3.1函数的概念及其表示（第4课时　分段函数） 教案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该教案聚焦分段函数的概念、求值及应用，通过复习函数三要素、解析式求法等前序知识导入，构建“函数定义—表示法—分段函数”的知识脉络，为学生搭建从基础到应用的学习支架。 此教案以问题串驱动教学，借助y=|x|的V形图象直观揭示“分段函数是一个函数”的核心，培养数学眼光中的几何直观。通过“先定段、再代入、解出必检验”三步话术规范解题，强化数学思维的推理能力。结合个税计算等实例，引导学生用数学语言刻画现实问题，发展模型意识。分层设计优生班与普通班任务，助力教师精准教学，帮助学生深化概念理解与解题规范。

3.1　函数的概念及其表示（第4课时） 分段函数·教案　人教A版　必修第一册　本节共4课时，本课时是第4课时 一、教材分析 本节是人教A版必修第一册第60—73页的内容，处在第三章的开头，是整个高中函数学习的地基。初中已经用“变量的依赖关系”说过一次函数，这里要用集合语言和对应关系重新说一次，把定义域从背景推到台前，再引进符号f(x)。全节共4课时：第一课时建立函数概念与三要素，第二课时学区间、求定义域、判断同一函数，第三课时学三种表示法与求解析式，第四课时学分段函数及其应用。本课时是末课时，从教材例5的y＝|x|引出分段函数，再用例6的max型、例7的成绩分析、例8的个人所得税把它落到现实问题上。教材没有给分段函数下形式化的定义，只说“像例5中这样的函数称为分段函数”，处理时要抓住三条：它是一个函数、各段范围不重不漏、求值先定段。最值得教的是“分段函数是一个函数”这句话——学生几乎都会理解成几个函数拼起来，这个误解不打破，后面讨论单调性、值域时会一直出问题。高频考点是分段函数求值、已知函数值求自变量（含参讨论）、求值域，近年高考多以选择题出现。本课时末尾还要把整节四个课时串一遍。 二、学情分析 学生已经掌握了函数的定义、三要素、定义域的求法和三种表示法，绝对值的分类在初中接触过。本课时预计的困难有三处：其一，认为分段函数是几个函数，这是最普遍的误解；其二，求值时抓起第一段就代，不先判断自变量落在哪一段；其三，含参问题解出根就写答案，不检验是否落在本段范围内，这是失分最集中的地方。对策分别是：指着y＝|x|的完整图象说“一个x只对一个y，这就是一个函数”；把“先定段、再代入、解出必检验”立成三步话术，作业和检测用同一格式；把例2中“不满足……舍去”那三行用红笔圈出来反复强调。优生班加max型分段函数并要求写出解析式；普通班max型只做图象法，看图说话即可。 三、教学目标 1．能说出分段函数的含义，知道它是一个函数，会指出它的定义域与值域。 2．会按“先定段、再代入、解出必检验”求分段函数的值与相应的自变量。 3．会画y＝|x|一类简单分段函数的图象，分清端点的空心与实心。 4．（★）会用作图定分界的方法求max型分段函数的解析式；能用分段函数刻画阶梯计费一类的实际问题。 四、教学重难点 重点　分段函数的含义与求值；用分段函数刻画实际问题。 难点　分段函数含参数时的分类讨论与检验；max型分段函数解析式的求法。 五、教学方法与教具准备 以问题串驱动，数形结合。本课时配课件16页，问答同页，答案单击浮入；学案附参考答案；课时作业（四）A组8题全体必做，B组3题标★。板书主张一条：例2含参那三段讨论一律在黑板上分行写全，“不满足……舍去”和最后的“综上”一个字都不能省——这是学生答题格式的样板。教具：多媒体课件、坐标纸、直尺、彩色粉笔（红笔标检验步骤）。 六、教学过程 环节一　复习回顾（约3分钟） 问题1　求解析式的四种方法各在什么情况下用？由f(＋1)＝x－4求出的f(x)，定义域是什么？ 明确：　待定系数（给类型）、换元（能反解）、配凑（能凑整体）、方程组（出现f(－x)）；f(x)＝x²－2x－3，定义域是[1，＋∞)。 环节二　分段函数的概念（约10分钟） 例1　（教材第68页例5）画出函数y＝|x|的图象。 师生活动：　先问“|x|等于什么”，学生回答后教师板书绝对值的分类，再让学生在学案上画图，一生上台画。 解： 　　由绝对值的概念，当x≥0时y＝x，当x＜0时y＝－x。 　　图象是两条射线拼成的“V”形：x≥0时是y＝x的右半支，x＜0时是y＝－x的左半支，在原点相接。 讲授并板书：　像这样在定义域的不同部分用不同的式子表示对应关系的函数，称为分段函数。生活中很多问题可以用分段函数描述，如出租车计费、个人所得税、阶梯水价、快递计费。 问题2　分段函数是一个函数，还是几个函数？ 师生活动：　让学生举手表态，教师统计人数，再讲。 预设：　过半学生会答“几个”。教师指着黑板上的V形图说：这是一条完整的图象，一个x只对应一个y，完全符合函数的定义。它只有一个对应关系f，只是这个f在不同的区间用不同的式子写出来。 明确：　分段函数是一个函数。定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集。各段的范围不重不漏——写成x≤1与x≥1是错的，x＝1处出现两个值；写成x＜1与x＞1也是错的，x＝1处没有定义。 环节三　分段函数求值与含参（约12分钟） 例2　已知f(x)＝（1）求f(－3)与f(f(－3))；（2）若f(a)＝3，求a的值。 师生活动：　第（1）问学生口答，教师板书；第（2）问学生独立完成学案探究二，一生板演，全班订正。 解： 　　（1）因为－3≤－1，用第一段，f(－3)＝－3＋2＝－1； 　　　　又－1≤－1，仍用第一段，f(f(－3))＝f(－1)＝－1＋2＝1。 　　（2）当a≤－1时，a＋2＝3，得a＝1，不满足a≤－1，舍去； 　　　　当－1＜a＜2时，a²＝3，得a＝±，其中满足，－不满足，舍去； 　　　　当a≥2时，2a＝3，得a＝，不满足a≥2，舍去。 　　　　综上，a＝。 预设：　第（2）问最常见的错是解出根就写答案，不回头检验。教师把三行“不满足……舍去”用红笔圈出来，立三步话术：先定段、再代入、解出必检验。这三步在作业和检测里用同一格式写。 练习1：　已知f(x)＝求f(f(0))。 师生活动：　限时1分钟独立完成，指名口答。 明确：　f(0)＝2×0＋1＝1；f(1)＝1²－2＝－1，所以f(f(0))＝－1。 预设：　会有学生两层都用第一段，算成f(1)＝3。教师提醒：里层算完得到1，1≥1，要换到第二段。 环节四　★max型分段函数（优生班，约10分钟） ★拔高探究（优生班）　（教材第68页例6）给定f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)²，xR。∀xR，用M(x)表示f(x)、g(x)中的最大者，记M(x)＝max{f(x)，g(x)}。请分别用图象法和解析法表示M(x)。 师生活动：　教师先在同一坐标系里画出直线与抛物线，让学生用彩笔把“上面那条”描出来，再求分界点。 解： 　　由(x＋1)²＝x＋1，得x(x＋1)＝0， 　　解得x＝－1，或x＝0。 　　结合图象，得 　　M(x)＝ 明确：　三步——作图看高低、解方程定分界、按段写解析式。分界点归到哪一段都行，因为在分界点处两式相等，但同一份答案里要前后一致。 （普通班替代）：　只做图象法：把两条图象画出来，用彩笔描出上方的部分，说出M(x)在哪些区间取抛物线、哪些区间取直线，不要求写解析式。 环节五　分段函数的实际应用（约7分钟） 例3　（教材第70页例8节选）个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数。全年应纳税所得额t与个税税额y的关系是一个七段的分段函数，其中第一段是0≤t≤36000时y＝0.03t。小王全年应纳税所得额t＝23920元，求他应缴纳的个税。 师生活动：　多媒体出示教材表3.1—5与七段解析式，教师只讲“落在哪一段”这一步，计算由学生完成。 解： 　　因为0≤23920≤36000，所以用第一段， 　　y＝0.03×23920＝717.6， 　　所以小王应缴纳的综合所得个税税额为717.6元。 明确：　七段不必全推。这道题真正要学的是：面对一个分段模型，先判断自变量落在哪一段，再算。 设计意图：　把分段函数从符号拉回现实。学生会发现个税、水电阶梯价、快递计费都是这一个模型。 环节六　全节小结（约3分钟） 归纳：　（对着四个课时的板书串一遍）3.1这一节，从初中的变量说法走到集合说法，得到定义与三要素；用区间把数集写得更省事；学会求定义域、判断同一函数；知道函数有三种表示法，学会四种求解析式的方法；最后用分段函数刻画现实。下一节3.2要研究函数的性质——单调性和奇偶性，那里每一句都要从“定义域内任意x”说起，今天的“任意”“唯一”要一直带着。 布置：　课时作业（四）；整理本节四课时的错题，下节课前交学案。 七、板书设计 3.1.2　分段函数（第4课时） 一、概念　一个函数，不是几个 　　定义域＝各段并集　值域＝各段并集　不重不漏 二、求值三步　先定段→再代入→解出必检验（红笔） 　　例2三段讨论　不满足……舍去　综上 三、max型　作图看高低→解方程定分界→按段写 　　y＝|x|的V形图　　　　　　　　　［副板面：例2三段讨论］ 八、附：课堂预设 1．认为分段函数是几个函数拼起来的。——指着y＝|x|的完整图象说：一个x只对一个y，这就是一个函数，只是写法上分了段。 2．分段函数各段范围写成x≤1与x≥1。——在x＝1处代两个式子，算出两个不同的值，违反“唯一确定”。 3．求值时抓起第一段就代。——把自变量先写在黑板上，问“它落在哪一段”，逼学生先做判断再动笔。 4．f(f(0))两层都用第一段。——提醒里层算完得到的数要重新判断落在哪一段。 5．含参问题解出根就写答案，不检验。——把“不满足……舍去”这几行用红笔圈出来，反复用“解出必检验”这句话。 6．分类讨论写完不写“综上”。——说明阅卷时“综上”是独立的得分点，格式按黑板上的样板写。 7．画分段函数图象时端点空心实心不分。——在图上把两个端点放大画出来，对照解析式里的≤与＜。 8．max型看不出该取哪一条。——让学生用彩笔在图上描出“上面那条”，描完再去解方程定分界。 9．优生班问“分段函数的单调性怎么看”。——答：要等3.2学完单调性的定义，而且要分段讨论。不展开。 九、备教手记（课后填写） 这一课时上完，我要回头核对四件事。第一，“分段函数是一个函数”这句话有多少人真的接受了，看作业第2题判断正误的（1）（3）两小题错误率。第二，含参那道题的检验步骤，作业B组第9、11两题有多少人写了“不满足……舍去”和“综上”，省的人要单独找来当面做一遍。第三，max型在普通班到底压到了什么程度，如果只做了图象法，期中复习要补解析式。第四，整节四个课时下来，学生对“定义域”的自觉建立起来没有——最直接的检验是看下一节3.2讲单调性时，有没有人主动问“定义域是什么”。另外记一下：环节四给了10分钟，普通班若跳过解析式，多出来的时间补例2那类含参题更划算。 学科网（北京）股份有限公司 $