第二十五章 一元二次方程 25.2.1～25.2.3 课时作业 第2课时 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练聚焦一元二次方程解法、判别式及应用，通过基础巩固-能力提升-综合探究三级分层，实现从概念理解到实际应用的递进，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|解法（配方法、因式分解）、判别式概念|以选择填空为主（如单选1-5题直接考查解法），强化运算能力| |中档|根与系数关系、含参方程、配方应用|结合几何（如单选7三角形周长）和参数讨论（如单选8参数取值范围），培养推理意识| |综合|实际问题、新定义问题|设置梯子下滑探究（21题）和邻根方程（22题），发展模型意识与创新思维|

第二十五章 一元二次方程 25.2.1～25.2.3 课时作业 第2课时 一、单选题 1．方程的解是（） A． B． C． D． 2．下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 4．关于的方程，下列说法错误的是（    ） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为 D．适合用因式分解法解方程 5．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 6．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 7．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 8．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 9．若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题 11．用配方法解一元二次方程，变形为： 12．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 13．用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 14．已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 15．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 三、解答题 16．解方程： (1)． (2)． (3)； (4)． 17．阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 18．现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． (1)若“”内填入0，请求出方程的根； (2)在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 20．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 21．实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米． (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 22．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.2.1～25.2.3 课时作业 第2课时 解析版 一、单选题 1．方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 2．下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根的判别式逐项判断即可． 【详解】解：A、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、， 该方程没有实数根，符合题意； C、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、， 该方程有两个相等的实数根，不符合题意． 3．关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式公式计算即可得出结果． 【详解】解：在方程中，，，， 故． 4．关于的方程，下列说法错误的是（    ） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为 D．适合用因式分解法解方程 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程各项系数的定义找出二次项、一次项、常数项，再对多项式因式分解，判断解方程适用方法，选出错误说法． 【详解】解：选项A：方程的二次项系数为1，不符合题意； 选项B：方程的常数项是3，符合题意； 选项C：方程的一次项系数为，不符合题意； 选项D：∵， ∴适合用因式分解法解方程，不符合题意． 5．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 6．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 7．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 8．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 9．若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先解一元二次方程，得出，然后根据象限内点的坐标特点进行判断即可． 【详解】解：∵实数，是一元二次方程的两个根，且， ∴， ∴为， ∴在第二象限． 10．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得一个关于的等式，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 二、填空题 11．用配方法解一元二次方程，变形为： 【答案】． 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，完成配方后即可判断正确选项． 【详解】解： 移项得，， 配方得，，即． 12．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和方程无实数根的条件，求出k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． 13．用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 【答案】 【分析】将的两边分别平方整理后得到，然后比较求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 14．已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 【答案】 或 【详解】解：（1）当时， 或， 解得：或； （2）当时，整理，得， ， ∴， ∴. 15．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 【答案】3 【分析】根据新定义的分段运算规则，分和两种情况列方程求解，舍去不符合分类条件的根即可得到结果． 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论：当时，， 令， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 本情况要求， ∴ 舍去，保留； 当时，， 令， 整理得， 解得， ∵ 本情况要求， ∴舍去 综上，实数的值为． 三、解答题 16．解方程： (1)． (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2) ，． (3) (4) 【详解】（1）解：， ，即， ． ，． （2）解：原方程可化为， ，，． 方程有两个不相等的实数根， ． ，． （3）解：， 直接开平方，得． 即或， 解得． （4）解：， 移项，得． 因式分解，得， 即， 解得． 17．阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)解：配方，得 ， 即， 移项，得 ， 两边开平方，得 ， 即，或， ∴，． 【分析】（1）步骤②中，等式左边加了1，没有同时减1，导致等式不成立； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 18．现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． (1)若“”内填入0，请求出方程的根； (2)在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 【答案】(1)， (2)“”内的值为1，方程的根 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）设在“”内填入的数为m，利用判别式求出m的值，再解方程求出方程的根即可． 【详解】（1）解：由题意得，原方程为， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：设在“”内填入的数为m， 由题意得，， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 20．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式变形为，再将看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算，最后解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ． 令， ， ． 又，即， ， ． 21．实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米． (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 【答案】(1)；0.8；（舍去）；0.8 (2)解：①不会是0.9米，理由如下： 若米， 则（米），（米）． ∵，， ∴， ∴该题的答案不会是0.9米； ②有可能，理由如下： 设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米， 则，，， 则有，即， 即，则， 解得，（舍去）， 梯子顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等． 【分析】（1）根据，，，代入中，可得方程，再根据一元二次方程的解法求解，舍去负值即可得． （2）①假设米，得到，构不成直角三角形，由此判断即可； ②设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， 由可得，， 则有，即， 可得， 解得，（舍去）， 所以点B将向外移动0.8米． （2）略 22．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 【答案】(1)不是邻根方程，计算如下： ， ， 解得：， ， ∴一元二次方程不是邻根方程； (2)或0 (3)或 【分析】（1）解方程，根据题意即可判断； （2）解方程，根据题意列方程即可解答； （3）设方程的根为，根据根与系数的关系得到关于的方程，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 或， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或0； （3）解：设方程的根为，且， 则，， 将代入得， 化简得， ，， ， ，即， 即， 解得． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $