集合与常用逻辑用语高考重点题型训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦集合与常用逻辑用语核心题型，以高考真题为载体，按概念理解-运算应用-逻辑判断-创新拓展递进，强化数学眼光与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合间包含关系|3题|判断集合关系|从基础概念出发，构建集合关系认知| |包含关系求参|2题|根据包含关系求参数|概念应用延伸，体现逻辑推理| |元素与子集个数|3题|计数与子集个数计算|结合计数原理，深化集合属性理解| |交并补运算|6题|集合基本运算|运算能力培养，强化数学语言表达| |韦恩图应用|3题|实际问题转化|数学建模意识，连接生活与数学| |充分必要条件判断|6题|逻辑关系判断|逻辑思维训练，提升推理能力| |命题的否定|4题|量词与否定形式|精准数学语言表达，强化严谨性| |集合新定义题型|3题|创新情境问题|培养创新意识，综合应用知识|

训练1 2027届集合与常用逻辑用语高考重点题型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、集合之间的包含关系 1．（2005·北京·高考真题）设全集，集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B．PM C． M P D． 2．（1993·全国·高考真题）集合，,则（    ） A．； B．； C．； D．． 3．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 二、集合之间的包含关系求参 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 5．（2007·全国·高考真题）设a,b∈R，集合，则=(    ) A．1 B．-1 C．2 D．-2 三、集合中元素的个数与子集个数 6．（2018·全国II卷·高考真题）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 7．（2011·安徽·高考真题）设集合则满足且的集合的个数为（　　） A．57 B．56 C．49 D．8 8．（2001·北京·高考真题）集合M={1,2,3,4,5}的子集的个数是（　　） A．15 B．16 C．31 D．32 四、集合的交并补集合运算 9．（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 10．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 12．（2022·全国甲卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 13．（2020·全国II卷·高考真题）已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（    ） A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3} 14．（2019·浙江·高考真题）已知全集，集合，，则（　　） A． B． C． D． 五、韦恩图的应用 15．（2020·海南·高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ） A．62% B．56% C．46% D．42% 16．（2019·全国III卷·高考真题）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（　　） A． B． C． D． 17．（1999·全国·高考真题）如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 六、充分条件与必要条件的判断 18．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（2026·北京·高考真题）已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（2017·全国·高考真题）设甲：四边形ABCD为矩形；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 21．（2006·浙江·高考真题）“且”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 22．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 23．（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 七、命题的否定 24．（2007·海南·高考真题）若≤，则为（    ） A． B．≥ C．≥ D． 25．（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（    ） A．且 B．或 C．， D．， 26．（2016·浙江·高考真题）命题“，使得”的否定形式是（　　） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 27．（2015·新课标Ⅰ·高考真题）设命题，则为（　　） A． B． C． D． 八、集合新定义题型 28．（2013·福建·高考真题）设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：；对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（　　） A． B． C． D． 29．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 30．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 训练1 2027届集合与常用逻辑用语高考重点题型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、集合之间的包含关系 1．（2005·北京·高考真题）设全集，集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B．PM C． M P D． 【答案】C 【分析】解出集合P，即可得出关系. 【详解】=或，所以M P. 故选：C. 2．（1993·全国·高考真题）集合，,则（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】化简两个集合，再判断集合间的关系. 【详解】,, 表示奇数，表示整数，所以. 故选：B 3．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【答案】 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 二、集合之间的包含关系求参 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 5．（2007·全国·高考真题）设a,b∈R，集合，则=(    ) A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用集合中元素有意义，集合相等的意义列式计算作答. 【详解】因，则，从而得，有，于是得， 所以. 故选：C 三、集合中元素的个数与子集个数 6．（2018·全国II卷·高考真题）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 【详解】 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个， 故选：A. 【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 7．（2011·安徽·高考真题）设集合则满足且的集合的个数为（　　） A．57 B．56 C．49 D．8 【答案】B 【详解】集合的非空子集的个数为个，集合的非空子集的个数为， 所以集合的个数为． 8．（2001·北京·高考真题）集合M={1,2,3,4,5}的子集的个数是（　　） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】D 【详解】试题分析：集合含有5个元素，所以子集个数为 考点：结合的子集 四、集合的交并补集合运算 9．（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得,又因， 则. 10．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 11．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 12．（2022·全国甲卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解. 【详解】由题意，，所以, 所以. 故选：D. 13．（2020·全国II卷·高考真题）已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（    ） A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题. 14．（2019·浙江·高考真题）已知全集，集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】，则 故选：A 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 五、韦恩图的应用 15．（2020·海南·高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ） A．62% B．56% C．46% D．42% 【答案】C 【分析】由容斥原理即可得解.. 【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为. 故选：C. 16．（2019·全国III卷·高考真题）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C． 【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 17．（1999·全国·高考真题）如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据Venn图表示的集合运算作答． 【详解】阴影部分在集合的公共部分，但不在集合内，表示为， 故选：C． 六、充分条件与必要条件的判断 18．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 19．（2026·北京·高考真题）已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论. 【详解】由题意， ，是无穷数列， 验证充分性： 当存在常数，使时， ，， 显然成立， 验证必要性： 当，时，此时满足, 假设存在常数，使成立， 当时，，， 此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， 但不存在这样的固定常数， ∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立， ∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件. 20．（2017·全国·高考真题）设甲：四边形ABCD为矩形；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】若四边形ABCD为矩形，则它一定是平行四边形， 反之，若四边形ABCD为平行四边形，则它不一定是矩形. 故甲是乙的充分非必要条件． 故选：A. 21．（2006·浙江·高考真题）“且”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】充分性: 且，则，充分性成立;必要性: 若，则且，或且，必要性不成立.故“且”是“”的充分而不必要条件. 故选:A. 22．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 23．（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为时，满足， 但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 七、命题的否定 24．（2007·海南·高考真题）若≤，则为（    ） A． B．≥ C．≥ D． 【答案】A 【分析】利用全称量词命题的否定是特称量词命题即可求解. 【详解】该命题的否定： 故选：A. 25．（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（    ） A．且 B．或 C．， D．， 【答案】D 【分析】本题可通过、、、、得出结果. 【详解】A项：因为，所以且是假命题，A错误； B项：根据、易知B错误； C项：由余弦函数性质易知，C错误； D项：恒大于等于，D正确， 故选：D. 26．（2016·浙江·高考真题）命题“，使得”的否定形式是（　　） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】D 【详解】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D． 【考点】全称命题与特称命题的否定． 【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 27．（2015·新课标Ⅰ·高考真题）设命题，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C. 八、集合新定义题型 28．（2013·福建·高考真题）设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：；对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】条件（i）说明S到T是一个一一映射，条件（ii）说明函数单调增．对于A可拟合函数满足上述两个条件，故是保序同构；对于B可拟合函数满足上述两个条件，故是保序同构；对于C可考虑经过平移压缩的正切函数也满足上述两个条件，故是保序同构；故应该选D． 【考点定位】本题考查学生对新概念的理解，转化和应用，属于难题． 29．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可. 【详解】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 30．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【答案】(1)或 (2)不能，理由如下： 假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的， 所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. (3)证明： 法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设， . 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在， 使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反， 故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点， 所以，得. 从而有. 这就得到. 再设， . 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【分析】（1）根据新定义即可得解； （2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论； （3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论. 【详解】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）不能，理由略； （3）略. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $