2.2 基本不等式（第1课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式（√(ab) ≤ (a+b)/2），通过类比乘法公式的作用引入，衔接完全平方公式推导，构建从代数证明到几何解释的学习支架，帮助学生理解算术与几何平均数的关系。 其亮点是代数严谨证明（作差法）与几何直观（圆中直角三角形相似）结合，培养数学思维，例题变式注重应用（如x+1/x最小值），体现数学语言表达，当堂检测分层巩固，助力学生掌握本质与应用，教师教学更系统高效。

第二章一元二次 2.2基本不 Q Q 函数、方程和不等式 等式第1课 时 人教A版(2019)必修第一 D0 新课引入 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不 等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研 究这个问题 新知探究 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： o,0E·,有图2，当且仅当 c=Q时，等号成立 。 特别地，如果>0，。，>0，我们用V,V5分别代替上式中的，⊙， 可得Va, C 当且仅当0.=c时，等号成立. 基本不等式 通常称不等式，4为基本不等式.其中， a+b 叫做正数 2 2 c,c的算术平均数，VC叫做正数c,。的几何平均数： 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 新知探究 上面通过考察多的特殊情形获得了基本不等式.能否直接 利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下， 题d.2 新知探究 ① 基本不等式的证明 只要证五光.② 要证②，只要证2函.③ 要证g,只要证今1.④ 要证④，只要证今.4.⑤ 显然，⑤成立，当且仅当=c时，⑤中的等号成立 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了. 探究 在下图中，2o是圆的直径，点、是po上一点，、o=C,、o=O.过 点、作垂直于的弦es,连接s0,s.你能利用这个图形，得出基本 不等式的几何解释吗？ D A a b E 基本不等式的几何解释 如图，可证△如一△单六s,因而、=V.由于 小于或等于圆的半径，用不等式表示为√五. 2 显然，当且仅当点、与圆心重合，即当=c,时 述不等式的等号成立. 新知探究 9 D A B a C b 上 E 例1： 已知~>0，求÷+的最小值 分析： 求~+上的最小值，就是要求一个(=+，使>0，都有 ÷+心·观察~+，发现=1·联系基本不等式，可以利用正 数÷和二的算术平均数与几何平均数的关系得到=2· 解析： 因为÷>0，所以 -2, 当目仅当÷=己，即心2=1，÷=1时，等号成泣， 小值为2. 因此所求的最 思考一下： 在本题的解答中，我不仅明确了>0，有~+>2，而且 给出了"当且仅当÷=，即2=1，÷=1时，等号成立"，这是 为了说明2是+仁>0)的一个取值.想一想，当<2时， +>成立吗？这时能说是+仁>0)的最小值吗？ 结论：成立； 不能，此时不是最小值 例2： 已知÷，~都是正数，求证： (1)如果积~：等于定值c 小值2WG; 那么当=~时， 和二十一有最 解析： 因为，~都是正数，所以戈>P (1)当积~等于定值。时， 2 所以 +>2V6, 当且仅当÷=~时，上式等号成立.于是， 和÷+×有最小值2V6:. 当÷=一时， 例2： 已知÷，一都是正数，求证： (2)如果和÷十~等于定值0 2 值 那么当只=~时，积一有最大 解析： 因为一，~都是正数，所以)>F (2)当和÷+女等于定值.时， 2, 所以 当且仅当÷=~时，上式等号成立.于是 积4有最大值2， 阳六=宁乐 利用基本不等式求最值 例3 ()已知x心2，则y=x十4 的最小值为 一2 2若0<2则函数=分1一2心)的最大值是 (③)若x,∈(0，十∞)，且x十4y=1,则+1的最小值为 【解析】 (1)因为心2， 所以x一2>0， 4 4 所以y=x+x-2=x一2+ x-2 2-2)2+2=6 4 4 当且仅当x一2= -2 即x=4时，等号成立. 所以)y=+2的最小值为6 +2 (2)因为0<3 所以1一2x>0, 所以=21-29=X2xX1-2≤2+】2-X 6 当且仅当2x=1一2x, 即当=时，=G 3)因为x,y∈(0，+∞)，x十4y=1, 所以}+++=+女+≥0， 当且仅当 即x==时取等号. 【答案】()6(2 5(3)9 一互动探究 若把本例(1)中的条件x>2改为“x<2”,求 值. 解：因为x<2, 所以2一x>0, 所以=x+ 4 ={a-0+22 )=十2的最大 ≤-21(2-) 4 十2=-2， 4 当且仅当2-x=2二x 得x=0或x=4(舍去)， 即x=0时，等号成立. 故心=x+x2的最大值为一2， 1.若C,>C A.9 当堂检测 且②军1，则侧xy的最大值为() B.6 C.3 当堂检测 答案：B 解析：因为七C(,且3山所以子 当且仅当3，即3,2时等号成立，因此y的最大值为6. 当堂检测 41 2.设xC,C且B2三，则+一的最小值为( ) x y A.9 B C.4 D 9-2 当堂检测 答案：D 解析： 2 41 y时等号成立，故：的最小值为， 3 故选D 当自当：号 当堂检测 3已知0则， 8 的最小值为() A.16 B.18 C.8 D.20 当堂检测 答案：B 解析：因为0c<2, 所以©三多，又因为Q 所以一 爱当且仅当 上A 1 即x=时，等号成立)，故选B. 当堂检测 4若三，则2x+ 1 的最小值是( x+3 A.22e B.2∈ C.22 D.2 当堂检测 答案：B 解析：由>三，可得， 当组仅当飞是即心+时取等号 所以2x41 的最小值为2∈，故选：B, +3 5.若xC, 当堂检测 则2+3+一的最小值等于 c 当堂检测 答案：243 解析：二 故最小值为243，故答案为2+43 当且仅当x=25 时取等号， 3 课堂总结 1.算术平均数 2.几何平均数 3.基本不等式