甘肃省市县重点高中教研协作联盟2026-2027学年高三起点摸底考试数学试卷

甘肃省市县重点高中教研协作联盟2026~2027学年高三起，点摸底考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 如 4.本卷命题范围：高考范围。 酃 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 长 1.已知集合A=(z-2≤x<1),B=(-2,-1,0,1,2,则A门B=T1,点i1m3武4 :原式名火() 区 A.{-2,-1,0} B.{-2,-1,0,1} s1直人 C.{-1,0,1} D.(-1,0,1,2) 以1尖宜：(！) 邪 2.若a是一1,5的等差中项，2是a,b的等比中项，则a十b= 0)1)3点安4当(B) 杯 A.6 B.5 D.3 3.若2+zi=|3+4i,则z的虚部是 .的实 按 A.3i B.-31 C.3 D.-3 4.已知双曲线C:4x2一y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线I交C的左支于A,B两 点，且|AB|=6,则△ABF2的周长为 A.13 B.14 C.15 D.16 5.已知向量a=(-1,1),b=(x,-2),若a⊥(2a-b),则|a十b|= A.8 B.5√2 C.5 D.22 6.已知a=log52,b=cos2,c=8寸，则 A.c<a<b B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c 7.已知等差数列{a,}的前n项和为S.,且as十a,=8,S12=66,则Sn的最大值为 A.90 B.91 C.92 D.220g 24 【高三摸底考试·数学试卷第1页（共4页）】 27-L-015C 8.已知点P为圆C:x2+y2一2x+4y+4=0上任意一点，过点P分别向直线l1:mx+y+2m一 2=0和l2:x一my+2+2m=0作垂线，垂足分别为M,N.则|PM·IPN|的最大值为 A.18 B25 C.17 婴 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=一sin2x,则 A.f(x)的最小正周期为π B.将f(x)的图象向右平移个单位可得到函数y=sin(2x+)的图象 C.f(x)在区间(0，开)上单调递增 D.直线x=是是曲线y=f(x十)的一条对称轴 10.已知抛物线C:y2=2x(p>0)与直线y=x一4交于A,B两点，焦点为F,若|AB|= 应410，则，人「而，，·人1止心 A.p=2 B.直线y=x十2与C相切 C.C的准线方程为x=一2 D.AF+BFI=14 1.设函数fx)=(是+a)ln(1+)+1(a∈R),则 A.当a=1时，f(x)没有零点 B.当a<0时，f(x)在区间(0，十∞)上不存在极值 C.存在实数a,使得曲线y=f()为轴对称图形 2 ,过)405. D.存在实数a,使得曲线y=f（二)为中心对称图形 )，.的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。.川+人一1) 12在(-）” 的展开式中，x的系数是 改，目)到 13.已知tan(a-)=-2,则sin acos a= 14.某中学开展劳动实践活动，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为2， 下底面半径为4，要求切割面经过圆台的两条母线.若切割面经过圆台的上下底面圆心，且 面积为12√3，则圆台外接球的表面积为 :若切割面的面积取最大值时不经过上下 底面圆心，则圆台的高的取值范围为 【高三摸底考试·数学试卷第2页（共4页）】 27-L-015C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(2b-c)cosA=acos C. (1)求角A的大小： 6i. (2)若b十c=7,a=4,求△ABC的面积.。伦6：共，0小时，心无共官*：鞋，二 代0座数密，化化图饭种的，色两的反护语金容 16.(本小题满分15分) 日，H011 有30名同种疾病患者随机分成三组，每组各10名，分别服用A,B,C三类药物.服药一段时 间后，记录了三组患者的生理指标数据，如下表： A 5.25.56.26.56.35.85.46.05.35.8 B 5.56.05.65.05.76.26.45.95.75.1 1行0 C 5.14.95.35.25.56.25.75.55.85.6 已知该生理指标正常范围是(3.9,6.1). 过36 (1)从服用A,B,C类药物的患者中各随机选出1人，分别求选出的1人指标在正常范围内 的概率， (2)30名患者中有5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5,6.3,6.4,5.6,5.2，现从 这5名患者中随机选出2人，记X为选出的2人中指标不在正常范围的人数，求X的分 布列和数学期望。 ·【1, -151 11.11=9./ 1.+.0)两701)t,,6整 17.(本小题满分15分) 1比：鞋岁华荐) 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C中，点D为AB的中点 (1)证明：BC,∥平面A1CD; (2)若点E满足AE=A店+号AA,且AE⊥平面A,CD,求直线DB,与平 面A,CD所成角的正弦值， ,状雪半面烈生好分宵减归，面平计独从，阳，心9视 小明南前下1喻企强每宽W誉制行风：记运.计 12:分大风得西的调国 状丹的项尺间，，[形， 的边t0,圆列 16-.-9 【高三摸底考试·数学试卷第3页（共4页）】 27-L-015C 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ln(x+1)-x,g(x)=2inx. (1)求函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程； (2)证明：对Vx[0,登]有f(x)≤g(x), 9好问件：，《01放农o中。公 十必味整我，会努出：天好·以形写多层0,5！士 子平老示子之为岁兴 且因所业年：”，些头4过心 》上圆喜，券到谷：欢于案的2#圈特，“出。 如 19.(本小题满分17分) 已知精圆E素+芳=16o>b>0的右旅点为F,0,过F的直线与E交于A.日两点当 郡 A为E的上顶点时，|AF=3. 长 (1)求E的方程； (2)过点A作直线l:x=9的垂线，垂足为M. 名 (I)证明：直线MB过定点N; 都 （)当AB的中点为S(s,0(s≠0)，记NA的斜率为k1,NB的斜率为k,证明，1是 都 定值. 式， 。一日 8, 8一 细 的日，长支过通父直并，1出民处，的1一，的家当 这阿，性， oa 710 1 =8+s因.e,S一，)1,9=n sa , 提，8.2”=d,3本05 21 5. 4月 位月说悦之提.8=，：十，从品：0”5与 【高三摸底考试·数学试卷第4页（共4页）】 27-L-015C 甘肃省市县重点高中教研协作联盟2026~2027学年高三起点摸底考试·数学试卷 参考答案、提示及评分细则 1.AA∩B={-2,-1,0}.故选A. 2.C由题意知a=-1,十5=2，ah=4,所以6=2，所以a十6=4.故选C 2 3.D由题意得=3+4-2_3=一3i,之的虚部是-3.故选D 4.B双曲线C:4-y=1,可化为千-y=1,所以A,-AE,=BF,-BF=2a=1,又 4 |AF1|+|BF1|=|AB引=6，所以|AF2|+|BF2|=6+2=8,则△ABF2的周长为14.故选B. 5.B由a⊥(2a-b)得4十x+2=0,所以x=-6,a+b=(-1,1)+(-6,-2)=(-7,-1),所以|a+bl= 5√2.故选B. 6.C因为号<2<，所以6=c0s2<0,0<a=log2<logV5=7=c,所以Ka<.故选C 7.C设等差数列{an}的公差为d,由a5十ag=8,S12=66,得2a十12d=8,12a1+66d=66,解得a1=22,d= -3所以5=2n-号(a-1D=-号+号=-号(m-智)+20，因为EN,所以当w=8时，8 最大，且最大值为92.故选C 8.A圆C的圆心C(1,一2)，半径r=1,由题意1，l2互相垂直且均经过定点Q(一2,2)，因此|PM2+ IPN2=PQI≤CQ+)=36,PM·1PN≤PMPN≤18.经检验等号成立.故选A 2 9.ABD对于A,f(x)的最小正周期为=，故A正确：对于B,将f()的图象向右平移晋个单位长度可 以得到函数y=-sin[2(x-子)门]=-sim(2x-)=sin(2x+牙)，故B正确：对于C,当x∈ (0,开)时，1=2x∈(0，)，而函数y=一simt在(o,)上单调递减，故C错误；对于D,y=f(x+)= 一sim(2z十5)，x=及是其对称轴，故D正确.故选ABD 10.AD由y2=2x(p>0)与y=x-4得y2-2y-8p=0,设A(x1,y),B(x2,2),则y1十2=2p,为2= -8,所以(y-2)2=(M十)2-42=4p+32,1AB|=21y-2|=2√22+16p=4√/10，又p >0,所以p=2,故A正确；由y2=4x与y=x十2得y2一4y十8=0，无实数解，直线y=x十2与C不相切， 故B错误；C的准线方程为x=-1,故C错误；AF|+|BF|=x十x2+2=y十y2+10=2p+10=14,故D 正确.故选AD, 11.ABC由题知函数f(x)的定义域为{xx>-1且x≠0，由(+1)n(x+1)+ y=In (x+1) 1=0,得n(x+1)=1十>-1且x≠0).作出y=h(x+1)与)y=千z的图 象，二者有唯一交点(0,0)，不合题意，故f(x)没有零点，故A正确；(x) -2na+0+(2+a)中，=-是h1+x)+路=-是· 【高三摸底考试·数学试卷参考答案第1页（共4页）】 27-L-015C [n1+x)-1+2四]，令g)=n(1+)-21+22,则g()=一2+，因为a<0,x>0, 1十x 1+x (1+x)2 所以g'(x)>0,又g(0)=0,所以g(x)>0,所以f(x)<0,则f(x)在(0，十o∞)上无极值，故B正确：令h(x)= f(）=(红+ah1中+1，因为中1>0，所以>0或<-1，由对称性可知，若存在对称轴或对称中心，必在 直线x=-2上.考虑)-h-x-1=[+ah1中+1]-[(-x-1+ah千+1]=(x+an1中 -(x+1-ah1士=(2a-1Dn士老，当a=之时，h)=(-x-10.所以y=f(号)关于z=-专对 称，故C正确：考虑h(x)+h(一-1)=(x十an++(x十1一a)n1+工+2=(2x十1Dh1++2,所以 不存在符合题意的常数a,故D错误.故选ABC. 12.-540(x2-)°展开式的通项公式为T+1=C(r)·(-)厂=(-3)rCGr-,令12-3r=3, 解得r=3,所以x3的系数为（一3）3C=一540. 13.- 因为ama=tam(a-平+平)= an(a-还)+1 子，所以sin acosa-aPo3。ana千 sin acos a tan a 1-tan(。-平) 14.64π(2分)(0,2)(3分)当切割面经过圆台上下底面圆心时，切割面为等腰梯形，易得高OO2=2√3，且 圆台外接球球心在高OO上，设圆台的外接球半径为R,则√R2一4+√R2一16=2√3，解得R=4,外接球 的表面积为64π；将圆台OO2补成圆锥PO2,设圆台OO2的母线长为l,则圆锥PO2的母线长为2L.设 ∠APB=0,则切割面为等腰梯形，且面积S=[(2):一P]sin0=号Psin0,当切制面的面积取最大值且不 经过上下底面圆心时，不难知0为纯角，设圆台的高为h,则am号-分=号>1，故0<h<2 h h 15.解：(1)由(2b-c)cosA=acos C及正弦定理，得(2sinB-sinC)cosA=sin Acos C,…2分 即2 sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C).…3分 在△ABC中，A十C=π-B,所以sin(A十C)=sinB,2 sin Bcos A=sinB,…4分 又B∈(0，x),所以simB≠0，cosA=合 …5分 因为A∈(0，π)，所以A=牙. …6分 (2)由余弦定理a2=2十c2-2bcc0sA,得16=十c2-bc,…8分 所以16=(b+c)2-3bc,又b+c=7,所以16=49一3bc,解得bc=11,…10分 所以△ABC的面积为2 esin A=-号×11×-1， 2 4 …13分 16.解：(1)因为服用A类药物的10名患者中，有7人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在 正常范国内的概率为=品： …2分 因为服用B类药物的10名患者中，有8人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在正常范 围内的概率为B=8-号， …4分 【高三摸底考试·数学试卷参考答案第2页（共4页）】 27-L-015C 因为服用C类药物的10名患者中，有9人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在正常范 围内的概率为乃= 6分 (2)因为5名患者中，3人生理指标在正常范围内，2人生理指标不在正常范围内，所以X的可能取值为0， 1,2, …7分 P(X=0) CC8=3 C号10' …9分 P(X=1=CC=3 C号5 …11分 P(X=2)==01 C3C81 13分 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 3 5 10 故BX0)=0×是+1×是+2x0-号 15分 17.(1)证明：连接AC交AC于G,则G为AC1中点， 连接DG,因为D为AB中点，所以DG∥BC,… 3分 因为DGC平面A1CD,BC庄平面ACD, 所以BC∥平面ACD.… 6分 (2)解：取A1B1中点H,在正三棱柱ABC-A1BC中，DB,DC,DH两两垂直， 故以点D为原点，直线DB,DC,DH分别为x轴，y轴，之轴建立如图所示的空间A 直角坐标系，设AB=2,AA=a(a>0),则D(0,0,0),A(-1,0,0), A1(-1,0,a),B(1,0,0),所以AB=(2,0,0),AA=(0,0,a),DA= (-1,0,a),…8分 所以Ai=Ai+号AA=(2,0,号a), 因为AE⊥平面ACD,所以AE⊥DA, 所以A2.DA=-2+号d2=0,又>0，所以a=3.…10分 所以A立=(2,0，子)，由题意知A正为平面A1CD的一个法向量， …12分 又B1(1,0,3),所以DB1=(1,0,3),…13分 设直线DB1与平面A1CD所成角为0，则sin= AE.DB 3 IAE DB …15分 号而xV而 18.(1)解：由f()=n(x+1)-号，得f0)=0,… 2分 由fx)=lnx+1)-合，得了)=市-合f0)=合 …4分 所以函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为)一0=7×(x一0)，即x一2y=0, …6分 【高三摸底考试·数学试卷参考答案第3页（共4页）】 27-L-015C (2)证明：设h(x)=2snx-ln(x+1)+2x, 所以()-ms中十g且kc0)-0,N0)-0 …8分 设)=x)=msx十e[0,]gx)=-合x+ 因为函数)=一之m,y-(十在[0.受]上都单洲递减，所以g(x)在[0，登]上单调递减， 叉40)=1>0g(受)=-}+1 <0,所以3∈(0，牙)，使得g(x0)=0.…12分 （+1) 当0<<时，g(x)>0,9(x)单调递增：当0<x<受时，g(x)<0,q(x)单调递减。 又q0)=0,g(受)=方-五>0，所以对任意的x[0,受]A(x)=g≥0， 所以h(x)在[0，受]上单调递增，所以h()≥h(0)=0. 所以对x[0,受]，都有f(x)≤g(x).… …17分 19.(1)解：记E的半焦距为c,显然c=1,而|AF1=√+c2=a=3, 2分 故b=WQ22=22,…3分 于是E的方程为号+苦=1. …4分 (2)证明：(i)不妨设A(x1,y1),B(x2,y2), x=my+1, 当AB斜率不为0时，设lB:x=my+1,联立 有(8m2+9)y2+16my-64=0,可得y1+ 8.x2+9y-72=0, 16m 64 y2=1 8m2+g1业= 8m2+9 …8分 易知M9.n).MB的斜率为)-二兰故MB的方程可表示为y一n=名二兴(2一9…9分 9-x2 当y=0时，显然1≠2，故x=9-当(9二)_9y-92-9y十(my十1)y=my+1Dy-92 yh一y2 y1一2 y1一y2 一64m+ 64m y2-4GM十2)十5C12=5+8m十9T8m2十93： 11分 1一y2 y1一y2 当AB斜率为0时，易知其也过(5,0).… 12分 综上，直线MB过定点N(5,0).…13分 (i)因为AB的中点为S(s,t)(s≠0)，且AB过点F(1,0),所以AB的斜率不为0， -8n牛g6:=亏‘产写=om-08a- 由题意，得1=当十业=一。8m 1y2 2 yI y2 -64 m-4m(0n十为)+16-64m-4m·(-16m)+16(8m+9)=一8m+9.16分 s=mt+1= 8g十16n号+g故的-一青为定值.（其他解法参照给分)…17分 【高三摸底考试·数学试卷参考答案第4页（共4页）】 27-L-015C