4.3.2 等比数列的前n项和公式 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列的前n项和公式，通过“入木三分”问题引导学生讨论公比q的分类情况，衔接等比数列通项公式，构建“已知量选用公式”的知识支架，帮助学生梳理公式应用的脉络。 其亮点在于以“知三求二”方程思想为主线，结合分类讨论（如q=1与q≠1）培养数学思维的推理能力，通过函数特征分析（指数型函数）发展数学眼光的抽象能力，实例丰富（如例2联立方程求a1和n）。学生能系统掌握公式应用，教师可直接用于课堂教学，提升效率。

4.3.2 等比数列的前n项和公 式（第1课时 等比数列的前n项和公式 品书读百遍 要点 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 na,q=1, 选用 na1,q=1, 公式 S= a1(1-g") S=a1-ang 9-1 9≠1 1-g,91 无论等比数列的前n项和公式以哪种形式出现，在Sn，n,a, q,a,这五个量中，只要给出其中三个量便可以求出另外的两个量. (知三求二) 第2页 入木三分 1.若等比数列的公比g为未知数，求数列的前n项和应注意什么？ 答：讨论q≠1和g=1的情况. 第3页 2.等比数列的前n项和公式有何函数特征？ 答：(1)当公比q≠1时，设A=4 等比数列的前 n项和为Sn =A(g”-1),即S,是关于n的指数型函数.当0<q<1,n无限大时，S 无限趋于g 若S,为A十Bq”的形式，则A+十B=0 (2)当公比q=1时，因为a,≠0，所以Sn=na1,Sn是关于n的正 比例函数. (3)使用前n项和公式前一定要注意讨论公比q是否为1，而且要先 判断q=1时的情况. 返回 题型 等比数列的前”项和公式 例1 求下列等比数列{a,}的前8项的和Sg 【解析】 (1)设数列的公比为9，易知g=2 因为a=)所以8= - 255 256 第5页 (2)a4=27,a=243,q<0. 1 1 【解析】 (2)由a=27,4=243:可得243=27q. 1 a1-as9=41- 27一243 又由g0.可得9=号所以8=-g1-g1-哥 1640 81 第6页 探究 熟练掌握公式是解决问题的关键 第7页 思考题1(1)在等比数列{an(n∈N)中，若a=1,a4=g则So =( ) A.2- 28 2- 1 C.2 10 D.2-2 第8页 a1=1, 【解析】 设公比为9，则 g-g 解得9=2则该数列的前10 项和为S=4(1-g9)1 1 10 1-9 2-21 第页 (2)在等比数列{an}中，a1+a=10,a4十a6=4求Ss a1+aq=10, 【解析】 由题意知 ad+and-j. 41=8, 解得。-1 从而S=4(1- 0 31 9=2 1-q 2 第10 五 L例2 在等比数列{a,}中，公比为q,前n项和为Sn (1)若S2=30,S=155,求Sn; a1(1+g)=30, a1=5, 【解析】 (1)由意知 a1(1+g+g2)=155, 解得 g=5 或 a1=180, ×1-- 11 第11页 (2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n; 【解析】 2)庙S=1二a,=a·以及已知条件，得 189 a1（1-2”) 1-2 96=a1·2”-1, a'2"=192,即2=192 a 189=a2-1=a12-1w=3.2=9 =3=32,·n=6. 第12 (3)若a1+an=66，a0n-1+a,an-2=256,Sn=126,求n及 公比↓解析】( 3).{an}是等比数列，·41an=a2a,-1=a3a,-2 ·a2an-1+a3an-2=256,a1an=128. a1=2,.a1=64, 又：a+aw=66,六d=4或a,=2. 或 显然g≠1，则S=41%=126 1-q 当a1=2,an=64时，得q=2,由a,=a1g”-1,，得2”=64，·n=6. 当a=64,a,=2时，同理，解得q=),n=6. 综上，n=6,g=2或 第13 五 探究 ()“知三求二”实质是方程思想 a1（1-g") (2)当已知a1,q(g≠1)及n时，用公式Sn= 求和比 1-q 方便；当已知 a一an4求和更 a,qg≠1)，an时，则用公式S=1-g 方便. 第14 而 思考题2在等比数列{a}中，公比为q,前n项和为Sn (1)若a1=V2,an=16V2,Sm=11V2,求n和q; 【解析】 0易知g1.由8=91得112-56②： 1-q 9=-2, 又由an=a1g”-1得16V2=V2(-2)”-1,n=5. 第15 五 (2)若S+S。=2S,,求公比q; 【解析】 (2)若q=1,则S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2Sg, 可得41+412-2a1= 所以q≠1，由已知， 1-q 1-9 1-q 所以q(2q-q3-1)=0. 因为q≠0，所以2q-q3-1=0,所以(q-1)(2q3+1)=0. 为1所了=-号所以g=一要 第16 五 (3)若a=2S2+1,a4=2S3+1,求公比9 【解析】 (3)由意得 4二3. a4-a=2a3,所以q=a 第17 五 例3 数列{a,}的前n项和为Sn=3”一2.求{an}的通项公 式，并判断{a}是否是等比数列. 【解析】当n≥2时，an=Sn-Sn.1=(3m-2)-(3m·1-2) =2X3n-1. 点8=参心2=1不适合上式 由于a1=1,a2=6,a=18,显然a1,a2,a不成等比数 列，即{a}不是等比数列. 第18 五 思考题3 (1)如果数列{a,}的前n项和为Sn=3n-1,那么{an} 是等比数列吗？ (2)如果等比数列{a,}的前n项和为S,=3n一a,试求出a的值. 【解析】 根据“Sn=-Aq”+A(Aq≠0，q≠1，n∈N)数列 {an}是首项为a1=A(1-q),公比为q的等比数列”可得： (1){a}是首项为2，公比为3的等比数列. (2)a=1. 第19 五 【讲评】 本题第(2)问的常规解法如下： 当n=1时，a1=S1=3-a. 当n≥2时，an=Sn-Sn.1=3”-3m1=2×3n1. 由{an}为等比数列知，当n=1时，2X31·1=3-a,则a=1. 返回 课后巩固 1.等比数列{2”}的前n项和Sn=( A.2n-1 B.2n-2 C.2n+1-1 D.2m+1-V√ 解析 由题意可知S,=2+2+2++2”三21-2公 1-2 =21-2 第22 而 2.在等比数列{an}中，公比q=一2，S,=44,则a1的值为 A.4 B.-4 解析3D住》，4=11千2》-3=1a. 1-q 1+2 Γ3 .a1=4. 第23 五 3.设Sn等比数列 fa}的前n和，8a十a,=0.则=() A.11 B.-8 C.5 D.-11 解析 设等比数列{a,}的公比为q(g≠0)，依意知 8a41q+a1g=0, 0,则=-8故9=-2所这-等=+好=-11 第24 五 4.己知等比数列{an}的公比9>0，a2=1,an+2+an+1= 15 2 6an,则{an}的前4项和S4= 解析 由条件得a+2十an+1=a,9+a9=6an,q>0,an≠0，得q=2, 又=1所以=&= 15 第25 五 5.记S为等比数列{an}的前n项和，且Sn≠0，己知a1=1,S4 = 5S2 解求{q睃通孤的公比为q,由S=5S2得a1+a2+a+a4= 5(a1+a2),整理得a+a4=4(a1+a2), 因为a1+a2≠0，所以q2=4,所以q=2或q=-2,故an=2” 1或an=（-2·1. 第26 而 (2)若Sm=43,求m. 解析(2)若a,=2n·1,则Sn=2n-1. 由S,=43,得2m=44,此方程没有正整数解. 1-(-2)” 若4m=(-2)”-1,则Sn= 3 由Sm=43,得(-2)m=-128, 解得m=7. 综上，m=7. 返回