4.3.1 等比数列的概念 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列的概念、通项公式、等比中项及性质，通过类比等差数列的研究思路，以问题链引导学生从运算角度发现等比数列，构建新旧知识的学习支架，帮助学生逐步理解概念及公式推导。 其亮点在于通过“微点拨”“微思考”深化数学抽象，结合探究题（如证明等比数列）培养逻辑推理，例题练习强化数学运算。采用类比与问题驱动教学，小结系统梳理知识方法，助力学生提升思维能力，也为教师提供清晰教学资源。

第四章 　4.3.1　第1课时　等比数列的概念及通项公式 学习目标 1.理解等比数列的概念,理解等比中项的概念.(数学抽象) 2.掌握等比数列的通项公式,能运用公式解决相关问题.(数学运算) 3.掌握等比数列的判断与证明方法.(逻辑推理) 基础落实·必备知识全过关 知识点1　等比数列 一般地,如果一个数列从　　　　　起,每一项与它的前一项的比都等于　　　 　　_________________,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的　　　　　,公比通常用字母q表示(显然q≠0).  第2项 同一个常数 公比 微点拨 对等比数列定义的理解 (1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项. (2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征). (3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠倒. (4)等比数列中的任何一项均不能为零. (5)等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零. (6)符号表示:{an}为等比数列⇔=q(n∈N*,n≥1)或=q(n∈N*,n≥2). 微思考 1.若数列{an}具备 =n(n∈N*)的递推关系,则此数列是否为等比数列? 提示 此数列不是等比数列,因为从第2项起,每一项与前一项的比值不是同一个常数. 2.若数列{an}满足an+1=3an(n∈N*,n≥1),那么{an}一定是公比为3的等比数列吗? 提示不一定,例如数列0,0,0,…,0也满足an+1=3an,但它不是等比数列. 3.常数列可以是等比数列吗? 提示 各项不为0的常数列是等比数列;各项为0的常数列不是等比数列. 4.如何证明一个数列是等比数列? 提示 根据等比数列的定义,只需证明该数列从第2项起,每一项与前一项的比值是同一个不为0的常数即可. 知识点2　等比数列的通项公式 首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=　　　　　　　.  微点拨 1.已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得第四个量. a1qn-1 2.等比数列{an}的单调性与首项a1、公比q的关系如下: 满足条件 单调性 a1>0,q>1或a1<0,0<q<1 递增数列 a1>0,0<q<1或a1<0,q>1 递减数列 q=1 常数列 q<0 摆动数列 微思考 等比数列的通项公式与指数型函数有何关系? 提示 ①当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)= ·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n). ②任意指数型函数f(x)=kax(k,a为常数,k≠0,a>0,且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2,…,f(n)=kan,…构成一个等比数列,其首项为ka,公比为a. 知识点3　等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时　　　　　.  G2=ab 微点拨 等比中项概念的理解 (1)只有同号的两个实数才有等比中项. (2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数. 微思考 1.a,G,b成等比数列是 的什么条件? 2.公比为q的等比数列{an}中,a2,a5,a8是否成等比数列?为什么?a3,a5,a7呢? 3.等比中项与等差中项有什么区别? 提示 既不充分也不必要条件,若a,G,b成等比数列,则G=± .若G=a=b=0,满足 ,但a,G,b不成等比数列. 提示 a2,a5,a8成等比数列,公比为q3,a3,a5,a7成等比数列,公比为q2. 提示 ①任意两个数都存在等差中项,但不是任意两个数都存在等比中项,当且仅当两数同号且均不为0时,才存在等比中项. ②任意两个数的等差中项是唯一的,而若两个数有等比中项,则这两个数的等比中项有两个,且互为相反数. 重难探究·能力素养速提升 重难探究·能力素养速提升 问题1我们知道,等差数列的特征是“从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”.类比等差数列的研究思路和方法,从运算的角度出发,你觉得还有什么样的数列值得研究? 问题2等比数列具有怎样的取值规律?类比等差数列,如何给等比数列下定义? 问题3根据等比数列的定义,能推导它的通项公式吗?决定通项公式的基本量有哪些? 问题4类比等差数列与一次函数间的关系,等比数列与什么函数有关?等比数列的单调性又和什么有关? 探究点一　等比数列通项公式的应用 【例1】 在等比数列{an}中,求解下列问题: 分析 先根据等比数列的通项公式,结合条件列出方程(组)求得a1,q,再解决其他问题. (2)若a2=4,q=2,an=128,求n; (3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7. 解 由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7. 规律方法　等比数列的计算 (1)等比数列的基本量是a1,q,很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题.解决这类问题时,最核心的是解方程(组)的方法,即依据题目条件,先建立关于a1和q的方程(组),再解方程(组),求得a1和q的值,最后解决其他问题. (2)在等比数列的基本量运算问题中,建立方程(组)进行求解时,要注意运算的技巧性,特别注意整体思想的应用. 探究点二　等比中项及其应用 【例2】 (1)已知等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,求实数x的值. 分析 可由等比中项的定义建立关于x的方程求解; 解 因为等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,所以x(3x+3)=(2x+2)2,解得x=-1或x=-4. 又因为当x=-1时,2x+2=3x+3=0不合题意,所以实数x的值为-4. 问题5类比等差中项的性质,若三个数成等比数列,它们会有怎样的性质? (2)已知等比数列{an},a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1和a5的等比中项. 分析 先求出a1和a5的值,再根据等比中项的定义求解. 规律方法　等比中项应用注意点 (1)若a,b,c成等比数列,则必有b2=ac,同时应注意a,b,c≠0. (2)并非任意两个实数均有等比中项,只有两个非零实数同号时才有等比中项,但只要两个实数有等比中项,就一定有两个. (3)在等比数列{an}中,an是an-k与an+k的一个等比中项,但an-k与an+k的等比中项是±an. 探究点三　等比数列的判断与证明 问题6类比等差数列的判断方法,如何判断一个数列是等比数列?又该如何证明? 【例3】 (1)已知数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列,令bn=,求证:数列{bn}是等比数列. 分析先求出数列{an}的通项公式,再求出数列{bn}的通项公式,最后根据定义判断{bn}是不是等比数列. 证明依题意得an=3+(n-1)×2=2n+1,∴bn=52n+1, ∴数列{bn}是首项为53=125,公比为25的等比数列. (2)已知a,b,c是等比数列,且a,b,c三个数同号,求证:也构成等比数列. 分析要证明构成等比数列,可借助等比中项法,即只要证明等式()2=成立即可. 解析因为a,b,c构成等比数列,且a,b,c三个数同号,所以有b2=ac,从而, 又a,b,c不为0,所以均不为0, 所以也构成等比数列. 规律方法　1.判断或证明一个数列是等比数列的主要方法如下: 2.等差数列与等比数列之间可以通过指、对数运算进行相互转化. 探究点四　构造等比数列求通项公式 问题7如何证明构造的一个新数列为等比数列?这其中蕴含了怎样的数学思想? 问题8对于常见递推关系求通项的模型,基本都是通过运算变形,把递推关系转化为等差或等比数列来求解.所以对于我们来说,求通项公式的基本方向是什么? 【例4】 数列{an}满足an+1=4an+3,且a1=1,求an. 解 由 =4,又a1=1,所以a1+1=2,所以数列{an+1}是以2为首项,以4为公比的等比数列,则an+1=(a1+1)4n-1=2·4n-1,所以an=2·4n-1-1 =22n-1-1. 规律方法　构造新数列的技巧 有些数列本身不是等差、等比数列,但是通过适当的变形,可以构造出等差、等比数列.常见的构造方法有:(1)取倒数法;(2)配常数法;(3)取对数法;(4)配函数法. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)等比数列的概念. (2)等比中项的概念. (3)等比数列通项公式的推导及应用. (4)等比数列的判定或证明. 2.方法归纳:定义法、通项公式 法、方程(组)思想. 3.常见误区:(1)由a,G,b成等比数列能推出G2=ab,但由G2=ab不能推出a,G,b成等比数列;(2)当公比用分数、负数表示时,运算时易忽略给公比加上括号. 第四章 　4.3.1　第2课时　等比数列的性质及应用 学习目标 1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质.(数学抽象) 2.能够运用等比数列的性质解决有关问题.(数学运算) 3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.(数学模型) 基础落实·必备知识全过关 知识点　等比数列{an}的常用性质 1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则　　　　　　　.  2.an=am·　　　　(q为公比,m,n∈N*).  3.在等比数列{an}中,公比为q,每隔k项取出一项,取出的项按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列,公比为　　　　　　.  aman=apaq qn-m qk+1 微思考 若{an}为等比数列,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)是aman=apaq的充要条件吗?若不是,则是什么条件? 提示 不是.在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则一定有aman=apaq,反之则不一定,如{an}是常数列.故是充分不必要条件. 重难探究·能力素养速提升 重难探究·能力素养速提升 探究点一　等比数列性质的应用 问题1类比等差数列的常用性质,如(1)an=am+(n-m)d,(2)a1+an=a2+an-1 =…=ai+an+1-i=…,(3)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an,(4)若m+n=2t(m,n,t∈N*),则am+an=2at,能否推出等比数列的相应性质? 问题2对于等比数列的性质,你认为可以从式子中的哪些特征去发现性质、联系方法? 【例1】 (1)已知等比数列{an}的公比q=-,则=(　　) A.- B.-2 C. D.4 D 解析 因为等比数列{an}的公比q=-,所以=4,故选D. A (2)(2026黑龙江哈尔滨期中)设数列{xn}满足log2xn+1=1+log2xn,且x1+x2+…+x5=4,则x6+x7+…+x10=(　　) A.128 B.256 C.32 D.64 解析 因为log2xn+1=1+log2xn,所以log2xn+1=log2(2xn),所以xn+1=2xn(xn>0), 所以=2,所以数列{xn}是以2为公比的等比数列, 又x1+x2+…+x5=4,所以25×(x1+x2+…+x5)=25×4=128, 即x6+x7+…+x10=128.故选A. (3)在正项等比数列{bn}中,若b5=3,则log3b1+log3b2+…+log3b9=　　　　　.  9 解析 因为{bn}为正项等比数列,b5=3,所以b1b9=b2b8=b3b7=b4b6==32=9,于是b1b2b3…b9=39,所以log3b1+log3b2+…+log3b9=log3(b1b2b3…b9)=log339=9. 规律方法　应用等比数列性质解题的技巧 (1)应用性质解题的关键在于发现和寻找已知和未知中各项的项数间的内在关系,由此入手选择运用相应的性质解决问题. (2)应用性质解题时,要适当结合运用基本量方法和整体代换思想. (3)等比数列中,所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号也相同,注意符号的判断. 探究点二　等比数列的综合问题 【例2】 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数和第四个数的和是16,中间两个数的和是12.求这四个数. 分析 用两个未知数表示这四个数,结合已知条件列方程组. 问题3对于多个数成等比数列的情况,如何能比较好地优化运算? 探究点三　等比数列的实际应用 问题4生活中有哪些实际应用等比数列的问题?此类问题中,可以从哪些关键信息中提取、发现等比数列的取值规律? 【例3】 月球距离地球约38万千米,有人说:在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次,其厚度就可以不小于地球到月球的距离,那么至少对折的次数n是(　　)(lg 2≈0.3,lg 3.8≈0.6) A.40 B.41 C.42 D.43 C　 解析 设对折n次时,纸的厚度为an毫米,每次对折厚度变为原来的2倍,由题意知{an}是以a1=0.1×2为首项,公比为2的等比数列,所以an=0.1×2×2n-1 =0.1×2n,令an=0.1×2n≥38×104×106,即2n≥3.8×1012,所以 lg 2n≥lg 3.8+12,即0.3n≥0.6+12, 解得n≥42,所以至少对折42次,故选C. 规律方法　等比数列实际应用的求解策略 (1)一般地,产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题,往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解. (2)建立等比数列模型进行运算时,往往涉及指数、对数方程或不等式的问题,要注意运算的正确性,还要善于进行估算,对于近似计算问题,答案要符合实际问题的需要. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)等比数列的性质及应用. (2)等比数列的项的设解技巧. (3)等比数列的实际应用. 2.方法归纳:定义法、类比、分类讨论. 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 知识点1 等比数列的判定4年1考 1.（多选）下列数列是等比数列的是( ) ABC A.1，1，1，1，1 B.1，2，4，8，16 C.1，，，， D.，， ，0，1 【解析】 A选项，数列为公比为1的等比数列，A正确；B选项，数列为 公比为2的等比数列，B正确；C选项，数列为公比为 的等比数列，C正确； D选项， （ 等比数列中的项不为0）不是等比数列，D错误. 47 2.（多选）已知数列 是等比数列，则下列说法一定正确的是( ) ABC A.数列是等比数列 B.数列 是等比数列 C.数列{是等差数列 D.数列 是等差数列 【解析】 设等比数列的公比为，则 ，所以 ，，所以数列, 是等比数 列，故A，B正确；，所以数列{ 是等 差数列，故C正确；因为 不为常数，所以 不是等差数列，故D错误. 48 3.下列说法错误的有( ) C A.若，，成等差数列，则，， 成等差数列 B.若，，成等差数列，则，， 成等比数列 C.若，，成等比数列，则，， 成等差数列 D.若，，成等比数列，则，， 成等比数列 49 【解析】 若，，成等差数列，则 ，所以 ，所以 ， ，成等差数列，A说法正确；若，， 成等差数列，则 ，又，，均为正数，且 ， 所以，，成等比数列，B说法正确；若，， 成等比数列，如取 ，则，，均无意义，C说法错误；若，， 成 等比数列，则，，均不为零，且，所以 ， 即，， 成等比数列，D说法正确. 50 4.已知数列的前项和 . （1）求数列 的通项公式. 【解析】 当时， . 因为，所以当时，符合 ，故 ； 当时，,不符合，故 综上，当时,;当时， 51 （2）讨论的值，说明数列 是否为等比数列？若是，请证明；若不是， 请说明理由. 【解析】 由（1）可知，当时，， ，此时数 列 是以2为首项，3为公比的等比数列； 当时，,,,，此时数列 不是 等比数列. 52 知识点2 等比数列的通项公式及其应用4年8考 5.在等比数列中，首项，公比，若，则 ( ) D A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】 因为，所以 ，所 以 . 53 6.[2026江西省多校联考]在等比数列中，，则 的公 比 ( ) C A.6 B.3 C.或6 D. 或3 【解析】 数列为等比数列，且 ，所以 ，又 （ 等比数列中的项不为0.），所以 ，即，解得或 . . . 54 7.[2026北京人大附中朝阳学校段考]已知为等差数列， 为等比数 列，，, ，则 ( ) C A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为 ，则有 解得或 （舍去），所以 . 55 8.若等比数列满足，，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 设等比数列的公比为，则 ， ， 所以，，所以 ，故选D. 56 9.（多选）[2026河北省盐山中学期中]已知正项等比数列的公比为 ， 若，且 ，则( ) ABD A. B. C.是数列中的项 D.，， 成等差数列 57 【解析】 由,可得 ,整理得 ,解得或,又，所以 ，故A正确； ，故B正确； ，令 ，即，该方程无整数解，所以 不是数列 中的项，故C错误；因为，， ，且 ，所以,所以，， 成等差数列， 故D正确. 58 10.已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它 们的公比 _____. 3或 【解析】 不妨设这三个数分别为，，，且, ，则 ，得.由 ，即 ，解得或.又，所以或 . 59 变式：三个数变四个数 设四个实数成等比数列，其积为 ，中间两项之 和为，则公比 ___________________. 或 【解析】 设这四个实数分别为,,,，则 即所以,所以.因为 ，所以 ，从而可得或 ，解得 或 . 60 知识点3 等比数列的函数特性4年1考 11.设命题若数列是公差不为0的等差数列，则点 必在一次 函数图象上；命题若正项数列 是公比不为1的等比数列，则点 必在指数函数图象上.下列说法正确的是( ) C A.，均为真命题 B.， 均为假命题 C.真假 D.假 真 61 【解析】 若数列 是公差不为0的等差数列，则 ，故点 必在一次函数 的图象上，故为真命题.不妨取数列 是首项为3，公 比为2的等比数列，则 ，与指数函数解析式不符，所以点 不一定在指数函数图象上，故 是假命题.故选C. 62 12.[2026江苏南通学情检测]已知是等比数列，则“数列 是递增数 列”是“ ”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 63 【解析】 因为是等比数列，所以可令，公比为，则 ， ，.若，则，解得 或 当，时，总有，即 ，当 ，，总有，即 ，因此，等比数列 是递增数列，必要性成立.若数列 是递增数列，则必有 ，充分性成立.综上，“数列是递增数列”是“ ” 的充要条件. 64 13.（多选）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断 为递减数列的有( ) AC A.， B.， C.， D.， 【解析】 对于A，,所以由函数特性知 为递减数列，A 正确；对于B，，所以 为递增数列,B错误；对于C, ，所以 为递减数列，C正确；对于D， ,所以 为递增数列，D错误. 65 知识点4 等比数列的性质4年2考 14.易错题 [2026江西鹰潭余江一中月考]已知等比数列中， ， ，则 ( ) B A.15 B.9 C. D. 【解析】 在等比数列中，，因为,, 同 号,（ ）所以 .故选B. . . . . 66 15.[2026上海浦东新区期中]若等比数列满足 且 ，则 ( ) C A.4 B.6 C.8 D.10 【解析】 因为 ，所 以 ，由等比数列性质可知 ，所以 ，所以 . 67 16.若是等比数列，且， ，则 ( ) D A.64 B.128 C.256 D.512 【解析】 设等比数列的公比为，则， ， ，构成公比为 的等比数列，又 ，，所以 ，所以 . 68 变式 已知各项均为正数的等比数列中，， ， 则 ( ) A A. B.7 C.6 D. 【解析】 因为数列 是等比数列，所以 .又 ，，且数列 的各项均为正数，所以 . 69 因为数列是等比数列，所以 ， ，.由等比数列的性质，得，， 构成 等比数列，所以.又数列的各项均为正数，所以 ， 即 . 因为数列是等比数列，所以，， 构成等 比数列，所以，即，即 .又数 列的各项均为正数，所以 . 70 17.教材习题变式 在等比数列中，， .若取出数列 中所有序号是偶数的项，依次构成新数列，则 __；若从数列 的首项起每隔6项取出一项依次构成新数列，则 ______. 【解析】 设等比数列的公比为，则，所以 .由 题意知数列仍是等比数列且公比为，所以.数列 仍是 等比数列且公比为，所以 . 71 18.已知函数，数列是公差为2的等差数列，且 ， 若，则 ____. 21 【解析】 由题意知，所以 , ，所以数列是以 为公比的等比数列，所以 ,所以 . 72 知识点5 构造等比数列求通项公式 19.[2026北京海淀区期中]已知数列满足， ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 因为，所以 ，即 ，所以，所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，所以 ，所以 . 73 20.[2026甘肃兰州一中期中]已知数列满足，且 ， 则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 由题意知，则，即 ， 由，得，故数列{是以为首项， 为公 比的等比数列，故，所以 ， 解得 . 74 21.[2026湖北武汉期中]已知数列的前项和为， ， . （1）求， 的值. 【解析】 因为, ， 所以当时， ， 所以 ， 当时， ， 所以 . 75 （2）设，求证：数列 是等比数列. 【解析】 因为，所以当时， ， 所以, ， 所以，即, . 因为 ， 所以 是首项为3，公比为2的等比数列. 76 （3）求数列 的通项公式. 【解析】 由（2）得 ， 所以 ， 所以{}是以为首项， 为公差的等差数列， 所以 ， 所以 ， 所以数列的通项公式为 . 77 G= G= (1)若a2=3,a5=,求{an}的通项公式; 解 设{an}的公比为q,则解得所以{an}的通项公式为an=6×. 解 设{an}的公比为q. (方法1)由已知,得解得故a7=a1q6=32×. (方法2)因为a3+a6=q(a2+a5),所以q=.又因为a2+a5=18,所以a1·+a1·=18,解得a1=32,故a7=a1q6=32×. 解 因为{an}是等比数列,所以a3是a2和a4的等比中项,即=a2a4,所以a2a3a4==64,解得a3=4,从而a6=32. 设{an}的公比为q,则解得所以a5=a1q4=16.设a1和a5的等比中项为G,则G2=a1a5=16,所以G=±4,故a1和a5的等比中项是±4. ∴=52=25. 方法一 定义法 若当n≥1,n∈N*时,=q(q≠0,q为常数),则数列{an}为等比数列 方法二 等比 中项法 若=anan+2(n∈N*),则数列{an}为等比数列 特例:若m+n=2p(m,n,p∈N*),则aman=. 4.数列{can}(c≠0),{|an|},{anbn}({bn}也是等比数列),{},也是等比数列. 解 (方法1)设这四个数依次为a-d,a,a+d,,由条件,得解得所以,当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16;当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. (方法2)设这四个数依次为-a,,a,aq(a≠0),由条件,得解得当q=2,a=8时,所求四个数为0,4,8,16;当q=,a=3时,所求四个数为15,9,3,1. (方法3)设这四个数依次为x,y,12-y,16-x. 由条件,得 解得故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 规律方法　等比数列的项的巧妙设法 在等比数列中,灵活设项是非常重要的.一般来说:当三个数成等比数列时,可设这三个数分别为a,aq,aq2或,a,aq,此时公比为q;当四个数成等比数列时,可设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3(公比为q),当四个数均为正(负)数时,可设为,aq,aq3(公比为q2). 3.常见误区:四个数成等比数列时设成,aq,aq3,未考虑公比为负的情况. $