26.1二次函数的概念（导学案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.1二次函数的概念（导学案） 一、学习目标 1.会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义。 2.理解二次函数的定义和一般形式。 学习重点： 理解二次函数的定义和一般形式。 学习难点： 会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式。 二、学习过程 （一）复习引入 1.函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，我们学习过哪些函数呢？ 答：一次函数，特殊的一次函数——正比例函数. 2.我们学习了一次函数的哪些知识呢？ 答：一次函数的概念及相关概念，一次函数的图象和性质，一次函数与方程、不等式，一次函数与实际问题. （二）合作探究 引言问题 用长为40 m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y(单位:m2)会随矩形一边长x(单位:m)的变化而变化，y与x之间有什么关系? 分析 矩形的一边长x和面积y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 根据矩形面积公式， 它们之间的关系可以表示为 y=x(20−x) ， 即 y=−x2+20x . ① 问题1 n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系? 分析 每支球队都要与其他(n−1)支球队各比赛1场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数m= n(n−1) ， 即 m=n2− n . ② ②式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. 问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y(单位：t)将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示? 分析 这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t，再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量 y= 20(1+x)2 ， 即 y=20x2+40x+20 . ③ ③式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 思考 观察函数①②③，它们有什么共同点? 答：函数都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义： 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 填表 注意 （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a ≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 概念辨析 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量） ① y=x2 ② y=3−x² ③ y= ④ y=ax2+bx+c ⑤y=x²+x³+25 ⑥ y=(x−3)²−x² 答：①y是x的二次函数；②y是x的二次函数；③右边是分式，y不是x的二次函数； ④a可能为0，y不是x的二次函数；⑤x的最高次数是3，y不是x的二次函数； ⑥化简得y=−6x+9，y不是x的二次函数. 归纳总结 1.判断一个函数是不是二次函数，先看原函数 整理化简 后的形式再作判断. 2.二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式： y=ax2 ， y=ax2+bx ， y=ax2+c . 思考 二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系？ 答：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0； (2)当二次函数y= ax2＋bx＋c的函数值为0时，可得到方程ax2＋bx＋c=0. （三）典例分析x2−x−56=0 例 (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. 解：(1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和， 所以S=2πr2+2πr·r，即 S=4πr2. 例 (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x.写出两年后产品的年销售量y(单位:万件)关于x的函数解析式. 解：(2)一年后产品的年销售量为8(1−x)万件，两年后的年销售量为8(1−x)(1−x)万件， 所以y=8(1−x)2，即 y=8x2−16x+8. 中考演练（2025江苏淮安改编）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若日销售额为w元，求w与x之间的函数表达式． 解：(1)∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系， ∴设函数表达式为y=kx+b(k≠0)， ∵当x=25时，y=15；当x=28时，y=12； ∴，解得， ∴y与x之间的函数表达式为y=−x+40； (2)由（1）知，y=−x+40， ∴日销售额w=xy=x(−x+40)=−x2+40x. （四）巩固练习 1. 将二次函数y=x(x−1)+3x化为一般形式后，正确的是（  D  ） A．y=x2−x+3 B．y=x2−2x+3 C．y=x2−2x D．y=x2+2x 2. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. 3. 下列变量具有二次函数关系的是（  C  ） A．圆的周长C与半径r B．用10 m长的绳子围成一个长方形，其中一边长y与它的邻边x之间的关系 C．正三角形的面积S与边长a D．匀速行驶的汽车，路程s与时间t 4. 如图，矩形绿地的两边长各增加x m，扩充后的绿地面积为y m2.写出y关于x的函数解析式. 解：由题意得 y=(30+x)(20+x)， 化为一般形式得 y=x2+50x+600. 5. 提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示. 答：如图，一个正方体的边长为x cm，它的表面积为y cm2， 则y与x的函数关系式为y=6x2， y是x的二次函数.（答案不唯一） （五）当堂检测 1. 写出下列各函数的关系式，并说明是什么函数： (1)直角边的和为20，其中一条直角边长为x，直角三角形的面积为S，写出S和x之间的函数关系式； (2)写出圆的面积S与半径x的函数关系式； (3)写出正方形的面积y与边长x之间的函数关系式； (4)写出圆的周长C与半径r之间的函数关系式． 解：(1)S=− x2+10x，S是x的二次函数； (2)S=πx2，S是x的二次函数； (3)y=x2，y是x的二次函数； (4)C=2πr，C是r的一次函数． 2. 某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售(100−10x)件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（ A ） A． y=(x−a)(100−10x) B． y=(x+a)(100−10x) C． y=(x−a)(10x−100) D． y=(x+a)(10x−100) 3. 公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定． 经销商统计某品牌头盔，7月份售出1 500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x，请问9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函数解析式是（ A ） A．y=1 500(1+x)2 B．y=1 500+(1−x)2 C．y=(1+x)2+1 500 D．y=x2+1 500 4. 二次函数y=x2−2x+3的一次项系数是（ C ） A．1 B．2 C．−2 D．5 5. 把y=(3−3x)(6+x)变成一般式，它的常数项为 18 ． 6. 写出一个二次项系数为3的二次函数解析式：__y=3x2__． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题26.1：第1，2，3题. B组题：习题26.1：第4题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.1二次函数的概念（导学案） 一、学习目标 1.会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义。 2.理解二次函数的定义和一般形式。 学习重点： 理解二次函数的定义和一般形式。 学习难点： 会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式。 二、学习过程 （一）复习引入 1.函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，我们学习过哪些函数呢？ 2.我们学习了一次函数的哪些知识呢？ （二）合作探究 引言问题 用长为40 m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y(单位:m2)会随矩形一边长x(单位:m)的变化而变化，y与x之间有什么关系? 分析 矩形的一边长x和面积y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有 的值与其对应，即y是x的函数. 根据矩形面积公式， 它们之间的关系可以表示为 ， 即 . ① 问题1 n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系? 分析 每支球队都要与其他(n−1)支球队各比赛1场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数m= ， 即 . ② ②式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有 的值与其对应，即m是n的函数. 问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y(单位：t)将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示? 分析 这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是 t，再经过一年后的产量是 t，即两年后的产量 y= ， 即 . ③ ③式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有 的值与其对应，即y是x的函数. 思考 观察函数①②③，它们有什么共同点? 二次函数的定义： 一般地，形如 的函数，叫作二次函数.其中x是 ，a，b，c分别是函数解析式的 、 和 . 填表 注意 （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的 ； （2）a，b，c为常数，且a 0； （3）等式的右边最高次数为 ，可以没有 ，但不能没有 . 概念辨析 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量） ① y=x2 ② y=3−x² ③ y= ④ y=ax2+bx+c ⑤y=x²+x³+25 ⑥ y=(x−3)²−x² 归纳总结 1.判断一个函数是不是二次函数，先看原函数 整理化简 后的形式再作判断. 2.二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式： ， ， . 思考 二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系？ （三）典例分析x2−x−56=0 例 (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. 例 (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x.写出两年后产品的年销售量y(单位:万件)关于x的函数解析式. 中考演练（2025江苏淮安改编）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若日销售额为w元，求w与x之间的函数表达式． （四）巩固练习 1. 将二次函数y=x(x−1)+3x化为一般形式后，正确的是（     ） A．y=x2−x+3 B．y=x2−2x+3 C．y=x2−2x D．y=x2+2x 2. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. 3. 下列变量具有二次函数关系的是（    ） A．圆的周长C与半径r B．用10 m长的绳子围成一个长方形，其中一边长y与它的邻边x之间的关系 C．正三角形的面积S与边长a D．匀速行驶的汽车，路程s与时间t 4. 如图，矩形绿地的两边长各增加x m，扩充后的绿地面积为y m2.写出y关于x的函数解析式. 5. 提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示. （五）当堂检测 1. 写出下列各函数的关系式，并说明是什么函数： (1)直角边的和为20，其中一条直角边长为x，直角三角形的面积为S，写出S和x之间的函数关系式； (2)写出圆的面积S与半径x的函数关系式； (3)写出正方形的面积y与边长x之间的函数关系式； (4)写出圆的周长C与半径r之间的函数关系式． 2. 某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售(100−10x)件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（ ） A． y=(x−a)(100−10x) B． y=(x+a)(100−10x) C． y=(x−a)(10x−100) D． y=(x+a)(10x−100) 3. 公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定． 经销商统计某品牌头盔，7月份售出1 500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x，请问9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函数解析式是（ ） A．y=1 500(1+x)2 B．y=1 500+(1−x)2 C．y=(1+x)2+1 500 D．y=x2+1 500 4. 二次函数y=x2−2x+3的一次项系数是（ ） A．1 B．2 C．−2 D．5 5. 把y=(3−3x)(6+x)变成一般式，它的常数项为 ． 6. 写出一个二次项系数为3的二次函数解析式：__ __． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题26.1：第1，2，3题. B组题：习题26.1：第4题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $