3.1函数的概念及其表示（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了函数的概念与表示知识体系。从函数定义出发，明确非空性、任意性等特征及三要素，进而掌握定义域求法、值域求法、三种表示方法、解析式求法、区间概念和分段函数，形成从基础到应用的学习支架。 知识链路按概念→要素→方法→应用逻辑递进，每个知识点配有归纳总结和易错提醒，题型覆盖判断、计算、综合应用。通过具体方法培养数学思维，用区间、分段函数等数学语言精确表达，助力学生构建完整知识框架，提升问题解决能力。

第三章 函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 🔷知识点一 函数的概念 1. 函数定义 设是非空实数集，如果对于集合中任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，则称为从集合到集合的一个函数，记作。 2. 函数的定义域和值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3.函数的四个特征 ①非空性：必须是非空数集，不存在定义域 或值域为空的函数； ②任意性：定义域内每一个都要有对应，不能有遗漏； ③单值性：一个只能对应一个； ④方向性：与不是同一个对应，不能颠倒。 4.构成函数的三要素 (1) 定义域：自变量的取值集合； (2) 对应关系：对运算、变换的法则，是函数核心； (3) 值域：所有函数值构成集合，值域是集合的子集。 5.同一函数判定 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 两个函数相等定义域完全相同且对应关系完全相同，与自变量、因变量字母无关。 💡拓展延伸 抽象函数和复合函数的概念 （1）没有给出具体解析式的函数称为抽象函数. （2）若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. ⚠️特别提醒 1.判断图像是否为函数：作垂直轴的直线，直线与图像最多只有 1 个交点，否则不是函数； 2.仅值域相同不能判定为同一函数，定义域不同一定不是同一函数； 3.是整体符号，不是乘，代表时的函数值。 📌归纳总结 判断对应是否为函数，抓 “任意、唯一”；判断两函数是否相同，必须同时核对定义域、对应关系两点，缺一不可。 🔷 知识点二 函数定义域的求法 1.给定解析式函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)零次幂的底数不能为0. (5)多个式子组合的函数，先提取每一部分对应的限制不等式，再将全部不等式联立成不等式组，最后求解不等式组并取解集的公共交集，即为函数定义域。 实际问题：除式子有意义，还要满足符合实际问题的背景约束（人数、长度等）。 2.抽象函数的定义域 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. ⚠️特别提醒 1.抽象函数定义域永远指单独的范围，不是中间变量； 2.复合分式和根式组合的函数，所有限制条件必须同时满足，不能遗漏； 3.零次方底数不能为 0 是高频丢分点。 📌归纳总结 给定解析式的函数分式分母不为 0、偶次根号非负、零次幂底数非零联立求解；抽象函数抓住 “括号内整体取值范围不变”，区分已知和已知复合函数两种题型。 🔷 知识点三　函数值域的求法 1.配方法：适用于二次型函数，通过配方化为顶点式，结合给定自变量定义域，确定函数的最大值、最小值，从而得到值域； 2.分离常数法：适用于一次分式型函数，拆分常数将式子变形，根据分式无法取到 0 的特点，判断无法取到的数值，确定值域； 3.换元法：适用于带有根式的函数（形如含），令，限定，将原函数转化为整式函数，再求解取值范围； 4.不等式法：利用平方恒非负、基本不等式等结论，限制代数式的上下界限，推导函数整体取值范围； 5.单调性法：适用于一次函数、反比例函数、单调复合函数。先判断函数在给定定义域上单调递增或单调递减，再将定义域两端的自变量代入解析式，算出对应的函数最值，以此确定函数完整取值范围； 6.数形结合法：适用于分段函数、结构复杂的函数。在平面直角坐标系中画出函数完整图像，观察图像最高点、最低点对应的纵坐标，所有纵坐标的集合就是函数的值域。 ⚠️特别提醒 1.换元后必须标注新元取值范围，否则值域出错； 2.二次函数值域一定要结合给定定义域，不能直接默认全体实数； 3.分式分离常数后，分式永远取不到 0，值域要剔除对应数值。 📌归纳总结 二次函数优先配方；分式优先分离常数；带根号优先换元；复杂分段函数画图看上下边界。 🔷 知识点四　函数的三种表示方法 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系(一般情况下，必须注明函数的定义域) 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系(选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征) 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系(注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点) 🔷 知识点五　 函数解析式的求法 1.换元法：令，求出的取值范围，再用表示，代入原式化简得到，最后将换成并标注定义域。 2.配凑法：直接对的右侧式子变形整理，凑成只含的整体形式，再把替换为，同步写出定义域。 3.待定系数法：根据函数类型设带参数的标准解析式，将已知条件代入得到方程，解出参数后代回，得到完整解析式。 4.方程组法：把原式中的替换成或得到第二个等式，联立两式消去或，化简求出。 ⚠️特别提醒 1.换元、配凑求出后，换回时同步保留变量取值范围； 2.方程组法替换变量时，定义域不变才能联立； 3.一次函数设，二次函数，系数限制不能丢。 📌归纳总结 复合函数解析式优先换元法或配凑法；已知函数类型用待定系数法；同时含构造方程组消元。 🔷 知识点六　 区间概念 1. 区间的概念 设是两个实数，且，介于之间的所有实数构成的集合叫做区间，区间是简化连续实数集合书写的专用符号。称为区间端点。 2. 有限区间的表示（有两个端点） 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 (同时包含左端点、右端点，两端使用中括号。) 开区间 (不包含端点，两端使用小括号。) 半闭半闭开间 (包含左端点，不包含右端点。) 半开半闭区间 (不包含左端点，包含右端点。) 3.无穷区间的表示（含，无完整双端点） 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 数轴表示 4.用区间表示数集的注意点 (1)书写要点 区间左端点值小于右端点值；区间两端点之间用“，”隔开；含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；－∞，＋∞仅为符号，不是实数，无穷一侧只能使用小括号，并不是所有数集都能用区间表示，例如单元素集合{0}。 (2) 数轴表示要点 在数轴上表示区间时，若区间包含端点，对应数轴上的点画实心黑点，表示该数值可以取到；若区间不包含端点，对应数轴上的点画空心圆圈，表示该数值不能取到。两个端点之间的所有实数，用实线连接表示；无穷区间不需要画端点，实线向数轴左右方向无限延伸。 ⚠️特别提醒 1.不是实数，只是符号，永远不能搭配中括号； 2.区间书写必须左小右大，左边数字小于右边数字； 3.区间只能用来表示连续的实数集合，孤立点、离散数集不能用区间表示； 4. 多个不连续范围组合时，区间之间必须用并集符号连接，不能直接用逗号。 区间是连续数集的简写形式，写区间先判断端点能否取到，确定括号类型；无穷端只用小括号；画数轴时实心代表可取、空心代表不可取，间断解集使用并集符号连接。 📌归纳总结 区间是连续数集的简写形式，写区间先判断端点能否取到，确定括号类型；无穷端只用小括号；画数轴时实心代表可取、空心代表不可取，间断解集使用并集符号连接。 🔷 知识点七　 分段函数 1.概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 2.书写规范：整体使用一个左侧大括号统一包裹全部解析式，每一行解析式后方标注该行对应的自变量取值区间。 3.定义域、值域：分段函数表示的是一个函数，并不是多个独立函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. ⚠️特别提醒 1.计算函数值时，先判断自变量所属区间，再选用对应解析式计算； 2.定义域的分界点只能划归其中一个区间，不可同时归属两段或遗漏； 3.求解方程、画函数图像，求解参数范围，均需要按照区间分段分布处理。 4.若分段函数在全体实数上单调递增或单调递减，需保证前一段函数最大值小于等于后一段函数最小值。 📌归纳总结 处理分段函数相关题目，第一步判断自变量所在区间，再匹配对应解析式；求解参数、解不等式、画图像均需要分段讨论。 易错点 1 混淆函数判定标准，一个对应多个仍判定为函数 错例：方程，判定为函数，取时 错因：忽略函数 “单值性”，一个自变量只能对应唯一函数值 规避方法：竖线检验，垂直轴直线与图像最多一个交点才是函数。 易错点 2 抽象函数定义域把中间变量当成范围 错例：的定义域为，直接说成的定义域为 错因：分不清定义域是而非括号整体，忘记先求（) 的范围 规避方法：牢记定义域永远是，括号内整体范围固定不变。 易错点 3 求值域忽略定义域限制 错例：，直接写值域 错因：只看二次函数本身值域，忽略给定自变量区间 规避方法：先锁定范围，再推导取值。 易错点 4 判定同一函数只看解析式，忽略定义域 错例：与判定为同一函数 错因：的定义域为，的定义域，定义域不同 规避方法：同一函数两步走，先核对定义域，再化简对比对应关系。 易错点 5 分段函数求值代错区间解析式 错例：，求代入（） 错因：未判断自变量所属区间，随意选用解析式 规避方法：求值第一步：判断落在哪一段，再代入对应式子。 易错点 6 换元求解析式不标注新元范围 错例：，令得，直接写 错因：，新函数定义域应为，遗漏限制 规避方法：换元同步记录新变量取值，最后代回解析式标注定义域。 易错点 7 区间书写无穷端使用中括号 错例：写成 错因：不是实数，不能搭配中括号 规避方法：一侧出现，统一使用小括号。 易错点 8 区间左右数字写反 错例：写成 错因：区间必须左小右大 规避方法：小数写左边，大数写右边。 题型一：函数概念的理解与判断 📝方法技巧 1.判断是否为函数的核心依据：根据函数定义，对于定义域内任意一个自变量 ，必须有唯一确定的函数值 与之对应。出现 “一个 对应多个 ” 的情况，一定不是函数。 2.图像判断法（竖线检验法）：在图像上任意作垂直于轴的直线，若直线与图像最多只有一个交点，则该图像可以表示函数；若存在直线与图像有两个及以上交点，则不是函数。 3.集合对应判断：集合为定义域，集合内每一个元素必须有对应，不能出现定义域内的无对应值；只允许多对一，不允许一对多。 4.函数概念辨析：判断函数是否相同、判断对应关系是否合法、区分函数与非函数，都必须优先核对定义域和对应关系两大核心要素，缺一不可。 1.（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 2.（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 3．（多选）（25-26高一上·广西玉林·期末）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐一判断即可. 【详解】由从集合到集合的函数关系，得集合中的每个元素，按照给定法则，在集合中有唯一元素与之对应， 对于A，当时，，A不是； 对于B，由，得，则对每个，有唯一，B是； 对于C，当时，，C不是； 对于D，由，得，则对每个，有唯一，D是. 故选：BD 4.（高一上·贵州遵义·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 故选：C. 5．（期末真题汇编）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】C 【分析】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应，逐个判断即可. 【详解】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应， ABD选项中的图象都符合；C项中对于大于零的而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义. 故选：C. 题型二： 区间书写与数轴转化 📝方法技巧 1.不等式转区间书写时，根据端点是否可取选择对应括号，包含端点搭配中括号，不包含端点搭配小括号；涉及 的无穷区间，无穷端统一使用小括号，同时保证区间书写左小右大。 2.区间转化为数轴图像时，可取的区间端点在数轴上绘制实心黑点，不可取的区间端点绘制空心圆圈，有限区间的两个端点之间用实线连接。 3.无穷区间无需绘制端点，图像实线朝着无穷方向无限延伸，完整覆盖所有可取实数。 4.多个不连续的取值区间需要分开绘制，书写时用 连接各个区间，空缺部分代表无对应取值。 1．（25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用区间表示括号的意义即可作出判断. 【详解】根据区间表示括号的意义可知区间对应的不等式是， 故选：A. 2．（25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解不等式，再用区间表示即可. 【详解】由题意得，用区间表示为. 故选：D. 3．（25-26高二上·上海·期末）不等式的解集可用区间表示为_____. 【答案】 【分析】利用绝对值的性质去绝对值，解不等式即可. 【详解】由，得到，解得. 故答案为： 4．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）集合或用区间表示为___________ 【答案】 【分析】根据集合与区间的转换表示即可． 【详解】由或， 则区间为． 故答案为： 5．（高一上·上海·阶段检测）用区间表示集合_________. 【答案】 【分析】利用区间的定义即可求解. 【详解】集合的区间表示为. 故答案为：. 6.（高一上·全国·课后作业）将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【答案】(1) 用区间表示为，用数轴表示如图：    (2) 或用区间表示为，用数轴表示如图：    (3) 且用区间表示为，用数轴表示如图:    (4) 用区间表示为，用数轴表示如图：    【分析】根据集合、区间以及数轴的知识确定正确答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 题型三：求具体函数定义域 📝方法技巧 1.求解具体函数定义域的核心，是保证函数解析式有意义，根据式子类型匹配对应的限制条件。分式结构要求分母不等于零，偶次根式结构要求被开方数大于等于零，零次幂结构要求底数不等于零，奇次根式结构无取值限制。 2.若函数由多种基础式子组合而成，需要逐一列出每一部分的取值限制条件，联立构成不等式组，求解不等式组后取所有条件的公共交集，所得范围即为函数的定义域。 3.若函数的解集由多个不连续的区间构成，区间之间必须使用 连接，不可直接罗列书写。 4.带有实际应用背景的函数，除满足解析式有意义的条件外，还需要符合实际场景的取值要求，长度、时间等物理量需要大于零，人数、个数等离散量需要满足正整数要求。 1.（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】由条件可得：， 所以的定义域为． 2．（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】要使函数有意义， 需使，解得且， 所以函数的定义域为且. 3.（25-26高二下·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________ 【答案】 【分析】根据分式分母不为零、偶次根式被开方数非负的要求列不等式组，求解不等式组得函数定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ，，解得且. 因此函数的定义域为. 4．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据使函数有意义得到，即可求出函数的定义域. 【详解】对于函数，可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 5.（25-26高一上·福建泉州·期中）求下列函数的定义域： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此列出不等式组，求解即可. （2）零次幂有意义的条件是底数不等于0，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式有意义的条件是分母不等于0，据此列出不等式组，求解即可. 【详解】（1）要使有意义， 须满足，解得， 所以所求函数的定义域为； （2）要使函数有意义， 须满足，即， 解得，且， 所以所求函数的定义域为. 题型四： 抽象复合函数定义域 📝方法技巧 1.函数定义域的定义，始终指自变量 的取值范围，与复合函数的内层表达式无关，这是解决此类问题的核心原则。 2.已知 定义域求 定义域时，将内层整体 匹配基础函数的取值范围，列出对应不等式，求解出自变量 的取值范围，即为复合函数定义域。 3.已知 定义域求 定义域时，根据已知的自变量 取值范围，求出内层整体 的全部取值范围，该范围即为基础函数 的定义域。 4.由多个复合式子叠加构成的函数，需要分别求解每一个式子的定义域，最终取所有定义域的公共交集，作为整个函数的定义域。 1.（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 2．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】由函数有意义的条件，结合函数的定义域即可求解. 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B 3．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域求解的定义域，再结合函数求解定义域. 【详解】因为函数的定义域为，即，所以， 所以的定义域为，又，则， 所以，因此函数的定义域为， 故选：C． 4．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数的定义域列出相应不等式，求解可得函数的定义域. 【详解】函数的定义域为，所以函数的定义域满足， 解得，所以. 所以函数的定义域为. 故选：B. 5．（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据函数解析式求定义域即可. 【详解】要使函数有意义，则 ， 解得或. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 7．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【分析】由的定义域为，得到 的定义域为，进而得到的定义域为. 【详解】因为的定义域为，所以，所以 则的定义域为，故对于，令解得. 故的定义域为. 故答案为：. 8．（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【分析】利用抽象函数的定义域的求法计算即可. 【详解】由得， 对于函数，需使，解得． 故答案为： 题型五： 求函数值、由函数值求参数 📝方法技巧 1.普通常规解析式求函数值，只需将指定数值替换解析式中的自变量 ，按照运算规则逐步化简计算，即可得到对应函数值。 2.多层复合函数求解函数值，必须遵循由内向外的运算顺序，先计算内层函数的函数值，再将计算结果代入外层函数，逐层计算得出最终结果。 3.分段函数求解函数值时，首先判断自变量 所属的取值区间，再选用该区间对应的解析式代入计算，严禁跨区间套用解析式。 4.已知函数值求解自变量或参数时，分段函数需要按照不同区间分别列出方程求解，算出结果后必须检验解是否落在对应区间内，舍去不符合区间范围的无效解。 5.抽象函数求值与求参数问题，可通过代入 等特殊数值构造等式，结合函数性质推导未知参数与函数值。 1.（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则_______________． 【答案】2 【详解】 2．（2026高三·全国·专题练习）图中的图像所表示的函数的解析式________．    【答案】 【详解】当时，， 当时，设，把，分别代入可得， 解得，故 即函数的解析式 3.（2027年高考数学一轮复习讲练测）若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【分析】应用赋值法计算求解函数值. 【详解】因为，所以，又，所以. 4．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【分析】根据给定条件，代入计算即可得解. 【详解】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 5．（25-26高一上·云南玉溪·期中）已知函数，且，则（   ） A．－4或4 B．1 C．4 D．－1或1 【答案】D 【分析】分和两种情况求解即可. 【详解】解：根据题意，当，，则. 当，，则. 综上所述，或1. 故选：D. 6．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，即，，得， 解得：. 7．（25-26高二下·全国·期末）设定义在上的函数满足，且对任意都有，则＝____;＝____. 【答案】 2 2027 【分析】利用赋值法，令求出，再令，可得两个关于的等式，联立求解出的表达式，最后代入的值求出与. 【详解】令，得， 令，则， 即①，又因为， 令代入，得， 即②，联立①②得，所以，. 8．（2026·四川自贡·三模）已知函数的定义域为，，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令判断A；令，判断B；利用得，令判断，令判断，然后可判断C；利用，结合判断D. 【详解】对A，令，则，又，所以，错误； 对B，令，则，即，，错误； 对C，令，得，所以， 令，则，即，所以 令，则，所以，即， 所以，错误； 对D，因为，所以， 又，所以，正确. 题型六：判断两个函数是否为同一函数 📝方法技巧 1.判断两个函数是否为同一函数，只需依据定义域和对应关系两大要素，两个条件必须同时满足，缺一不可。 2.优先判断两个函数的定义域，若自变量的取值范围不完全相同，可直接判定两个函数不是同一函数。 3.在定义域完全相同的基础上，对两个函数的解析式进行化简，若化简后的对应运算规则完全一致，则两个函数为同一函数。 4.函数的本质由定义域和对应关系决定，与自变量、因变量所用的字母符号无关。同时需要注意，部分解析式化简后会消除原有限制条件，定义域会发生改变，判断时必须以原式定义域为准。 1．（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 2．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 3．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）下列说法中正确的个数为（   ） （1）与表示同一函数 （2）与表示同一函数 （3）与表示同一函数 （4）与表示同一函数 （5）与表示同一函数 （6）与表示同一函数 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据同一函数的定义，结合函数的定义域与对应关系，逐个分析判断，即可求解. 【详解】（1）由函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （2）函数的定义域为， 函数的定义为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （3）函数的定义为，函数的定义为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （4）函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数； （5）函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数； （6）函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数. 故选：A. 4.（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】结合同一函数的定义，逐一判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】选项A：和的定义域都是全体实数，对应法则相同，是同一函数； 选项B：的定义域是；要求分母不为0，定义域是，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：，定义域是；的分段表达式即为，定义域也是，定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项D：的定义域满足，即， 化简得：， 与的对应法则不同，不是同一函数. 题型七：求函数解析式 📝方法技巧 1.换元法适用于复合形式的函数，令内层复杂结构为新变量，求解出新变量的取值范围，通过等量代换化简原式得到新函数，最后还原变量并标注完整定义域。 2.配凑法针对复合函数解析式变形使用，将原式整体整理、拼凑为内层结构对应的完整形式，完成结构替换后，结合原有定义域确定新函数的完整范围。 3.待定系数法适用于已知明确函数类型的题目，根据函数类型设出带有未知参数的标准解析式，代入题目给出的已知条件，列方程求解所有参数，最终得到完整函数解析式。 4.方程组法适用于含 、、 结构的函数，通过替换自变量构造两组不同的等式，联立方程组消去多余式子，化简求解得到目标函数解析式。 1.（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【答案】(1) (2) (3)或 ． 【分析】（1）用换元法，令，代入求出后即可得； （2）用替换已知式中的，然后解方程组可得； （3）设，代入已知条件求解. 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 2．（25-26高一上·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用代入法可得出的解析式； （2）利用换元法可求出函数的解析式； （3）由得出，结合方程组法可得出函数的解析式. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复合函数的定义写出解析式． 【详解】（1）当时，，故； （2）当时，，故． 4．（25-26高一上·甘肃武威·期中）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式． （2）已知函数对任意的都有，求的解析式． （3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式． 【答案】（1）或；（2）；（3） 【分析】（1）由待定系数法可得解析式；（2）由换元法可得解析式；（3）由方程组法可得解析式. 【详解】（1）设， 则， 所以，解得或， 即或； （2）令，则，可得； （3）因为， 所以， 联立方程解得. 题型八： 求函数值域 📝方法技巧 1.配方法适用于二次型函数，将二次解析式通过配方整理为顶点式，结合题目给定的自变量取值区间，确定函数的最大值与最小值，进而确定函数的值域范围。 2.分离常数法适用于一次分式型函数，对分式式子进行变形拆分，分离出常数部分，利用分式无法取到零的特点，确定函数无法取得的数值，最终确定完整值域。 3.换元法适用于含根式结构的函数，设置新变量替换根式部分，严格标注新变量的非负取值范围，将原式转化为基础函数后，结合新变量范围求解值域。 4.不等式法利用代数式恒非负、基本不等式等性质，约束代数式的上下取值边界，通过推导式子的最值，确定函数的整体值域。 5.单调性法适用于单调函数，先判定函数在指定定义域内的增减性，将定义域的区间端点代入解析式，通过端点对应的函数最值，确定函数的值域。 6.数形结合法适用于分段函数与复杂结构函数，通过绘制完整的函数图像，根据图像最高点、最低点对应的纵坐标取值，整合所有函数值构成的集合，即为函数值域。 1．（25-26•绥棱县校级期中）函数的值域是（　　） A． B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据函数的单调性求解． 【详解】解：函数在，上为单调递增函数， 所以， 即函数的值域为，． 故选：． 2．（25-26•石家庄校级期中）函数，，的值域为（　　） A． B． C．， D．， 【答案】 【分析】换元后得到，结合函数单调性得到值域． 【详解】解：，，设，则，，则， 所以函数变为， 在，上单调递减， 其中，， 所以函数的值域为，． 故选：． 3.（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知函数，是二次函数，若的值域是，则的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数的图象，即可求解． 【详解】画出函数的图象，如图所示： 若的值域是，得， 即的值域为：． 故选：A 4.（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为． 5.（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可． 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 6．（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，且，设，由得到，将函数两边平方，得到，设，利用二次函数的图像求出的范围，将代入得到，根据的范围求出的范围，根据的范围和求出的范围即可得解. 【详解】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. 题型九：分段函数综合 📝方法技巧 1.分段函数所有题型的核心解题思路为分段讨论，根据定义域划分的独立区间，逐段单独分析、求解问题。 2.分段函数求值与复合运算，先判定自变量的所属区间，匹配对应解析式计算，多层复合运算严格遵循由内向外的计算规则。 3.分段函数解方程时，在每一个定义区间内分别列出方程求解，得到解后逐一验证是否落在对应区间内，舍去所有无效的增根。 4.画分段函数图像时，严格区分各段端点的实心、空心标记，按照各段解析式的图像特征分段画，保证图像完整规范。 5.求解分段函数整体单调的参数问题，既要保证每一段解析式在自身区间内单调，同时需要满足相邻区间中，前一段函数的最大值小于等于后一段函数的最小值。 1.（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，，则． 2．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 3．（2026高三·全国·专题练习）设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故，故， 而，故，故， 而即为或，故或， 故不等式的解集为. 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 5．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知函数，是二次函数，若的值域是，则的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数的图象，即可求解． 【详解】画出函数的图象，如图所示： 若的值域是，得， 即的值域为：． 故选：A 6.（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 7．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 【答案】或2 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍）或， 所以或. 8．（25-26高二下·山东临沂·期末）已知函数.其中为正实数，则__________． 【答案】 【分析】结合分段函数的区间求解即可. 【详解】，. 题型十： 函数三种表示法应用 📝方法技巧 1.列表法解题时，可直接根据表格对应数据读取自变量与函数值，多层复合运算需要逐层查表计算，精准匹配对应数值。 2.图像法解题时，通过观察函数图像，可直接读出函数定义域、值域、特殊点函数值，同时可结合图像升降趋势求解不等式、判断函数增减性。 3.实际建模问题中，需要根据题目等量关系设出自变量，结合实际场景列出函数解析式，同时补充符合现实意义的定义域范围，完成函数建模求解。 1．（25-26高一上·广东·期中）为推进城市绿色出行，某市公交公司逐步将传统燃油公交车更换为新能源电动公交车、已知该公司更换的每辆新能源电动车每天固定损耗（如空调、照明、电池自耗等）为10千瓦时，行驶耗电为每公里0.8千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，若某新能源电动车一天行驶（）公里，则每公里的平均电费为___________元（用含的式子表示） 【答案】 【分析】求出总电费，再除以公里数即可. 【详解】由题意得总电费为， 则每公里的平均电费为. 故答案为：. 2．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    【答案】④ 【详解】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. 3．（25-26高一上·北京·期中）已知函数的全部对应关系如下表，函数的图像是如图所示的曲线，其中，则__________，不等式的解集为__________. 1 2 3 2 3 0    【答案】 2 【分析】第一个问题通过图像找函数值计算即可；第二个问题通过的对应关系去解不等式即可. 【详解】由图知：，所以； 由题知：函数的全部对应关系如表中所示， 所以时，或， 故不等式的解集为. 故答案为：2； 4．（25-26高一上·云南玉溪·期中）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)若，求的值； (3)求的值. 【答案】(1)   (2)或 (3) 【分析】（1）根据函数解析式画出函数图象； （2）由解析式分段计算； （3）根据解析式由内到外依次计算即可. 【详解】（1）因为，所以函数的图象如下所示：    （2）因为， 令，则或或， 解得或或， 综上可得所对应的的值为或. （3）因为， 所以，则，， 所以. 5．（25-26高一上·广西来宾·期中）已知函数，. (1)求和的值； (2)求的值域； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)，； (2)； (3)或. 【分析】（1）根据给定的分段函数，分段判断代入求出和的值. （2）分别求出和的函数值的取值范围即可求的值域. （3）根据复合函数的关系式，按和分类讨论求出的表达式，再分段解不等式． 【详解】（1）由函数，，得，， 所以，. （2）当时，；当时，，则， 所以的值域为. （3）当时，，则； 当时，，， 因此， 不等式化为或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 6．（25-26高一上·河南许昌·开学考试）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）公里以内（含公里），票价元； （2）公里以上，每增加公里，票价增加元（不足公里的按公里计算）. 如果某条线路的总里程为公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数的图象. 【答案】，作图见解析. 【分析】分、、、四种情况讨论，可得出函数的解析式，并由此作出该函数的图象. 【详解】当时，；当时，； 当时，；当时，； 综上：函数解析式为. 按照分段函数画出图象，如下图：    7.（25-26高一上·广西·期中）如图，在中，是线段的中点，点在线段上，且. (1)设，求的面积关于的函数表达式； (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，由与相似建立等式可得，根据面积公式可得函数表达式； （2）设，则，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）如图，过点作，垂足为， 则， ， 且，所以与相似， 则，即， 解得， 依题意可得，即， 所以 （2）设，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为. 8．（高一·全国·课后作业）经研究发现，学生对概念的接受能力与老师讲解概念所用的时间（单位：min）之间有如下关系： 2 5 7 10 12 13 14 17 20 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表中两个变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，是否是函数关系？ (2)当老师讲解概念所用的时间是10min时，学生对概念的接受能力是多少？ (3)根据表格中的数据，你认为老师讲解概念所用的时间为几分钟时，学生对概念的接受能力最强？ 【答案】(1)存在依赖关系，且是函数关系 (2)59 (3)当老师讲解概念所用的时间为13min时，学生对概念的接受能力最强 【分析】（1）准确理解函数的概念，及函数的表示方法即可得出结果. （2）通过表格读取数据即可. （3）通过表格对比即可得出结果. 【详解】（1）表中两个变量之间存在依赖关系，且是函数关系． （2）由题中表格，可知当老师讲解概念所用的时间为10min时，学生对概念的接受能力是59． （3）由题中表格，可知当老师讲解概念所用的时间为13min时，学生对概念的接受能力最强． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 🔷知识点一 函数的概念 1. 函数定义 设是非空实数集，如果对于集合中任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，则称为从集合到集合的一个函数，记作。 2. 函数的定义域和值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3.函数的四个特征 ①非空性：必须是非空数集，不存在定义域 或值域为空的函数； ②任意性：定义域内每一个都要有对应，不能有遗漏； ③单值性：一个只能对应一个； ④方向性：与不是同一个对应，不能颠倒。 4.构成函数的三要素 (1) 定义域：自变量的取值集合； (2) 对应关系：对运算、变换的法则，是函数核心； (3) 值域：所有函数值构成集合，值域是集合的子集。 5.同一函数判定 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 两个函数相等定义域完全相同且对应关系完全相同，与自变量、因变量字母无关。 💡拓展延伸 抽象函数和复合函数的概念 （1）没有给出具体解析式的函数称为抽象函数. （2）若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. ⚠️特别提醒 1.判断图像是否为函数：作垂直轴的直线，直线与图像最多只有 1 个交点，否则不是函数； 2.仅值域相同不能判定为同一函数，定义域不同一定不是同一函数； 3.是整体符号，不是乘，代表时的函数值。 📌归纳总结 判断对应是否为函数，抓 “任意、唯一”；判断两函数是否相同，必须同时核对定义域、对应关系两点，缺一不可。 🔷 知识点二 函数定义域的求法 1.给定解析式函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)零次幂的底数不能为0. (5)多个式子组合的函数，先提取每一部分对应的限制不等式，再将全部不等式联立成不等式组，最后求解不等式组并取解集的公共交集，即为函数定义域。 实际问题：除式子有意义，还要满足符合实际问题的背景约束（人数、长度等）。 2.抽象函数的定义域 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. ⚠️特别提醒 1.抽象函数定义域永远指单独的范围，不是中间变量； 2.复合分式和根式组合的函数，所有限制条件必须同时满足，不能遗漏； 3.零次方底数不能为 0 是高频丢分点。 📌归纳总结 给定解析式的函数分式分母不为 0、偶次根号非负、零次幂底数非零联立求解；抽象函数抓住 “括号内整体取值范围不变”，区分已知和已知复合函数两种题型。 🔷 知识点三　函数值域的求法 1.配方法：适用于二次型函数，通过配方化为顶点式，结合给定自变量定义域，确定函数的最大值、最小值，从而得到值域； 2.分离常数法：适用于一次分式型函数，拆分常数将式子变形，根据分式无法取到 0 的特点，判断无法取到的数值，确定值域； 3.换元法：适用于带有根式的函数（形如含），令，限定，将原函数转化为整式函数，再求解取值范围； 4.不等式法：利用平方恒非负、基本不等式等结论，限制代数式的上下界限，推导函数整体取值范围； 5.单调性法：适用于一次函数、反比例函数、单调复合函数。先判断函数在给定定义域上单调递增或单调递减，再将定义域两端的自变量代入解析式，算出对应的函数最值，以此确定函数完整取值范围； 6.数形结合法：适用于分段函数、结构复杂的函数。在平面直角坐标系中画出函数完整图像，观察图像最高点、最低点对应的纵坐标，所有纵坐标的集合就是函数的值域。 ⚠️特别提醒 1.换元后必须标注新元取值范围，否则值域出错； 2.二次函数值域一定要结合给定定义域，不能直接默认全体实数； 3.分式分离常数后，分式永远取不到 0，值域要剔除对应数值。 📌归纳总结 二次函数优先配方；分式优先分离常数；带根号优先换元；复杂分段函数画图看上下边界。 🔷 知识点四　函数的三种表示方法 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系(一般情况下，必须注明函数的定义域) 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系(选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征) 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系(注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点) 🔷 知识点五　 函数解析式的求法 1.换元法：令，求出的取值范围，再用表示，代入原式化简得到，最后将换成并标注定义域。 2.配凑法：直接对的右侧式子变形整理，凑成只含的整体形式，再把替换为，同步写出定义域。 3.待定系数法：根据函数类型设带参数的标准解析式，将已知条件代入得到方程，解出参数后代回，得到完整解析式。 4.方程组法：把原式中的替换成或得到第二个等式，联立两式消去或，化简求出。 ⚠️特别提醒 1.换元、配凑求出后，换回时同步保留变量取值范围； 2.方程组法替换变量时，定义域不变才能联立； 3.一次函数设，二次函数，系数限制不能丢。 📌归纳总结 复合函数解析式优先换元法或配凑法；已知函数类型用待定系数法；同时含构造方程组消元。 🔷 知识点六　 区间概念 1. 区间的概念 设是两个实数，且，介于之间的所有实数构成的集合叫做区间，区间是简化连续实数集合书写的专用符号。称为区间端点。 2. 有限区间的表示（有两个端点） 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 (同时包含左端点、右端点，两端使用中括号。) 开区间 (不包含端点，两端使用小括号。) 半闭半闭开间 (包含左端点，不包含右端点。) 半开半闭区间 (不包含左端点，包含右端点。) 3.无穷区间的表示（含，无完整双端点） 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 数轴表示 4.用区间表示数集的注意点 (1)书写要点 区间左端点值小于右端点值；区间两端点之间用“，”隔开；含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；－∞，＋∞仅为符号，不是实数，无穷一侧只能使用小括号，并不是所有数集都能用区间表示，例如单元素集合{0}。 (2) 数轴表示要点 在数轴上表示区间时，若区间包含端点，对应数轴上的点画实心黑点，表示该数值可以取到；若区间不包含端点，对应数轴上的点画空心圆圈，表示该数值不能取到。两个端点之间的所有实数，用实线连接表示；无穷区间不需要画端点，实线向数轴左右方向无限延伸。 ⚠️特别提醒 1.不是实数，只是符号，永远不能搭配中括号； 2.区间书写必须左小右大，左边数字小于右边数字； 3.区间只能用来表示连续的实数集合，孤立点、离散数集不能用区间表示； 4. 多个不连续范围组合时，区间之间必须用并集符号连接，不能直接用逗号。 区间是连续数集的简写形式，写区间先判断端点能否取到，确定括号类型；无穷端只用小括号；画数轴时实心代表可取、空心代表不可取，间断解集使用并集符号连接。 📌归纳总结 区间是连续数集的简写形式，写区间先判断端点能否取到，确定括号类型；无穷端只用小括号；画数轴时实心代表可取、空心代表不可取，间断解集使用并集符号连接。 🔷 知识点七　 分段函数 1.概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 2.书写规范：整体使用一个左侧大括号统一包裹全部解析式，每一行解析式后方标注该行对应的自变量取值区间。 3.定义域、值域：分段函数表示的是一个函数，并不是多个独立函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. ⚠️特别提醒 1.计算函数值时，先判断自变量所属区间，再选用对应解析式计算； 2.定义域的分界点只能划归其中一个区间，不可同时归属两段或遗漏； 3.求解方程、画函数图像，求解参数范围，均需要按照区间分段分布处理。 4.若分段函数在全体实数上单调递增或单调递减，需保证前一段函数最大值小于等于后一段函数最小值。 📌归纳总结 处理分段函数相关题目，第一步判断自变量所在区间，再匹配对应解析式；求解参数、解不等式、画图像均需要分段讨论。 易错点 1 混淆函数判定标准，一个对应多个仍判定为函数 错例：方程，判定为函数，取时 错因：忽略函数 “单值性”，一个自变量只能对应唯一函数值 规避方法：竖线检验，垂直轴直线与图像最多一个交点才是函数。 易错点 2 抽象函数定义域把中间变量当成范围 错例：的定义域为，直接说成的定义域为 错因：分不清定义域是而非括号整体，忘记先求（) 的范围 规避方法：牢记定义域永远是，括号内整体范围固定不变。 易错点 3 求值域忽略定义域限制 错例：，直接写值域 错因：只看二次函数本身值域，忽略给定自变量区间 规避方法：先锁定范围，再推导取值。 易错点 4 判定同一函数只看解析式，忽略定义域 错例：与判定为同一函数 错因：的定义域为，的定义域，定义域不同 规避方法：同一函数两步走，先核对定义域，再化简对比对应关系。 易错点 5 分段函数求值代错区间解析式 错例：，求代入（） 错因：未判断自变量所属区间，随意选用解析式 规避方法：求值第一步：判断落在哪一段，再代入对应式子。 易错点 6 换元求解析式不标注新元范围 错例：，令得，直接写 错因：，新函数定义域应为，遗漏限制 规避方法：换元同步记录新变量取值，最后代回解析式标注定义域。 易错点 7 区间书写无穷端使用中括号 错例：写成 错因：不是实数，不能搭配中括号 规避方法：一侧出现，统一使用小括号。 易错点 8 区间左右数字写反 错例：写成 错因：区间必须左小右大 规避方法：小数写左边，大数写右边。 题型一：函数概念的理解与判断 📝方法技巧 1.判断是否为函数的核心依据：根据函数定义，对于定义域内任意一个自变量 ，必须有唯一确定的函数值 与之对应。出现 “一个 对应多个 ” 的情况，一定不是函数。 2.图像判断法（竖线检验法）：在图像上任意作垂直于轴的直线，若直线与图像最多只有一个交点，则该图像可以表示函数；若存在直线与图像有两个及以上交点，则不是函数。 3.集合对应判断：集合为定义域，集合内每一个元素必须有对应，不能出现定义域内的无对应值；只允许多对一，不允许一对多。 4.函数概念辨析：判断函数是否相同、判断对应关系是否合法、区分函数与非函数，都必须优先核对定义域和对应关系两大核心要素，缺一不可。 1.（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 2.（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 3．（多选）（25-26高一上·广西玉林·期末）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 4.（高一上·贵州遵义·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B．C． D． 5．（期末真题汇编）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A．    B．    C．    D．    题型二： 区间书写与数轴转化 📝方法技巧 1.不等式转区间书写时，根据端点是否可取选择对应括号，包含端点搭配中括号，不包含端点搭配小括号；涉及 的无穷区间，无穷端统一使用小括号，同时保证区间书写左小右大。 2.区间转化为数轴图像时，可取的区间端点在数轴上绘制实心黑点，不可取的区间端点绘制空心圆圈，有限区间的两个端点之间用实线连接。 3.无穷区间无需绘制端点，图像实线朝着无穷方向无限延伸，完整覆盖所有可取实数。 4.多个不连续的取值区间需要分开绘制，书写时用 连接各个区间，空缺部分代表无对应取值。 1．（25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·期末）不等式的解集可用区间表示为_____. 4．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）集合或用区间表示为___________ 5．（高一上·上海·阶段检测）用区间表示集合_________. 6.（高一上·全国·课后作业）将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 题型三：求具体函数定义域 📝方法技巧 1.求解具体函数定义域的核心，是保证函数解析式有意义，根据式子类型匹配对应的限制条件。分式结构要求分母不等于零，偶次根式结构要求被开方数大于等于零，零次幂结构要求底数不等于零，奇次根式结构无取值限制。 2.若函数由多种基础式子组合而成，需要逐一列出每一部分的取值限制条件，联立构成不等式组，求解不等式组后取所有条件的公共交集，所得范围即为函数的定义域。 3.若函数的解集由多个不连续的区间构成，区间之间必须使用 连接，不可直接罗列书写。 4.带有实际应用背景的函数，除满足解析式有意义的条件外，还需要符合实际场景的取值要求，长度、时间等物理量需要大于零，人数、个数等离散量需要满足正整数要求。 1.（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 3.（25-26高二下·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________ 4．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为__________. 5.（25-26高一上·福建泉州·期中）求下列函数的定义域： (1)； (2) 题型四： 抽象复合函数定义域 📝方法技巧 1.函数定义域的定义，始终指自变量 的取值范围，与复合函数的内层表达式无关，这是解决此类问题的核心原则。 2.已知 定义域求 定义域时，将内层整体 匹配基础函数的取值范围，列出对应不等式，求解出自变量 的取值范围，即为复合函数定义域。 3.已知 定义域求 定义域时，根据已知的自变量 取值范围，求出内层整体 的全部取值范围，该范围即为基础函数 的定义域。 4.由多个复合式子叠加构成的函数，需要分别求解每一个式子的定义域，最终取所有定义域的公共交集，作为整个函数的定义域。 1.（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 7．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 8．（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 题型五： 求函数值、由函数值求参数 📝方法技巧 1.普通常规解析式求函数值，只需将指定数值替换解析式中的自变量 ，按照运算规则逐步化简计算，即可得到对应函数值。 2.多层复合函数求解函数值，必须遵循由内向外的运算顺序，先计算内层函数的函数值，再将计算结果代入外层函数，逐层计算得出最终结果。 3.分段函数求解函数值时，首先判断自变量 所属的取值区间，再选用该区间对应的解析式代入计算，严禁跨区间套用解析式。 4.已知函数值求解自变量或参数时，分段函数需要按照不同区间分别列出方程求解，算出结果后必须检验解是否落在对应区间内，舍去不符合区间范围的无效解。 5.抽象函数求值与求参数问题，可通过代入 等特殊数值构造等式，结合函数性质推导未知参数与函数值。 1.（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则_______________． 2．（2026高三·全国·专题练习）图中的图像所表示的函数的解析式________．    3.（2027年高考数学一轮复习讲练测）若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 4．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 5．（25-26高一上·云南玉溪·期中）已知函数，且，则（   ） A．－4或4 B．1 C．4 D．－1或1 6．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 7．（25-26高二下·全国·期末）设定义在上的函数满足，且对任意都有，则＝____;＝____. 8．（2026·四川自贡·三模）已知函数的定义域为，，，，且，则（   ） A． B． C． D． 题型六：判断两个函数是否为同一函数 📝方法技巧 1.判断两个函数是否为同一函数，只需依据定义域和对应关系两大要素，两个条件必须同时满足，缺一不可。 2.优先判断两个函数的定义域，若自变量的取值范围不完全相同，可直接判定两个函数不是同一函数。 3.在定义域完全相同的基础上，对两个函数的解析式进行化简，若化简后的对应运算规则完全一致，则两个函数为同一函数。 4.函数的本质由定义域和对应关系决定，与自变量、因变量所用的字母符号无关。同时需要注意，部分解析式化简后会消除原有限制条件，定义域会发生改变，判断时必须以原式定义域为准。 1．（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）下列说法中正确的个数为（   ） （1）与表示同一函数 （2）与表示同一函数 （3）与表示同一函数 （4）与表示同一函数 （5）与表示同一函数 （6）与表示同一函数 A．2 B．3 C．4 D．5 4.（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型七：求函数解析式 📝方法技巧 1.换元法适用于复合形式的函数，令内层复杂结构为新变量，求解出新变量的取值范围，通过等量代换化简原式得到新函数，最后还原变量并标注完整定义域。 2.配凑法针对复合函数解析式变形使用，将原式整体整理、拼凑为内层结构对应的完整形式，完成结构替换后，结合原有定义域确定新函数的完整范围。 3.待定系数法适用于已知明确函数类型的题目，根据函数类型设出带有未知参数的标准解析式，代入题目给出的已知条件，列方程求解所有参数，最终得到完整函数解析式。 4.方程组法适用于含 、、 结构的函数，通过替换自变量构造两组不同的等式，联立方程组消去多余式子，化简求解得到目标函数解析式。 1.（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 2．（25-26高一上·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 4．（25-26高一上·甘肃武威·期中）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式． （2）已知函数对任意的都有，求的解析式． （3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式． 题型八： 求函数值域 📝方法技巧 1.配方法适用于二次型函数，将二次解析式通过配方整理为顶点式，结合题目给定的自变量取值区间，确定函数的最大值与最小值，进而确定函数的值域范围。 2.分离常数法适用于一次分式型函数，对分式式子进行变形拆分，分离出常数部分，利用分式无法取到零的特点，确定函数无法取得的数值，最终确定完整值域。 3.换元法适用于含根式结构的函数，设置新变量替换根式部分，严格标注新变量的非负取值范围，将原式转化为基础函数后，结合新变量范围求解值域。 4.不等式法利用代数式恒非负、基本不等式等性质，约束代数式的上下取值边界，通过推导式子的最值，确定函数的整体值域。 5.单调性法适用于单调函数，先判定函数在指定定义域内的增减性，将定义域的区间端点代入解析式，通过端点对应的函数最值，确定函数的值域。 6.数形结合法适用于分段函数与复杂结构函数，通过绘制完整的函数图像，根据图像最高点、最低点对应的纵坐标取值，整合所有函数值构成的集合，即为函数值域。 1．（25-26•绥棱县校级期中）函数的值域是（　　） A． B．， C．， D．， 2．（25-26•石家庄校级期中）函数，，的值域为（　　） A． B． C．， D．， 3.（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知函数，是二次函数，若的值域是，则的值域为（  ） A． B． C． D． 4.（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 5.（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 题型九：分段函数综合 📝方法技巧 1.分段函数所有题型的核心解题思路为分段讨论，根据定义域划分的独立区间，逐段单独分析、求解问题。 2.分段函数求值与复合运算，先判定自变量的所属区间，匹配对应解析式计算，多层复合运算严格遵循由内向外的计算规则。 3.分段函数解方程时，在每一个定义区间内分别列出方程求解，得到解后逐一验证是否落在对应区间内，舍去所有无效的增根。 4.画分段函数图像时，严格区分各段端点的实心、空心标记，按照各段解析式的图像特征分段画，保证图像完整规范。 5.求解分段函数整体单调的参数问题，既要保证每一段解析式在自身区间内单调，同时需要满足相邻区间中，前一段函数的最大值小于等于后一段函数的最小值。 1.（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知函数，是二次函数，若的值域是，则的值域为（  ） A． B． C． D． 6.（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 7．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 8．（25-26高二下·山东临沂·期末）已知函数.其中为正实数，则__________． 题型十： 函数三种表示法应用 📝方法技巧 1.列表法解题时，可直接根据表格对应数据读取自变量与函数值，多层复合运算需要逐层查表计算，精准匹配对应数值。 2.图像法解题时，通过观察函数图像，可直接读出函数定义域、值域、特殊点函数值，同时可结合图像升降趋势求解不等式、判断函数增减性。 3.实际建模问题中，需要根据题目等量关系设出自变量，结合实际场景列出函数解析式，同时补充符合现实意义的定义域范围，完成函数建模求解。 1．（25-26高一上·广东·期中）为推进城市绿色出行，某市公交公司逐步将传统燃油公交车更换为新能源电动公交车、已知该公司更换的每辆新能源电动车每天固定损耗（如空调、照明、电池自耗等）为10千瓦时，行驶耗电为每公里0.8千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，若某新能源电动车一天行驶（）公里，则每公里的平均电费为___________元（用含的式子表示） 2．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    3．（25-26高一上·北京·期中）已知函数的全部对应关系如下表，函数的图像是如图所示的曲线，其中，则__________，不等式的解集为__________. 1 2 3 2 3 0    4．（25-26高一上·云南玉溪·期中）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)若，求的值； (3)求的值. 5．（25-26高一上·广西来宾·期中）已知函数，. (1)求和的值； (2)求的值域； (3)求不等式的解集. 6．（25-26高一上·河南许昌·开学考试）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）公里以内（含公里），票价元； （2）公里以上，每增加公里，票价增加元（不足公里的按公里计算）. 如果某条线路的总里程为公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数的图象. 7.（25-26高一上·广西·期中）如图，在中，是线段的中点，点在线段上，且. (1)设，求的面积关于的函数表达式； (2)求面积的最小值. 8．（高一·全国·课后作业）经研究发现，学生对概念的接受能力与老师讲解概念所用的时间（单位：min）之间有如下关系： 2 5 7 10 12 13 14 17 20 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表中两个变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，是否是函数关系？ (2)当老师讲解概念所用的时间是10min时，学生对概念的接受能力是多少？ (3)根据表格中的数据，你认为老师讲解概念所用的时间为几分钟时，学生对概念的接受能力最强？ 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $