26.1二次函数的概念导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“二次函数的概念”，通过矩形面积、比赛场次、产量增长等实际情境引入，引导学生从具体问题中抽象函数关系，再对比分析共同特征，逐步建立二次函数概念的学习支架。 以生活化情境培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，通过归纳共性发展数学思维的推理意识，结合实际问题列关系式强化数学语言的模型意识，习题设计从概念辨析到实际应用层层递进，助力学生扎实掌握知识。

26.1 二次函数的概念 导学案 姓名：______ 班级：______ 一、学习目标 1.理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法； 2.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义； 二、学习过程 （一）情境引入 章前引言： 用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y(单位：m2)会随矩形一边长x(单位：m)的变化而变化，y与x之间有什么关系？ 显然，矩形的一边长x和面积y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数.根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为y＝x(20－x)，即 y＝－x2＋20x ① （二）情境引入 问题1：n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ ② ②式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. 问题2：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y(单位：t)将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示？ ③ ③式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 思考：观察函数①②③，它们有什么共同点？ 二次函数： 一般地，形如 (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的 、 和 . 温馨提示：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． （3） 典例解析 例1 下列函数属于关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 例2 若函数是关于的二次函数， 则为（    ） A. B． C． D． 练习1.下列函数中，一定是二次函数的有（ ） ①； ②； ③； ④； ⑤（为常数）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 练习2．若函数是关于x的二次函数，则m的值为_______． 例3 变成一般式，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 . 练习3 判断下列函数是不是二次函数．如果是二次函 数，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 是不是 二次函数 a b c ． 例4 公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔 一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出 1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分 率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率 的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 练习4 如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 （四）巩固练习 1. 下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2. 函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 4.已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 5.用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 6．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1 二次函数的概念 导学案 姓名：______ 班级：______ 一、学习目标 1.理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法； 2.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义； 二、学习过程 （一）情境引入 章前引言： 用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y(单位：m2)会随矩形一边长x(单位：m)的变化而变化，y与x之间有什么关系？ 显然，矩形的一边长x和面积y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数.根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为y＝x(20－x)，即 y＝－x2＋20x ① （二）情境引入 问题1：n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ ② 问题2：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y(单位：t)将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示？ ③ 思考：观察函数①②③，它们有什么共同点？ 二次函数： 一般地，形如 (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． （3） 典例解析 例1 下列函数属于关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（、、是常数，）是二次函数．直接利用二次函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、中是分式，不是二次函数，选项错误； B、，是一次函数，不是二次函数，选项错误； C、是二次函数，选项正确； D、当时，不是二次函数，选项错误； 故选：C． 例2 若函数是关于的二次函数，则为（    ） A. B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 练习1.下列函数中，一定是二次函数的有（ ） ①；②；③； ④；⑤（为常数）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【详解】解：①是一次函数，不是二次函数； ②，符合的形式，是二次函数； ③，符合的形式，是二次函数； ④，化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； ⑤中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． ∴二次函数有2个 故选A 练习2．若函数是关于x的二次函数，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c都是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或， 故答案为：或． 例3 变成一般式，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，熟练运用多项式乘法将表达式展开并整理成一般形式是解题的关键． 根据多项式的乘法法则化简为一般式，再根据二次函数的一般式求出相应系数即可． 【详解】 所以二次项系数：， 一次项系数：， 常数项：． 故答案为：；；． 练习3 判断下列函数是不是二次函数．如果是二次函数，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 是不是 二次函数 a b c ． 【答案】 函数解析式 是不是 二次函数 a b c ． 是 -1 4 -3 是 2 0 -3 是 -1 -1 0 是 -2 3 -1 否 / / / 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．根据二次函数定义进行解答即可． 【详解】（1）解：，是二次函数，二次项系数是-1、一次项系数是4，常数项是； （2） 解：是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是； （3） 是二次函数，二次项系数是-1、一次项系数是-1，常数项是0； （4）解：，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是3，常数项是； （5）解：不是二次函数． 例4 公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 练习4 如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． （四）巩固练习 1. 下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 2. 函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 3．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 4. 已知二次函数，当时，y的值为（   ） A. B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 5.用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米，根据矩形的面积列函数关系式即可． 【详解】解：由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米， ． 故选：D． 6．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的定义及求函数值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）把代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为； （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，． ∴y的值为． （五）归纳总结 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $