26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，核心内容为用配方法或公式法将一般式化为顶点式，求解顶点坐标与对称轴。课堂导入通过复习y=ax²的图像平移猜想，结合填一填、想一想活动搭建学习支架，衔接前后知识。 资料特色在于以合作探究为主线，通过描点作图、步骤归纳培养学生抽象能力与推理意识，例题解析与链接中考题强化应用意识，当堂反馈及时巩固，助力学生主动建构知识并发展数学思维。

第26章 二次函数 26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 【学习目标】 学习目标：1.会用配方法或公式法将二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c化成顶点式 y=a(x－h)2+k(a≠0). 2.会熟练求出抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标、对称轴. 重点：能够熟练地求出二次函数一般式y=ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. 难点：会用配方法或公式法将一般式y=ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x－h)2+k(a≠0). 【复习导入】 【合作探究】 探究点：二次函数y = ax2+bx+c 的图象和性质 猜想：通过组合平移 y = ax2 (a≠0) 的图像能否得到y = ax2+bx+c (a≠0) 的图像？ 合作探究 问题 对于二次函数，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 填一填 （1）x2-12x+36= (x____)2; （2）x2-12x=(x____)2 −____. 想一想 请将化成y=a(x－h)2+k的形式，并说一说配方的方法及步骤； 探究1：从函数解析式研究图象和性质. (1) 你能说出的对称轴和顶点坐标吗？ (2) 抛物线可以看作是由怎样平移得到的？ 探究2：用“描点法”法作图研究图象性质 x … 3 4 5 6 7 8 9 … … … 问题 结合二次函数的图象，说出其增减性. 思考：你能用上面的方法讨论二次函数 的图象和性质吗? 思考：我们如何用配方法将二次函数的一般式 y = ax2+bx+c(a ≠ 0) 化成顶点式 y=a(x-h)2+k？ 要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即y=ax2+bx+c=______________; 因此，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是：______________; 对称轴是：直线______________. 练一练 1. 将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式 y=a(x－h)2+k 的形式，并指出其顶点坐标． (1) y = x2－2x + 1； (2) y = 2x2－4x + 6． 要点归纳： 如果a>0，当x<_______时，y随x的增大而减小；当x>_______时，y随x的增大而增大. 如果a<0，当x<________时，y随x的增大而增大；当x>_______时，y随x的增大而减小. 例1 已知二次函数y＝x2-6x+5． （1）将y＝x2-6x+5化成y=a(x-h)2+k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小？ 想一想，对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 图象性质中，字母 a，b，c 所起的作用. 问题 二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空. a1 0，b1 0，c1 0；a2 0，b2 0，c2 0； a3 0，b3 0，c3 0；a4 0，b4 0，c4 0. 链接中考 1. 如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为直线 x＝－1，下列结论： ①abc＜0；②3a＜－c； ③若 m 为任意实数，则有 a－bm＜am2 + b； ④若图象经过点(－3，－2)，方程 a2 + bx + c + 2 = 0 的两根为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，则 2x1－x2 = 5. 其中正确的结论的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 归纳总结: 二次函数图象与 a、b、c 的关系 字母符号 图象的特征 a＞0 开口___________ a＜0 开口___________ b = 0 对称轴为_____轴 a、b 同号(ab＞0) 对称轴在 y 轴的____侧 a、b 异号(ab＜0) 对称轴在 y 轴的____侧 c = 0 经过原点 c ＞ 0 与 y 轴交于_____半轴 c ＜ 0 与 y 轴交于_____半轴 当堂反馈 1.二次函数y＝x2＋4x＋2的图象的对称轴是直线(　　) A.x＝－2 B.x＝2 C.x＝－1 D.x＝1 2.抛物线y＝－2x2－3x＋1大致是(　　) 3.已知点A(－1，y1)，B(4，y2)，C(5，y3)都在二次函数y＝－2x2＋12x＋1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　　(用“＜”连接). 4.已知二次函数的图象过(－1，0)，(3，0)，(0，－)三点，则该二次函数的解析式 为　 　. 5.(10分)将下列二次函数化成y＝a(x－h)2＋k的形式，并求出其图象的顶点坐标. (1)y＝3x2＋6x＋9； 书写通关 解：提出二次项系数，得　 　. 括号内配成完全平方式，得　 　. 整理，得　 　. ∴二次函数图象的顶点坐标为　 　. (2)y＝－2x2＋12x－25. 参考答案 探究点：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 填一填 (1) -6 (2) -6 -36 想一想 配方的步骤如下：(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式. 探究1： (1)答：开口向上，对称轴是直线 x = 6，顶点坐标是 (6，3). (2) 答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位长度得到的； 平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位长度得到的. 探究2： x … 3 4 5 6 7 8 9 … … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … 问题 ：当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大. 思考： 解：函数y=-2x2-4x+1通过配方可得y=-2(x+1)2+3.列表如下： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y … -15 -5 1 3 1 -5 -15 … 然后描点、连线，得到图象如图②所示. 由图象可知，这个函数具有如下性质：当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大； 当x＞-1时，函数值y随x的增大而减小；当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=3. y=ax²+bx+c= 要点归纳： 练一练 解：(1)y=x2-2x+1=(x-1)2，顶点坐标为(1，0)； (2)y=2x2-4x+6=2(x-1)2+4，顶点坐标为(1，4). 要点归纳： 典例精析 例1 解：（1）y＝x2-6x+5＝(x-3)2-4； （2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，-4）； （3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，∴当x≤3时，y随x的增大而减小． 问题 y1: ＞ ＞ ＞ y2: ＞ ＜ = y3:＜ = ＞ y4:＜ ＞ ＜ 链接中考1. B 当堂反馈 1.A　 2.B 3.　y1＜y3＜y2　. 4.(4分)已知二次函数的图象过(－1，0)，(3，0)，(0，－)三点，则该二次函数的解析式为　y＝x2－x－　. 5.(1) 书写通关 解：提出二次项系数，得　y＝3(x2＋2x)＋9　. 括号内配成完全平方式，得　y＝3(x2＋2x＋1)＋9－3　. 整理，得　y＝3(x＋1)2＋6　. ∴二次函数图象的顶点坐标为　(－1，6)　. (2)解：y＝－2(x2－6x＋9)－25＋18＝－2(x－3)2－7， ∴该二次函数的顶点式为y＝－2(x－3)2－7， 其图象的顶点坐标为(3，－7). 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $