13.3.2三角形的外角（5大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年数学人教版八年级上册

本讲义聚焦三角形外角这一核心知识点，系统梳理外角定义、核心定理（等于不相邻两内角和）、推论（大于不相邻内角）及拓展结论（外角和360°），作为三角形内角和定理的延伸，为复杂图形角度计算搭建学习支架。 资料以5类题型（性质应用、角平分线计算等）为主线，精选各地期末真题，结合易错点解析与解题技巧，通过侧压腿、灯塔观测等情境培养数学眼光，飞镖模型推导提升推理能力，规范几何语言表达，课中辅助教师系统教学，课后助学生查漏补缺。

13.3.2 三角形的外角 【新人教版】 【题型1 三角形外角的性质】................................................................................................................................1 【题型2 角平分线有关的角度计算】....................................................................................................................3 【题型3 飞镖模型】................................................................................................................................................4 【题型4 三角板中的角度计算】............................................................................................................................5 【题型5 三角形外角的性质的应用】....................................................................................................................6 1. 外角定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 一个三角形共有6个外角，两两相等，通常只取3个不重复外角研究。 2. 外角核心定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 几何语言：△ABC，延长BC至D，则∠ACD=∠A+∠B。 3. 外角推论 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 4. 拓展结论 三角形三个外角之和为360°。 1. 分不清相邻内角与不相邻内角，乱用外角公式； 2. 误把外角和记为180°； 3. 倒角时错将外角和相邻内角相加。 1. 倒角提速：优先用外角定理替代内角和，简化步骤； 2. 比较角度大小，直接使用外角大于不相邻内角； 3. 复杂图形多层倒角，逐层标注外角，由外向内推导。 题型一 三角形外角的性质 【例1】（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，点D为边上一点，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 题型二 角平分线有关的角度计算 【例2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（22-23八年级上·全国·期末）如图中，，延长到，与的平分线相交于点与的平分线相交于点2，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A．19.2° B．8° C．6° D．3° 【变式2-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【变式2-3】（23-24八年级上·山东济南·期末）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 题型三 飞镖模型 【例3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）一个零件的形状如图，按规定，，判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件______（填“合格”或“不合格”）． 【变式3-2】（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图所示，，，，求． 【变式3-3】（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号一一箭号．我们不妨把这样的图形叫做“箭头四角形”． 探究： (1)观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； 应用： (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，则__________； ②如图3，的二等分线（即角平分线）相交于点，若，，求的度数． 题型四 三角板中的角度计算 【例4】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，．当时，的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）将一副三角板如图摆放，已知：，，，若点E恰好在上，则的度数是________． 【变式4-3】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，把一副直角三角板叠放在一起，已知，则∠的度数为_________． 题型五 三角形外角的性质的应用 【例5】（25-26八年级上·河南许昌·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，李明同学在东西方向的滨海路处，测得海中灯塔在北偏东方向上，他向东走300米至处，测得灯塔在北偏东方向上，则从灯塔观测两处的视角的度数是___________． 【变式5-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为______． 【变式5-3】（25-26八年级上·江西吉安·期末）【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．    【提出问题】 小明提出：如图①，和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 (1)请你帮小明解决这个问题，并说明理由． (2)如图②，求，，的数量关系，并说明理由． (3)如图③，已知，，，求的度数．． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3.2 三角形的外角 【新人教版】 【题型1 三角形外角的性质】................................................................................................................................1 【题型2 角平分线有关的角度计算】....................................................................................................................4 【题型3 飞镖模型】................................................................................................................................................9 【题型4 三角板中的角度计算】..........................................................................................................................13 【题型5 三角形外角的性质的应用】..................................................................................................................15 1. 外角定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 一个三角形共有6个外角，两两相等，通常只取3个不重复外角研究。 2. 外角核心定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 几何语言：△ABC，延长BC至D，则∠ACD=∠A+∠B。 3. 外角推论 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 4. 拓展结论 三角形三个外角之和为360°。 1. 分不清相邻内角与不相邻内角，乱用外角公式； 2. 误把外角和记为180°； 3. 倒角时错将外角和相邻内角相加。 1. 倒角提速：优先用外角定理替代内角和，简化步骤； 2. 比较角度大小，直接使用外角大于不相邻内角； 3. 复杂图形多层倒角，逐层标注外角，由外向内推导。 题型一 三角形外角的性质 【例1】（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，点D为边上一点，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图：由三角形外角的性质可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：，， ∴， ∵将直尺与含角的三角尺摆放在一起， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，， ∵， ∴. 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【分析】（1）先利用三角形内角和与角平分线求出，再用外角性质求，最后在直角三角形中计算； （2）先利用外角和角平分线，把用、表示，再结合直角三角形内角和，化简得到与、的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 题型二 角平分线有关的角度计算 【例2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．先利用三角形的外角的性质求得，，利用角平分线的定义求得，，据此列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，． ∴． ∴． 故选：B． 【变式2-1】（22-23八年级上·全国·期末）如图中，，延长到，与的平分线相交于点与的平分线相交于点2，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A．19.2° B．8° C．6° D．3° 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角与外角的性质等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键．利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 同理，可得， 【变式2-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【答案】 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，由对顶角相等即可得到结论； （2）根据题意可得，得到，根据角平分线得到，再根据得到，即可得到答案． 【详解】解：（1） 而， ； （2），， ， ， 和的平分线和相交于点， ， ， ． 【变式2-3】（23-24八年级上·山东济南·期末）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 题型三 飞镖模型 【例3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴． 故选：D 【变式3-1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）一个零件的形状如图，按规定，，判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件______（填“合格”或“不合格”）． 【答案】不合格 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质，连接并延长是解题的关键． 连接并延长，根据三角形的外角的性质得到，，因此，即可作出判断． 【详解】解：连接并延长，如图： 由三角形的外角性质可得，，， ∴ ， ∵这个零件， ∴这个零件不合格． 故答案为：不合格． 【变式3-2】（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图所示，，，，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，通过延长交于点，利用三角形外角的性质，逐步推导得出的度数． 【详解】解：延长交于点． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【变式3-3】（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号一一箭号．我们不妨把这样的图形叫做“箭头四角形”． 探究： (1)观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； 应用： (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，则__________； ②如图3，的二等分线（即角平分线）相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)， 理由：如图1中，连接并延长到， 因为，， 所以， 即； (2)①；② 【分析】（1）如图中，连接并延长到，利用三角形的外角的性质证明即可； （2）①利用（1）中结论计算即可； ②如图中，设，，利用（1）中结论，求出即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：①如图中， 由（1）知：， 因为，， 所以； ②如图中，设，， 由（1）可知，， ， ， ． 题型四 三角板中的角度计算 【例4】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． 先求出和的度数，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：由三角板的性质可得：，， ∴， ∴， 故选A． 【变式4-1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，．当时，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角的计算，三角形外角的性质，根据题意，得到． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式4-2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）将一副三角板如图摆放，已知：，，，若点E恰好在上，则的度数是________． 【答案】/75度 【分析】根据平行线的性质可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-3】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，把一副直角三角板叠放在一起，已知，则∠的度数为_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形外角的性质即得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 题型五 三角形外角的性质的应用 【例5】（25-26八年级上·河南许昌·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质．根据三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由三角形的外角性质得， 故选：A． 【变式5-1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，李明同学在东西方向的滨海路处，测得海中灯塔在北偏东方向上，他向东走300米至处，测得灯塔在北偏东方向上，则从灯塔观测两处的视角的度数是___________． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查方位角，三角形外角的性质．由题意可得，是的外角，结合方位角的知识，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ， ， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握求三角形外角的方法是解题的关键． 连接，根据“三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和”，计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，， ， ， ． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·江西吉安·期末）【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．    【提出问题】 小明提出：如图①，和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 (1)请你帮小明解决这个问题，并说明理由． (2)如图②，求，，的数量关系，并说明理由． (3)如图③，已知，，，求的度数． 【答案】(1) 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． (2) ，与相交于点理由如下： ， ， ， ． (3) 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，熟知平行线的性质与三角形外角的性质是解题的关键． （1）由平行线的性质推出，得到即可解决问题； （2）由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； （3）延长交于点L，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图③，延长交于点L，    ∵， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $