4.3.1 等比数列 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列的概念、通项公式及应用，通过《庄子》“一尺之棰”、细胞分裂、银行复利三个生活情景导入，类比等差数列的研究路径，从具体实例抽象出定义，构建知识学习支架。 其亮点是以类比思想为主线，用生活实例培养“数学眼光”，对比等差与等比数列的定义、中项及通项公式推导发展“数学思维”，结合实例应用强化“数学语言”表达。帮助学生联系生活理解概念，教师可借助清晰结构提升教学效率。

课程名称：§4.3.1　等比数列 学 科：数学 年 级：高二年级 上/下册：选择性必修第二册 版 本：人教A版（2019） 1 问题引入 《庄子 • 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完. 形象地说明了事物具有无限可分性. 数学来源于生活 情景引入（1） 问题引入 数学来源于生活 情景引入（2） 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利， 他5年内每年末得到的本利和分别是多少？ 这三个数列有什么共同特点？ 问题引入 数学来源于生活 情景引入（3） 数学建模 新知探索 思考：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 各式取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 思考: 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比数列的概念吗？ 类比思想 具体实例 抽象概念 推导公式 总结性质 实际应用 如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的___都等于___一个常数，那么这个数列就叫做_________常数叫做等 数列的____. 公比通常用字母 q 表示 二 比 同 等比数列. 公比 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.常数叫做等差数列的公差. 公差通常用字母d表示 比 an-an-1=d(n≥2,n∈N*) an+1-an=d(n∈N*) (,n≥2,n∈N*) (,n∈N*) 等差数列的概念 等比数列的概念 新知探索 等比数列的概念 B 课堂练习：1 分析： 判定方法 1° 各项 an≠0 2° 依据等比数列的定义 7 新知探索 等比数列的概念 类比等差数列，在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等比数列： 新知探索 (1) 2，( )，8 (2) -12，( )，-3 4或-4 6或-6 由三个数a，G，b组成的等比数列可以看成是最简单的等比数列. 这时，G叫做a与b的等比中项且G2＝ab. 新知探索 等差中项与等比中项的差异 对比项 等差中项 等比中项 定义 若a，A，b成等差数列， 则A叫做a与b的等差中项 若a，G，b成 数列，则G叫做a与b的 中项 定义式 A－a＝b－A 公式 等比 等比 个数 a与b的等差中项唯一 a与b的等比中项有 个，且互为_______ 备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当 时，a与b才有等比中项 两 两 两 两 相反数 ab＞0 1、思维辨析(对的打“A”,错的打“B”) (1)若数列{an}满足an+1=2an (n∈N*)，那么{an}是等比数列. ( ) (2) 常数列 b ， b ，b ，…… ，一定为等比数列. ( ) (3)任意两个非零常数a，b都有等比中项. ( ) (4) G2=ab是a ，G ，b成等比数列的充要条件. ( ) 解析：(1)不一定. 当a1=0 时, 按所给递推关系式, 该数列的各项 都为0, 此时{an}不是等比数列. (3)当ab<0时， a，b没有等比中项. (2)当b=0时，不是等比数列. (4)当G=a=b=0时，满足G2=ab，此时a ，G ，b不是等比数列. 课堂练习：2 B B B B 11 11 思路1： 探究! 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 递推公式 新知探索 an+1=an∙ q 迭代法 不完全归纳法 13 新知探索 等比数列的通项公式 问题2 除了归纳法以外，我们还用什么方法同样推导出等差数列的通项公式？ 由类比的思想方法，从运算角度出发，可以用什么方法推导等比数列的通项公式？ 累加法 累乘法 新知探索 等比数列的通项公式 个 等比数列的通项公式 等比数列{an}首项为a1，公比为q， {an}的通项公式为： an=a1qn-1 (n∈N﹡, q≠0) 反之：任给指数函数f(x)=kax ( k, a为常数, k≠0 , a>0, 且a≠1 ), 则f(1)=ka, f(2)=ka2 , …, f(n)=kan…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a． 15 新知探索 自主探究：我们可以研究等比数列的什么性质？ 15 典例精析 题型一：等比数列的基本量的计算 例1 p29 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12 , 求{an}的第5项. 分析：等比数列{an}由a1，q 唯一确定，可利用条件列出关于a1，q 的方程 (组) ，进行求解． 解法1：设等比数列{an}的公比为 q，由a4= 48 , a6 = 12， 综上可得{an}的第5项是 24 或-24． 思考：有没有其他解法？ 等差数列{an} (m、n、k∈N*) 若 m+n=2k，则 am+an=2ak. 即 ak 是am与an 的等差中项. 例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12 , 求{an}的第5项. 分析：类比等差数列{an}的等差中项，你有什么结论？ 综上可得{an}的第5项是 24 或-24． 解法2:由题意a5是a4与a6的等比中项， 17 等比数列{an} 中， 若 m+n=2k，则 am·an=ak2. 即 ak 是 am与 an 的 等比中项. 典例精析 17 例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an . 等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示. 等比数列通项公式的推广 18 典例精析p30 18 典例精析 题型一：等比数列的基本量的计算 反思与感悟　1.已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项. 2.同号的两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数，在等比数列{an}中，an－1，an，an＋1(n≥2)成等比数列，则＝an－1an＋1. 典例精析 题型二：等比数列的判断与证明 例3　已知数列{an} 满足an+1 +an=3若bn=：数列{bn}是等比数列. 典例精析 题型二：等比数列的判断与证明 分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解． 例4 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列． 解:设前三项的公比为 q, 后三项的公差为 d， 典例精析p30 题型三：等比数列的应用 22 课堂小结 1 一、等比数列的定义 二、等比数列的通项公式 1、 an=a1qn-1 (n∈N﹡, q≠0) 等比数列通项公式的推广 等比数列{an}首项为a1，公比为q 任取相邻的两项 an、an-1 (n≥2) 或 an+1、an (n∈ N*). 23 等差数列 等比数列 定义 an - an-1=d 公差与公比 d可以是0 等差中项与 等比中项 2A=a+b 通项公式 an=a1+(n－1)d an=am+(n－m)d q ≠ 0 G 2=ab an=a1qn-1 an=amqn-m 课堂小结2 24 课后作业 【课后作业A】课本P31，P34练习 【课后作业B】完成《评测练习》 25 1. 下面各数列是等比数列的是（ ） (1)-1，-2，-4，-8； (2)1，2，3，4； (3) x，x，x，x； (4) ， ， ， . A．(1) (2) (3) (4) B．(1) (4) C．(1) (3) (4) D．(1) (2) (4) 【解析】对于（1），公比为2，即为等比数列； 对于（2）由于 ， 即（2）不是等比数列； 对于（3）当x＝0时，不是等比数列； 对于（4）公比为 ，即为等比数列. 1．“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项； 2．“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”； 3. 任意一项 4．“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝eq \f(an,an－1)或q＝eq \f(an＋1,an).特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列. ＝  A＝ G＝± 反思与感悟 证明数列是等比数列常用的方法 (1)定义法：eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且q≠0)或eq \f(an,an－1)＝q (q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列． (2)等比中项法：aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列． $