第三章《代数式》单元测试 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 第三章代数式单元培优卷，立足单元复习，通过生活实践、文化传承等真实情境，考查代数式概念、规律探究及模型应用，适配初中数学代数式单元核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|代数式规范、相反数倒数、规律探究|结合学籍号编制（第4题）、程序运算（第9题）考查抽象能力| |填空题|6/18|代数式表示、幻方文化、图形规律|以新能源发电量（第12题）、幻方（第14题）体现应用意识与文化传承| |解答题|8/52|实际问题建模、体积计算、研学方案|研学门票方案（第23题）、三角点阵（第24题）培养模型意识与推理能力|

第三章代数式单元测试（培优卷） （卷面总分100分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 3 分，共分） 1．下列各式符合代数式数学规范的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写规范．根据代数式的书写规范，数字与字母相乘时数字应写在字母前且省略乘号，除法应写成分数形式，带分数应化为假分数． 【详解】解：选项A：应写为，不符合规范； 选项B：数字在前且省略乘号，符合规范； 选项C：应写为，不符合规范； 选项D：中的带分数应化为，不符合规范． ∴符合规范的是B． 故选：B． 2．若 ，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，将代入求值即可． 【详解】解：当时，． 故选：D． 3．若一个正方形的面积扩大为原来的倍，则它的边长要扩大为原来的（     ）倍 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过设原边长，计算面积扩大后的边长，即可得到边长扩大的倍数． 【详解】解：设原正方形的边长为，则原正方形的面积为， ∵面积扩大为原来的倍， ∴扩大后的面积为， 设扩大后边长为，则， ∵边长为正数， ∴， ∴， 即边长扩大为原来的倍． 4．小明同学是某校2025年入学的，他在四班，学号是15，如果用6位数字给他编学籍号，下面比较实用的是（    ） A．202504 B．250315 C．250415 D．150425 【答案】C 【分析】本题重点考查数字编码问题，理解题意是解答本题的关键． 学籍号通常按入学年份后两位、班级、学号的顺序编排，以确保6位数字实用且逻辑清晰，即可得到答案． 【详解】解：由题意知，小明2025年入学，取年份后两位25；班级为四班，编码为04；学号为15，编码为15；按年份、班级、学号顺序组合为250415． 故选：C． 5．1分钟跳绳练习时，小王前两次的平均成绩是下，第三次成绩比前两次的平均数高9下．小王这三次跳绳的平均成绩是（     ）下． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平均数求出前两次总成绩，再得到第三次的成绩，最后计算三次的平均成绩即可得到结果． 【详解】解：∵小王前两次的平均成绩是下， ∴前两次跳绳的总成绩为下， ∵第三次成绩比前两次的平均数高下， ∴第三次跳绳的成绩为下， ∴三次跳绳的总成绩为下， ∴三次的平均成绩为下． 6．一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是8，表示这个两位数的式子是（   ） A．8a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了两位数的表示方法，熟练掌握“十位数字 个位数字”表示两位数是解题的关键．根据两位数的组成，十位数字乘以10加上个位数字来求解． 【详解】解：因为十位上的数字是， 所以十位数字表示的数值为， 因为个位上的数字是， 所以这个两位数为 故选：D． 7．已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求（   ） A．9 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数、倒数、最大负整数、代数式的值等知识．利用相反数、倒数和最大负整数的性质，直接代入计算． 【详解】解：∵ ，互为相反数， ∴ ； ∵ ，互为倒数， ∴ ； ∵ 是最大的负整数， ∴ ； ∴ ． 故选：． 8．按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的规律问题． 观察代数式的系数，分别为2，4，6，8，10，…，均为2的倍数，因此第n个代数式的系数为． 【详解】解：第1项：， 第2项：， 第3项：， …， 第n项：． 故选：C． 9．如图，按照所示的运算程序计算：若开始输入的值为14，则第1次输出的结果为7，第2次输出的结果为10，…，第2025次输出的结果为（    ） A．1 B．2 C．4 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化规律，理解题意，发现输出结果的变化特点是解题的关键． 根据前几次输出的结果，找到输出结果的变化特点，从第5次开始，每次输出的结果分别是4，2，1，4，2，1，……，再进行列式计算，即可求解． 【详解】解：依题意， 第3次输出的结果为； 第4次输出的结果为； 第5次输出的结果为； 第6次输出的结果为； 第7次输出的结果为； 第8次输出的结果为； 第9次输出的结果为； 第10次输出的结果为； 第11次输出的结果为； ……， ∴从第5次开始，每次输出的结果分别是4，2，1，4，2，1，……，每三次是一个循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为2． 故选：B． 10．等边三角形在数轴上的位置如图所示，点A和点C表示的数分别为0和．若等边三角形绕右下角的顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B落在数轴上，此时点 B 表示的数为1，则翻转2026次后，点B落在数轴上，此时点B表示的数为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了图形的规律型问题，依据题意，正确归纳出一般规律是解题关键．先求出翻转6次，点B所对应的数分别是多少，再归纳总结出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意，翻转1次后，点B所对应的数为1； 翻转2次后，点B所对应的数为1； 翻转3次后，点B位于数轴的上方； 翻转4次后，点B所对应的数为4； 翻转5次后，点B所对应的数为4； 翻转6次后，点B位于数轴的上方； 归纳类推得：翻转以3次为一个循环，每一个循环对应数依次增加3，且第一次和第二次、第四次和第五次、第七次和第八次、对应数值相等，都为循环， ， 则翻转2025次后，点B所对应的数是， 故选：B． 二、填空题（每题 3 分，共分） 11．若，则的值为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 根据非负数的性质列方程求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】∵，且，， ∴，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 12．近年来我省新能源产业蓬勃发展，风电场作为新能源发电的重要载体，发电量持续稳步提升．某风电场2月份发电量为万千瓦时，3月份比2月份增长，预计4月份的发电量将比3月份增长，则该风电场4月份的发电量预计将达到_________万千瓦时．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】首先根据2月份发电量和3月份的增长率求出3月份发电量，再根据3月份发电量和4月份的增长率求出4月份的预计发电量，整理即可得到所求代数式． 【详解】解：由题意得，2月份发电量为万千瓦时， 3月份发电量为万千瓦时， 4月份预计发电量为万千瓦时． 13．编号是1、2、3、…36号的36名学生按编号顺序面向里站成一圈．第一次，编号是1 的同学向后转，第二次，编号是2、3的同学向后转，第三次，编号是4、5、6的同学向后转．……，第36次，全体同学向后转．这时，面向里的同学还有_____名． 【答案】18 【分析】本题主要考查了数字规律探索，理解题意是解题的关键．先根据题意求出整个转动过程转动的次数，根据每转动次就会使所有的同学都面向里，且，即可得出答案． 【详解】解：整个转动过程转动的次数为： （次）， 每转动次就会使所有的同学都面向里，， 因此面向里的同学还有（名）． 故答案为：18． 14．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 6 1 8 7 5 3 2 9 4 图① 2 图② 【答案】6 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的加法运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为S（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为S）． 设三阶幻方的9个数字分别为： 2 a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”， 可得： ， 解①得， 解②得， 则， 再代入①得． 15．已知，，，，，按此规律，______． 【答案】 【分析】本题考查数字的规律型，有理数的加法，由该一连串的等式可以看出从开始个连续的奇数的和等于，可以得出是从开始个连续的奇数相加．掌握从开始个连续奇数的和为的规律是解题的关键． 【详解】解：由，从开始连续个奇数相加； ，从开始连续个奇数相加； ，从开始连续个奇数相加； ∴从开始个连续的奇数的和等于， ∴从开始个连续奇数相加的和等于，即：． 故答案为：． 16．由同样长度的木棍按一定的规律组成下列图形，其中第①个图形有根木棍，第②个图形有根木棍，第③个图形有根木棍，…，则第个图形木棍的根数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，观察图形可知第个图形有根木棍，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个图形有根木棍， 第②个图形有根木棍， 第③个图形有根木棍， ……， 依此类推可知，第个图形有根木棍， 第个图形木棍的根数是， 故答案为：． 三、解答题（共分） 17．（本题6分）某高铁列车以的速度从甲城开往乙城．如果甲、乙两城之间的路程为，那么当列车行驶了后，列车距离乙城的路程是多少千米? 【答案】千米 【分析】本题主要考查了列代数式的应用，根据“路程速度时间”先求出列车行驶的路程，再求解出列车距离乙城的路程即可． 【详解】解：由题意得：列车行驶了， 则列车距离乙城的路程为：， 答：列车距离乙城的路程是千米． 18．（本题6分）已知与互为相反数． (1)求，的值； (2)分别求代数式和的值． 【答案】(1)， (2)均为 【分析】此题考查相反数的性质，代数式的求值，正确应用相反数的性质即可解答． （1）根据相反数的性质将两项相加为0，再根据绝对值和平方的非负性求解； （2）将（1）中，的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∵≥0，≥0， ∴，， ∴，． （2）当， ， ． 19．（本题6分），试计算 (1)， (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算规则下的计算，理解新的运算规则是解题的关键． （1）根据，表示出，计算后即可解题； （2）先根据完成小括号里面的计算，再第二次进行新定义运算即可完成此题． 【详解】（1）解：． （2）解：． 20．（本题6分）阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，， (1)依照上述规律，则可列式_________，_________． (2)用含的式子表示你发现的规律：__________________． (3)求式子的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律，正确找出规律是解题的关键． （1）仿照题干中的例子进行计算即可； （2）观察（1）中的式子，用表示出该规律即可 （3）根据（2）中得到的规律将所求式子展开，观察发现，第一项和最后一项除外，中间的所有项都会相互抵消，据此进行计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：，； （2）解：根据题干，结合（1）中的算式，可以观察得到规律为： 对于任意正整数，都有， 故答案为：； （3）解：由（2）知，， 则 ． 21．（本题6分）一段钢管的形状和尺寸如图所示．如果大圆的半径是R，小圆的半径是r，钢管的长度是． (1)用代数式表示这段钢管的体积V； (2)当，，时，求这段钢管的体积（π取3.14）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，掌握圆柱体的体积公式是解题的关键； （1）先根据图形特征得； （2）把，，分别代入计算，即可作答． 【详解】（1）由题意得，这段钢管的体积； （2）当，，时， 这段钢管的体积： ， 这段钢管的体积是． 22．（本题6分）运动会期间，学校为同学们准备了一批苹果，把这些苹果平均分装在若干个袋子里，每袋装的苹果个数和总袋数如下表所示． 每袋装的苹果个数 ．．． 总袋数 ．．． (1)这批苹果共有多少个？ (2)总袋数是怎样随着每袋装的个数的变化而变化的？ (3)用表示总袋数，表示每袋装的个数，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 【答案】(1)这批苹果共有个 (2)总袋数是随着每袋装的个数的增多而减少 (3)，与成反比例关系 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键， （1）根据表格可得，即可得到答案； （2）根据表格中的数据可得到答案； （3）从表格中得到苹果总数一定，当增大时，的值变小，故与成反比例关系． 【详解】（1）解：（个）， 答：这批苹果共有个． （2）解：从表格中得到，总袋数是随着每袋装的个数的增多而减少． （3）解：从表格中得到：， ∵苹果总数一定，当增大时，的值变小， ∴与成反比例关系． 23．（本题8分）某中学计划组织七年级学生到某文创园开展研学实践活动，文创园学生门票定价为10元/人，针对学校团体推出两种优惠方案： 方案一：所有学生门票统一打九五折； 方案二：当学生总人数超过100人时，前100人按原价购票，超出100人的部分打九折． 该校七年级报名参加研学的学生人数为x人（，x为正整数），请解决以下问题： (1)请分别用含x的代数式表示两种方案购买门票的总费用； (2)若该校七年级共有180名学生参加此次研学活动，学校选择哪种方案购买门票更省钱？ 【答案】(1)方案一门票费用为元，方案二门票费用为元 (2)选择方案一购买更省钱 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，理解题意，是解题的关键． （1）根据题干信息列出代数式即可； （2）把代入代数式求值，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：方案一：（元）， 方案二：元， 答：方案一门票费用为元，方案二门票费用为元． （2）解：当时，（元）， （元）， ∵， ∴方案一费用较少， 答：选择方案一购买更省钱． 24．（本题8分）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． (1)三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） (2)三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； (3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)28；； (2)不能 (3)一共能摆放20排 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律探索，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是520，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （3）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前7行的点数之和为： ， 前行的点数之和为： ； （2）解：不能，理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， ∴三角点阵中前n行的点数和不能是520； （3）解：同理，前排的盆景之和为： ， 由题意得：， 整理得， 即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章代数式单元测试（培优卷） （卷面总分100分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 3 分，共分） 1．下列各式符合代数式数学规范的是（ ） A． B． C． D． 2．若 ，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若一个正方形的面积扩大为原来的倍，则它的边长要扩大为原来的（      ）倍 A． B． C． D． 4．小明同学是某校2025年入学的，他在四班，学号是15，如果用6位数字给他编学籍号，下面比较实用的是（     ） A．202504 B．250315 C．250415 D．150425 5．1分钟跳绳练习时，小王前两次的平均成绩是下，第三次成绩比前两次的平均数高9下．小王这三次跳绳的平均成绩是（      ）下． A． B． C． D． 6．一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是8，表示这个两位数的式子是（    ） A．8a B． C． D． 7．已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求（    ） A．9 B． C．7 D． 8．按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 9．如图，按照所示的运算程序计算：若开始输入的值为14，则第1次输出的结果为7，第2次输出的结果为10，…，第2025次输出的结果为（     ） A．1 B．2 C．4 D．以上都不对 10．等边三角形在数轴上的位置如图所示，点A和点C表示的数分别为0和．若等边三角形绕右下角的顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B落在数轴上，此时点 B 表示的数为1，则翻转2026次后，点B落在数轴上，此时点B表示的数为（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 二、填空题（每题 3 分，共分） 11．若，则的值为_____________． 12．近年来我省新能源产业蓬勃发展，风电场作为新能源发电的重要载体，发电量持续稳步提升．某风电场2月份发电量为万千瓦时，3月份比2月份增长，预计4月份的发电量将比3月份增长，则该风电场4月份的发电量预计将达到_________万千瓦时．（用含的代数式表示） 13．编号是1、2、3、…36号的36名学生按编号顺序面向里站成一圈．第一次，编号是1 的同学向后转，第二次，编号是2、3的同学向后转，第三次，编号是4、5、6的同学向后转．……，第36次，全体同学向后转．这时，面向里的同学还有_____名． 14．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 6 1 8 7 5 3 2 9 4 图① 2 图② 2 a b 15．已知，，，，，按此规律，______． 16．由同样长度的木棍按一定的规律组成下列图形，其中第①个图形有根木棍，第②个图形有根木棍，第③个图形有根木棍，…，则第个图形木棍的根数是______． 三、解答题（共分） 17．（本题6分）某高铁列车以的速度从甲城开往乙城．如果甲、乙两城之间的路程为，那么当列车行驶了后，列车距离乙城的路程是多少千米? 18．（本题6分）已知与互为相反数． (1)求，的值； (2)分别求代数式和的值． 19．（本题6分），试计算 (1)， (2) 20．（本题6分）阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，， (1)依照上述规律，则可列式_________，_________． (2)用含的式子表示你发现的规律：__________________． (3)求式子的值． 21．（本题6分）一段钢管的形状和尺寸如图所示．如果大圆的半径是R，小圆的半径是r，钢管的长度是． (1)用代数式表示这段钢管的体积V； (2)当，，时，求这段钢管的体积（π取3.14）． 22．（本题6分）运动会期间，学校为同学们准备了一批苹果，把这些苹果平均分装在若干个袋子里，每袋装的苹果个数和总袋数如下表所示． 每袋装的苹果个数 ．．． 总袋数 ．．． (1)这批苹果共有多少个？ (2)总袋数是怎样随着每袋装的个数的变化而变化的？ (3)用表示总袋数，表示每袋装的个数，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 23．（本题8分）某中学计划组织七年级学生到某文创园开展研学实践活动，文创园学生门票定价为10元/人，针对学校团体推出两种优惠方案： 方案一：所有学生门票统一打九五折； 方案二：当学生总人数超过100人时，前100人按原价购票，超出100人的部分打九折． 该校七年级报名参加研学的学生人数为x人（，x为正整数），请解决以下问题： (1)请分别用含x的代数式表示两种方案购买门票的总费用； (2)若该校七年级共有180名学生参加此次研学活动，学校选择哪种方案购买门票更省钱？ 24．（本题8分）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． (1)三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） (2)三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； (3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $