情境培养学生数学眼光，借助建模与最值计算发展推理意识，规范解题流程强化应用意识。课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题能力。

专题04 二次函数的应用 同步培优讲义 ✺知识框架 1.建模转化，从几何图形、商品销售、抛物线轨迹三类典型实际情境中，提取变量关系，把生活问题转化为二次函数数学问题； 2.函数求解，利用二次函数图象性质、增减性与顶点最值，计算对应面积、利润、高度、跨度等目标量； 3.实际校验，结合真实场景的限制条件确定自变量取值范围，对计算结果进行取舍，纠正直接套公式的解题误区。同时依托数形结合思想，打通二次函数与一元二次方程的内在关联，完善函数知识体系。 ✅本节立足二次函数的图象与性质，核心是完成“数学知识到生活应用”的转化。最大特点是受实际条件约束，所有最值计算必须结合自变量取值范围判定，是数形结合与数学建模思想在实际题型中的综合落地，也是本节学习的核心重难点。 ✺学习目标 1. 熟练掌握二次函数解决实际问题的完整步骤，吃透几何面积、销售利润、抛物线轨迹三大经典应用模型，明晰自变量取值范围的现实意义。 2.能够从复杂的生活实际问题中提炼有效数量关系，自主构建二次函数表达式；学会结合自变量取值区间精准求解实际最值，规范完整解题流程，具备校验结果合理性的解题能力。 3.深度感悟数学建模与数形结合的核心思想，体会数学源于生活、用于生活的本质，提升运用函数知识解决实际问题的能力，养成严谨求实、规范解题的数学思维品质。 ✺题型归纳 题型1.图形问题 题型2.图形运动问题 题型3.拱桥问题 题型4.销售问题 题型5.投球问题 题型6.喷水问题 题型7.增长率问题 题型8.其他问题 题型9.线段周长问题 题型10.面积问题 题型11.角度问题 题型12.特殊三角形问题 题型13.特殊四边形 题型14.相似三角形问题 题型15.其他问题 题型16.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、.利用二次函数解决实际问题的步骤 1.梳理题干数量关系； 2.搭建函数表达式 ；3.确定自变量实际取值范围； 4.结合函数性质求解 ；5.校验结果实际合理性； 6.规范书写答案。 知识点二、.三大常考模型 1.几何面积模型：结合图形边长、周长等固定约束条件，建立边长与面积的二次函数关系，精准求解图形最大面积； 2.销售利润模型：依托核心公式：总利润=(售价-进价）×销量，结合价格与销量的变化规律构建函数，求解商品最优定价与最大利润； 3.抛物线轨迹模型：针对拱桥、球类抛射、喷泉喷水等抛物线型实景，通过建立平面直角坐标系求解函数解析式，进而算出对应高度、水面跨度等实际数据。 知识点三、实际最值判定规则 1.若抛物线顶点横坐标落在自变量取值区间内，顶点对应的函数值即为实际问题的最值； 2.若顶点横坐标不在自变量取值区间内，则根据二次函数的增减性，在自变量取值区间的端点处取得实际最值。 ✺题型精讲 题型1.图形问题 1．小磊要制作一个三角形钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这条边上的高之和为，则这个三角形的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了三角形的面积，整理出二次函数的顶点式解析式的形式是解题的关键．表示出这边上的高，然后利用三角形的面积公式列式整理，根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：设边长为，则边上的高为， 三角形的面积， ∵， ∴时，三角形的面积有最大值为50， 故选：B． 2．我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： ∵，∴，∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下列问题，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，则当_____时，花园的面积最大是_____． 【答案】 5 【分析】根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值． 【详解】解：设，则，面积为， 由图可得：， ∵， ∴， 又∵且， ∴， ∴当时，y取得最大值，此时． 3．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过（围栏宽忽略不计）． (1)设平行于墙的一边长为，生态园的总面积为，求出与的函数关系式并指出自变量的取值范围． (2)生态园的总面积为，求生态园与墙平行的一边的长； 【答案】(1)， (2)生态园与墙平行的一边的长为24米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）求出与墙垂直的边长，利用矩形的面积公式，列出函数关系式即可； （2）令，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，与墙垂直的边长为， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）可知：， 当时，解得， ∵， ∴； 答：生态园与墙平行的一边的长为24米． 题型2.图形运动问题 1．如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， 故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型． 2．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 3．如图，抛物线（为常数）与轴和轴的正半轴分别交于点和，直线，交轴于点，交于点，（在的左侧）． （1）当时， ①直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标，并求的长； ②当时，求的最大值和最小值的差． （2）是否存在，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）当时，抛物线的最高点到的距离为1，请直接写出此时的值． 【答案】（1）①对称轴为直线，顶点坐标为；；②8；（2）存在；；（3）的值为或或或． 【分析】（1）①当时，得到抛物线，化为顶点式即可得到对称轴与顶点坐标，再求出A，B坐标，故可得到AB的长； ②当时，根据抛物线的图象与性质分别求出最大值和最小值，即可求解； （2）根据当，时，分别画出图形，根据及直线依次求解； （3）把抛物线化为顶点式得到对称轴为直线，再根据抛物线开口向下，可知函数最高点坐标为，根据最高点到直线的距离为1，分当直线在最高点上方时与直线在最高点下方时分别代入即可求解 ． 【详解】解：（1）①当时，抛物线=． ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵当时，， 当时，（负值舍去）， ∴，，． ②当时，抛物线的最大值为顶点纵坐标， ∴的最大值为， 抛物线的最小值为时，， ∴最大值和最小值的差为． （2）存在的值，使得． 如图1，当时， ∵在的左侧， ∴若， 则，代入表达式得 ． ∴． 如图2，当时， ∵在的左侧， 当时， ， 即． 令， 解得．又， ∴． 由上可知，当时，抛物线与直线有一个交点；当时，与无交点；当时，与有两个交点． 则一定在的左侧，不存在的情况． 综上，存在的值，使得，此时． （3）或或或． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 又∵抛物线开口向下， ∴抛物线的最高点坐标为． ∴最高点到直线的距离为1， ∴当且时，顶点处有最大值， ∴当直线在最高点上方时，， 解得或（舍）； 当直线在最高点下方时，， 解得或（舍）． 当且时，处有最大值， 当直线在最高点上方时，， 解得或（舍）； 当直线在最高点下方时，， 解得或（舍）． 综上所述，的值为或或或． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质，根据题意分情况讨论求解． 题型3.拱桥问题 1．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面，水面宽为．如果水面宽度为，则水面下降 （ ） ①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图 所示坐标系，则抛物线解析式为 ； ②若水面由l位置下降，水面宽度为；   ③若水面由l位置下降，水面宽度增加 ； 以上结论正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线的图形及性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据待定系数法进行求解出解析式，再根据题意逐一计算判断即可． 【详解】解：设出抛物线方程， 由图象可知该图象经过点，则， 解得：，故，故①正确； 若水面由l位置下降，令，则， 解得：，则水面宽度为，故②正确； 若水面由l位置下降，令，则， 解得：，则水面宽度增加，故③正确； 则正确的有3个， 故选：D． 2．如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】解：以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点到水面的距离为， ∴、点的纵坐标为， ∵水面宽为， ， 将点A代入， ， ， ， ∵水位上升就达到警戒水位， ∴点的纵坐标为， ， ， ， 故答案为：． 3．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），求其中防护栏支柱的长度． 【答案】防护栏支柱的长度为． 【分析】建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式，再将点的横坐标代入解析式，即可得出点的纵坐标，则可得出答案． 【详解】解：以防护栏的最高点为原点，以的中垂线为轴，建立如图所示坐标系，由题意可知：点坐标为， 设抛物线的解析式为：，将点坐标代入得： ， 抛物线的解析式为：， 由题意可得点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 防护栏支柱的长度为． 题型4.销售问题 1．中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， ∵ 该二次函数的二次项系数 ， ∴ 函数图象开口向下，有最大值， 配方得， ∴ 当时，取得最大值. 2．某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元． 【答案】1575 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个， 由题意得， ， ∵单个利润不能超过成本价的， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴每周获得的最大利润为元， 故答案为：． 3．某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)9元 (3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的两点坐标和列出方程组求解； （2）根据“总利润单件利润销售量”建立一元二次方程，解方程后根据“让顾客得到更大的实惠”这一条件筛选合适的解； （3）建立总利润关于降价x的二次函数关系式，利用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标，从而得出最大值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 题型5.投球问题 1．体育课上，同学们进行投篮比赛，小明在投篮（如图）过程中，从篮球出手到篮球未落地期间篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系可用以下哪个图象表示 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（投球问题），弄清篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系是解题的关键． 根据篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系及所给图象进行判断即可解答． 【详解】解：由题意可知：，故排除C、D选项， 只有从篮球出手到篮球未落地期间篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系，即B选项符合题意． 故选：B． 2．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 【答案】5 【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可． 【详解】解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 3．发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙； 理由如下：由题意知，点的坐标为， ； 当时，， 石块能飞越防御墙． 【分析】（1）由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； （2）确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； 【详解】（1）解：由题意得，函数的最大值为10，即， 将点代入抛物线，得， 解得， 此抛物线的表达式； （2） 略 题型6.喷水问题 1．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 2．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 3．根据以下素材，探索完成任务． 修改设计方案使喷泉造型更加美观 素材1 某公司办公楼前欲设计一个圆形喷水池，最初的设计方案如图1所示，在喷水池的中心O处竖直安装一个喷水管，P处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线落下，喷出水流的运动路线可以看作抛物线的一部分． 素材2 如图2，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，测得高度为3米的P处有一个喷水孔．为使喷泉造型更加美观，对方案进行修改：使图1中喷泉喷出水流形成以为对称轴的两个对称的抛物线．当喷出的水流最高为4米时，水流与的水平距离为2米． 问题解决： (1)任务1：求y轴右侧抛物线的表达式． (2)任务2：安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变），当水管的高度增加米时，水流离喷水池中心O的最远水平距离为多少米？ 【答案】(1) (2)水流离喷水池中心O的最远水平距离为6.4米． 【分析】（1）根据题意设顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）设移动后的抛物线为，将点代入求出的值，再求出时的自变量取值，即可得解． 【详解】（1）解：任务1：当时，y的最大值为4，即y轴右侧抛物线的顶点坐标为， 设y轴右侧抛物线的表达式为， 当时，， ， 解得 ∴y轴右侧抛物线的表达式为； （2）解：任务2：∵抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变， ∴可设移动后的抛物线为， ∵此时点P的坐标为， ∴， 解得, , 当时，， 解得： （不合题意，舍去）， ∴水流离喷水池中心O的最远水平距离为6.4米． 题型7.增长率问题 1．据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度总值约为千亿元，第三季度总值为千亿元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数表达式是：， 故选：C． 2．某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为_______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元，依题意得，． 【详解】解：由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元， 依题意得，， 故答案为：． 3．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 题型8.其他问题 1．冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意得，，故当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，进而逐个判断可以得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意得，， 当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，故②错误． ，且当时，， 蔬菜大棚内当天的温度可以是，故①正确． 令， ． 或． 的图象开口向下， 蔬菜大棚内当天的温度不低于的时长为：小时，故③正确． 综上，正确的有①③，共2个． 故选：C． 2．在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第_____天亚硝酸盐含量最高． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是求出二次函数的解析式．先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：将点、、代入中得： ， 解得：， ， ， 当时，有最大值为，即泡菜腌制过程中第天亚硝酸盐含量最高， 故答案为：． 3．问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能覆盖着火点 理由如下，由题意得，， 对于， 令，则，解得或， ， ∴点， ∴点． 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与x轴的两个交点为和，即和， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与x轴形成的区域的外侧， ∴不能覆盖着火点. 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出新的抛物线的解析式，求出时的函数值，进行判断即可. 【详解】（1）解：由题意，所在抛物线的顶点坐标为，点， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得，解得， 所在抛物线的解析式为，即； （3） 略 题型9.线段周长问题 1．已知二次函数的图象的顶点为，在轴上方的抛物线上有两点，点和点连接．过点作轴的垂线，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，求出对称轴为直线，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，则，证明，由相似三角形的性质可得，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； 如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为E、F， ∵点和点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（已检验）， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是______．    【答案】 【分析】过作，过作．再由得，根据垂线段最短可知，的最小值为，求出即可． 【详解】解：连接，过作，过作，    令，即， 解得或1， ，， ，， ， ． ， 根据垂线段最短可知，的最小值为， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求的最小值转化为求的最小值．属于中考选择题中的压轴题． 3．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，然后配方成顶点式即可； （2）首先求出直线的解析式为，设，则，，则，，由题意可得方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵ ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为 如图，设，，则 ∵抛物线对称轴为直线，轴 ∴点M和点N关于对称轴对称 ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴或 当时，整理得 解得，（舍去） ∴； 当时，整理得 解得（舍去）， ∴； 综上所述，点P点坐标为或． 题型10.面积问题 1．如图，抛物线交y轴于点A，交x轴正半轴于点C，顶点为B．则下列说法中错误的是（    ） A．一元二次方程有两个相等的实数根 B．若点，，均在该抛物线上，则 C．在y轴上找一点D，使的面积为1，则点D的坐标为 D．将该抛物线先向左平移1个单位长度，再沿x轴翻折，得到的新抛物线解析式是 【答案】C 【分析】解出方程的解即可判断A；分别将横坐标代入求出纵坐标，进行比较即可判断B；设点D的坐标为，则，求解即可判断C；先将二次函数解析式变成顶点式，再写出平移之后的解析式，再根据沿x轴翻折，即可判断D． 【详解】解：A．方程整理得：， 解得：， 即一元二次方程有两个相等的实数根， 故选项A不符合题意； B．当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故选项B不符合题意； C．当时，，即； 当时，，即； 设点D的坐标为， 即， 解得或4， ∴点D的坐标为或， 故选项C符合题意； D．∵， ∴将该抛物线先向左平移1个单位得到的抛物线解析式为：， 平移后再沿x轴翻折，翻折后得到的抛物线表达式是：， 故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，铅锤法求面积，熟练掌握一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系的第一象限中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）______； （2）若直线轴，交一次函数与点，交反比例函数与点，当点在点的上方时，面积的最大值是______． 【答案】 2 2 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题． （1）根据题意，点，都在反比例函数上，即可得出，可解得的值； （2）由的值知点的坐标，然后可求出一次函数和反比例函数的解析式，再假设点的坐标，最后表示出面积求其最大值即可，具体见详解． 【详解】解：（1），都在反比例函数上 解得（舍弃）； （2）如图 一次函数的解析式为 反比例函数的解析式为 设 当时，有最大值为2． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 题型11.角度问题 1．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，下列结论：①点的坐标为；②时，；③无论b为何值，抛物线的顶点都在x轴下方；④若抛物线的顶点为点D，时，其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】令，得到，利用因式分解法解方程，得到抛物线与轴的一个交点恒为，即可判定①正确；先求出，两点的坐标，再求出，，可得，即可判定②正确；求出，由，推出，即可判断③错误；先将代入抛物线，得到，然后求出顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，再求得，，，根据勾股定理的逆定理即可判断④正确． 【详解】解：令，得到， ∴， 解得，，， ∴抛物线与轴的一个交点恒为，即为点，故①正确； 当时，另一个交点的坐标为， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线顶点的纵坐标为：， ∵， ∴， ∴当时，顶点的纵坐标为0，顶点在轴上，并非在x轴下方，故③错误； 当时，抛物线为， ∴顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ， ， ∴， ∴为直角三角形， ∴，故④正确； 综上可知，正确的有①②④，共3个． 2．已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，根据，在上取一点，使得，则．进而得出，构造方程，解方程，即可求解． 【详解】解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． 当时，如图所示， ∵ 在上取一点，使得，则 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去） 当时，同理可得 综上所述， 故答案为： 3．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据对称轴求出b的值，再由C点坐标求出c的值即可求解； （2）设对称轴与直线的交点为M，连接，推导出，求出，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵与y轴相交于点， ∴， ∴； （2）解：设对称轴与直线的交点为M，连接，则， 当时，解得或， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， ∴． 题型12.特殊三角形问题 1．如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：抛物线的图象的对称轴一定是轴；当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；直线中，如果发生变化，的长度可以等于；随着的值变化，有可能成为等边三角形；当时，．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线，得顶点坐标为，对称轴一定是轴，本结论正确； 根据图象得：直线中随着的增大而增大；抛物线，当时随着的增大而增大， ∴当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大，本结论正确； 点的横坐标是，点的横坐标是，若， ∴直线与轴平行，即， ∴与已知矛盾， ∴不可能为，本结论错误； ∵， ∴直线与轴平行，即， ∴与已知矛盾， ∴，即不可能为等边三角形，本结论错误； 直线与关于轴对称，如图所示： 设直线与抛物线交点横坐标分别为，， 由图象可得：当时，，即，本结论正确； 综上可得正确的结论有． 故选：B． 2．已知二次函数的图象经过点． （1）此函数图象的对称轴是直线________； （2）若的顶点坐标分别为、、，且此函数图象与只有两个交点，则的取值范围是________． 【答案】 3 或 【分析】（1）将点代入，可求出a、b的关系，根据抛物线对称轴关系式，可求出结果； （2）首先在坐标轴上画出三角形，再分情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）将代入得：， 化简得：， ∴函数图象的对称轴为：； （2）由三角形三点坐标可知，为等腰三角形，且顶点B在对称轴上， ①当a>0，抛物线顶点在内时，抛物线与三角形有两个交点， ∵， ∴， ∴； ②当a>0，抛物线过点A、C时，， ∴； ③当a<0，顶点纵坐标，则顶点在B点之上，只有抛物线经过A、C时才有两个交点， ∴， ∴（a＜0，舍去）， 故答案为：3；或 【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与几何图形的综合，掌握二次函数图象的性质，以及分类讨论的思想是解题的关键． 3．定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】（1）根据抛物线的解析式可得点P的坐标，根据共生抛物线的定义，可以得到抛物线的顶点坐标和二次项系数，据此可得答案； （2）根据（1）所求分别求出抛物线和的函数值随的增大而减小时x的取值范围即可得到答案； （3）①求出直线经过点Q和点P时m的值，再结合函数图象即可得到答案；②分两种情况：点P为直角顶点和点Q为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点K的坐标，再验证点K是否在抛物线上即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是点， ∴点P的坐标为， ∵抛物线的共生抛物线的顶点是， ∴，且抛物线的二次项系数为， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； ∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； 综上所述，当时，抛物线与的函数值都随的增大而减小； （3）解：①如图所示， 当直线恰好经过点P时，则， 当直线恰好经过点Q时，则， 由函数图象可知，当时，直线与抛物线分别有两个不同的交点； ②如图所示，当点P为直角顶点时， 过点P作轴，过点K作，过点Q作， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，此时符合题意； 如图所示，当点Q为直角顶点时，同理可得， 在中，当时，， ∴点不在抛物线上，此时不符合题意； 综上所述，点K的坐标为． 题型13.特殊四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1）．若抛物线y＝向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的值不可能是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】根据向下平移横坐标不变，分别代入B的横坐标和D的横坐标求得对应的函数值，即可求得m的取值范围． 【详解】解：设平移后的解析式为y＝﹣m， 将B点坐标代入，得4﹣m＝2， 解得m＝2， 将D点坐标代入，得9﹣m＝1， 解得m＝8， ∴y＝向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8， 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图像与点的关系，准确设出向下平移的函数解析式，利用数形结合思想确定关键点，代入解析式确定m的范围界点值是解题的关键． 2．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点，点在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为________． 【答案】 【分析】过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F，由正方形的性质得到， 可得是等腰直角三角形，得到，设，则，利用待定系数法可得，则，可得正方形的周长为，同理可求出正方形的周长为，正方形的周长为，则可推出正方形的周长为，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为； ∵， ∴； 同理可得， 设，则， ∴， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为， 同理可得正方形的周长为， ……， 以此类推，可知，正方形的周长为 ∴正方形的周长为． 3．如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，且，，，顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、平行四边形的性质等知识，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出顶点的坐标为，再设点的坐标为，分三种情况：①当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，②当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，③当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，利用平行四边形的对角线互相平分求解即可得． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将点，，代入得：， 解得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的顶点的坐标为， 设点的坐标为， 由题意，分以下三种情况： ①当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时， 则对角线互相平分， 所以， 解得， 即此时点的坐标为； ②当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时， 则对角线互相平分， 所以， 解得， 即此时点的坐标为； ③当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时， 则对角线互相平分， 所以， 解得， 即此时点的坐标为； 综上，点的坐标为，，． 题型14.相似三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，设与交于点，求出，，则有解析式为，设，则，然后证明，由性质得，最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设与交于点， 由得，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则的最大值为， 故选：． 2．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 _____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；先求得点，令，求得的长，证明，则，即可求解． 【详解】解：对于，令，则， 故点， 令，解得或， 故点， 故； 设， 轴，， ， ， ， 故， ， 解得． ∴； 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点D为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，求的最大值； 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意得到，，代入，解方程组即可； （2）过D作轴交于M，过B作轴交于N， 令，解方程得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴，， ∵抛物线经过A、C两点， ∴， ∴， ∴； （2）过D作轴交于M，过B作轴交于N， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴当时，的最大值是． 题型15.其他问题 1．如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线的解析式，令，根据有两个交点求出a的取值范围，再分和两种情况讨论即可得到答案； 【详解】解：设所在直线为， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∵二次函数与线段有两个不同的公共点， ∴， 解得：， ①当时， 此时函数的开口向上， ∴，， 解得：， ②当时 此时函数的开口向下， ∴，， 解得：， 综上所述得：，， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，，是两个动点（m，n为实数），则长度的最小值为________． 【答案】 【分析】先确定点在抛物线上运动，点在直线上运动，设与直线平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式为，联立方程利用判别式求出，再计算两条平行线之间的距离，即可得到长度的最小值． 【详解】解：点的坐标为， 点是抛物线图象上的一点， 同理，点坐标为，点是直线图象上的一点， 设与直线平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式为， 如图，设直线与抛物线交于点A，直线与x轴，y轴交于点B，D，过点A作于点C，则点，长度的最小值为的长， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 联立得：， 即， ∴，解得， ， 解得：， ∴点， ∴， ∴．， 即长度的最小值为． 3．已知二次函数（a为常数，且）． (1)求二次函数的对称轴； (2)若，当时，函数的最大值为1，求的值； (3)在（2）的条件下，如果，在二次函数（）的图象上，其中，求的最大值． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)； (3)． 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）先判断出点A，点B位于对称轴左侧部分的图象上，然后求出，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：二次函数， ， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为直线，且， 当时，函数值在处取得最大值， 将，，代入， 得，解得； （3）解：由（2）得，， ， ， 自变量的取值范围位于对称轴的左侧， ∴如图，点A，点B位于对称轴左侧部分的图象上， ∵ ， ∴当时，函数值离对称轴越远值越大， ∴要使取得最大值，，， ∴， 整理得，， ∵， ∴当时，. ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 2．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为，当水面宽时，拱顶离水面．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件求出二次函数的表达式，并结合实际情况判断各结论即可． 【详解】解：根据函数图象，设抛物线的表达式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， ∴抛物线的表达式为，故①错误； ∵拱桥的跨度为， ∴抛物线中的取值范围为：， 当水面宽度为时，即，不在抛物线中的取值范围内，且当水面宽度为时，大于拱桥的跨度，已超出拱桥的实际范围，无实际意义，故②错误； 当水面下降时，即， 把代入得：， 解得，此时水面宽度为， ∵大于拱桥的跨度，且不在抛物线中的取值范围内， ∴当水面下降时，已超出拱桥的实际范围，无实际意义，故③错误． 综上，正确结论共个． 3．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 二、填空题 4．如图所示，是一个学生推铅球时，铅球行进的高度y（米）与水平距离x（米）的函数图象，观察图象，铅球到达最高点时距离地面________米，铅球被推出的距离是________米． 【答案】 5 10 【分析】由图知，图象的最高点（顶点）的纵坐标代表铅球行进过程中的最大高度，图象与x轴的交点（时）的横坐标代表铅球落地时的水平距离，进而判断即可得解． 【详解】解：①观察函数图象，铅球行进的高度y随水平距离x的变化而变化，图象的最高点即为抛物线的顶点． 由图象可知，顶点的坐标为，其中，横坐标4表示铅球在水平距离为4米时达到最高点，纵坐标5表示此时的高度为5米，所以，铅球到达最高点时距离地面5米． ②铅球被推出的距离是指铅球落地时与起点的水平距离．当铅球落地时，其高度可为0． 观察图象，抛物线与x轴（即的直线）的交点坐标为，这表示当水平距离x为10米时，高度y变为0，即铅球落地，所以，铅球被推出的距离是10米． 5．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 6．大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 【答案】或 【分析】首先确定原始抛物线的解析式为，设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫，得到平移后的抛物线解析式为，把代入解析式求解即可． 【详解】解：根据题意，得y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为， 故抛物线的解析式为， 由抛物线经过原点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． 当时，， 故点不在抛物线上， 设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫， 故平移后的抛物线解析式为， 把代入解析式，得， 整理，得， 或， 解得或， 故需要水平向右游动或的距离才能击中昆虫． 三、解答题 7．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  8．在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）用含的代数式表示和，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数的应用 同步培优讲义 ✺知识框架 1.建模转化，从几何图形、商品销售、抛物线轨迹三类典型实际情境中，提取变量关系，把生活问题转化为二次函数数学问题； 2.函数求解，利用二次函数图象性质、增减性与顶点最值，计算对应面积、利润、高度、跨度等目标量； 3.实际校验，结合真实场景的限制条件确定自变量取值范围，对计算结果进行取舍，纠正直接套公式的解题误区。同时依托数形结合思想，打通二次函数与一元二次方程的内在关联，完善函数知识体系。 ✅本节立足二次函数的图象与性质，核心是完成“数学知识到生活应用”的转化。最大特点是受实际条件约束，所有最值计算必须结合自变量取值范围判定，是数形结合与数学建模思想在实际题型中的综合落地，也是本节学习的核心重难点。 ✺学习目标 1. 熟练掌握二次函数解决实际问题的完整步骤，吃透几何面积、销售利润、抛物线轨迹三大经典应用模型，明晰自变量取值范围的现实意义。 2.能够从复杂的生活实际问题中提炼有效数量关系，自主构建二次函数表达式；学会结合自变量取值区间精准求解实际最值，规范完整解题流程，具备校验结果合理性的解题能力。 3.深度感悟数学建模与数形结合的核心思想，体会数学源于生活、用于生活的本质，提升运用函数知识解决实际问题的能力，养成严谨求实、规范解题的数学思维品质。 ✺题型归纳 题型1.图形问题 题型2.图形运动问题 题型3.拱桥问题 题型4.销售问题 题型5.投球问题 题型6.喷水问题 题型7.增长率问题 题型8.其他问题 题型9.线段周长问题 题型10.面积问题 题型11.角度问题 题型12.特殊三角形问题 题型13.特殊四边形 题型14.相似三角形问题 题型15.其他问题 题型16.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、.利用二次函数解决实际问题的步骤 1.梳理题干数量关系； 2.搭建函数表达式 ；3.确定自变量实际取值范围； 4.结合函数性质求解 ；5.校验结果实际合理性； 6.规范书写答案。 知识点二、.三大常考模型 1.几何面积模型：结合图形边长、周长等固定约束条件，建立边长与面积的二次函数关系，精准求解图形最大面积； 2.销售利润模型：依托核心公式：总利润=(售价-进价）×销量，结合价格与销量的变化规律构建函数，求解商品最优定价与最大利润； 3.抛物线轨迹模型：针对拱桥、球类抛射、喷泉喷水等抛物线型实景，通过建立平面直角坐标系求解函数解析式，进而算出对应高度、水面跨度等实际数据。 知识点三、实际最值判定规则 1.若抛物线顶点横坐标落在自变量取值区间内，顶点对应的函数值即为实际问题的最值； 2.若顶点横坐标不在自变量取值区间内，则根据二次函数的增减性，在自变量取值区间的端点处取得实际最值。 ✺题型精讲 题型1.图形问题 1．小磊要制作一个三角形钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这条边上的高之和为，则这个三角形的最大面积为（   ） A． B． C． D． 2．我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： ∵，∴，∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下列问题，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，则当_____时，花园的面积最大是_____． 3．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过（围栏宽忽略不计）． (1)设平行于墙的一边长为，生态园的总面积为，求出与的函数关系式并指出自变量的取值范围． (2)生态园的总面积为，求生态园与墙平行的一边的长； 题型2.图形运动问题 1．如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 3．如图，抛物线（为常数）与轴和轴的正半轴分别交于点和，直线，交轴于点，交于点，（在的左侧）． （1）当时， ①直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标，并求的长； ②当时，求的最大值和最小值的差． （2）是否存在，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）当时，抛物线的最高点到的距离为1，请直接写出此时的值． 题型3.拱桥问题 1．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面，水面宽为．如果水面宽度为，则水面下降 （ ） ①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图 所示坐标系，则抛物线解析式为 ； ②若水面由l位置下降，水面宽度为；   ③若水面由l位置下降，水面宽度增加 ； 以上结论正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为______． 3．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），求其中防护栏支柱的长度． 题型4.销售问题 1．中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元． 3．某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 题型5.投球问题 1．体育课上，同学们进行投篮比赛，小明在投篮（如图）过程中，从篮球出手到篮球未落地期间篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系可用以下哪个图象表示 （    ） A． B． C． D． 2．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 3．发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 题型6.喷水问题 1．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 2．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 3．根据以下素材，探索完成任务． 修改设计方案使喷泉造型更加美观 素材1 某公司办公楼前欲设计一个圆形喷水池，最初的设计方案如图1所示，在喷水池的中心O处竖直安装一个喷水管，P处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线落下，喷出水流的运动路线可以看作抛物线的一部分． 素材2 如图2，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，测得高度为3米的P处有一个喷水孔．为使喷泉造型更加美观，对方案进行修改：使图1中喷泉喷出水流形成以为对称轴的两个对称的抛物线．当喷出的水流最高为4米时，水流与的水平距离为2米． 问题解决： (1)任务1：求y轴右侧抛物线的表达式． (2)任务2：安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变），当水管的高度增加米时，水流离喷水池中心O的最远水平距离为多少米？ 题型7.增长率问题 1．据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 2．某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为_______ 3．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 题型8.其他问题 1．冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第_____天亚硝酸盐含量最高． 3．问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 题型9.线段周长问题 1．已知二次函数的图象的顶点为，在轴上方的抛物线上有两点，点和点连接．过点作轴的垂线，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是______．    3．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 题型10.面积问题 1．如图，抛物线交y轴于点A，交x轴正半轴于点C，顶点为B．则下列说法中错误的是（    ） A．一元二次方程有两个相等的实数根 B．若点，，均在该抛物线上，则 C．在y轴上找一点D，使的面积为1，则点D的坐标为 D．将该抛物线先向左平移1个单位长度，再沿x轴翻折，得到的新抛物线解析式是 2．如图，在平面直角坐标系的第一象限中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）______； （2）若直线轴，交一次函数与点，交反比例函数与点，当点在点的上方时，面积的最大值是______． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 题型11.角度问题 1．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，下列结论：①点的坐标为；②时，；③无论b为何值，抛物线的顶点都在x轴下方；④若抛物线的顶点为点D，时，其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为_________． 3．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 题型12.特殊三角形问题 1．如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：抛物线的图象的对称轴一定是轴；当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；直线中，如果发生变化，的长度可以等于；随着的值变化，有可能成为等边三角形；当时，．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象经过点． （1）此函数图象的对称轴是直线________； （2）若的顶点坐标分别为、、，且此函数图象与只有两个交点，则的取值范围是________． 3．定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型13.特殊四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1）．若抛物线y＝向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的值不可能是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 2．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点，点在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为________． 3．如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，且，，，顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 题型14.相似三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 _____________． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点D为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，求的最大值； 题型15.其他问题 1．如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．在平面直角坐标系中，，是两个动点（m，n为实数），则长度的最小值为________． 3．已知二次函数（a为常数，且）． (1)求二次函数的对称轴； (2)若，当时，函数的最大值为1，求的值； (3)在（2）的条件下，如果，在二次函数（）的图象上，其中，求的最大值． ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 2．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为，当水面宽时，拱顶离水面．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为（    ）． A． B． C． D． 3．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 4．如图所示，是一个学生推铅球时，铅球行进的高度y（米）与水平距离x（米）的函数图象，观察图象，铅球到达最高点时距离地面________米，铅球被推出的距离是________米． 5．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 6．大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 三、解答题 7．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．    8．在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $