精品解析：江苏无锡市市北高级中学2025-2026学年第二学期高一年级数学学科期中检测卷

无锡市市北高级中学2025--2026学年第二学期 高一年级数学学科期中检测卷 时间：120分钟 分值：150 日期：2026.4 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量坐标乘法和减法法则得到答案. 【详解】. 故选：C 2. 在中，已知，且满足，则的面积为 A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理先进行化简，然后根据余弦定理求出C的大小，结合三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】在中，已知，∴由正弦定理得， 即，∴＝＝，即＝. ∵ ，∴的面积． 故选D． 【点睛】本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理进行化简是解决本题的关键,属于基础题． 3. 已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（ ） A. ， B. ，且 C. ，，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与直线的位置关系判断A；由直线与平面的位置关系判断B；平面与平面的位置关系判断C；平面与平面的平行的性质定理判断D. 【详解】选项A中，，，则可能平行也可能相交，故A不正确； 选项B中，，，则可能且，也可能在平面或平面内，故B不正确； 选项C中，，，，，若直线 与直线平行，则平面可能平行也可能相交，故C不正确； 选项D为面面平行性质定理的符号语言，D正确； 故选：D. 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求出当时的m值即可得解. 【详解】由题当时，， 或， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为向量，， 所以量，，， 则在向量上的投影向量为为. 故选：D. 6. 唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力､开放的心态､丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱的高为，内壁的表面积为，可得，可得，利用几何体的几何特征可求内壁表面积. 【详解】设圆柱的高为，内壁的表面积为， 由题意可知：，解得， 内壁的表面积等于圆柱的侧面积，加半球的表面积， 即. 故选：D. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，再利用直角三角形边角关系求解即得. 【详解】在中，，，则， 由正弦定理得，则， 在中，，所以. 故选：D 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先过点画出与平面平行的平面，然后得出点的轨迹，最后计算的长度取值范围即可. 【详解】如图，分别作的中点，连接，如图， 易得，又平面，平面，故平面， 在正方体中，易得， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，故平面， 又，平面，所以平面平面， 因为面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以动点在正方形的轨迹为线段， 在三角形中，，， 所以点到点的最大距离为， 最小距离为等腰三角形在边上的高为， 所以线段的长度范围为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是过作出面的平行面，从而求得的运动轨迹，由此得解. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图长方体被一个平面截成两个几何体，其中，则（ ） A. 几何体是一个六面体 B. 几何体是一个四棱台 C. 几何体是一个四棱柱 D. 几何体是一个三棱柱 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据棱柱、棱台的概念判断即可； 【详解】解：在长方体中，，，所以， 因为有六个面，所以几何体是一个六面体，故A正确； 因为，所以侧棱的延长线不能交于一点，故不是四棱台，故B错误； 因为几何体的侧棱平行且相等，四边形与四边形是平行且全等的四边形， 所以几何体为四棱柱， 同理几何体是一个三棱柱，故C、D正确； 故选：ACD 10. 已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（ ） A. 若复数满足，则复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B. 若复数满足，则复数 C. 若复数，满足，则 D. 若复数，满足，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，结合复数的几何意义，即可求解， 对于B，结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解， 对于C，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解， 对于D，合特殊值法，即可求解． 【详解】解：对于A，复数满足，则复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上，故A错误， 对于B，令，，， ， ，即，解得， ，故B正确， 对于C，，， ， 则，故C正确， 对于D，令，，满足，但，故D错误． 故选：BC． 11. 对于，有如下命题，其中错误的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，，，则面积为 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为等腰三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理推理判断A；利用正弦定理求出，再利用三角形面积公式计算判断B；利用数量积的定义求解判断C；利用诱导公式推理判断D. 【详解】对于A，，由正弦定理， 得，由余弦定理得，是钝角，为钝角三角形，A错误； 对于B，由正弦定理，得，解得或， 当时，， 当时，，B错误； 对于C，由，得， 则，而，因此，为等腰三角形，C正确； 对于D，在中，由，， 得或， 解得或，为等腰三角形或直角三角形，D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，其中为虚数单位，则复数的模为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则求得复数，进而可求得. 【详解】由，可得， 所以. 故答案为：. 13. 平面外的直线上有两个点到平面距离相等，则直线与平面的位置关系是______． 【答案】平行或相交 【解析】 【分析】由已知可分直线与平面平行以及直线与平面相交，结合正方体，举例说明即可得出答案. 【详解】平面外的直线与平面的关系为：直线与平面平行或直线与平面相交. 当直线与平面平行时，显然满足直线上有两个点到平面距离相等； 当直线与平面相交时， 如图正方体中，点、、、分别是各棱的中点. 根据正方体的性质可知，平面，平面，且， 即直线上存在两点、到平面的距离相等，且直线与平面相交. 故答案为：平行或相交. 14. 斯图瓦尔特定理是由18世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论.根据斯图瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角的对边分别为，点在边上，且，则.已知中，内角的对边分别为，且，，点在上，且的面积与的面积之比为2，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目已知等式和正弦定理求出的大小，进而得到，利用余弦定理求出，再根据与的面积之比得到，最后代入斯图瓦尔特定理中的表达式即可. 【详解】由及正弦定理可得， 由，可得，，即， 结合，因此，， 由结合余弦定理，得， 由的面积与的面积之比为2，可得，取，， 由斯图瓦尔特定理可得，故. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （I）求向量与向量夹角的余弦值 （II）若，求实数的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 【解析】 【分析】(Ⅰ) 求得，利用平面向量夹角余弦公式可得结果； （II） 由向量垂直可得 ，即，从而可得结果. 【详解】(Ⅰ) ，设与的夹角为， 所以 ， （II）由题可得，又， ∴， ， 解得， ∴实数的值为1. 16. 设为虚数单位，，复数．且在复平面内复数对应的点在第一象限的角平分线上． （1）求实数的值； （2）若是纯虚数，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的几何意义可得对应的点为，即可根据求解， （2）根据复数的除法运算化简为，即可根据纯虚数的定义求解. 【小问1详解】 在复平面内对应的点为，由于在第一象限的角平分线上，所以 【小问2详解】 由（1）知，， 由于为纯虚数，所以，故， 17. 如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点．求证： （1）直线平面； （2）平面平面； （3）若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积． 【答案】（1）证明：连接SB，由EG为△CSB的中位线，可得EG∥SB， 由EG⊄平面BDD1B1，SB⊂平面BDD1B1，可得EG∥平面BDD1B1； （2）证明：由EF∥DB，EF⊄平面BDD1B1，DB⊂∥平面BDD1B1， 可得EF∥∥平面BDD1B1， 又由（1）可得EG∥平面BDD1B1， EF∩EG＝E，可得平面EFG∥平面BDD1B1； （3）画图： 截面的面积为． 【解析】 【分析】（1）连接SB，由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明； （2）由线面平行和面面平行的判定定理，即可得证； （3）取B1C1的中点N，连接A1N，NE，取A1D1的中点M，连接MC1，AM，由平行四边形的判定和性质，推得截面为菱形，由对角线互相垂直，可得所求面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）取B1C1的中点N，连接A1N，NE， 可得AE∥A1N，AE＝A1N， 取A1D1的中点M，连接MC1，AM， 可得MC1＝A1N，MC1∥A1N， 可得截面AEC1M为平行四边形，且AE＝EC1＝AM＝MC1＝＝， 所以截面的面积为×A1C1×ME＝××＝． 18. 如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量.若则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作，已知点，分别在，轴，，，，为非零实数，点满足. （1）求向量在坐标系中的坐标； （2）若，，求向量在坐标系中的坐标； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）将表示成以，为基底的向量，即可得出其坐标； （2）根据向量线性运算的坐标表示并利用得到方程，解方程可求得向量的坐标； （3）得出关于坐标的表达式，再利用二次函数性质即可求得其最小值. 【小问1详解】 由可得. 即. 即向量在坐标系中的坐标为； 【小问2详解】 若，则. 所以. 因为，. 即. 解得， 所以向量在坐标系中的坐标为； 【小问3详解】 因为，； 所以； 当，即时，取得最小值，最小值为. 19. 如图，某区有一块的空地，其中，．当地区政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网． （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求人工湖用地的面积是假山用地面积的倍，试确定的大小； （3）如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）时，的面积最小，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，在中根据余弦定理求出，并得到为直角三角形，进而求出是正三角形，即可得出结论； （2）设，由结合面积公式，以及在中由正弦定理，分别求出，从而得到关于的方程，求解即可； （3）设，由（2）将用表示，在中根据正弦定理，将用表示， 面积可表示为关于的函数，利用三角恒等变换，结合正弦函数的有界性，即可得出结论. 【详解】解：（1）因为，所以． 在中，，，， 由余弦定理，得，即． 因为，所以，， 所以是正三角形，其周长为6，即防护网的总长度为． （2）设，因为， 所以，即． 在中，由， 得．由，得． 因为，所以，，即． （3）设，由（2）知． 在中，由，得， 所以 ， 当，即时，的面积最小， 且最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市市北高级中学2025--2026学年第二学期 高一年级数学学科期中检测卷 时间：120分钟 分值：150 日期：2026.4 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，已知，且满足，则的面积为 A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（ ） A. ， B. ，且 C. ，，， D. ，， 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力､开放的心态､丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图长方体被一个平面截成两个几何体，其中，则（ ） A. 几何体是一个六面体 B. 几何体是一个四棱台 C. 几何体是一个四棱柱 D. 几何体是一个三棱柱 10. 已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（ ） A. 若复数满足，则复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B. 若复数满足，则复数 C. 若复数，满足，则 D. 若复数，满足，则 11. 对于，有如下命题，其中错误的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，，，则面积为 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为等腰三角形 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，其中为虚数单位，则复数的模为______. 13. 平面外的直线上有两个点到平面距离相等，则直线与平面的位置关系是______． 14. 斯图瓦尔特定理是由18世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论.根据斯图瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角的对边分别为，点在边上，且，则.已知中，内角的对边分别为，且，，点在上，且的面积与的面积之比为2，则______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （I）求向量与向量夹角的余弦值 （II）若，求实数的值. 16. 设为虚数单位，，复数．且在复平面内复数对应的点在第一象限的角平分线上． （1）求实数的值； （2）若是纯虚数，求实数的值． 17. 如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点．求证： （1）直线平面； （2）平面平面； （3）若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积． 18. 如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量.若则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作，已知点，分别在，轴，，，，为非零实数，点满足. （1）求向量在坐标系中的坐标； （2）若，，求向量在坐标系中的坐标； （3）求的最小值. 19. 如图，某区有一块的空地，其中，．当地区政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网． （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求人工湖用地的面积是假山用地面积的倍，试确定的大小； （3）如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $