3.1函数的概念及其表示（第4课时　分段函数） 教案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1　函数的概念及其表示（第4课时）

分段函数·教案　人教A版　必修第一册　本节共4课时，本课时是第4课时

一、教材分析

本节是人教A版必修第一册第60—73页的内容，处在第三章的开头，是整个高中函数学习的地基。初中已经用“变量的依赖关系”说过一次函数，这里要用集合语言和对应关系重新说一次，把定义域从背景推到台前，再引进符号f(x)。全节共4课时：第一课时建立函数概念与三要素，第二课时学区间、求定义域、判断同一函数，第三课时学三种表示法与求解析式，第四课时学分段函数及其应用。本课时是末课时，从教材例5的y＝|x|引出分段函数，再用例6的max型、例7的成绩分析、例8的个人所得税把它落到现实问题上。教材没有给分段函数下形式化的定义，只说“像例5中这样的函数称为分段函数”，处理时要抓住三条：它是一个函数、各段范围不重不漏、求值先定段。最值得教的是“分段函数是一个函数”这句话——学生几乎都会理解成几个函数拼起来，这个误解不打破，后面讨论单调性、值域时会一直出问题。高频考点是分段函数求值、已知函数值求自变量（含参讨论）、求值域，近年高考多以选择题出现。本课时末尾还要把整节四个课时串一遍。

二、学情分析

学生已经掌握了函数的定义、三要素、定义域的求法和三种表示法，绝对值的分类在初中接触过。本课时预计的困难有三处：其一，认为分段函数是几个函数，这是最普遍的误解；其二，求值时抓起第一段就代，不先判断自变量落在哪一段；其三，含参问题解出根就写答案，不检验是否落在本段范围内，这是失分最集中的地方。对策分别是：指着y＝|x|的完整图象说“一个x只对一个y，这就是一个函数”；把“先定段、再代入、解出必检验”立成三步话术，作业和检测用同一格式；把例2中“不满足……舍去”那三行用红笔圈出来反复强调。优生班加max型分段函数并要求写出解析式；普通班max型只做图象法，看图说话即可。

三、教学目标

1．能说出分段函数的含义，知道它是一个函数，会指出它的定义域与值域。

2．会按“先定段、再代入、解出必检验”求分段函数的值与相应的自变量。

3．会画y＝|x|一类简单分段函数的图象，分清端点的空心与实心。

4．（★）会用作图定分界的方法求max型分段函数的解析式；能用分段函数刻画阶梯计费一类的实际问题。

四、教学重难点

重点　分段函数的含义与求值；用分段函数刻画实际问题。

难点　分段函数含参数时的分类讨论与检验；max型分段函数解析式的求法。

五、教学方法与教具准备

以问题串驱动，数形结合。本课时配课件16页，问答同页，答案单击浮入；学案附参考答案；课时作业（四）A组8题全体必做，B组3题标★。板书主张一条：例2含参那三段讨论一律在黑板上分行写全，“不满足……舍去”和最后的“综上”一个字都不能省——这是学生答题格式的样板。教具：多媒体课件、坐标纸、直尺、彩色粉笔（红笔标检验步骤）。

六、教学过程

环节一　复习回顾（约3分钟）

问题1　求解析式的四种方法各在什么情况下用？由f(＋1)＝x－4求出的f(x)，定义域是什么？

明确：　待定系数（给类型）、换元（能反解）、配凑（能凑整体）、方程组（出现f(－x)）；f(x)＝x²－2x－3，定义域是[1，＋∞)。

环节二　分段函数的概念（约10分钟）

例1　（教材第68页例5）画出函数y＝|x|的图象。

师生活动：　先问“|x|等于什么”，学生回答后教师板书绝对值的分类，再让学生在学案上画图，一生上台画。

解：

　　由绝对值的概念，当x≥0时y＝x，当x＜0时y＝－x。

　　图象是两条射线拼成的“V”形：x≥0时是y＝x的右半支，x＜0时是y＝－x的左半支，在原点相接。

讲授并板书：　像这样在定义域的不同部分用不同的式子表示对应关系的函数，称为分段函数。生活中很多问题可以用分段函数描述，如出租车计费、个人所得税、阶梯水价、快递计费。

问题2　分段函数是一个函数，还是几个函数？

师生活动：　让学生举手表态，教师统计人数，再讲。

预设：　过半学生会答“几个”。教师指着黑板上的V形图说：这是一条完整的图象，一个x只对应一个y，完全符合函数的定义。它只有一个对应关系f，只是这个f在不同的区间用不同的式子写出来。

明确：　分段函数是一个函数。定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集。各段的范围不重不漏——写成x≤1与x≥1是错的，x＝1处出现两个值；写成x＜1与x＞1也是错的，x＝1处没有定义。

环节三　分段函数求值与含参（约12分钟）

例2　已知f(x)＝（1）求f(－3)与f(f(－3))；（2）若f(a)＝3，求a的值。

师生活动：　第（1）问学生口答，教师板书；第（2）问学生独立完成学案探究二，一生板演，全班订正。

解：

　　（1）因为－3≤－1，用第一段，f(－3)＝－3＋2＝－1；

　　　　又－1≤－1，仍用第一段，f(f(－3))＝f(－1)＝－1＋2＝1。

　　（2）当a≤－1时，a＋2＝3，得a＝1，不满足a≤－1，舍去；

　　　　当－1＜a＜2时，a²＝3，得a＝±，其中满足，－不满足，舍去；

　　　　当a≥2时，2a＝3，得a＝，不满足a≥2，舍去。

　　　　综上，a＝。

预设：　第（2）问最常见的错是解出根就写答案，不回头检验。教师把三行“不满足……舍去”用红笔圈出来，立三步话术：先定段、再代入、解出必检验。这三步在作业和检测里用同一格式写。

练习1：　已知f(x)＝求f(f(0))。

师生活动：　限时1分钟独立完成，指名口答。

明确：　f(0)＝2×0＋1＝1；f(1)＝1²－2＝－1，所以f(f(0))＝－1。

预设：　会有学生两层都用第一段，算成f(1)＝3。教师提醒：里层算完得到1，1≥1，