精品解析：安徽省颍上第一中学2025-2026学年高三上学期开学质量检测数学试题

绝密★启用前 2026届高三第一学期开学质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A＝{1,3,4,5}，，则＝（ ） A. {1,3} B. {1,5} C. {1,3,4} D. {1,4,5} 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合B中的元素，再根据交集的定义求出. 【详解】因为集合，且,所以的取值可以是1，3，4，5. 当时，;当时，;当时，;当时，. 所以. 所以. 故选：B. 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性结合随机事件的关系运算即可得答案. 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以 又，所以， 则. 故选：B. 3. ＝（ ） A. i B. －i C. 1 D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先计算，再利用复数的乘法运算律计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 4. 已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线渐近线方程得，再把点代入双曲线方程求出的值，最后根据双曲线的性质求出焦距. 【详解】双曲线C：的渐近线方程为，则有，即， 双曲线方程可表示为， 点在C上，有，解得，即，得， 双曲线中为半焦距，则有，得， 所以双曲线C的焦距为. 故选：D 5. 学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（ ） A. 4.6 B. 5.4 C. 6.2 D. 7.0 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得利润利用导数求得当时，取最大值，从而得，将代入方程中求解即可. 【详解】设捕鱼活动的利润为， 则， 所以， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取最大值，为， 所以； 由题意可得当单位捕鱼活动的成本增加到，时，， 所以，解得. 故选：C. 6. 在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质，依次找到不成立的理由可排除A,C,D，对于B，利用三角形全等证得，结合线面垂直的性质证得，再根据线面垂直的判定定理可证得平面. 【详解】 对于A，若平面，平面，则， 在正方形中，，与过有且仅有一条直线与垂直矛盾，故A错误； 对于B，取中点，连接，易知， 在正方形中，， 与全等， ，则，即. 又平面，平面，， 平面，且， 平面，故B正确； 对于C，若平面，平面，则， 由A分析，此处有矛盾，不可能成立，故C错误； 对于D，若平面，平面，则， 取中点，连接，易知， ，这显然不成立，故D错误. 故选：B. 7. 已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义证明当直线过点时，的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论. 【详解】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为， 由椭圆的定义可得，， 所以的周长为， 又，所以，当且仅当在线段上时取等号， 所以当直线过点时，的周长最大， 又直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，消可得，所以或， 所以， 所以当的周长最大时，， 故选：C. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算性质对目标式合理变形，结合基本不等式判断A，利用指数函数的性质判断B，合理构造函数证明，从而得到，最后两边取对数判断C，D即可. 【详解】对于A，因为， 所以由换底公式得， 而，，可得， 由基本不等式得， 且， 得到，故， 则，即， 故，故A错误； 对于B，设，，， 由指数函数性质得和在上单调递增，则在上单调递增， 由A可知，，所以， 即，故B错误； 对于C，D，而， 设，，， 由指数函数性质得，在上单调递减，故在上单调递减， 可得， 则，可得，即，故C错误，D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，，向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件结合余弦定理可得，证明，判断A，由条件结合关系可得，判断B，证明，且，结合关系证明，判断C，根据数量积运算性质求，判断D. 【详解】因为，， 由余弦定理可得， 所以， 所以为直角三角形，为直角，故，A正确， 因为，所以， 所以，故， 所以，故， 所以，B正确， 若，则，故，矛盾， 若，则，故，矛盾， 所以，且， 因为， 所以，又， 所以，故， 所以，所以， 所以，故所以C错误， 因为， 所以， 又，， 所以，故D正确， 故选：ABD. 10. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 在区间上单调递减 C. 当且仅当时， D. 在区间上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇函数的性质求出时函数的表达式，再通过求导判断函数单调性，进而求解不等式和判断复合函数的单调性. 【详解】已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ； 设 ，则 ，可得， 所以，故选项A正确； 当 时， ； 令 ，即 ，解得 或 （舍去）； 当 时， ，所以 在 上单调递减； 当 时， ， 令 ，即 ，解得 或 （舍去）； 当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时， ，所以 在 上单调递减； 又因为 是定义在 上的奇函数， ， 所以 在区间 上单调递减，故选项 B正确. 当 时，令 ，即 。 将 变形为 ， 因为 恒成立， 所以 等价于 ，解得 ， 当 时，由选项B可知 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， ， 所以 在 时无解； 因此，当且仅当 时， ，故选项 C正确. 令 ，由选项B可知 在区间 上单调递减， ，，即 . 又因为 在 上也单调递减， 根据复合函数＂同增异减＂的原则，可知 在区间 上单调递增，故选项D错误. 故选:ABC. 11. 在正三棱台中，，侧面与底面所成二面角的大小为，设正三棱台的各个顶点都位于球O的表面上，则（ ） A. 若，则正三棱台的高为 B. 若，则球O的表面积为 C. 点O到平面ABC的距离随的增大而增大 D. 点O到平面的距离随的增大先减小后增大 【答案】ABD 【解析】 【分析】先计算和的外接圆半径，分析出外接圆圆心的位置，分别设为M和，再联合分析所在平面以及侧面，通过勾股定理联立等式解出高h和角度θ的关系，然后建立二维直角坐标系，求出球心O的坐标，最后逐项分析各个选项即可． 【详解】对于A，由题意可知，和都在一个圆上，由于和都为等边三角形，在和中分别作三角形中线AD和，连接，则和所在圆的圆心分别在AD和上，设为M和， 根据正弦定理，圆M的半径，圆的半径为， 根据正三角形的性质，，，又因为，所以，所以平面，所以即为侧面与底面所成二面角，由题意可知， 现将平面单独取出来，如图所示，过D作DE垂直于E，则在梯形中易知，， 设，则，，过A作AF垂直于F， 则， 所以， 现将等腰梯形取出来，如图所示，过B作BP垂直于P，则在等腰梯形中，，而，所以， 因为在正三棱柱中，，所以， 也即，解得， 当，则，故A正确； 对于B，由于正三棱台上下底面平行，所以根据球的对称性可知，外接球的球心O必在直线上，又因为A、A1在球面上，所以球心O还在的垂直平分线上， 以为原点建立直角坐标系，由于，，所以，，中点坐标为，的斜率为， 所以垂直平分线的直线方程为，垂直平分线于y轴的交点即为球心O，，则球的半径，当时，，球的表面积为，故B正确； 对于C，点O到平面ABC的距离为，由前述可知，令，所以，当，也即时，记此时，则时，，时，，所以随增大时点O到平面ABC的距离先减小后增大，故C错误； 对于D，点O到平面的距离为，可令，，当，也即时，则时，，时，，随增大时点O到平面的距离先减小后增大，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记等差数列的前n项和为，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的基本量求出首项和公差，再根据等差数列前项和公式即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 所以 所以. 故答案为：. 13. 过点与圆相切的直线方程为_______. 【答案】或 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，然后分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况，由圆心到直线距离等于圆的半径即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径， 过点，斜率不存在的直线方程为，圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线； 过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得， 此时切线方程为. 故答案为：或 14. 有4个相同的球，分别标有数字2，0，2，5，从中有放回地随机取4次，每次取1个球，并记录每次取出的球上的数字作为结果.记为结果中数字2，0，5各出现次数中的最大值，则的数学期望 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析出每次随机取到标有数字2的球的概率为，取到标有数字0和5的球的概率分别为，且可能取值为2,3,4.分别列举出时的情况，逐个计算其概率，再根据期望值计算公式计算即可. 【详解】由题意，每次随机取到标有数字2的球的概率为，取到标有数字0和5的球的概率分别为，且可能取值为2,3,4. 有三种情况，即4次取到的球标有数字依次为，，， 所以； 有三种情况：①有3次取到标有数字2的球，有1次取到标有数字0或5的球；②有3次取到标有数字0的球，有1次取到标有数字2或5的球；③有3次取到标有数字5的球，有1次取到标有数字0或2的球. 所以; 有六种情况：①有2次取到标有数字2的球，有1次取到标有数字0的球，有1次取到标有数字5的球；②有2次取到标有数字0的球，有1次取到标有数字2的球，有1次取到标有数字5的球；③有2次取到标有数字5的球，有1次取到标有数字0的球，有1次取到标有数字2的球；④有2次取到标有数字2的球，有2次取到标有数字0的球；⑤有2次取到标有数字2的球，有2次取到标有数字5的球；⑥有2次取到标有数字0的球，有2次取到标有数字5的球. 所以. 综上，的数学期望. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，直线和点是图象的一组相邻的对称轴和对称中心. （1）求； （2）设函数，求的最小正周期、最值和单调区间. 【答案】（1） （2）最小正周期；最小值，最大值；单调增区间，，单调减区间，. 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数图象的性质，先计算的最小正周期，再用整体代入法求解；（2）用积化和差公式先将的解析式进行化简，再根据余弦函数图象的性质求解. 【小问1详解】 因为直线和点是图象的一组相邻的对称轴和对称中心，所以函数的最小正周期，故. 又因，故 因为点是函数的对称中心，所以，故，其中. 又因，故，即. 故 【小问2详解】 由积化和差公式得，. 化简得，. 所以函数的最小正周期为. 函数的最大值为，最小值为. 当，，即时，单调递增，则单调递减； 当，，即时，单调递减，则单调递增. 综上，最小正周期；最小值，最大值；单调增区间，，单调减区间，. 16. 如图所示，在圆锥中，是的直径，是正三角形，点在上，且，. （1）证明：平面； （2）设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥性质特征可证明四边形为平行四边形，再由线面平行判定定理即可证明得出结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法即可得出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 因为，，是的直径， 所以，且，因此可知四边形为平行四边形， 可知，又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取的中点为，连接，， 因为，，因此为正三角形； 所以，即， 由圆锥性质易知平面，平面， 所以，因此三条直线两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 取，可知，， 所以 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 即， 又，设直线与平面所成的角为， 所以， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数，为的导函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）在单调递减； （2） 令， 则对，， 所以在单调递减， 所以，即， 因为，所以， 即得证. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导函数符号判断单调性； （2）构造函数，证明，再证明； （3）令，结合（1）中结论，讨论满足不等式的的取值范围. 【小问1详解】 由题，， 令， 则对，， 所以在单调递减，即在单调递减. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 令，则， 若，则. 因为，由（1）在单调递减， 可知在单调递减，所以， 若，因为，时，， 所以，. 所以当时，，单调递增， 所以，矛盾； 若，则由在单调递减，可得， 所以在单调递减，，满足条件. 综上，的取值范围是. 18. 对某热敏元件的性能进行实验测量，实验过程如下：共进行m次实验，每次实验均测量该热敏元件的两项指标对正整数，在第n次实验中，实验仪器显示该次实验中指标A的数值，以及前n次实验中指标B的数值的总和，将，作为第n次实验的记录值.用m次实验中的总和作为该热敏元件性能的度量参数，记该参数为. （1）证明：； （2）对每次实验的记录值进行拟合，得到如下结果：. （i）利用（1）和拟合结果，求数列的通项公式； （ii）判断是递增数列还是递减数列，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i），（ii）是递减数列. 【解析】 【分析】（1）利用求和公式展开化简即可证； （2）（i）利用错位相减法求和即可求出通项公式； （ii）利用作差法比较，即可判断递减数列. 【小问1详解】 由公式可知： 【小问2详解】 （i）由可得： 令， 则，两式相减得， ， 所以有，则， 即数列的通项公式； （ii）由 当且，恒有，即， 则是递减数列. 19. 已知抛物线的准线方程为.点，，均在上，且直线由直线绕点顺时针旋转得到. （1）设直线，的斜率分别为，求； （2）设点，，的横坐标分别为，并记，证明：； （3）已知各项系数均为实数的一元三次方程至少有一个实数解.证明：对任意给定的点，存在点B，，使得为正三角形. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根根据给定条件求出抛物线的方程，利用直线倾斜角与斜率的关系，结合两角差的正切公式求解. （2）利用点的坐标求出直线，的斜率，结合给定表达式计算得证. （3）设出点的坐标，借助旋转及复数乘法求出点坐标，再将点坐标代入抛物线方程，消元化简为关于点横坐标的一元三次方程，利用给定结论即可得证. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为，则，解得，抛物线方程为， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，而直线由直线绕点顺时针旋转， 当时，，，则， 当时，，则， 又，所以. 【小问2详解】 依题意，点， 则直线的斜率，直线的斜率. 而，要证， 即证， 由，得，则， 则 ， 所以. 【小问3详解】 设点，，对应复数为， 将绕点逆时针旋转得，则为正三角形， 对应复数为， ， 于是点，由点在抛物线上， 得， 则， 整理得， 即， 则，显然， 因此， 即（）， 由为实数，得方程（）是各项系数均为实数的一元三次方程， 又各项系数均为实数的一元三次方程至少有一个实数解，则方程（）至少有一个实数解， 所以对任意给定的点，存在点B，，使得为正三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026届高三第一学期开学质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A＝{1,3,4,5}，，则＝（ ） A. {1,3} B. {1,5} C. {1,3,4} D. {1,4,5} 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. ＝（ ） A. i B. －i C. 1 D. －1 4. 已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（ ） A. B. C. D. 5. 学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（ ） A. 4.6 B. 5.4 C. 6.2 D. 7.0 6. 在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 7. 已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，，向量满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 在区间上单调递减 C. 当且仅当时， D. 在区间上单调递减 11. 在正三棱台中，，侧面与底面所成二面角的大小为，设正三棱台的各个顶点都位于球O的表面上，则（ ） A. 若，则正三棱台的高为 B. 若，则球O的表面积为 C. 点O到平面ABC的距离随的增大而增大 D. 点O到平面的距离随的增大先减小后增大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记等差数列的前n项和为，若，则______. 13. 过点与圆相切的直线方程为_______. 14. 有4个相同的球，分别标有数字2，0，2，5，从中有放回地随机取4次，每次取1个球，并记录每次取出的球上的数字作为结果.记为结果中数字2，0，5各出现次数中的最大值，则的数学期望 ______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，直线和点是图象的一组相邻的对称轴和对称中心. （1）求； （2）设函数，求的最小正周期、最值和单调区间. 16. 如图所示，在圆锥中，是的直径，是正三角形，点在上，且，. （1）证明：平面； （2）设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数，为的导函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：； （3）若，求的取值范围. 18. 对某热敏元件的性能进行实验测量，实验过程如下：共进行m次实验，每次实验均测量该热敏元件的两项指标对正整数，在第n次实验中，实验仪器显示该次实验中指标A的数值，以及前n次实验中指标B的数值的总和，将，作为第n次实验的记录值.用m次实验中的总和作为该热敏元件性能的度量参数，记该参数为. （1）证明：； （2）对每次实验的记录值进行拟合，得到如下结果：. （i）利用（1）和拟合结果，求数列的通项公式； （ii）判断是递增数列还是递减数列，并说明理由. 19. 已知抛物线的准线方程为.点，，均在上，且直线由直线绕点顺时针旋转得到. （1）设直线，的斜率分别为，求； （2）设点，，的横坐标分别为，并记，证明：； （3）已知各项系数均为实数的一元三次方程至少有一个实数解.证明：对任意给定的点，存在点B，，使得为正三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $