26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第1课时 探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，核心内容包括用配方法化一般式为顶点式，掌握对称轴、顶点坐标公式及开口方向、增减性、最值等性质。课堂导入通过复习顶点式优势，对比一般式无法直接判断性质的问题，搭建新旧知识联系的学习支架，激发探究需求。 这份导学案以“配方转化—公式推导—性质归纳—例题应用”为主线，引导学生经历完整探究过程，提升代数变形和逻辑推理能力，自主推导公式培养创新意识。典型例题与拓展提升题结合实际情境，如用表格数据求函数表达式，强化模型意识，助力学生掌握性质并发展数学核心素养。

26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第一课时 探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质） （导学案） （1）掌握用配方法将y=ax²+bx+c(a≠0)化为顶点式的方法；熟记二次函数一般式的对称轴、顶点坐标公式；熟练掌握一般式二次函数的开口方向、增减性、最值性质，能利用公式和性质解决基础题型. (2)经历“配方转化—公式推导—性质归纳—例题应用”的完整探究过程，提升代数变形、逻辑推理、数形结合分析问题的能力，体会转化、归纳的数学思想. （3）通过自主推导公式、归纳性质，感受数学知识的连贯性和统一性，增强自主探究意识和学习自信心；在数形结合分析问题中体会数学的严谨性和逻辑性，提升数学核心素养. 重点:用配方法将二次函数一般式化为顶点式；掌握二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；能利用公式和性质解决基础计算、图象分析问题. 难点：一般式二次函数顶点坐标、对称轴公式的推导过程（配方的代数变形逻辑）；结合对称轴准确判断二次函数在任意区间内的增减性，区分最值与函数增减变化的关联. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾:（1）我们之前学习的二次函数顶点式是什么？它的优势是什么？（2）说出y=2(x-1)²+3的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。（3）实际问题中，二次函数常以y=2x²-4x+1这种形式出现，它不是顶点式，如何快速判断它的图象和性质？ 师生互动：学生回顾顶点式优势（可直接看出顶点、对称轴、最值），发现普通一般式无法直接判断性质，产生探究需求. 【学法指导】 新知自研：自研课本第42-43页的内容 【学法指导】自研课本P42-43页内容 （一）画出二次函数，的图象,并讨论它的性质 活动1.通过图象的平移,得到函数图象. 对于二次函数配方，可得.根据前面的学习，可以先画出二次函数的图象，然后把这个图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到二次函数的图象. 追问:还可以怎样平移? 活动2.直接画出函数图象. 如果直接画二次函数的图象，可按如下步骤进行. 由配方的结果可知，抛物线的顶点是(6，3)，对称轴是x=6. 先利用图象的对称性列表: … 3 4 5 6 7 8 9 … … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … 然后描点画图，得到的图象,如下图. 活动3.观察二次函数的图象讨论它的性质. 从二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.也就是说，当x<6时，随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大；当x=6时，y取最小值，最小值是3. （二）利用上面的方法研究二次函数的图象,并讨论它的性质. 活动4.分别用平移、直接画图象的方法，画出二次函数的图象，观察二次函数的图象讨论它的性质. 从二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降.也就是说，当x<-2时，随x的增大而减小；当x>-2时，y随x的增大而增大；当x=-2时，y取最小值，最小值是2. （三）探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 活动5.将一般式转化为顶点式. 尝试用配方法将y=ax²+bx+c(a≠0)转化为顶点式， 教师分步引导：第一步：提取二次项系数：， 第二步：配方（加、减一次项系数一半的平方）： 第三步：整理化为顶点式： 总结归纳：结合顶点式y=a(x-h)²+k，对比得出： 对称轴：直线； 顶点坐标： 易错强调：配方时仅对含x的项变形，提取系数后括号内配方，常数项需整体整理，注意符号和通分计算. 活动6.归纳一般式二次函数图象与性质 结合推导的顶点式和已有知识，师生共同归纳y=ax²+bx+c(a≠0)的性质： 1. 开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下；|a|越大，开口越小。 2. 对称轴：直线 3. 顶点坐标： 4. 增减性： a>0：对称轴左侧（），y随x增大而减小；对称轴右侧（），y随x增大而增大； a<0：对称轴左侧（），y随x增大而增大；对称轴右侧（），y随x增大而减小. 5. 最值：a>0，当时，； a<0，当时，. 自研课本P42-43页内容 典型例题 例1：已知二次函数y=x²-2x-3，请完成下列问题： （1）用配方法将函数化为顶点式； （2）求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）求函数的最值； （4）判断函数的增减性. 【分析】本题完整覆盖一般式转顶点式、公式应用、性质分析四大核心考点。解题核心思路：先通过配方法完成形式转化，再结合顶点式或通用公式判断图象特征，最后依据a的符号和对称轴分析增减性与最值，层层递进、贴合课堂新知. 【详解】解：（1）配方转化顶点式：. （2）由顶点式y=(x-1)²-4可知： a=1>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=1；顶点坐标为(1,-4). （3）求函数最值：∵ a=1>0，抛物线开口向上，函数有最小值，无最大值；∴ 当x=1时， （4）分析函数增减性：对称轴为直线x=1，开口向上：当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大. 第二环节 合作探究 讨论交流: 1. 讨论怎样画二次函数、的图象与性质. 2. 讨论二次函数 y=ax²+bx+c的图象和性质.. 拓展提升： 1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x1． ∴可设二次函数为y＝a（x+1）²+k． 又∵图象过（0，﹣2），（1，1）， ∴﹣2＝a（0+1）²+k，且1＝a（1+1）²+k． ∴a＝1，k＝﹣3． ∴二次函数为y＝（x+1）²﹣3，即y＝x²+2x﹣2． （2）由题意，结合（1）y＝（x+1）²﹣3， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）． 作图如下． （3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后， ∴新函数为y＝（x+1﹣n）²﹣3． ∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上． ∴①当3≤n﹣1时，即n≥4， ∴当x＝0时，y取最大值为（1﹣n）²﹣3；当x＝3时，y取最小值为（4﹣n）²﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）²﹣3﹣（4﹣n）²+3＝5． ∴n4，不合题意． ②当0＜n﹣1＜3时，即1＜n＜4， ∴当x＝0或x＝3时，y取最大值为（1﹣n）²﹣3或（4﹣n）²﹣3；当x＝n﹣1时，y取最小值为﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）²﹣3+3＝5或（4﹣n）²﹣3+3＝5． ∴n＝1或n＝1（不合题意，舍去）或n＝4（不合题意，舍去）或n＝4． ③当n﹣1≤0时，即n≤1， ∴当x＝0时，y取最小值为（1﹣n）²﹣3；当x＝3时，y取最大值为（4﹣n）²﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（4﹣n）²﹣3﹣（1﹣n）²﹣3＝5． ∴n1，不合题意． 综上，n＝1或n＝4． 课本课堂练习（P43). 1．（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 【解答】解：由题意可得， ∵方程ax²﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号， ∴， 解得0＜a＜3， ∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝ax²﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3， ∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3， ∵0＜a＜3， ∴此时y＜0，故D符合题意； 故选：D． 2.（2025•福建）已知点A（﹣2，），B（1，）在抛物线y＝3x²+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜＜ B．＜1＜ C．1＜＜ D．＜1＜ 【解答】解：∵y＝3x²+bx+1， ∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点（0，1）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点A（﹣2，）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，）到对称轴的距离， ∴1＜＜， 故选：A． 3.（2025•泸州）已知抛物线y＝ax²+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1时，y＞0，下列结论正确的是（　　） A．2a＝b B．b²﹣4ac＜0 C．a﹣2b+4c＜0 D．8a+c＞0 【解答】解：∵抛物线y＝ax²+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线与y轴的交点位于x轴下方， ∴当x＝0时，y＜0， ∵当x＝﹣1时，y＞0， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在直线x＝﹣1和y轴之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间， ∴抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相同的实数根， ∴b²﹣4ac＞0，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∵当x＝0时，y＜0，且当x＝﹣1时，y＞0， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0， ∴4a+2•2a+c＞0，即8a+c＞0，故D选项中原结论正确，符合题意； 当时，， 当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1时，则原函数解析式为y＝x2﹣2x﹣1， 当时，，故C选项中原结论不正确，不符合题意； 故选：D． 4．（2026·徐州统考）下表给出了变量x与、之间的部分对应关系（表格中的符号“▲”表示该项数据已经丢失）： x 0 1 ▲ ▲ 1 8 3 ▲ (1)求函数的表达式并画出它的图像； (2)结合图像回答问题：当x的取值范围是______时，？ (3)将函数的图像向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后函数的表达式为______． 【详解】（1）解：当时，， 当时，的值是8，当时，的值是3 ， ，，函数的表达式为 此函数的顶点坐标为，对称轴为经过且平行于y轴的直线． 列表： x … 0 2 3 4 5 … y … 8 3 0 0 3 8 … 描点、连线： （2）当时，由二次函数函数图像可知： 自变量取值范围是： （3）， 函数图像向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，即 ， ． 知识技能：（1）掌握二次函数一般式化顶点式的配方法步骤；（2）熟记通用公式：对称轴，顶点坐标；（3）熟练根据a、b、c判断二次函数的开口、对称轴、顶点、增减性、最值五大核心性质. 思想方法：（1）转化思想：将陌生的一般式二次函数转化为熟悉的顶点式，化未知为已知；（2）数形结合思想：由解析式（数）分析图象性质（形），以形助数、以数释形；（3）归纳推理思想：由特殊函数性质归纳出通用一般式函数性质. 易错提醒：（1）配方时易漏加、漏减常数项，符号计算容易出错；公式中符号易错，对称轴是，切勿遗漏负号；（3）增减性必须以对称轴为分界，不能笼统描述；（4）最值必须对应自变量取值（顶点横坐标），不可只写函数值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第一课时 探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质） （导学案） （1）掌握用配方法将y=ax²+bx+c(a≠0)化为顶点式的方法；熟记二次函数一般式的对称轴、顶点坐标公式；熟练掌握一般式二次函数的开口方向、增减性、最值性质，能利用公式和性质解决基础题型. (2)经历“配方转化—公式推导—性质归纳—例题应用”的完整探究过程，提升代数变形、逻辑推理、数形结合分析问题的能力，体会转化、归纳的数学思想. （3）通过自主推导公式、归纳性质，感受数学知识的连贯性和统一性，增强自主探究意识和学习自信心；在数形结合分析问题中体会数学的严谨性和逻辑性，提升数学核心素养. 重点:用配方法将二次函数一般式化为顶点式；掌握二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；能利用公式和性质解决基础计算、图象分析问题. 难点：一般式二次函数顶点坐标、对称轴公式的推导过程（配方的代数变形逻辑）；结合对称轴准确判断二次函数在任意区间内的增减性，区分最值与函数增减变化的关联. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾:（1）我们之前学习的二次函数顶点式是什么？它的优势是什么？（2）说出y=2(x-1)²+3的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。（3）实际问题中，二次函数常以y=2x²-4x+1这种形式出现，它不是顶点式，如何快速判断它的图象和性质？ 师生互动：学生回顾顶点式优势（可直接看出顶点、对称轴、最值），发现普通一般式无法直接判断性质，产生探究需求. 【学法指导】 新知自研：自研课本第42-43页的内容 【学法指导】自研课本P42-43页内容 （一）画出二次函数，的图象,并讨论它的性质 活动1.通过图象的平移,得到函数图象. 对于二次函数配方，可得.根据前面的学习，可以先画出二次函数的图象，然后把这个图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到二次函数的图象. 追问:还可以怎样平移? 活动2.直接画出函数图象. 如果直接画二次函数的图象，可按如下步骤进行. 由配方的结果可知，抛物线的顶点是(6，3)，对称轴是x=6. 先利用图象的对称性列表: … 3 4 5 6 7 8 9 … … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … 然后描点画图，得到的图象,如下图. 活动3.观察二次函数的图象讨论它的性质. 从二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.也就是说，当x<6时，随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大；当x=6时，y取最小值，最小值是3. （二）利用上面的方法研究二次函数的图象,并讨论它的性质. 活动4.分别用平移、直接画图象的方法，画出二次函数的图象，观察二次函数的图象讨论它的性质. 从二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降.也就是说，当x<-2时，随x的增大而减小；当x>-2时，y随x的增大而增大；当x=-2时，y取最小值，最小值是2. （三）探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 活动5.将一般式转化为顶点式. 尝试用配方法将y=ax²+bx+c(a≠0)转化为顶点式， 教师分步引导：第一步：提取二次项系数：， 第二步：配方（加、减一次项系数一半的平方）： 第三步：整理化为顶点式： 总结归纳：结合顶点式y=a(x-h)²+k，对比得出： 对称轴：直线； 顶点坐标： 易错强调：配方时仅对含x的项变形，提取系数后括号内配方，常数项需整体整理，注意符号和通分计算. 活动6.归纳一般式二次函数图象与性质 结合推导的顶点式和已有知识，师生共同归纳y=ax²+bx+c(a≠0)的性质： 1. 开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下；|a|越大，开口越小。 2. 对称轴：直线 3. 顶点坐标： 4. 增减性： a>0：对称轴左侧（），y随x增大而减小；对称轴右侧（），y随x增大而增大； a<0：对称轴左侧（），y随x增大而增大；对称轴右侧（），y随x增大而减小. 5. 最值：a>0，当时，； a<0，当时，. 自研课本P42-43页内容 典型例题 例1：已知二次函数y=x²-2x-3，请完成下列问题： （1）用配方法将函数化为顶点式； （2）求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）求函数的最值； （4）判断函数的增减性. 第二环节 合作探究 讨论交流: 1. 讨论怎样画二次函数、的图象与性质. 2. 讨论二次函数 y=ax²+bx+c的图象和性质.. 拓展提升： 1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 课本课堂练习（P43). 1．（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 2.（2025•福建）已知点A（﹣2，），B（1，）在抛物线y＝3x²+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜＜ B．＜1＜ C．1＜＜ D．＜1＜ 3.（2025•泸州）已知抛物线y＝ax²+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1时，y＞0，下列结论正确的是（　　） A．2a＝b B．b²﹣4ac＜0 C．a﹣2b+4c＜0 D．8a+c＞0 4．（2026·徐州统考）下表给出了变量x与、之间的部分对应关系（表格中的符号“▲”表示该项数据已经丢失）： x 0 1 ▲ ▲ 1 8 3 ▲ (1)求函数的表达式并画出它的图像； (2)结合图像回答问题：当x的取值范围是______时，？ (3)将函数的图像向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后函数的表达式为______． 知识技能：（1）掌握二次函数一般式化顶点式的 ；（2）熟记通用公式：对称轴 ，顶点坐标 ；（3）熟练根据a、b、c判断二次函数的 五大核心性质. 思想方法：（1）转化思想：将陌生的一般式二次函数转化为熟悉的 ，化 为已知；（2）数形结合思想：由 分析 ，以 、以 ；（3）归纳推理思想：由 性质归纳出通用 性质.遗 易错提醒：（1）配方时易 、 常数项， 容易出错；公式中 ，对称轴 ，切勿 ；（3）增减性必须以 为分界，不能 描述；（4）最值必须对应 （顶点横坐标），不可 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $