3.1函数的概念及其表示讲义--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦函数的概念及其表示，系统梳理函数定义（含非空性、任意性等四特征）、三要素（定义域、对应关系、值域）、区间表示（常规及无穷区间）及解析式求法（待定系数法、换元法等），构建从概念理解到应用的学习支架。 资料通过多样题型（概念判断、定义域值域求解等）及多地阶段练习题，培养学生数学思维（推理与运算能力）和数学语言表达，课中助力教师分层教学，课后辅助学生查漏补缺，强化知识应用与迁移能力。

函数的概念及其表示 1.函数的定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系. 2.函数的三要素 （1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． （2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． （3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 3.区间 设a，b∈R，且a＜b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 4.无穷区间的表示 定义 {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x＜a} {x|x≤a} R 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a) (－∞，a] (－∞，＋∞) 5.求函数解析式 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． （2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， （4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 题型一 函数的概念 例1．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【详解】A：因为集合是整数集合，其中奇数除以的结果不是整数，所以不是的函数，因此本选项不符合题意；B：显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，因此本选项不符合题意；C：因为任意一个实数的平方是一个确定的实数，符合函数的定义，所以本选项符合题意；D：因为，但是没有意义，因此不符合题意，所以本选项不符合题意，故选：C 例2．（24-25高一上·湖北荆门·阶段练习）设集合，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．② 【详解】对于①，从图中可看出，函数的定义域是，不符合集合到集合的函数关系；对于②，函数的定义域、对应法则和值域都符合集合到集合的函数关系； 对于③，函数的定义域、对应法则和值域都符合集合到集合的函数关系； 对于④，任取，在图中可看到有两个的值与之对应，不符合函数定义的要求. 故② ，③ 可表示集合到集合的函数关系.故选：B. 例3．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）集合，下列不能表示从A到B的函数的是（   ） A． B． C． D． 【详解】A选项，，当时，，且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数；B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数；C选项，，当时，，故C不能表示从A到B的函数；D选项，，当时，，且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数；故选：C 例4．（2025浙江湖州）（多选题）下列对应关系：是集合到集合的函数关系的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【解析】对于A中，集合，，可得为多对一对应， 所以是函数关系，符合题意；对于B中，集合，可得集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不是函数关系，不符合题意；对于C中，集合，，可得为多对一对应，所以是函数关系，符合题意；对于D中，集合，，可得集合中的一个元素，在集合中有两个元素与之对应，所以不是函数关系，不符合题意.故选：AC. 例5．（多选题）存在函数f(x)满足：对任意的实数x都有（  BCD     ） A． B． C． D． 【解析】A. 当时， ，当 时， ，故错误； B. 令，得 ，所以 ，即，故正确； C. 令，得 ，所以 ，即，故正确； D. 因为，所以存在，故正确； 题型二 同一函数的判断 例6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【详解】对于A，易知两函数定义域均为R，且， 故A正确；对于B，的定义域为，而的定义域为，两函数定义域不同，故B错误；对于C，的定义域为R，的定义域为，两函数定义域不同，故C错误；对于D，易知两函数定义域均为R，但，故D错误.故选：A 例7．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）下列哪一组中的函数与表示同一个函数（   ） A．， B．， C．， D．，【详解】对于A：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，故A错误；对于B：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，故B错误；对于C：的定义域为，，函数解析式不一致，故不是同一函数，故C错误；对于D：的定义域为，的定义域为，且，两函数的定义域相同，函数解析式一致，故是同一函数，故D正确.故选：D 例8．（25-26高一上·广东中山·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C． 与 D．与 【详解】对于A中，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数有意义，则满足，解得， 即函数的定义域为，又由函数有意义，则满足，解得或即函数的定义域为，所以两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意；对于C中，由函数 与的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以C符合题意；对于D中，由函数，所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D不符合题意.故选：C. 例9．（多选题）下列各组函数表示的是不同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与【解析】A. 的定义域为，且，的定义域为，解析式不同，所以不是同一函数，故错误；B. 的定义域为R，定义域为R，且解析式相同，所以是同一函数，故正确；C. 的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数，故错误；D.，由得，所以的定义域为，由，得 或 ，所以函数的定义域为或 ，所以不是同一函数，故错误；故选：ACD 例10．（多选题）（23-24高一下·山东淄博·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【详解】对A：对的定义域为，则， 故与不是同一函数，故A错误；对B：，，故与是同一函数，故B正确；对C：定义域为，即，定义域为，即或，故与不是同一函数，故C错误；对D：与定义域与对应关系都相同，故选：BD. 题型三 函数的定义域 （一）求常规函数的定义域 例11．（1）（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得，所以，解得，或，所以函数的定义域为．故选：C． （2）（25-26高一下·广西崇左·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得解得或.故选：D. （3）（24-25高一上·浙江·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数定义域需满足，解得且，即，故选：C （4）（24-25高一上·北京·期中）函数的定义域是 ． 【详解】要使函数有意义，只需，解得：且.故答案为：且 （5）（2024·四川南充·三模）函数的定义域为 . 【解析】因为，所以且，解得且， 故函数的定义域为.故答案为： （6）（24-25高三上·重庆·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由函数有意义，则满足，即，解得，所以函数的定义域为.故选：B. （二）求抽象函数、复合函数的定义域 例12．（1）（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． （3）（2025湖北）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解析】（1）【详解】的定义域为， ，解得：，的定义域为.故选：B. （2）【详解】由函数的定义域是，得，因此在函数中，，解得，所以所示函数的定义域为.故选：A （3）函数的定义域为，所以，，所以的定义域为，对于函数，由，得，所以函数的定义域为.故选：C （4）（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【详解】若函数的定义域为，则， 要使得有意义，当且仅当，所以的定义域为.故选：D. （5）（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知的定义域为则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为的定义域为， 所以,所以,所以所以的定义域为. 故选：C. （6）（25-26高一上·安徽池州·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． （三）逆用函数的定义域 例13．（25-26高一上·福建龙岩·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为，即不等式的解集为 （1）当时，得到，显然不等式的解集为； （2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能．（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为， 得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得； 综上，的取值范围为故选：B 例14．（2025天津西青）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【解析】由题意可知：在上恒成立，若，则，符合题意； 若，则，解得；综上所述：实数的取值范围是. 例15．（2025黑龙江哈尔滨）函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ． 【解析】由题意函数在上有意义，即在上恒成立，即在上恒成立，令，则，解得 例16．若函数的定义域为，则实数 实数的取值范围 ． 【解析】因为函数的定义域为，则，而函数的定义域为，所以，即.故答案为：；. 例17．（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【解析】函数的定义域为，得恒成立， 当时，恒成立；当时，，得， 综上，实数的取值范围是.故答案为： 题型四 函数值域 例18．（1）（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【详解】令，则，则， 故当时，取得最大值，最大值为，所以的值域为.故选：D （2）（25-26高一上·安徽宣城·开学考试）已知则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由有意义可得，设，则，，所以，所以，故选：C. （3）（2025·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，显然，则，于是，所以函数的值域是.故选：C （4）（25-26高三上·河南平顶山·阶段练习）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【详解】设，，， 时，，时，因为，所以，解得，即且，综上，最大值是，最小值是，和为6．故选：B． （5）（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【详解】令，则，解得，所以函数的定义域为， 则，因为，所以，所以，则，所以，显然，所以，即该函数的值域为.故选：D 例19．（1）（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】A选项，当时，，故，A错误； B选项，当时，，故，B正确； C选项，当时，，故，C正确； D选项，当时，，故，D正确.故选：BCD （2）（多选题）（25-26高一上·吉林·阶段练习）以下命题正确的是（   ） A．不等式的解集是 B．，的值域为 C．若函数，则对，不等式恒成立 D．若，则函数的解析式为 【详解】对A，不等式，即，化简得， ，所以不等式的解集为，故A选项错误；对B，当时，分段函数的值域即可为，故B选项正确；对C，因为函数， 则，， ，所以不等式不等式恒成立，故C选项正确；对D，，令 ，则，， 即，，故D选项错误.故选：BC （3）（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【详解】因为函数的定义域为，则，即， 所以函数的定义域为.又函数的值域为， 所以的值域为.故选：D. （4）已知正实数，，满足，，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，因为可得：， 所以，即 ， 因为，当时取得最小值，所以， 所以的最大值为，故选：C. 例20．（1）（25-26高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【详解】由已知函数定义域为，且，则，即，故选：C. （2）（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）函数的最大值为 . 【详解】令，则，则， 故当时，取得最大值，最大值为8.故答案为：8 （3）（24-25高一上·辽宁锦州·期中）函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【详解】∵，∴，即函数的定义域为.令， 则，∴，∴，当且仅当时有最大值为1，当时，或1满足.故选：D （4）（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【详解】由解析式易知的定义域为，令（）， 所以，则，由，可知， ，所以，则，所以（），则，所以的最大值为.故选：C. 例21．（1）（25-26高一上·广西南宁·期中）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，又因为，所以，所以，所以，所以函数，的值域为． （2）（24-25高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【详解】结合题意：，当时，； 当时，，当且仅当，即，原式取得最小值；另一方面，因为，所以，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值;另一方面因为， 令，则，所以，所以所以，即;综上所述：函数的值域是.故选：A. （3）（24-25高一上·天津红桥·期中）已知函数 ，则函数的值域为 【详解】函数的定义域为,,∵； 又，；函数的值域为,,.故答案为：,,. （4）（25-26高一下·吉林四平·开学考试）取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，当时，； 当时，，又，当且仅当，即时取等号，所以或2； 当时，，又，当且仅当，即时取等号，所以或1，综上，得的值域为 （5）（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数，则的值域为 . 【详解】由函数，可得且，解得，又由，则，可得，因为，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以，可得，所以函数的值域是.故答案为：. （6）（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且，整理可得，即该方程在上有解，当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为.故答案为：. 题型五 已知函数值域求参数 例22．（2025福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】结合题意：函数所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为，所以，易知：，由图可知,要使函数的定义域是，值域为，则的取值范围是，故选：B. 例23．（2025山东济南）已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（    ） A．-4 B．-2 C．1 D．-1 【解析】依题意，的值域为，且的解集为，故函数的开口向下，，则方程的两根为或，则，，即， 则，当时，取得最大值为，即，解得：.故选：A. 例24．（1）（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意知当时，，故要使函数的值域为，需满足，解得，故的取值范围是，故选：D （2）（25-26高一上·湖北·期中）已知函数的值域为，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，单调递增，所以在上有， 所以要使函数的值域为，则需，解得.    故选：C （3）（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，；当时，， 要使的值域为，则需，解得，所以的取值范围是.故选：A 例25．（2025四川广安）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【解析】因为函数的值域为，所以能取遍所有大于或等于零的实数，即方程在实数范围内有解．所以，解得．故选：B． 例26．函数的最大值为______. 例27．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，， 值域为当时，由，得，由，得，解得或，作出的图象如下图所示， 由图象可得：，即实数的取值范围是.故选：C. 例28．（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由已知时，，显然在单调递减，在单调递增， 所以在处取到最小值，，当时，时，在单调递减，不符合，舍去；当时，时，开口向下，不符合，舍去；当时，时，开口向上，且对称轴为，在单调减，在单调增， 若即，则，所以； 若即，则得；综上，实数a的取值范围是. 例29．（24-25高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，，当时，，又时，， 存在最小值，满足题意；当时，在，上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，不等式无解；综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.故选：A. 例30．（24-25高一上·陕西西安·期中）定义，设函数， ；记函数，且函数在区间的值域为，则区间长度的最大值（　　） A．1 B． C． D．2 【详解】令，即，解得，所以，则的图象如下所示： 又，，要使函数在区间的值域为，当时，当时，所以当，时区间长度的取得最大值，且最大值为.故选：D 题型六 求函数解析式 例31．（1）（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，由， 则，即.故选：C. （2）（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【详解】令，则，且，则，可得， 所以.故选：B. 例32．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； （4）已知函数满足，求函数的解析式. 【详解】（1）设，则. ，解得，或，或. （2）令，则，，即. （3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立， 得，解得. （4）由①，用代替，得②， 得：，即，.令，则，. 则：，.所以，. 例33．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，求； （2）已知是一次函数，且满足．求 （3）已知，求及值域． 【详解】解：（1）由函数，所以函数的解析式为； （2）设一次函数，可得因为，因为，所以，解得，所以函数的解析式为； （3）因为，令，可得且， 因为，可得， 所以函数的解析式为. 例34．已知函数是定义在上的增函数，且，，则（       ） A． B． C．2 D．3 【详解】令，即有，因函数是定义在上的增函数，则t为常数， 因此，从而，解得，于是得，显然函数在上递增，所以.故选：B 例35．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知二次函数满足，且图像被轴截得的线段长度是. （1）求的解析式； （2）若，求的最大值. 【详解】（1）设，依题意，则， 由于，所以， 整理得，所以，所以， 设方程的两个根为， 则，即， 解得，则，所以. （2）若，则 ，当且仅当时等号成立. 例36．（1）（25-26高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数，二次函数满足：且． （1）求的解析式； （2）若，解关于x的不等式． 【详解】（1）设二次函数 ， 所以，即，故，解得，所以，所以，解得， 所以. （2）因为，所以，即， 当时，则不等式为，解得，此时解集为；当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为或，综上所述，时，不等式的解集为， 时，解集为；时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为，时，不等式的解集为. （2）（2025北京·期中）已知函数，满足. （1）求值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式 【解析】1）因为二次函数满足，则，解得. （2）由（1）可知：，若在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，则在上恒成立，即在上恒成立， 因为开口向上，对称轴为，可知在上单调递减，则，可得，所以实数m的取值范围为. （3）因为是对称轴为，开口向上的二次函数，当时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，则；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，可知； 综上所述：. 题型七 分段函数 例37．已知，若，则（       ） A．2 B． C．1 D．0 【详解】∵，，∴必有，∴，解得或（舍去），∴.故选：B. 例38．（25-26高一上·湖北恩施·期末）设函数，则 . 【详解】由函数， 则.故答案为：. 例39．（2025·陕西·模拟预测）已知，若，则 ． 【详解】当时，，解得；当时，，解得． 故答案为：3或. 例40．（25-26高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，， 则当时，，当时，，则； 当时，；综上所述，.故选：C 例41．（多选题）（24-25高一上·江苏连云港·期中）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】在同一坐标系内分别作出， 可得的图象（图中实线部分），   所以的值域为， 结合选项可知CD正确，AB错误.故选：CD. 例42．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，则的最小值是 ． 【详解】由题意知：当时，，所以：当时，有最小值：.当时，，令，，当时，有最大值：，且，所以得：，所以得：在时，有最小值：，所以得：当时，有最小值：.综上所述：的最小值为：.故答案为：. 例43．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【详解】，，所以， 设，由，可得：，则，所以，，则 ，当且仅当，即，即时等号成立．故选：D． 例44．（25-26高一上·福建·期中）定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【详解】当时，解得或，所以，作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最大值，所以；当时，解得或或；当时，或，由图象可知：当，时，的值域为，此时的最大值为；当时，的值域为，此时，由上可知，的最大值为， 故答案为：；. 例45．已知函数，若，，则的取值范围是________ 【解析】先作函数图象如下： 由图可知，若，，设，则，，由知，；由知，； 故，，故时，最小值为，时，最大值为，故的取值范围是. 故答案为：. 例46．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数若，则的取值范围为 . 【详解】对于函数 （i）当，则，解得，故此时不存在； （ii）当，则， 解得或，故此时的取值范围为； （iii）当，则，即，其中，不等式恒成立，故此时的取值范围为.综上，的取值范围为.故答案为：． 题型八 综合题 例47．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 【详解】由题意在中令，则，解得， 令，则，则，所以.故选：C. 例48．（25-26高一上·浙江杭州·阶段练习）对于函数，若，则称为函数的“不动点”：若，则称为函数的“稳定点”．已知的稳定点都是它的不动点，则实数的范围是（    ）． A． B． C． D． 【详解】因为为函数的“不动点”，则方程，即有实根， 则，解得，方程可化为，即，分解因式得， 即，因为函数的稳定点都是它的不动点， 上述满足上述方程的，都满足，即满足，所以方程无实根，故，解得，综上，故选：C. 例49．（多选题）（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，，故D错误．故选：ABC． （2）（多选题）（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的定义域为 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 【详解】对于A，不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为或，故A错误；对于B，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，故B正确；对于C，函数，当且仅当时取等号，但在内无解，故C错误；对于D，当时，不等式变为，恒成立，符合题意；当时，由二次函数的性质可得，解得， 综上的取值范围是，故D错误；故选：ACD. （3）（多选题）（24-25高一上·湖北襄阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是 C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围 【详解】对于A，因为的定义域为，则，解得， 所以的定义域为，故A正确；对于B，当时，不等式，符合要求； 当时，关于x的不等式恒成立，则满足，解得， 综上，实数k的取值范围是，故B错误；对于C，令，则，即， 所以，因为，所以函数在上单调递减，当时，，所以，则函数的值域为，故C错误；对于D，由函数在区间上单调递减，可得，解得，故D正确；故选：AD 例50．（2025·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【详解】令可得，所以，再令可得，即①，将上式中的全部换成可得②，联立①②可得,所以，故选：D 例51．已知二次函数，不等式对恒成立. （1）求的值； （2）若该二次函数图像与x轴有且只有一个交点，对任意，都有恒成立，求x的取值范围. 【详解】(1)由题意可知，，因为不等式对恒成立，所以，即，故； (2)因为不等式对恒成立，所以恒成立， 所以，所以， 又因图像与x轴有且只有一个交点，所以判别式，解得，从而，由对任意，都有恒成立， 即对任意恒成立，不妨令，将此函数看成关于的一次函数，其中为参数，由一次函数性质可得，解得或，故x的取值范围为 例52．（2025江苏无锡·阶段练习）已知函数是二次函数，且满足，． （1）求函数的解析式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的最大值． 【解析】（1）由函数是二次函数，且，设，由，得，整理得，则，解得，所以函数的解析式是. （2）由（1）及已知得，恒成立，令，则，于是，，恒成立，即恒成立，当时，则且，因此，，当时，，满足上式，则，，，从而，当且仅当时取等号， 此时，，恒成立，所以的最大值为. 例53．（25-26高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值的表达式． （3）在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【详解】（1）设， 又即，，解得，即， （2）由题意得，，则二次函数的对称轴为， 若时，，当时，的最小值为；若时，，当时，的最小值为；若时，，当时，的最小值为； 所以； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，即，作如下图形： 故是单调递减函数， ，当时，，当时，，， ，， 因为所以时取最大值， 所以不等式，解得：或；综上所述：或． 例54．已知函数 （1）解关于x的不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 （3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 【小问1详解】因为函数， 所以，即为，所以， 当时，解得，当时，解得，当时，解得， 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 【小问2详解】因为对任意恒成立，所以对任意的，恒成立， 当时，恒成立， 所以对任意的时，恒成立， 令，当且仅当，即时取等号， 所以，所以实数a的取值范围是 【小问3详解】当时，，因为，所以函数的值域是， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集， 当时，，则，解得 当时，，则，解得，当时，，不成立；综上，实数m的取值范围. 课后练习题 1.（25-26高一上·湖北·阶段练习）下列各组函数表示相同函数的是（ D  ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【详解】令,则,已知,所以,所以.【答案】D 3.（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）下列说法错误的是（ ） A．函数与是相同的函数 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若，则 D．函数的最小值为6 【详解】由，解得，则的定义域为，由，解得，所以的定义域为，又，故函数与是相同的函数，故A正确，不符合题意；由，得，所以的定义域为，故B正确，不符合题意；因，所以，故C正确，不符合题意；因，当且仅当时取等号，因方程无解，等号不成立，故D错误，符合题意． 4.（25-26高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由①，令，②， 由得，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：D 5.（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数的定义域为，则，， 所以的定义域为，又因为，即，所以函数的定义域为，故选：C 6.（24-25高一上·重庆北碚·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（ A   ） A． B． C． D． 7.（25-26高一上·吉林四平·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数中，，， 则 ，而，因此，所以函数的值域为.故选：A 8.（25-26高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意可得，又，解得， 所以；当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增，则，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A 9.（24-25高一上·重庆南岸·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，､已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【详解】显然，.当时， ，令，当x>0时，，，当且仅当，x=1时，等号成立； 当x<0时，，，且.当且仅当，x=-1时，等号成立.综上所述，的值域为所以，根据高斯函数的定义，函数的值域是故选：C. 10.（26-27高三上·陕西西安·开学考试）已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（    ） A． B． C． D． 【详解】取，得，又，故；取，得，即，对正整数x，，累加，得，故．故选：D 11.（25-26高二下·广东梅州·期末）已知函数与满足，，，现有下列四个结论： ①；②；③；④．其中一定成立的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】对①：令，则，由，故，故①正确；对②：取，，此时符合题意，但，故②错误；对③：令，则，当时，有，当时，有，符合，综上可得，故③正确；对④：令，可得，则，又，则，即，则，则，故，故④正确；综上可得：①、③、④正确，②错误，故其中一定成立的个数是个.故选：C. 12.（25-26高一上·陕西西安·期中）定义，设函数，；记函数，且函数在区间的值域为，则区间长度的最大值（　　） A．1 B． C． D．2 【详解】令，即，解得， 所以，则的图象如下所示： 又，，要使函数在区间的值域为，当时，当时，所以当，时区间长度的取得最大值，且最大值为.故选：D 13.（多选题）（25-26高一上·四川广元·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．与表示同一个函数 B．方程 有且仅有一个根，则实数的值为 C．函数的值域为 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【详解】对于选项A：由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为，且， 故两函数有相同的定义域及对应关系，表示同一个函数，故A正确；对于选项B：若，方程 有且仅有一个根，符合题意，故B错误；对于选项C：令，则， 可得，因为函数在上单调递增，当时，，可得，所以函数的值域为，故C错误；对于选项D：因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故D正确； 故选：AD. 14.（多选题）（24-25高二下·陕西榆林·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数与是相同的函数 B．函数的最小值为6 C．若，则 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【详解】由，解得，所以的定义域为，由，解得，所以的定义域为，又， 故函数与是相同的函数，故A正确；， 当且仅当时取等号，方程无解，等号不成立，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，得，所以的定义域为，故D正确．故选：ACD. 15.（多选题）（24-25高一上·广东深圳·期中）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】先作出函数在R上的图象，如图所示：   结合函数图象可知当函数值域为时，选项A、D正确. 故选：AD. 16.（多选题）（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（    ） A． B．方程有三个解 C．当时，有 D．函数有最大值为，无最小值 【详解】当，即或时，，当，即时，，则，对于A，，故A正确； 对于B，当或时，令，解得， 当时，令，解得，方程有三个解，故B正确； 对于C，当或时，令，解得或， 当时，令，解得或， 综上所述，当时，有，故C错误；对于D，当或时，令，无最小值，当时，，综上，函数有最大值为2，无最小值，故D正确.故选：ABD. 17.（多选题）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，如：，，又称为“取整函数”，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（   ） A．， B．， C．，，若，则有 D．方程的解集为 【详解】对于A：取，，故A错误；对于B：设， 所以，， 当时，，，，.所以，，故当时，成立；当 时，则，，，.所以，， 故当时，成立..综上B正确；对于C：设，则，则，因此，故C正确； 对于D：由知，一定为整数且， 所以，所以，所以，由得， 由解得，只能取，由解得或 (舍去)，故，所以或，由上，，所以当时，由；当时，，所以方程方程的解集为，故D正确.故选：BCD. 18.（多选题）（25-26高一下·山东德州·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．对任意，都存在， C．若，，则有 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【详解】由题意，当是有理数时，；当是无理数时，.对于A ，当是无理数时，也是无理数，， ，故A正确；对于B，当是无理数时，若为有理数，则是无理数，，，，故B错误；对于C，由题意知函数的值域为，当且时，，，所以，故 C正确；对于D，由函数的值域为，可知△三个顶点的纵坐标要么有两个和一个，要么有两个和一个，不妨设，，如图，在等腰直角△中，取斜边AC的中点D，，所以， 故当即是有理数时，也是有理数，从而有，这与矛盾，故D错误. 故选：AC. 19.（25-26高一上·福建泉州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【详解】由题意可得中，， ，故的定义域为，故，故，故的定义域为，故答案为： 20．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 【详解】由函数，可得对称轴为，故函数在上是增函数. 函数的定义域和值域均为， ，即.解得，或.，. 21.（1）（25-26高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 . 【详解】因为，令，则，则，，可知开口向上，对称轴为，且，所以在内的值域为， 即在内的值域为.故答案为：. （2）（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数，则的值域为 . 【详解】由函数，可得且，解得， 又由，则，可得，因为，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以，可得，所以函数的值域是.故答案为：. （3）（25-26高三上·陕西·阶段练习）函数的值域为 ．【详解】由题意得得则，得，解得或．故函数的值域为．故答案为：. 22.（24-25高一上·天津静海·阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 【详解】当时，可得或，当时，符合题意； 当时，，显然不符合题意.当时，由于定义域为R，可得，解得：，综上所述：的取值范围是故答案为： 23.（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 【详解】设.由，得得①.设的根为，则，所以②，又由已知得③，由①②③解得，所以. 24.（24-25高三上·湖南常德·开学考试）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 . 【详解】时，，而时， 所以，又，所以当时，，当时，，作出示意图如下图所示： 要使，则需，结合上图，由，解得，所以. 25.（25-26高二下·北京朝阳·期末）设函数则________；若正实数满足，则的一个取值为________． 【详解】①因为，根据分段函数解析式，； 又，代入的解析式得，因此.②已知，故，得；因为，得.将上述结果代入不等式 ， 由题意，结合求解，解右侧不等式，化简得，两边同乘得，解得；解左侧不等式，两边同乘得，二次方程的正根为，故解得.综上的取值范围是，可取（答案不唯一）. 26.（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知. （1）若定义域为，求实数的取值范围； （2）若定义域为，求实数的值； 【详解】（1）若定义域为，则恒成立，则，或， 解得：； （2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理得，解得：； 27.（25-26高一上·河北唐山·期中）若二次函数，满足对称轴为，且． （1）求的解析式； （2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）二次函数，，则，对称轴为，，则， 所以. （2）不等式恒成立，即恒成立，即， 令，对称轴为，所以在上单调递减，， 所以，实数的取值范围为. 28.（24-25高一上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且． （1）分别求函数和的解析式； （2）设，，求的最小值． 【详解】（1）定义在上的函数满足①， 可得②，由①②可得； 设二次函数，因为的最小值为，且， 所以，解得，可得； （2） ，当时，在上单调递增，所以， 当时，在上单调递减，所以， 当时，所以，所以． 29.（25-26高一上·陕西渭南·期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 【详解】（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为， 所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，设甲工程队报价为元，所以，因为，当且仅当，即时等号成立， 所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元； （2）根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立， 因为，，当且仅当，即时等号成立，所以，故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 30.（25-26高一上·湖南长沙一中·阶段练习）已知函数． （1）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意；当时，则有解得． 故实数的取值范围是． （2）不等式等价于，即，当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，． 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或．综上所述， 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为或． （3）当时，因为，令，当且仅当时，等号成立；则关于的方程可化为， 关于的方程有四个不等实根，即有两个不同正根 ，则由②③式可得，由①知：存在，使不等式成立，故，即，解得（舍）或． 综上，实数的取值范围是． 31.（24-25高一上·湖北·阶段练习）设，其中，记． （1）若，求的值域； （2）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围．【详解】（1）当时，在直角坐标系中，分别作出的图象（左图），进而可得的图象（右图），令，解得，故由图可知：的值域为 （2）函数，由于，，所以，故，当时，，在单调递减，在单调递增， 且，故在取最大值，在取最小值故， 当时，，在单调递增， 若对任意，总存在，使得成立，则在上的值域为的子集即可，故是的子集，故，解得，或者，解得综上，所求的范围为. （3）令，解得或，故的图象如下： ，即 当时，此时在单调递减，故只需要即可，即，解得，不符合题意，舍去，当时，，此时在上的最大值为，最小为只需要，，解得，当时，，此时在上的最大值为， 只需要，且且，无解，综上可得： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的概念及其表示 1.函数的定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系. 2.函数的三要素 （1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． （2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． （3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 3.区间 设a，b∈R，且a＜b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 4.无穷区间的表示 定义 {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x＜a} {x|x≤a} R 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a) (－∞，a] (－∞，＋∞) 5.求函数解析式 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． （2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， （4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 题型一 函数的概念 例1．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 例2．（24-25高一上·湖北荆门·阶段练习）设集合，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．② 例3．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）集合，下列不能表示从A到B的函数的是（   ） A． B． C． D． 例4．（2025浙江湖州）（多选题）下列对应关系：是集合到集合的函数关系的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 例5．（多选题）存在函数f(x)满足：对任意的实数x都有（       ） A． B． C． D． 题型二 同一函数的判断 例6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 例7．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）下列哪一组中的函数与表示同一个函数（   ） A．， B．， C．， D．， 例8．（25-26高一上·广东中山·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C． 与 D．与 例9．（多选题）下列各组函数表示的是不同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 例10．（多选题）（23-24高一下·山东淄博·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型三 函数的定义域 （一）求常规函数的定义域 例11．（1）（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一下·广西崇左·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． （3）（24-25高一上·浙江·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． （4）（24-25高一上·北京·期中）函数的定义域是 ． （5）（2024·四川南充·三模）函数的定义域为 . （6）（24-25高三上·重庆·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． （二）求抽象函数、复合函数的定义域 例12．（1）（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． （3）（2025湖北）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． （5）（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知的定义域为则的定义域为（   ） A． B． C． D． （6）（25-26高一上·安徽池州·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． （三）逆用函数的定义域 例13．（25-26高一上·福建龙岩·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例14．（2025天津西青）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 例15．（2025黑龙江哈尔滨）函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ． 例16．若函数的定义域为，则实数 实数的取值范围 ． 例17．（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 题型四 函数值域 例18．（1）（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·安徽宣城·开学考试）已知则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（2025·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高三上·河南平顶山·阶段练习）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 （5）（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 例19．（1）（多选题）（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． （2）（多选题）（25-26高一上·吉林·阶段练习）以下命题正确的是（   ） A．不等式的解集是 B．，的值域为 C．若函数，则对，不等式恒成立 D．若，则函数的解析式为 （3）（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 （4）已知正实数，，满足，，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 例20．（1）（25-26高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． （2）（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）函数的最大值为 . （3）（24-25高一上·辽宁锦州·期中）函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 （4）（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．4 B．2 C． D． 例21．（1）（25-26高一上·广西南宁·期中）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． （3）（24-25高一上·天津红桥·期中）已知函数 ，则函数的值域为 . （4）（25-26高一下·吉林四平·开学考试）取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． （5）（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数，则的值域为 . （6）（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 题型五 已知函数值域求参数 例22．（2025福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例23．（2025山东济南）已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（    ） A．-4 B．-2 C．1 D．-1 例24．（1）（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·湖北·期中）已知函数的值域为，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例25．（2025四川广安）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 例26．函数的最大值为______. 例27．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例28．（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例29．（24-25高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 例30．（24-25高一上·陕西西安·期中）定义，设函数，；记函数，且函数在区间的值域为，则区间长度的最大值（　　） A．1 B． C． D．2 题型六 求函数解析式 例31．（1）（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 例32．（1）（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； （4）已知函数满足，求函数的解析式. 例33．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，求； （2）已知是一次函数，且满足．求 （3）已知，求及值域． 例34．已知函数是定义在上的增函数，且，，则（       ） A． B． C．2 D．3 例35．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知二次函数满足，且图像被轴截得的线段长度是. （1）求的解析式； （2）若，求的最大值. 例36．（1）（25-26高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数，二次函数满足：且． （1）求的解析式； （2）若，解关于x的不等式． （2）（2025北京·期中）已知函数，满足. （1）求值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式. 题型七 分段函数 例37．已知，若，则（       ） A．2 B． C．1 D．0 例38．（25-26高一上·湖北恩施·期末）设函数，则 . 例39．（2025·陕西·模拟预测）已知，若，则 ． 例40．（25-26高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 例41．（多选题）（24-25高一上·江苏连云港·期中）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例42．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，则的最小值是 ． 例43．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 例44．（25-26高一上·福建·期中）定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 例45．已知函数，若，，则的取值范围是________． 例46．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数若，则的取值范围为 . 题型八 综合题 例47．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 例48．（25-26高一上·浙江杭州·阶段练习）对于函数，若，则称为函数的“不动点”：若，则称为函数的“稳定点”．已知的稳定点都是它的不动点，则实数的范围是（    ）． A． B． C． D． 例49．（1）（多选题）（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． （2）（多选题）（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的定义域为 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 （3）（多选题）（24-25高一上·湖北襄阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是 C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围 例50．（2025·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 例51．已知二次函数，不等式对恒成立. （1）求的值； （2）若该二次函数图像与x轴有且只有一个交点，对任意，都有恒成立，求x的取值范围. 例52．（2025江苏无锡·阶段练习）已知函数是二次函数，且满足，． （1）求函数的解析式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的最大值． 例53．（25-26高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值的表达式． （3）在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 例54．已知函数 （1）解关于x的不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 （3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 课后练习题 1.（25-26高一上·湖北·阶段练习）下列各组函数表示相同函数的是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 3.（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）下列说法错误的是（ ） A．函数与是相同的函数 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若，则 D．函数的最小值为6 4.（25-26高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高一上·重庆北碚·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.（25-26高一上·吉林四平·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8.（25-26高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.（24-25高一上·重庆南岸·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，､已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 10.（26-27高三上·陕西西安·开学考试）已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（    ） A． B． C． D． 11.（25-26高二下·广东梅州·期末）已知函数与满足，，，现有下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12.（25-26高一上·陕西西安·期中）定义，设函数，；记函数，且函数在区间的值域为，则区间长度的最大值（　　） A．1 B． C． D．2 13.（多选题）（25-26高一上·四川广元·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．与表示同一个函数 B．方程 有且仅有一个根，则实数的值为 C．函数的值域为 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 14.（多选题）（24-25高二下·陕西榆林·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数与是相同的函数 B．函数的最小值为6 C．若，则 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 15.（多选题）（24-25高一上·广东深圳·期中）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 16.（多选题）（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（    ） A． B．方程有三个解 C．当时，有 D．函数有最大值为，无最小值 17.（多选题）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，如：，，又称为“取整函数”，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（   ） A．， B．， C．，，若，则有 D．方程的解集为 18.（多选题）（25-26高一下·山东德州·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．对任意，都存在， C．若，，则有 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 19.（25-26高一上·福建泉州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 20.（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 21.（1）（25-26高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 . （2）（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数，则的值域为 . （3）（25-26高三上·陕西·阶段练习）函数的值域为 ． 22.（24-25高一上·天津静海·阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 23.（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 24.（24-25高三上·湖南常德·开学考试）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 . 25.（25-26高二下·北京朝阳·期末）设函数则________；若正实数满足，则的一个取值为________． 26.（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知. （1）若定义域为，求实数的取值范围； （2）若定义域为，求实数的值； 27.（25-26高一上·河北唐山·期中）若二次函数，满足对称轴为，且． （1）求的解析式； （2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围． 28.（24-25高一上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且． （1）分别求函数和的解析式； （2）设，，求的最小值． 29.（25-26高一上·陕西渭南·期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 30.（25-26高一上·湖南长沙一中·阶段练习）已知函数． （1）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 31.（25-26高一上·湖北·阶段练习）设，其中，记． （1）若，求的值域； （2）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $