3.2.1单调性与最值 第1课时导学案--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数单调性，涵盖概念、等价命题及基本函数单调性，通过图像观察导入，衔接函数图像基础，梳理定义与基本函数规律，为后续最值学习搭建支架。 资料特色为分层训练与题型分类，典例含图像判断、定义证明等四大核心题型，方法总结助学生掌握数学思维，培养直观想象与数学运算素养，提升解题能力。

3.2.1单调性与最大（小）值 第一课时函数的单调性 【学习目标】 ①能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增（或递减）和增函数、减函数的概念； ②理解函数在某区间上具有（严格的）单调性和单调区间的概念； ③能运用定义法证明函数的单调性； ④利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养. 【学习重点】 ①掌握单调性定义、基础函数增减规律与图像判区间方法； ②熟练掌握定义证明、比大小、求参数、解抽象不等式四大核心题型，灵活运用数形结合与转化思想解题. 【学习难点】 抽象函数配凑变形、结合函数对称性转化自变量. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.函数的单调性 （1）一般地，设函数的定义域为，区间： 如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减. 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.函数单调性的等价命题 在区间上单调递增： ①差值形式；②比值形式. 在区间上单调递减： ①差值形式；②比值形式. 3.常见基本初等函数的单调性 （1）一次函数：①时，在上单调递增，无递减区间；②时，在上单调递减，无递增区间. （2）反比例函数：①时，单调递减区间和，无单调递增区间；②时，单调递增区间和，无单调递减区间. （3）二次函数：①时，单调递减区间，单调递增区间；②时，单调递增区间，单调递减区间； 二、典例精析 题型1函数单调性的判断 类型1根据图象判断函数单调性 例1．已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 思路分析： （1）含绝对值函数，先去绝对值，得到两段二次函数，分别画出每一段图像，注意分段点处的函数值； （2）根据图像升降直接读出单调区间. 规范解答： （1）因为， 当时，，是开口向下的抛物线，顶点；当时，，是开口向上的抛物线，过，向右上升；关键点： 画出其大致图象如下， （2）由图象可知：的单调递增区间是，，单调递减区间为， 方法总结：根据图像判断单调性 （1）判定：图像从左向右上升⇒单调递增；下降⇒单调递减。 （2）步骤：在定义域内，从左往右扫描图像，分段判断升降。 （3）书写：多个同性质区间用逗号隔开，不能用∪；端点开闭看能否取到。 类型2利用定义证明函数的单调性 例2．已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 思路分析：把分式函数化成（反比例平移型），快速预判单调性，利用定义法证明. 规范解答：在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 方法总结：定义法证明函数单调性的步骤 （1）取值：设是该区间内的任意两个值，且； （2）作差：或； （3）变形：通过因式分解、配方、通分、分母（分子）有理化等方法，将差值转化为容易判断正负的式子； （4）定号：确定或的符号，当正负不确定时，需进行分类讨论； （5）结论：观察的大小关系与大小关系是否一致，判断函数单调性. 例3.已知满足对任意，都有，且，当时，，判断并证明在上的单调性. 思路分析：根据函数的单调性的定义证明，注意结合已知条件构造能判断符号的差值 规范解答： 在上是单调递减的函数，证明如下： 任取，且，则，由已知得， 由，可得， 则， ∴， ∴在上是单调递减函数． 方法总结：抽象函数单调性定义证明 （1）设元：任取定义域内； （2）变形： ①→； ②→； ③→； ④→； （2）判号：利用题干给出的与差值相关的式子判断符号； （4）结论：根据大小关系与大小关系是否一致判断函数单调性. 题型2函数单调性的简单应用 类型1利用函数单调性比较大小 例4（1）定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 答案：B 思路分析：先根据题目条件式确定函数单调性，再根据自变量大小判断函数值大小. 规范解答： 由可得在上单调递增， 因为，所以 （2）已知函数的定义域为R，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 答案：C 思路分析：根据给定条件，确定函数在上的单调性，再结合对称性比较大小. 规范解答： 函数的定义域为R，由函数的图象关于对称，得， 又当时，恒成立，则函数在上单调递增， 因为，所以，即， 所以. 方法总结：根据单调性比较大小 （1）先读条件，判断给定区间函数是递增还是递减，（注意函数单调性定义等价形式的应用）； （2）有对称轴，利用对称公式，把自变量全部换算到同一个单调区间（函数关于直线对称 核心公式：)； （3）比较换算之后自变量的大小； （4）利用单调性，写出函数值的大小。 类型2利用函数单调性求参数 例5（1）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 答案：ABD 思路分析：根据二次函数的单调性，分析给定区间与二次函数区间的关系，建立不等式求解. 规范解答：函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. （2）如果函数，在上是增函数，那么的取值范围是______． 答案： 思路分析：根据各段函数的单调性及分段衔接点处的函数值关系列不等式求解. 规范解答：因为函数f(x)是R上的增函数， 所以当是增函数；当时，是增函数； 同时，在在衔接点左侧的函数值不大于右侧的函数值， 所以，解得.时， 故的取值范围是. 方法总结：已知函数单调性求参数 （1）一次函数、二次函数及反比例函数的单调性需熟记，可直接应用建立参数满足的条件. （2）涉及分段函数的单调性，需要同时考虑两个条件①每一段函数自身的单调性；②分段衔接点处满足左段的终点值与右段的起点值的大小关系. 类型3利用函数单调性解不等式 例6（1）已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是________； 答案： 思路分析：根据的定义域及单调性，列出满足的不等式组求解. 规范解答： 要使不等式有意义，自变量的取值必须在定义域内，即； 函数在定义域内是减函数，则由可得， 所以可得不等式组，解得，所以， 即的取值范围是 反思领悟：求解抽象函数不等式 （1）定义域：的取值必须落在函数定义域内； （2）转化：依据函数单调性去掉符号“”，转化为不等式问题求解. 即若定义在上的单调递增（减）函数，则 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：由，且函数是定义在上的减函数， 则，解得， 则实数的取值范围是. 故选：B 2．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 答案：C 解析：函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C 3．下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：对于A：在R上单调递减，A错误； 对于B：易知开口向上，对称轴为， 所以在区间上单调递增，B正确； 对于C：开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于D：开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，D错误． 4．函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 5．已知二次函数的图象关于轴对称，且在区间上为增函数，下列关于，，之间的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 答案：B 解析：因为二次函数的图象关于轴对称， 所以； 因为函数在区间上单调递增， 所以， 所以. 故选：B. 6．已知函数的定义域为，对任意的，且，都有成立．若不等式在恒成立，则实数a的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．3 答案：A 解析：不妨设，又， ，即，在上单调递增， 若不等式在恒成立， 则在恒成立，因为，等号成立 则. 故选：A. 7．函数的单调递增区间是________. 答案： 解析：由作图：    可得函数的单调递增区间是， 故答案为： 8．已知函数，用定义法判断在区间上的单调性. 证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. 【能力提升】（多数必做） 9．已知函数，当时，的单调递减区间是________；当时，，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：（1）当时，. 时，，在上单调递增； 时，，其对称轴为，开口向下， 故函数在上单调递减，在上单调递增， （2）当时，即. 若，因，故，不等式化为. 令，其对称轴为，故在上单调递增， 需， 即，解得. 若，则当时（此时满足），，不满足在上恒成立，故不符合题意， 故的取值范围是. 故答案为：； 10．已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析：因为，所以关于轴对称， 因为，， 所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 由， 可得 即或， 解得. 11．已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 12．已知满足，它在上是增函数，且，试问在上是增函数还是减函数？证明你的结论． 解析：在上是减函数．证明如下： 设、是上的两个任意实数，且，则,进而． ，且在上是增函数，，故,即， ． 是上的减函数． 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知函数的定义域为，值域为，对任意，，都有，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．是增函数 答案：C 解析：对于A：令，则， 整理得，解得或. 令，则， 整理得，解得或. 因为，所以，，A错误. 对于B：令，则， 整理得，解得或. 因为函数的值域为，所以，B错误. 对于C：令，则， 整理得， 又，当且仅当时等号成立. 则，所以，当且仅当时等号成立，C正确. 对于D：由选项AB中，，，， 因为，，所以不是增函数，D错误. 14．已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 答案： 解析：因为函数在定义域上是单调函数，且， 则存在唯一的常数，使得， ，也即， 于是，由，解得，故， 所以. 四、课时小结 （1）知识概念层面：掌握函数单调性定义、等价判定式，熟记一次、二次、反比例基础函数单调规律，规范单调区间书写格式； （2）解题方法层面：学会图像法判断单调性、定义法标准五步证明单调性，掌握抽象函数配凑推导技巧； （3）综合应用层面：能借助单调性比较函数值、求解含参函数参数、解抽象函数不等式，灵活运用数形结合、转化思想处理对称、分段类综合题型. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1单调性与最大（小）值 第一课时函数的单调性 【学习目标】 ①能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增（或递减）和增函数、减函数的概念； ②理解函数在某区间上具有（严格的）单调性和单调区间的概念； ③能运用定义法证明函数的单调性； ④利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养. 【学习重点】 ①掌握单调性定义、基础函数增减规律与图像判区间方法； ②熟练掌握定义证明、比大小、求参数、解抽象不等式四大核心题型，灵活运用数形结合与转化思想解题. 【学习难点】 抽象函数配凑变形、结合函数对称性转化自变量. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.函数的单调性 （1）一般地，设函数的定义域为，区间： 如果，当______时，都有__________，那么就称函数在区间上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是______. 如果，当______时，都有__________，那么就称函数在区间上单调递减. 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是_______. 2.函数单调性的等价命题 在区间上单调递增： ①差值形式______________________；②比值形式____________________. 在区间上单调递减： ①差值形式_____________________；②比值形式______________________. 3.常见基本初等函数的单调性 （1）一次函数：①时，在上_________，无_________；②时，在上__________，无____________. （2）反比例函数：①时，单调递减区间_________和_________，无单调递增区间；②时，单调递增区间__________和___________，无单调递减区间. （3）二次函数：①时，单调递减区间__________，单调递增区间___________；②时，单调递增区间___________，单调递减区间_____________； 二、典例精析 题型1函数单调性的判断 类型1根据图象判断函数单调性 例1．已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 方法总结：根据图像判断单调性 类型2利用定义证明函数的单调性 例2．已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 方法总结：定义法证明函数单调性的步骤 例3.已知满足对任意，都有，且，当时，，判断并证明在上的单调性. 方法总结：抽象函数单调性定义证明 题型2函数单调性的简单应用 类型1利用函数单调性比较大小 例4（1）定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． （2）已知函数的定义域为R，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 方法总结：根据单调性比较大小 类型2利用函数单调性求参数 例5（1）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． （2）如果函数，在上是增函数，那么的取值范围是______． 方法总结：已知函数单调性求参数 类型3利用函数单调性解不等式 例6（1）已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是________； 反思领悟：求解抽象函数不等式 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象关于轴对称，且在区间上为增函数，下列关于，，之间的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，对任意的，且，都有成立．若不等式在恒成立，则实数a的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．3 7．函数的单调递增区间是________. 8．已知函数，用定义法判断在区间上的单调性. 【能力提升】（多数必做） 9．已知函数，当时，的单调递减区间是________；当时，，则实数a的取值范围是________． 10．已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11．已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．已知满足，它在上是增函数，且，试问在上是增函数还是减函数？证明你的结论． 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知函数的定义域为，值域为，对任意，，都有，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．是增函数 14．已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 四、课时小结 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $