第三章《代数式》单元测试 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 第三章代数式单元测试冲刺卷，总分100分，覆盖代数式书写、求值、实际应用等核心知识点，通过基础巩固与创新应用梯度设计，培养抽象能力、运算能力及模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|代数式书写、列代数式、程序运算|结合生活情境（如步行速度）考查基础概念| |填空题|6/18|数列规律、叠放高度、反比例关系|通过图形与数列规律培养几何直观与推理意识| |解答题|8/52|购物优惠方案、裂项相消求和、窗户材料计算|设计新定义运算（如“⊕”运算）及实际问题（印刷厂装订、体育器材购买），发展应用意识与创新意识|

第三章代数式（单元测试冲刺卷） （卷面总分100分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 3 分，共30分） 1．下列式子，符合代数式书写格式的是（   ） A． B． C． D．人 2．走一段的路，步行用了，步行的速度是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值是(    ) A．4 B． C． D． 4．“与的差的2倍”用代数式可以表示成（   ） A． B． C． D． 5．小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：，例如，试求的值为（ ） A． B．0 C．12 D．54 6．一个三位数，个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，则这个三位数是（   ） A． B． C． D． 7．工厂马师傅要做一个工具盒，如图，是一个长、宽分别是a、b的长方形铁皮，现在它的四个角上都剪去一个边长为x的正方形，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 8．当时，代数式的值是3，则当时，代数式的值是（　　） A．4 B．6 C． D． 9．将全体正整数排成一个三角形数阵:根据上述排列规律，数阵中第10行从左到右的第5个数是(    ) A．48 B．49 C．50 D．51 10．如图，四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A．23 B．19 C．18 D．17 二、填空题（每题 3 分，共18分） 11．列式表示“比的平方大的数”是___________． 12．若，且，则________． 13．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，…，则第100个数是________． 14．在数中，任取三个数相乘，所得的最大的积是___________． 15．变量、的关系如图所示，若、成反比例关系，则的值为_____． 16．如图所示，有一种塑料杯子的高度是，两个这种杯子叠放时高度为，三个这种杯子叠放时高度为，则n个这种杯子叠放在一起高度是______． 三、解答题（共52分） 17．（本题6分）根据下列，的值，分别求代数式与的值： (1)，； (2)，． 18．（本题6分）如图，长方形的长为，宽为a，点G为边的中点（即）． (1)根据图中数据，用含有a，b的代数式表示阴影部分的面积S； (2)若a，b满足，求阴影部分的面积． 19．（本题6分）（1）若a是最大的负整数，b是最小的正整数，c的相反数是它本身，则 ， ， ． （2）若有理数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e为负数，且绝对值为2，求的值． 20．（本题6分）我们规定“”是一种数学运算符号，两数m，n通过“”运算得，即，例如． (1)求的值； (2)与相等吗？ 21．（本题6分）某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）； (2)这批练习本一共有多少本？ (3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系． 22．（本题6分）莆田某学校为适应新中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价100元，跳绳每条定价20元．现有，两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一个足球送一条跳绳； B网店：足球和跳绳都按定价的付款． 已知该学校要购买足球30个，跳绳条． (1)若在网店购买，需付款 元，若在网店购买，需付款 元；（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算说明在哪家网店购买较为合算？ 23．（本题8分）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 ，是第 个数； 【方法提示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2） （3）． 24．（本题8分）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃，铝合金窗框宽度忽略不计．（本题取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户共需要铝合金 米和玻璃 平方米．（用含，的代数式表示） (2)某公司准备在同一家厂商购进10扇这样的窗户．在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲厂商 200 不超过50平方米的部分，95元/平方米；超过50平方米的部分，70元/平方米． 乙厂商 220 80元/平方米，每购一平方米玻璃送米铝合金． 当，时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章代数式（单元测试冲刺卷） （卷面总分100分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 3 分，共30分） 1．下列式子，符合代数式书写格式的是（   ） A． B． C． D．人 【答案】A 【分析】本题考查了代数式，熟知代数式的书写要求是解题的关键． 根据代数式的书写要求：①在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面，当系数为或时，省略不写；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要化为假分数；④多项式后边有单位时，多项式要加括号；由此逐项判断即可． 【详解】解：A、符合代数式书写格式，故此选项符合题意； B、中的系数应该为假分数，故此选项不符合题意； C、中的数字7应该在字母的前面，乘号省略，故此选项不符合题意； D、人中的应该加上括号，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．走一段的路，步行用了，步行的速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，根据速度的计算公式，速度等于路程除以时间，即可求解. 【详解】解：   故选：B. 3．若，则的值是(    ) A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质，即几个非负数的和为零，则每个非负数都为零．根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零，则每个部分均为零，可求出x和y的值，再代入计算． 【详解】∵， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 4．“与的差的2倍”用代数式可以表示成（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，“与的差”即代数式，“2倍”表示乘以2，因此整体表示为，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：“与的差的2倍”用代数式可以表示成， 故选：D． 5．小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：，例如，试求的值为（ ） A． B．0 C．12 D．54 【答案】B 【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，再进行计算即可． 本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 6．一个三位数，个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，则这个三位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三位数的代数表示，根据十进制位值原理，百位数字应乘以100，十位数字乘以10，个位数字乘以1，然后求和即可． 【详解】解：∵一个三位数，个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c， ∴这个三位数为， 故选：C． 7．工厂马师傅要做一个工具盒，如图，是一个长、宽分别是a、b的长方形铁皮，现在它的四个角上都剪去一个边长为x的正方形，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，审清题意、弄清量之间的关系是解题的关键． 长方形的面积是，4个小正方形的面积是，则剩余部分的面积为长方形的面积与四个小正方形的面积差． 【详解】 解：根据题意得：长方形的面积是，4个小正方形的面积是， 则剩余部分的面积是． 故选：D． 8．当时，代数式的值是3，则当时，代数式的值是（　　） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值． 通过代入求出的值，然后将代入中，利用关系式计算即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 9．将全体正整数排成一个三角形数阵:根据上述排列规律，数阵中第10行从左到右的第5个数是(    ) A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】C 【分析】先找到数的排列规律，求出第n-1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第5个数，即可求出第10行从左向右的第5个数． 【详解】由排列的规律可得，第n-1行结束的时候排了1+2+3+…+n-1=n（n-1）个数． 所以第n行从左向右的第5个数 n（n-1）+5． 所以n=10时，第10行从左向右的第5个数为50． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，找出数字排列的规律是解决问题的关键． 10．如图，四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A．23 B．19 C．18 D．17 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以列出算式，计算即可．理解题目提示的运算顺序是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ∴经过顺序的运算结果为23． 故选：A． 二、填空题（每题 3 分，共18分） 11．列式表示“比的平方大的数”是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．根据题意，用含、的代数式表示出比的平方大的数即可． 【详解】解：比的平方大的数是． 故答案为：． 12．若，且，则________． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，先根据绝对值的意义得出，，再结合得出，或，，分别计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，或， 故答案为：或． 13．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，…，则第100个数是________． 【答案】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，根据分母是平方数，分子是连续的奇数得出变化规律是解题的关键．观察数列，分子是连续的奇数，分母是序数的平方，且奇数项是负数，偶数项是正数，根据此规律解题即可． 【详解】解：， 观察可知：分子为连续的奇数，即，分母为，奇数位为负，偶数位为正， 第100个数是； 故答案为：． 14．在数中，任取三个数相乘，所得的最大的积是___________． 【答案】50 【分析】本题考查有理数的乘法，有理数的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 要使乘积最大，需保证积为正数且绝对值尽可能大．因此应选择偶数个负数和绝对值较大的正数． 【详解】解：在数中，有两个负数（）和三个正数（1，3，5）．为得到最大积，需选择偶数个负数，即0个或2个负数． 若选0个负数，则选三个正数1，3，5，积为． 若选2个负数，则需选一个正数．负数选绝对值较大的，正数选最大的5，积为． 其他组合如选负数和正数3，积为30；选正数1，3，5，积为15，均小于50． 故最大积为50． 故答案为50． 15．变量、的关系如图所示，若、成反比例关系，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例关系的定义，变量 与 的乘积为常数，利用表格中的数据列方程求解． 【详解】解：由反比例关系，得 （ 为常数）． 根据表格数据：当 时，； 当 时，． 因此，， 即 ． 解得 ，． 故答案为：． 16．如图所示，有一种塑料杯子的高度是，两个这种杯子叠放时高度为，三个这种杯子叠放时高度为，则n个这种杯子叠放在一起高度是______． 【答案】 【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，解答本题的关键是探究出规律，列出相应的代数式． 根据题目中的图形，可知每增加一个杯子，高度增加，从而可以得到n个杯子叠在一起的高度． 【详解】解：由题意知，单独一个杯子的高度是，每增加一个杯子，高度增加， n个这种杯子叠放在一起高度为：， 故答案为：． 三、解答题（共52分） 17．（本题6分）根据下列，的值，分别求代数式与的值： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是求解代数式的值，熟练的代入与运算是关键； （1）把，分别代入与计算即可； （2）把，分别代入与计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ； （2）解：∵，， ∴． ． 18．（本题6分）如图，长方形的长为，宽为a，点G为边的中点（即）． (1)根据图中数据，用含有a，b的代数式表示阴影部分的面积S； (2)若a，b满足，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为228 【分析】本题考查了整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个三角形的面积，可列出整式，合并同类项即得答案； （2）根据，可得，，，再代入计算，即得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以，， 当，时， ， 所以阴影部分的面积为228． 19．（本题6分）（1）若a是最大的负整数，b是最小的正整数，c的相反数是它本身，则 ， ， ． （2）若有理数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e为负数，且绝对值为2，求的值． 【答案】（1），1,0（2） 【分析】本题主要考查了代数式求值，倒数的定义，相反数的定义，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握乘积为1的两个数，互为倒数；只有符号不同且绝对值相等的两个数互为相反数． （1）根据有理数的概念可得，，； （2）由题可知，，代入求值即可． 【详解】（1）最大的负整数为， 最小的正整数为1， 零的相反数是它本身， 故答案为：，1,0； （2）解：因为a，b互为倒数，所以， 因为c，d互为相反数，所以， 因为e为负数，且绝对值为2，所以， ， 所以的值为． 20．（本题6分）我们规定“”是一种数学运算符号，两数m，n通过“”运算得，即，例如． (1)求的值； (2)与相等吗？ 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． （1）根据新定义的运算符号“”，将，代入进行计算即可； （2）先计算出的值，再与（1）中的值比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得； （2）解：由题意，得， 由（1）得， ∴． 21．（本题6分）某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）； (2)这批练习本一共有多少本？ (3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系． 【答案】(1)减少 (2)2000本 (3)，反比例关系 【分析】本题主要考查了反比例关系的判断、反比例函数的表达式以及总量的计算，熟练掌握反比例关系的定义（两个相关联的量，乘积一定则成反比例）是解题的关键． （1）观察表格中每天装订本数和对应天数的变化趋势，判断增减性． （2）根据“总本数=每天装订本数天数”，用表格中任意一组数据计算即可． （3）先根据总本数不变写出与的关系式，再依据反比例关系的定义判断比例类型． 【详解】（1）解：由表格可得需要的天数随着每天装订的本数的增大而减少， 故答案为：减少； （2）解：∵， ， ， ， ∴这批练习本一共有2000本． （3）解：由题意可得， ， ∴与成反比例关系． 22．（本题6分）莆田某学校为适应新中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价100元，跳绳每条定价20元．现有，两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一个足球送一条跳绳； B网店：足球和跳绳都按定价的付款． 已知该学校要购买足球30个，跳绳条． (1)若在网店购买，需付款 元，若在网店购买，需付款 元；（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算说明在哪家网店购买较为合算？ 【答案】(1)， (2)到A网店购买较为合算 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值；解题的关键是理解题意，列出正确的运算式． （1）由题意可得在A、B店购买的关系式； （2）将分别代入A店，B店的付费方案即可比较； 【详解】（1）解：由A网店的优惠方案是： 买30个足球，x条跳绳()的总费用为元； 由B网店的优惠方案是： 买30个足球，x条跳绳的总费用为：元； 故答案为：，． （2）解：当时，A网店付费：（元）， 网店付费：（元）， ∵， ∴到A网店购买较为合算． 23．（本题8分）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 ，是第 个数； 【方法提示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2） （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）利用裂项公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3） 24．（本题8分）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃，铝合金窗框宽度忽略不计．（本题取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户共需要铝合金 米和玻璃 平方米．（用含，的代数式表示） (2)某公司准备在同一家厂商购进10扇这样的窗户．在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲厂商 200 不超过50平方米的部分，95元/平方米；超过50平方米的部分，70元/平方米． 乙厂商 220 80元/平方米，每购一平方米玻璃送米铝合金． 当，时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？ 【答案】(1)； (2)该公司在甲厂商购买窗户合算 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，图形的周长和面积计算，准确拆分图形的结构，理解厂商报价规则是解题的关． （1）铝合金长度包括：上方半圆部分加上2条半径（）和下方长方形部分；2 个长方形的边框（）；玻璃面积包括：上方半圆面积和下方长方形面积． （2）先将值代入表示10扇窗户共需要铝合金的代数式中进行计算，再代入表示10扇窗户所需玻璃的总面积的代数式中进行计算，然后再分别计算在甲乙两个厂商购买所需要的费用进行对比，最后确定在哪购买． 【详解】解：（1）一扇窗户铝合金总长：米， 一扇窗户玻璃的面积：平方米； 故答案为：；； （2）当，时， 10扇这样窗户共需要铝合金米， 10扇这样窗户共需要玻璃（平方米）. 在甲厂商购买所需费用为（元）； 在乙厂商购买所需费用为（元）. ， 该公司在甲厂商购买窗户合算． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $