安徽省蚌埠市2026-2027学年高三上学期开学调研性监测数学试题

2027届高三调研性监测 数　　学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知是虚数单位，复数满足，则复平面内表示的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则 A． B． C． D． 4．将一个斜边为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体的表面积为 A． B． C． D． 5．已知数列是等差数列，且，，若，则的值 A．7 B．8 C．9 D．10 6．如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴非负半轴，终边交单位圆于点，过点作轴的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图象大致为 A． B． C． D． 7．已知平面直角坐标系中的三个点，，，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是 A． B． C． D． 8．若甲盒中有个红球，个黄球，个白球，乙盒中有个红球（），个黄球，个白球，这些球的大小、材质完全相同．现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9．某同学记录了我市年月中旬连续天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：，，，，，，，，则这个数据的 A．极差为 B．众数为 C．中位数为 D．平均数为 10．设正实数，，满足，则下列结论正确的是 A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 11．王虹因彻底证明了困扰数学界逾百年的“三维挂谷猜想”于年月日获得菲尔兹奖（国际数学界最高荣誉）．定义方向向量为的直线上长度为的线段为“理想线段”，下列结论正确的是 A．，平移“理想线段”可使其两端点均在直径为的圆上 B．，平移“理想线段”，可使其两端点均在勒洛三角形的边界上（的边长均为，分别以，，为圆心，为半径的三段劣弧，，所围成的平面区域称为勒洛三角形） C．，平移“理想线段”，可使其两端点均在双曲线（，）上 D．，平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上，则该椭圆的离心率 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在二项式的展开式中，常数项是__________（用数字作答）． 13．如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为__________． 14．已知连续函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 的内角，，的对边分别为，，，已知函数的最小正周期为，其中，，的图象关于直线对称，且． （1）求函数的解析式及的值； （2）若，的面积为，求的周长． 16．（15分） 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； （2）讨论函数的单调性． 18．（17分） 已知抛物线经过点．过点的直线与交于，两点，为坐标原点，直线交准线于点，直线与轴平行． （1）求抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）求的值； （3）若，求的外接圆的一般方程． 19．（17分） 自动驾驶技术是汽车研发的重要方向．某实验室对一款智驾汽车模型进行障碍识别探测试验，已知该汽车模型在单次测试中，有效识别障碍物的概率为，无效识别的概率为，每次测试相互独立． （1）若对该汽车模型连续进行3次障碍识别测试，记有效识别的次数为，求的分布列与期望； （2）若规定累计出现2次无效识别时停止测试，并对汽车模型进行检修．记恰好在第（，）次测试后停止的概率为． （i）求，； （ii）求． 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三调研性监测 数学参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 4 6 P 答案 D C A C B 二、选择题 题号 9 10 11 答案 BC ABD ABD 三、填空题： 12.160 1.[42+22] 14 四、解答题： 15.(13分) T= 2π =元 解：(1)因为 ,且0>0，所以0=2. …2分 x= 2xT+p-R+ka(kEZ) 因为f(x)的图象关于直线6对称，所以6 p=工+km(k∈Z) 解得6 …4分 ,0<p< P= f(x)=sin 2,所以6，即函数f()的解析式为 …5分 2A+π∈π13m 所以 =2-片, 66:6 2A+π-5π Asπ 所以66，解得， 3 …8分 S=。besin A=V3 (2)由面积21 ,可得bc=4, 10分 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becosA,即（仍+c)}-3bc=9 解得b+c=V21 …12分 所以△ABC的周长为3+V2I …3分 16.(15分) 解：(I)取BC的中点M,连接DM,EM, 1 因为DM是△ABC的中位线，所以DMAC,且 DM=AC 2 在直三楼柱C-A8G中，4E4C,=号4C 21 所以DMAE,且DM=AE,所以四边形DMEA为平行四t边形，…4分 则EMAD 又EMc平面EBC,AD￠平面EBC,所以AD∥平面EBC …6分 (2)设直三棱柱的侧棱长A4=h, V.mne -V:c - 3 故h=5. …9分 如图建立空间直角坐标系， 可得4(0,00)，B(4,00).C(0,40),E(0,2,5) 则4C=(0,4,0）,AB=(4,00).A正=(0,25)】 。。。。。。。。。 …11分 设平面ABE的法向量为=(x,少，2)， i·AB=4x=0, 则i:4亚=2y+5z=0,取z=2,得y=-5,x=0,得i=(0,-5,2)】 13分 AC.n 20 5√29 sin= 设直线AC与平面ABE所成角为日，则 AC·园 4×V25+429 5V29 即直线AC与平面ABE所成角的正弦值为29 …l5分 17.(15分) 解：(1) f)-3r+2as=3+0） 2分 /0-3#2a=2,用0= 2 ·4分 2a (2)令(x)=0,解得x=0或 3， …6分 当a=0时，∫'()-=3r≥0恒成立，所以函数f()在R上单调递增， 8分 2a40 当a>0时， 3 当x变化时， '(x).f()的变化情况如下， 3 号0 0 (0,+∞) f'(x) 0 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 …12分 2a0 当a<0时， 3, 当x变化时，f'(:),f(~)的变化情况如下， （-0,0) 0 o- 2a 2a 3 f"(x) 0 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 …14分 综上所述： 当a=0时，函数f()在R上单调递增； 2a )上单调递减： a0时因，0和兮切， 0。一3单调递减.15务 18.(17分) 解：( )将点P(L,2)的坐标代入广=2pr(p>0)得，4=2P,解得P=2 …2分 卫1 因为2， 所以抛物线C的焦点坐标为(1,0) 准线方程为x=-1, …4分 (2)由(1)知抛物线C的方程为广=4x 依题意可设直线AB的方程为x=my+t, 记A,B的坐标分别为任，出)，(：，2) x=my+t, 由广=4x,得y2-4my-4t=0,则△=16m2+16t>0,且=4，…6分 4 y=x=x=4x 直线OA的方程为 4 s-4 4 令x=-1,得 少，即点M的纵坐标为少， 依题意直线BM与x轴平行，所以片2，即=-4，从而41=-4， 解得=1，经检验符合题意 故t=1」 …9分 (3)若AT=2B7,则4卡2，从而2=2 由(2)，2乃=4，乃=±2 当2=V2时，片=-2W2 从m4,台丙断分2-2).（层 …12分 设△OAB外接圆的一般方程为r+广+Dx+y+F=0, F=0, 4+8+2D-2N2E+F=0, 将点04.B的坠标代入得，4+2+D+V2E+F=0 1 D=- E 解得， 4,F=0. x2+2-1 故此时△OAB外接圆的一般方程 4y=0 …15分 混、当5=5.，8雨李标分别为22回.（分5列 2+y-x-2 且△OAB外接圆的一般方程为 Y=0 2+y2-V2 故所求方程为 +4y=0x2+2-2 或 2 4y=0 …17分 19.(17分) 解：(1)由题意得 X的可能取值为0,1,2,3」 12 可得 125 P(X-)-C 3)C 则X的分布列为 X 0 1 2 3 1 12 48 64 P 125 125 125 125 …5分 X的数学期望为 )=3号号 -5 6分 (2) (i) 进行3次测试后停止，即前2次测试结果中有1次是无效识别，且最后1次测试结果为无效识别， P3)=Cx2x4x1=8 所 555125 …10分 (i)拾好到第k(k≥2，k∈N)次测试后停止， 即前k一1次中测试结果中恰有1次无效识别，且最后一次测试结果为无效识别，所以 P因)=C兮-周[ …12分 2P-G周+2周++(-g) l+24-] …13分 9-1*g+a-0得”. --小”e 两式相减得： 5=1+++)-a-×) a-0传”=5-a*4) 5 -5-e+] 所以 …16分 云--+目门 …17分 (其它解法请根据以上评分标准酌情赋分)