第二章 直线和圆的方程 重点题型章末总结（14类热点题型训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以直线和圆的方程为核心，通过14类题型（含典例与变式）系统整合概念应用、性质推导及综合拓展，突出知识逻辑链与解题能力培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线方程及位置关系|5题型（2典例+3变式）|倾斜角与斜率范围、方程求法、平行垂直判定、距离及对称问题|从概念到方程形式，再到位置关系与几何变换| |圆的方程及性质|5题型（2典例+3变式）|圆的方程、切线、弦长、圆与圆位置关系、公共弦|从圆的定义到方程，结合直线与圆位置关系深化性质应用| |直线与圆综合应用|4题型（2典例+3变式）|面积、最值、轨迹及综合应用|融合直线与圆知识，体现几何直观与逻辑推理的综合运用|

第11讲第二章直线和圆的方程重点题型章末总结 第一部分思维导图 倾斜角 斜率 两条直线平行于垂直 点斜式 斜截式 直线与方程 直线方程 两点式 截距式 般式 两点间距离 距离 点到直线距离 两条平行线间距离 圆的标准方程 圆的方程 圆的一般方程 相离 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 圆与圆的位置关系 相交 相切 第二部分题型精讲 题型01直线的倾斜角和斜率 【典例1】(2026高三·全国专题练习)直线xcos6+y-1=0(0∈R)倾斜角的范围是() π3π A.0,T) B.44 [ππ C. 44 .[ 【答案】D 【详解】由xcos0+y-1=0的斜率为-cos0,其范围是[-1，， 设倾斜角为a'则-1≤ama≤1解得a 风为板到角的范铜是g所ao引[子 【典例2】(25-26高二上·贵州六盘水阶段检测)已知4(-3,0)，B(3,2）,若过点(1，-2)的 直线1与线段AB(含端点)总有公共点，则直线I的斜率的取值范围为() A. 【答案】C 【分析】求出直线过点A和过点B时的斜率，数形结合求解。 【详解】 如国设PL-2当直战，在，到客，-0科-当直战过g,斜车 km-22-2. 3-1 要使直线与线段1B(含端点)总有公共点，则直线)的斜率k需满足≤一2或k≥2 所以直线，的斜率的取值范围为 2,+o0) 故选：C 【变式1】(25-26高三全国一轮复习)过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范 π3π 围是44则实数m的取值范围是（） A.0<m≤2 B.0<m<4 C.2≤m<4 0<m<2或2<m<4 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解 详解】当口时，直线的斜率不存在，此时m=2 当a ππ (4'2时，直线的斜率k=tama>1?即 -1>1,解得2<m<4 m-2 π3π 当∈ -1 24 时，直线的斜率k=tama<-小即 m-2 <-1,解得0<m<2 综上可得实数m的取值范围是0<m<4. 【变式2】(25-26高二上安徽淮北期末)直线1的斜率k的取值范围是-1，V3], 则直线1 的倾斜角“的取值范围是() π3π A 3’4 c. 【答案】C 【详解】因为k=tana,又斜率k的取值范围是[-l,V5],所以-1≤an&≤5，当 ana=V3时，a=3当ana-1时，a=，又a∈0，，所以根据正切函数的图象 3π 可得， 【变式3】(25-26高二上贵州毕节期末)己知点A(-2,4),B(-1,-3),若直线y=c与线 段AB有公共点，则k的取值范围是 【答案】[-2,3] 【分析】根据直线绕原点旋转且线段AB有公共点，再结合数形结合可得斜率的范围. 4-0 【详解】因为直线y=:恒过00,0)点，且k4=-2-0 -2,koB= -3-0=3 -1-0 y=kx B 由图可知，直线y=与线段AB有公共点，所以koA≤k≤ks,即-2≤k≤3. 故答案为：【-2,3]. 题型02直线方程 【典例1】(25-26高一下·上海嘉定期末)己知直线：ax-y+1+2k=0(k∈R)」 (1)讨论直线1与直线：4x+2y+6=0的位置关系： (2)若直线！交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点，设△AOB的面积为 S,求S的最小值及此时直线的方程， 【答案】(1)当k=-2时，直线1与1重合：当k≠-2时，直线1与h相交 (2)S的最小值为4，此时直线1的方程为x-2y+4=0。 【分析】(1)先将两直线方程化为斜截式，再进行判断即可： 1+2 (2)由题设易得 ,0 1 1 B0,1+2):k>0进而表示出S=2 4k++4 再根 据基本不等式求解即可： 【详解】(1)直线：4x+2y+6=0,即y=-2x-3, 直线：-y+1+2k=0,即y=x+1+2k, 当k=-2时，直线l即为y=-2x-3,此时两直线重合： 当k≠-2时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交， (2)直线I:-y+1+2k=0 当k=0时，直线：y=1,显然不满足题意，所以k≠0 令x=0得y=2+今y0得x=142,即4司 1+2k B(0,1+2k) (1+2k<0 依题意得 k,解得 1+2k>0 k>0 则s-o4o8-0+2-小3+4-4， 当且仅当4秋=名，即k= 2时取等号， 所以Smm=4,此时直线I的方程为x-2y+4=0 【典例2】(25-26高二上四川成都阶段检测)己知直线1经过点P(3,2). (1)若直线！在x轴上的截距是在y轴上的截距3倍，求直线的方程： (2)若直线I与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点，求当△AOB的面积取得最小值时直 线的方程 【答案】(1)2x-3y=0或x+3y-9=0. (2)2x+3y-12=0 【分析】(1)讨论截距是否为0，设直线方程后代入点坐标，然后求得结果. (2)设直线：y=kx+b,代入点P坐标，得到b,然后求出点A,B坐标，根据题意列出 不等式，求得k2的取值范围，利用基本不等式求得当k2取何值时△AOB面积取最小值，代 入直线方程后得到结果 【详解】(1)当直线1在x轴上的截距和在y轴上的截距均为0时， 2 设直线1：y=kx,则2=3，即4=5，则1：2x-3y=0 当直线1在x轴上的截距和在y轴上的截距均不为0时， 设直线I在y轴上的截距为a,则在x轴上的截距为3a, 毫+名l,品子1则。3则，影+y-g-0 则直线：30+a (2)由题意可知，直线斜率一定存在， 设直线：y=kx+b,则2=3k2+b,即b=2-3k,则I:y=k2x+2-3k2, 令x=0则，=2-3张：令y=0:则=3号 k2' 则43-是0B02-) 「2-3k3>0 [3k2-2<0 则3-20,3张，-2>0即 k2 k2<0 mo4o4-2e-)2(% 0时%>00.%2%2， 当组仅当%之，即=号时取等号 即：y=- .1:2x+3y-12=0 【变式1】(25-26高二下·上海浦东新期中)己知△4BC中，A(-2,1),B(4,3). (1)若C(3,-2),求BC边上的高AD所在直线的一般式方程： (2)若点M(3,1)为边4C的中点，求过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1)x+5y-3=0 2)y=8x或x+y-9=0 【分析】(1)根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； (2)根据中点坐标公式得出C(⑧，)，再设直线方程进而代入点的坐标即可得出直线方程. 【详解】(1)因为B(4,3),C(3,-2), 所以c-5， 因为AD是BC边上的高， 所以ne=-1今ko=行 所以高0所在直线的方程为-1=x+2)户+5y-3=0: (2)因为点M(3,1)为边AC的中点， 3=-2+C 2 所以1+C, →C(8,1), 1= 2 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为y二k:或。+。=1 因为直线过点，所以，。或°+二=L所以k=8或a=9 所以过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=8或x+y-9=0 【变式2】(25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔期中)根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点(2,1)的直线方程： (2)原点0(0,0)与点A(-4,2)关于直线1对称，求直线1的方程； (3)求经过点(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】(1)3x-y-5=0: (2)2x-y+5=0: (3)3x-2y=0或x+y-5=0 【分析】(1)将条件代入点斜式方程，即可得答案， (2)分析可得直线I为线段OA的中垂线，求出OA的中点坐标和OA的斜率，可得直线1 的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案 (3)分别讨论截距为0和不为0两种情况，代入点坐标，求出方程，综合即可得答案 【详解】(1)直线斜率是3，且经过点(2,1)，则直线方程为y-1=3(x-2), 化为一般式方程为3x-y-5=0: (2)已知O(0,0)关于直线1的对称点为4(-4,2)， 故直线I为线段OA的中垂线，求得OA的中点为(-2,1)， 2-01 且04的斜率为4-02，故直线1的斜率为2， 故直线1的方程为y-1=2(x+2),化简可得：2x-y+5=0, (3)设该直线在两轴上截距为a,那么， ①当a=0时，直线过原点，设直线方程为y=,代入点(2,3)， 3 3 可得k=2则方程为y=2,即3x-2y=0: ②当。≠0时直线方程为后+名-1，把2.3)代入求符a=5 则直线方程为x+y-5=0, 由①②知所求直线方程是3x-2y=0或x+y-5=0」 【变式3】(25-26高二上河北阶段检测)己知直线：2x-y+2=0,直线过点P(1,4). (1)若112，求直线2的方程： (2)若直线4与x轴和直线2围成的三角形的面积为4，求直线2的方程， 【答案】(1)x+2y-9=0 (2)x=1或x-y+3=0 【分析】(1)根据两直线垂直可求出直线2的斜率，进而可求出直线2的方程， (2)讨论直线2的斜率存在和不存在两种情况，结合三角形面积求出直线2的方程 【详解】(1)设直线马的斜率为k,直线的斜率为k,.因为14，所以kk=-1 由腿意可知片=2，所以气=月 又因为直线过点PL,4,所以直线L的方程为y-4=C-),即x+2y-9=0 (2)设直线与x轴交点为A,直线马与x轴交点为B,则A(1,0) ①若直线的斜率不存在，则直线马的方程为x=1,此时B(1,0),AB=2,PB=4 6P1B的面积Sa克4P=4,符合腿意， ②若直线马的斜率存在，设直线马2的斜率为k,(k≠0)，则直线的方程为y-4=k(x-) 令y=0:则x=1即6点坐标为-0h-使-2 D的面积SPB)AB×4=2K一2二4，解得k=1' 则直线2的方程为x-y+3=0 综上，直线2的方程为x=1或x-y+3=0. 1234 题型03两直线的平行与垂直 【典例1】(25-26高二上内蒙古赤峰期中)求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点A(-1,4),且与直线3x+2y-1=0平行： (2)经过点B(1,5),且与直线x-2y+5=0垂直； 【答案】(1)3x+2y-5=0, (2)2x+y-7=0 【分析】(1)根据直线方程得出已知直线的斜率，由平行关系求得所求直线的斜率，然后 利用点斜式写出所求直线方程化简即可： (2)根据直线方程得出已知直线的斜率，由垂直关系求得所求直线的斜率，然后利用点斜 式写出所求直线方程化简即可： 3 【详解】(1)由直线3x+2y-1=0的斜率为k=一2 设所求直线的斜率为， 因为所求直线与直线3x+2y-1=0平行， 3 所以片=k= 2 又所求直线经过4,4：根银点制式方程可得：”4=x+)。 即所求直线方程为3x+2y-5=0 2)由直线x-2y+5=0的斜率k= , 1 由题知两条直线垂直且，一2，所以所求直线斜率存在， 设所求直线的斜率为5， 由店×k=-1,解得：片=-2， 又所求直线经过点B(1,5),根据点斜式方程可得：y-5=-2(x-1), 即所求直线方程为2x+y-7=0, 【典例2】(25-26高二上贵州贵阳·期中)求下列直线的方程. (1)过点(2,1)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程： (2)已知A(2,4),C(8,0),求线段AC的垂直平分线的方程， 【答案】(1)x-2y=0 (2)5x+2y+11=0 【分析】(1)设出平行直线的方程，代入点(2,1)来求得正确答案。 (2)通过中点和斜率求得线段AC的垂直平分线的方程 【详解】(1)设过点(2,1)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为x-2y+C=0, 将(2,1)代入x-2y+C=0,解得C=0, 所以过点(2,1)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为x-2y=0. 0-42 (2)线段4C的中点为(-3,2)，斜率为8-25： 5 则线段4C的垂直平分线的斜率为2， 所以线假4C的垂直平分线的方程为少-2=(x+3), 即5x+2y+11=0 【变式1】(25-26高二上·安徽期中)求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点A(-山，4)，且与直线3x+2y-1=0平行： 2)经过点B(1,5),且与直线x-2y+5=0垂直： (3)经过点C(1,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等. 【答案】(1)3x+2y-5=0 (2)2x+y-7=0 (3)2x-y=0或x+y-3=0或x-y+1=0 3 【分析】（①）设直线的斜率为人，根据题意，求得k=一2，结合直线的点斜式方程，即可 求解： (2)设直线的斜率为'，根据题意，求得K'=-2,结合直线的点斜式方程，即可求解： (3)解：设直线在x轴截距为a,在y轴截距为b,分a=b=0和4=b≠0，两种情况讨 论，分别求得a,b的值，即可求解. 3 【详解】(1)解：由直线3x+2y-1=0的斜率k= 2 设所求直线的率为k,因为所求直线与直线3x+2y-10平行，所以太=片= 又因为所求直线经过414所以-4=多x+)。 即所求直线方程为3x+2y-5=0, (2)解：由直线x-2y+5=0的斜率k=2 因为两条直线垂直且斜率均存在，所以斜率之积为-1， 设所求直线的斜率为'，可得k'·k2=-1,解得=-2， 又因为所求直线经过点B(1,5),可得y-5=-2(-1),即直线方程为2x+y-7=0. (3)解：设直线在x轴截距为a,在y轴截距为b, ①当a=b=0时，直线过原点，设方程为y=, 因为直线过点C(1,2),可得k=2,此时在坐标轴截距都是0，绝对值相等，满足条件， 此时直线方程为2x-y=0； x y ②当a=≠0时，则直线方程为。+方-1且4=， 又所求直线t点c2沙可1， 0若g=60:代入后+子1，解得。=36=3·所以直线方程为+y-3-0: ()若a=-b0:代入得。+a 得之+之1，解得a=-1b=1,所以直线方程为x-y+1=0 综上所述，所求直线方程为2x-y=0或x+y-3=0或x-y+1=0 【变式2】(25-26高二上浙江台州期中)已知△ABC的三个顶点A(-5,0),B(3,-3), C(0,2),求： (1)边AC所在直线的方程； (2)过点B且与直线AC平行的直线方程： (3)过点B且与直线AC垂直的直线方程. 【答案】(1)2x-5y+10=0 (2)2x-5y-21=0 (3)5x+2y-9=0 【分析】(1)直接由两点式可得： (2)设与直线AC平行的直线方程为2x-5y+1=0,(:≠10)，代入点B的坐标可得： (3)由两直线垂直得出其斜率，再由点斜式可得 y-0_x+5 【详解】(1)边4C所在直线的方程为2-00+5，即2x-5y+10=0 (2)设与直线4C平行的直线方程为2x-5y+t=0,(:≠10)， 因为直线过点B,所以2×3-5×(-3)+1=0→1=-21， 所以过点B且与直线AC平行的直线方程为2x-5y-21=0, 5 (3)与直线4C垂直的直线的斜率为2： 因为直线过点g所以y+3=(x-3),即5x+2y-9=0 【变式3】(25-26高二上新疆阶段检测)已知直线1经过点A(-1,2),B(1,). (1)求直线的斜率及直线的斜截式方程； (2)若直线马经过点C(2,-2)且平行于直线1，求直线4的一般式方程： (3)若直线42经过点D(2,0)且垂直于直线1，求直线的一般式方程. 1 【答案】(1)2，y=2x+2 (2)x+2y+2=0 3)2x-y-4=0 【分析】(1)由斜率公式求斜率，再写出点斜式，化为斜截式求解即可： (2)根据平行可得直线的斜率，再由过点C写出点斜式，化成一般式即可： (3)由垂直可得直线2的斜率，再由过点D写出点斜式，化成一般式即可 2-11 【详解】(1)直线的斜率为1-=2： 13 直线，的方程为-1=一2(x-少，它的斜截式方程为y=一2+2 2 (2)因为直线1平行于直线，所以直线1的斜率为2 又直线1经过点C2,-2),所以直线的方程为少+2=(x-2),它的一般式方程为 x+2y+2=0」 (3)因为直线2垂直于直线1，所以直线2的斜率为2. 又直线4经过点D(2,0),所以直线42的方程为y-0=2(x-2), 它的一般式方程为2x-y-4=0 题型04两直线的交点与距离问题 ac-24 【典例1】(25-26高三下江西赣州期中)已知实数a,bc,d满足6d-i3,则 V(a-c)'+(b-d)}'的最小值为() 11 2 c A.5 B. 5 D.5 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线3x-4y=0,3x-4y-2=0间的距离，即 可求解。 a_c-2_4 【详解】由6d-i3,得到3a-4b=0(b≠0)，3c-4d-2=0(d≠1)， 因为V(a-c)+(b-d)}表示点(a,b)到点(c,d)间的距离， 又点(a,b)在直线3x-4y=0上，点(c,d)在直线3x-4y-2=0上， 易知直线3x-4y=0与直线3x-4y-2=0平行， 22 则两直线3x-4y=0?3x-4y-2=0间的距离为d= V32+425, 所以V(a-c)}+(6-d)'的最小值为5 【典例2】(2026高三全国专题练习)点P(2,1)到直线：mx-y-3=0(m∈R)的最大距离 是 【答案】2V5 【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离· 【详解】由I:mx-y-3=0,得mx-(y+3)=0,对任意m∈R, 当x=0时，y=-3恒成立，即直线l恒过定点(0，-3). 设点P(2,l)到直线I的距离d,满足：d≤P№l, 当且仅当直线I1PO时，等号成立，即最大距离为P 1P0=V(2-02+1-(-3)=V22+4=√20=2W5, 因此点P到直线I的最大距离为25， 【变式1】(25-26高二上山东聊城期末)若直线：x-2y+a=0,k:2x+by-4=0互相平 5 行，且两直线之间的距离为5，则。的值为(） A.-1 B.-3 C.-1或3 D.-3或 -5 【答案】C 【分析】由1儿，解得b=-4.利用平行线之间的距离公式即可得出a. 【详解】因为直线：x-2y+a=0,:2x+by-4=0互相平行， 所以1xb-（-2)×2=0,解得：b=-4, 所以直线12x-2y-2=0 a-(-2)√5 由1 两直线之间的距离为5，可得 5 12+(-2 25解得： a=-1a=-3 当a=-1时，直线：x-2y-1=0,满足条件： 当a=-3时，直线：x-2y-3=0,满足条件： 故选：C 【变式2】(25-26高二下·上海期中)两平行直线2x+(1-0)y-3=0与x-2y+2=0间的 距离为 7V5 【答案】 10 【分析】首先根据两直线平行求(，再代入两直线间的距离公式求解. 【详期1因为直线2+0-a-30与x-2y+2-0平行，所子-1号±子解得。5 即直线2x+(1-a）y-3=0方程为2x-4y-3=0, 将x-2y+2=0化为2x-4y+4=0, -3-475 故这两平行直线间的距离为= 22+(-4)1 10· 【变式3】(25-26高二上安徽黄山阶段检测)过两直线3x+y-5=0,2x-3y+4=0的交 点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为一· 【答案】2x-y=0或x+y-3=0 【分析】联立方程求出交点坐标，分截距是否为0讨论求解直线方程 3x+y-5=0 x=1 【详解】由2x-3y+4=0:解得y=2,即两直线交点坐标为(1,2)， 若所求直线在两坐标轴上截距为0，则该直线经过原点(0,0)和(1,2)， 方程为y-0= 2-0 0-0),整理得2x-y=0: 若所求直线在两坐标轴上截距不为0，则该直线方程可设为x+y=, 将点(1,2)坐标代入方程可得a=3,所以此时直线方程为x+y=3, 整理得x+y-3=0 综上，所求直线方程为2x-y=0或x+y-3=0 故答案为：2x-y=0或x+y-3=0. 题型05直线中的对称问题 【典例1】(25-26高二上云南昭通期末)一条光线从点A(,2)射出后，与x轴相交于点 B(5,0),经x轴反射，则反射光线所在直线方程为() A.2x-y+5=0 B.2x+y+5=0 C.x+2y-5=0 D x-2y-5=0 【答案】D 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为2，且经过点B(5,O),结合直线的点斜式 方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点(L,-2)和点B(5,0),结合 直线的两点式方程运算求解。 2-01 【详解】法一：由题可知：直线AB的斜率大=1-5=2，则反射光线所在直线的斜率 1 为2， 且反射光线所在直线经过点B(5,0),所以反射光线所在直线方程为y=(x-5),即 x-2y-5=0 法二：因为点A(山，2)关于x轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经 过点（山-2）和点B(5,0), y-0x-5 所以反射光线所在直线方程为2-01-5，即x-2y-5=0 故选：D 【典例2】(25-26高二上浙江宁波期中)已知直线x+2y-3=0与直线x+4y+b=0关于 点A(2,0)对称，则实数b=() A.2 B.1 C.-2 D.-1 【答案】C 【分析】根据题意得到直线x+2y-3=0与直线ar+4y+b=0平行，从而得到a=2,再根据 直线x+2y-3=0上取一点(1,1)，得到关于点A(2,0)的对称点(3，-)，代入直线即可得 到答案 【详解】因为4(2,0)不在直线x+2y-3=0上， 且直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(2,0)对称， 所以直线x+2y-3=0与直线ar+4y+b=0平行， I a 即2=-4，解得a=2 在直线x+2y-3=0上取一点P(1,1) P(1,)关于点A(2,0)的对称点为2(3，-1)， 将(3，-1)代入直线2x+4y+b=0,解得b=-2. 故选：C 【变式1】(25-26高二上湖南邵阳阶段检测)直线x-2y-1=0关于直线y+x=0对称的 直线方程是() A.2x+y+1=0 B.2x-y-1=0 C.2x-y+1=0 D.x-2y+1=0 【答案】B 【分析】利用(x,)关于直线y+x=0的对称点为(-少-)求解 【详解】设(x,y)为所求直线上的任意一点， (x,y)关于直线y+x=0的对称点为（少，-x), 则(-y,-x)在直线x-2y-1=0上， 则(-)-2(-x)-1=0,整理得到2x-y-1=0即为所求 故选：B. 【变式2】(25-26高二上山西太原·阶段检测)一条光线沿直线2x-4y-1=0入射到直线 x+y=0后反射，则反射光线所在的直线方程为(） A.4x-2y-1=0 B.4x-2y+1=0 C.4x+2y+1=0 D 4x+2y-1=0 【答案】A 【分析】由反射光线所在直线与直线2x-4y-1=0关于直线x+y=0对称，利用对称性求 出在反射光线上的两个点坐标，再由点斜式写出方程，即可得， 【详解】由题意，反射光线所在直线与直线2x-4y-1=0关于直线x+y=0对称， 6 联立「2x-4y-1=0,可得 1,则它们的交点为 11、 x+y=0 y= 6 66 又点（与0）在直线2x-4y-1=0上，令点(0)关于x+y=0的对称点为(a,b): b 2了1 a 2 所以 ,可得「a=0,则点 在反射光线所在直线上， 2+b-0 a+ b= 2 2 2 (0,-2 综上，点后名、02均在反射光线所在直线上， 11、 11 一十 1 所以，所求直线为y+2 62.(x-0),即 -0 6 4x-2y-1=0 故选：A 【变式3】(25-26高二上新疆阶段检测)一条光线从点A(0,1)射出，经x轴反射，反射 光线刚好经过点B(3,2),则反射光线所在直线的方程为. 【答案】x-y-1=0 【分析】由反射光线所在直线与入射光线所在直线关于x轴对称，可知反射光线所在直线 经过点A(0,1)关于x轴对称的点4'(0，-)，由此求出反射光线所在直线的方程. 【详解】由入射光线和反射光线的对称性可知，反射光线所在直线经过点A(0,1)关于x轴 对称的点A'(0,-l), 2-（0-1, 由A(0,-)和(3,2)确定反射光线所在直线的斜率为3-0 所以反射光线所在直线的方程为y=x-1,即x-y-1=0. 故答案为：x-y-1=0 题型06圆的方程 【典例1】(2026贵州遵义·模拟预测)己知圆M经过点A(2,0),B(0,2),C(6,4),则圆M 的标准方程为() A.(x-3)+(y-32=10 B.(x-3)2+(0y+3)2=10 c.(x-1)2+(y-1)=10 D.(x-4)+(y-2)2=10 【答案】A 【分析】设圆M的标准方程为(x-a)+(y-b)=r2(r>0),代入A,B,C三点坐标解方程 组可得答案。 【详解】设圆M的标准方程为(x-a)+(y-b)=2(r>0), 因为圆M经过点A(2,0),B(0,2),C(6,4),所以 (2-a)}+(0-b)}=r2 4-4a+a2+b2=r2 (0-a}+(2-b)=r2,即a+4-4b+b2=r2 (6-a)2+(4-b)}2=r2 36-12a+a2+16-8b+b2=r2 a-b=0 化简得1a+b=6' a=3 解得b=3,代入方程得，2=10' 则圆M的标准方程为(x-3)+(y-3)=10 故选：A. 【典例2】(2026高二全国专题练习)已知圆C的圆心在直线y=-x+5上，且圆C过点 (2,6),(5,3). (1)求圆C的一般方程： (2)若圆C'与圆C关于直线x+2y-2=0对称，求圆C'的标准方程. 【答案】(1)x2+y2-4x-6y+4=0 【分析】(1)设圆的一般方程x+y+Dx+y+F=0,结合已知列方程求解D,E,F的 值，即可求得圆的一般方程： (2)由于圆C'与圆C关于直线x+2y-2=0对称，根据点关于直线对称坐标特点求得C 的坐标，则得圆心C,由对称可知半径不变，故可得圆C的标准方程 【详解】(1)设圆C的方程为+y+Dx+Ey+F=0,(D+E-4F>0),其圆心为 c5, 己知圆C的圆心在直线y=-x+5上，且圆C过点(2,6)，(5,3)， 40+2D+6E+F=0 则34+5D+3E+F=0,解得 D=-4 E-D. E=-6'即圆C的方程为 (22+5 F=4 x2+y2-4x-6y+4=0 (2)由(1)得圆C的圆心C(2,3),半径r=3, 设圆C'的圆心坐标为C'(x,),:圆C'与圆C关于直线x+2y-2=0对称， -3 =2 2 -2 则有 +2+2x%+3-2=0 解得 即29 2 %=-5 C55) 2)2 92 “圆c的标准方程为x+5+y+5 =9 【变式1】(25-26高二上江西景德镇期末)己知圆C的圆心为点C,其在直线 x-2y+4=0上，且与x轴交于两点A(-5,0)、B(1,0): (1)求△ABC的面积； (2)求圆C的标准方程； (3)已知Q(2,),点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程. 【答案】(1)3 (2)(x+2)+(y-1)2-10 2+0-- 【分析】(1)求出线段AB的中垂线方程，分析可知点C为直线x-2y+4=0与线段AB中 垂线的交点，联立两直线方程，可得出点C的坐标，即可求得△ABC的面积： (2)求出圆C的半径，即可得出圆C的标准方程 x=2x-2 (3)设点P(k,)M(化，小利用中点坐标公式得出=2y-1,再将点p的坐标代入 圆C的方程，化简可得出点M的轨迹方程。 【详解】(1)因为A(-5,0）、B(L,0),所以线段AB的中垂线方程为x=-2, 易知点C为直线x=-2与直线x-2y+4=0的交点， [x=-2 联立x-2y+4=0得=1，故点C(-2,）故m46x1-×6x1=3 x=-2 (2)由(1)可知圆c的半径为BC=V1+2)}'+(0-1)}=10, 故圆C的标准方程为(x+2)+(0y-1=10. x=。+2 2 (3)设点 ， 由线段中点坐标公式可得 所以「x。=2x-2, P(xo,yo)M(x,y) =6+1, 2 %=2y-1 因为点p在圆c上，所以(2x-2+2+2y-1-=10,化简得2+0-- 故点的轨迹方程为2+0-= 【变式2】(25-26高二上山西朔州期末)已知圆C经过A(3,2),B(5,4)两点，且圆心C在 直线2x+y-10=0上. (1)求线段AB的中垂线I的方程： (2)求圆C的标准方程。 【答案】(1)x+y-7=0 (2)(x-3)2+(0y-4)2=4 【分析】(1)求出A,B的中点M坐标、线段AB的中垂线I的斜率，利用直线的点斜式方 程可得答案； (2)求出圆心坐标、圆C的半径可得答案. 4-2-1 【详解】(4)由43,2，B5,4)可知其中点M(4,3)ka=5-3 设线段AB的中垂线I的斜率为k, 则k·kB=-1,k=-1。 易知l过点M,所以：y-3=-(x-4),即：x+y-7=0: [2x+y-10=0x=3 (2)由x+y-7=0解得y=4:故圆心坐标为(3,4)： 圆C的半径为r=V3-3)2+(4-2)2=2, 故圆C的标准方程为(x-3)2+(0y-4)2=4 【变式3】(25-26高二上·安徽蚌埠期末)在平面直角坐标系中，已知直线：x+2y-4=0 (1)求过点A(4,0)且和l垂直的直线的方程： (2)若圆C经过A(4,0),B(2,2)两点，且圆心在直线x+y=0上，求圆C的标准方程， 【答案】(1)2x-y-8=0 (2)(x-1)2+6y+1)2=10 【分析】(1)先由垂直关系求出和垂直的直线的斜率，再由点斜式求出其直线的方程： (2)由圆经过A(4,0),B(2,2)两点，根据圆心到两点的距离均等于圆的半径建立方程求出 圆心和半径即可得答案： 【详解】(1)由题意，直线的斜率k=-) 29 则所求直线的斜率52， 代入点斜式方程得y-0=2(x-4), 过点A且和I垂直的直线的方程为2x-y-8=0 (2)设圆心C为(a,b),半径为r :圆心在直线x+y=0上，∴.a+b=0,则点C为(a,-a), 由题意可得ACHBCEr, 则V(a-4)2+(-a-0)2=Va-2)2+(-a-2),解得a=1, .圆心C的坐标为L,-),半径r=√10， 圆C的标准方程为x-12+0+1)2=10 题型07切线和切线长问题 【典例1】(26-27高三全国一轮复习)由直线y=x+1上的一点向圆x-6x+y+8=0引 切线，则切线长的最小值为() A.1 B.2V2 c.万 D.3 【答案】C 【详解】圆x2-6x+y2+8=0即为(x-3+y2=1,可知圆心为C(3,0),半径r=1, 在直线y=x+1上取一点P,过P向圆引切线，设切点为A,连接CA, 在RtAPAC中，CA=r=1.要使PA最小，则PC应最小 3-0+1-2N2 又当PC与直线垂直时，PC最小，其最小值为V2 故P的最小值为V22-P=√万 【典例2】(25-26高二下·上海期中)已知圆M与直线V5x+y+2=0相切于点(-V3,1), 圆心M在y轴上. (1)求圆M的标准方程： (2)过点R(2,5)作圆M的切线，求切线的方程： 【答案】(1)x2+(y-2)2=4 (2)x=2或5x-12y+50=0. 【分析】(1)利用圆心与切点的连线垂直于切线，通过斜率关系求出圆心坐标，再计算半 径得到圆的标准方程。 (2)分斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径，求出过定点的圆的 切线方程 【详解】(1)设M(0,b),由圆与直线V3x+y+2=0相切于点(-V3,1), b-1√3 得0-（5)3，解得6=2'所以M0,2) 则圆M半径r=V(-V3-0)2+(1-2)2=2, 所以圆M的标准方程为x2+0y-2)2=4. (2)当切线斜率不存在时，直线为x=2,显然圆心M(0,2)到直线x=2的距离为2，等 于半径， 所以直线x=2与圆M:x2+(0y-2)2=4相切： 当切线斜率存在时，设切线方程为y-5=k(-2),即：-y+5-2k=0, |3-2k 由圆心到切线的距离为2得，+k 2,解得k=) 则y-5= )-2,整理得5x-12y+50=0 综上，切线方程为x=2或5x-12y+50=0. 【变式1】(25-26高二上江苏无锡期中)过点P(1,2)作圆C:(x-3+y=8的切线， 则切线方程为 【答案】x-y+1=0 【分析】先验证点P在圆C上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理， 【详解】将点P(1,2)代入圆C的方程左侧(1-3)+22=(-2+4=8，与右侧相等， 所以点P在圆C上， 由圆C的标准方程(x-3+y2=8,得圆心C的坐标为(3,0)， 大名智1所以切酸斜率为： 所以过点P(1,2)的切线方程为y-2=1(x-),即x-y+1=0. 【变式2】(25-26高二下·上海期中)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,过点P(5,1)作圆 C的切线I,求切线的方程 【答案】y-1=0或24x-7y-113=0 【详解】圆C:x2+y2-2x+4y-4=0即(x-1)2+(y+2}=9, 所以圆心为C(山，-2)，半径r=3, 过点P(5,1)作圆C的切线1， 所以切线1的斜率存在，设切线1的方程为y-1=k(x-5),即x-y-5k+1=0, 所以d=+2- .3 Vk2+(-1)2 解得。或k=24 k=0 7 所以切线1的方程为y-1=0或24x-7y-113=0 【变式3】(25-26高二上广东潮州期末)已知圆E经过点A(-2,5),B(4,),且圆心在 直线y=-x上 (1)求圆E的方程： (2)求过点P(-2,1),且与圆E相切的直线的方程. 【答案】(1)(x+3)2+0y-3)2=5 (2)x-2y+4=0 【分析】(1)将A、B坐标代入圆的标准方程，得到关于a和r的方程并求解即可： (2)判断点P与圆的位置关系，进而根据切线和半径几何关系和点斜式求解方程， 【详解】(1)设圆心E(a,-(圆心在y=-x上)，圆的标准方程为： (x-a)2+(y+a)2=r2, (-2-a)}+(5+a)2=r2 因为圆过 和 ,代入两点得： A(-2,5)B(-4,1) (-4-a2+1+a)2=r2” 展开化简得：4a=-12,解得a=-3,即圆心E(-3,3), 则2=(-2+3}2+(6-32=5， 所以圆E的方程为(x+3)2+0y-3)2=5 (2)点P(-2,1)代入圆方程左边得-2+3)2+1-32=5=r2, 因此P在圆E上，过P的切线仅有1条， 半径印所在直线的制率为：，-之，初线与半径重直， 1 因此切线斜率k=2由点斜式得切线方程：y-1=2+2), 整理得：x-2y+4=0 题型08弦长问题 【典例1】(25-26高二上上海虹口期中)己知圆C:x+0y-1)2=5,直线1： mx-y+2-m=0,设直线与圆相交于A,B两点 (1)若直线恒过定点D,求出点D坐标： (2)求弦AB中点的轨迹方程： (3)相交弦AB长度的最小值及相应的m的值. 【答案】(1) 定点D的坐标为(，2)： (2) 弦，中点的轨迹方程为 AB (3) 弦AB长度的最小值为2V3,对应的m=-1。 【分析】(1)分离参数求直线恒过定点： (2)利用垂径定理的垂直关系推导中点轨迹： (3)结合弦长公式与距离最值求最短弦长及对应参数 【详解】(1)对直线l的方程变形：将mx-y+2-m=0整理为m(x-1)+(2-y)=0, x-1=0 即定点D的坐标为L,2) (2)设弦AB的中点为M(x,y),圆C的圆心为C(0,),由垂径定理可得CM1AB 因为M在直线I上，直线l恒过D(1,2),故CM⊥MD,即CM·DM=0, 代入CM=(x,y-1),DM=(x-1,y-2)得：x(x-1)+y-1)y-2)=0, 展开并配方（一 该轨迹为圆。内部的圆弧： (3)设圆心C到直线I的距离为d,圆C的半径R=5, 由弦长公式得|AB上2WR2-d严=2N5-d,因此d最大时1AB最小， 由于直线l恒过定点DL,2),故dCDL,当且仅当CD⊥l时d取最大值CDL, 计算得1CDV1-02+(2-1)2=V2,|4Bin=2V5-(W2)2-2V5 此时直线CD的斜率合1，由CD1得。m-,解得m小 【典例2】(24-25高二下·上海期中)已知圆C:x+y-8y+12=0,直线1：ax+y+2a=0 (1)当a为何值时，直线与圆C相切： (2)当直线I与圆C相交于A、B两点，且AB=2W2,求直线I的方程. 【案灯创号 (2)7x-y+14=0或x-y+2=0 【分析】(1)利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求解： (2)根据弦长和半径求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式构建关于（的方程. 【详解】(1)解：圆C:x2+y2-8y+12=0,即x2+(y-4)=4, 则圆心C(0,4),半径r=2,又直线1与圆C相切， 4+2a 所以圆心c(0,4)到直线，的距离d=】 =r=2 Va2+1 、3 解得a=一4； (2)解：AB=2Wr2-d2=2V4-d2=22, 解得，=石·则口：2-5. √a2+1 解得a=-7或a=-1, 则直线I的方程为7x-y+14=0或x-y+2=0 【变式1】(25-26高二上江苏南通阶段检测)已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=1. (1)过点P(3,5)作圆C的切线1，求1的方程： (2)已知直线AB:x+2y-7=0,判断直线AB与圆C的位置关系；如果相交，求直线AB被 圆C所截得的弦长. 【答案】(1)x=3或3x-4y+11=0, 4v5 (2)相交： 5 【详解】(1)圆C:(c-2}+(y-3°=1，.圆心为C(2,3),半径为1 由(3-2+(5-3)=5>1，点P(3,5)在圆C外 ∴.当直线I的斜率不存在时，直线的方程为x=3,此时圆心C到直线1的距离为1，即直线 1与圆相切： 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y-5=k(x-3),即-y-3k+5=0, 此时圆心C(2,3)到直线，的距离d 2k-3-3k+5_2-A=1,解得k- Vk2+1Vk2+1 4 :直线的方程为-5=-)，即3-4+1-0 综上所述，直线的方程为x=3或3x-4y+11=0. (2)直线AB与圆C相交，理由如下： ~圆心C(2,3),AB:x+2y-7=0, :圆心c到直线4B的距离为d 2+2x3-1=5<1,故直线4B与圈C相交 V12+22 直线被圆所截得的弦长=2VP-dP=2,1 45 5 5 AB C 【变式2】(25-26高二下上海阶段检测)己知直线1：2x-3y+1=0,点A(-1,-2). (1)直线关于点A对称的直线m的方程： (2)以A为圆心，3为半径作圆，直线n过点M(2,-)且被圆A截得的弦长为4v2,求直线 n的方程. 【答案】(1)2x-3y-9=0 2)y=-1或3x-4y-10=0 【分析】(1)设P(x,)为直线m上的任意一点，先求出点P(x,)关于点A(l,-2)的对 称点，再代入直线的方程即可求解： (2)根据圆的几何性质可求得圆心4(-山，-2)到直线n的距离为1，再分直线n的斜率不存 在、存在两种情况讨论求解即可 【详解】(1)设P(x,y)为直线m上的任意一点， 而点P(x,y)关于点A(-山，-2)的对称点为P'(-2-x,-4-y), 则P(-2-x,-4-)在直线1上， 代入直线1得，2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0, 则直线关于点A对称的直线m的方程为2x-3y-9=0, (2)由题意，直线n被圆4截得的弦长为4√2，而圆A的半径为r=3, 则圆心 (-1,-2)到直线的距离为d 42 V9-8=1. 2 当直线n的斜率不存在时，直线n的方程为x=2, 此时圆心A(-山，-2)到直线n的距离为3，不满足题意： 当直线n的斜率存在时，设直线n的方程为y+1=k(x-2),即a-y-2k-1=0, 上2-1，解得-0或k=子 Vk2+1 所以直线n的方程为y=-l或3x-4y-10=0 【变式3】(25-26高二上·上海宝山期末)已知直线：r+2y+6=0,直线2： x+(a-1)y+a2-1=0 (1)当/1几2时，求a的值： (2)若4与圆C:x2-2x+y2+4y-3=0的相交弦长为26，求直线马的方程 【答案】(1)a=-1: (2)x+y+3=0 【分析】(1)由两直线平行的条件求解，注意检验： (2)由弦长求得圆心到直线的距离，再结合点到线的距离公式列出等式求解即可 【详解】(1)由题意a(a-)-2=0,解得a=2或a=-1, a=2时，两直线方程都是x+y+3=0,重合，不合题意： a=-1时，两直线方程为x+2y+6=0,x-2y=0,平行. 所以a=-l； (2)由x2-2x+y2+4y-3=0, 可得(x-1)+(y+2)2=8 所以圆C(1,-2),半径为2√2， 因为1与圆C:x2-2x+y2+4y-3=0的相交弦长为2V6 所以圆心C(1-2)到直线1：ax+2y+6=0的距离d=(22-6=V2, a-4+6-2 即√a2+4 解得：a=2, 即直线方程为：x+y+3=0. 题型09三角形面积问题 【典例1】(25-26高二上浙江嘉兴期末)己知圆C经过A(4,2)、B(4,0)两点，且圆心C 在直线：x-2y+1=0上 (1)求圆C的标准方程： (2)若直线m:3x+4y-12=0与圆C交于P、卫两点，求△CP的面积. 【答案】(1)(-1)+(y-1)2=10 (2)3 【分析】(1)解法一：将线段AB的中垂线方程与直线！的方程联立，求出圆心C的坐 标，可求出圆C的半径，由此可得出圆C的标准方程： 解法二：设圆心为C(2-1,),根据4C=BC,结合平面内两点间的距离公式可得出关于 t的方程，解出t的值，可得出圆心C的坐标，可求出圆C的半径，由此可得出圆C的标准 方程： (2)求出圆心C到直线m的距离，利用勾股定理求出P,再利用三角形的面积公式可 求得△CPO的面积， 【详解】(1)解法一：因为A(4,2)、B(4,0),所以线段AB的中点坐标为(4,1)，且 AB⊥x轴， 所以AB的垂直平分线为y=1 由垂径定理可知，圆心C在线段AB的垂直平分线上也在直线I上， y=1 x=1 联立x-2y+1=0解得y=1,所以圆心c的坐标为(，1) 圆的半径为r=4C=V4-1)2+(2-1=V10, 所以，圆C的标准方程为(x-)+(y-1)2=10 解法二：设圆心的坐标为C(2t-1,t), 因为圆C经过A(4,2)、B(4,0)两点，所以AC=BC, 可得(21-5)}+-2)}=(21-5)}+，解得t=1,故圆心为(1，). 所以2=(4-1)+(2-1)2=10. 则圆C的方程为(x-1)+(y-1)=10 2)圆心0到直线m:3x+4y-12=0的距离为d=P二 V32+42 数Pg-2F--2i0=6,所以5w分Pgd-x6x1=3, 故△CPO的面积为3. 【典例2】(25-26高二上四川广元期末)已知圆C:x2+y2-2x-15=0内有一点P(-1,2) ,过点P且倾斜角为u的直线I与圆C交于A,B两点. (1)当弦AB被点P平分时，求直线的方程和的值： (2)若Sc=4V3,求直线1的方程. 【答案】)x-y+3=0,a= 4 (2)x=-1或y=2 【分析】(1)求出圆心和半径，由垂径定理得直线l的斜率为1，故tan=1,从而得到 4,并求出直线，的方程： (2)分α=90°和a≠90°两种情况，由垂径定理可得弦长，结合三角形面积得到方程，求 出答案 【详解】(1)C:x2+y2-2x-15=0→(x-1)°+y2=16,故圆心为C(1,0),半径为4， e铝山 当弦AB被点P-L,2)平分时，由垂径定理得直线I的斜率为1，故tana=1, 所以a=年，所以直线/的方程为)y-2=+1,即-y+3=0: (2)当a=90°时，C:x2+y2-2x-15=0中， 令x=-1得，（-)+y2+2-15=0,解得y=±2√5，故AB=45, 又C00)到直线x=-1的距离为2，救5c4B2=45,清足要求： 当a≠90°时，设直线1的方程为y-2=k(x+),即-y+k+2=0, 点C0,0)到直线y+k+2-0的距离为d=长-0+6+2_l2+2 Vk2+1Vk2+11 又Al=2④-dF，Sc=4W5,故4B卧d=军-dF.d=4W5, 解得d=2或2W5, 2+品-2，解科g=0直线方程为y=2 当d=2时，+i 当d=25时， 以-25，变形得到-k+1=0方程无解 Vk2+1 综上，直线方程为x=-1或y=2. 【变式1】(25-26高二上天津津南阶段检测)已知圆C的半径为3，圆心C在射线 4x+3y=0(x≥0)上，直线x+y-1=0被圆C截得的弦长为2V7. (1)求圆C的标准方程； (2)过圆心的直线I与圆C交于M、N两点，且△OMN的面积是9(O为坐标原点)，求直 线的方程 【答案】(1)(x-3)2+(0y+4)}=9 (2)x=3或7x+24y+75=0 【分析】(1)设圆心坐标为(3,4)，其中1≥0，利用勾股定理定理求出圆心到直线 x+y-l=0的距离，结合点到直线的距离公式可得出关于t的等式，解出的值，可得出圆 心坐标，进而可得出圆C的标准方程： (2)由已知得出MN=6,利用三角形的面积公式可求出点0到直线1的距离，对直线1的 斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存 在时，设直线1的方程为y+4=k(x-3),利用点到直线的距离公式求出k的值，综合可得 出直线的方程 【详解】(1)根据题意，不妨设圆心坐标为(31，-4)，其中≥0， 由题意可知，圆心C到直线x+y-1=0的距离为d=V32-7=V2, 由点到直线的距离公式可得d=B--」上E, √2V2 因为1≥0，解得1=1，故圆心为C(3,-4),故圆C的标准方程为(x-3)+(y+4=9. (2)因为过圆心的直线I与圆C交于M、N两点，则MN=2×3=6, 设点O到直线，的距离为，则Sm-=MA=x6xh=9,解得有=3 若直线的斜率不存在，此时直线1的方程为x=3,则原点到直线的距离为3，符合题 意， 若直线1的斜率存在，设直线1的方程为y+4=k(x-3),即c-y-3k-4=0, 由点到直线的距离公式可得h= 4-3，解得k= Vk2+1 24 此时直线，的方程为y+4=- b4x-3.即7x+24+75=0 综上所述，直线1的方程为x=3或7x+24y+75=0 【变式2】(25-26高二上·天津滨海新区阶段检测)已知直线：x-y+m=0和圆 C:x2+y2=4,0为坐标原点 (1)直线与圆C相切时，求m的值： (2)当m=4时，P为直线1上的动点，过P作圆C的切线，切点为T,求PT的最小值： (3)直线1与圆C相交于A、B两点，△AOB的面积为V5,求直线I的方程. 【答案】(1)m=±22： (2)2: 3)x-y±V6=0,x-y±V2=0. 【分析】(1)由题意结合点到直线距离公式建立等式计算即可求解： 2)由题意可得PT=VOP-2,当OP取最小值时，PT也最小，结合点到直线距离 公式计算即可求解： (3)由。4OB的面积为，5可得∠A0B= 3或∠A0B=2 ,分两种情况结合点到直线距离 公式计算即可求解 【详解】(1)圆C:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2, 因为直线与圆C相切， 10-0+m 所以P+( =2 ,解得 m=t2v2 x2+y2+=4 (2)由题意可知，OT⊥PT, 所以PT=oP-2, 当OP取最小值时，PT也最小， 当m=4时，直线：x-y+4=0, 叫得a5.p1-w可-2 V2+(-102 V x2+y2+=4 (3)因为Sa=0406sn∠40B=2sin∠A0B=V5, 所以sin∠A0B=5 即∠408=或∠408- 3 当∠A0B= 3时，△4OB为等边三角形， 此时圆心0(0,0)到直线，的距离为rsim=5, 3 0-0+m 则P+( =5 解得 =t√6 此时直线1：x-y±V6=0 当∠408-行时，此时4OB为等限三角后，且∠01B=20B1- 61 此时圆心0(0,0)到直线，的距离为rsn=1, 6 0-0+m 则P+(- F解 'm=t√2 此时直线：x-y±V2=0: 综上：直线的方程为x-y±V6=0,x-y±V2=0 x2+2+=4 【变式3】(25-26高三上·云南临沧期中)在平面直角坐标系x0少中，已知圆 C:x2+y2-8x-2y+12=0,经过点P(3,-2)的直线1与圆C交于A,B两点. (1)若AB=4,求直线I的方程： (2)求△ABC的面积的最大值. 【答案】(1)x=3或4x-3y-18=0 22 【分析】(1)根据弦长得到圆心到直线的距离，然后分斜率存在和斜率不存在两种情况讨 论即可； (2)根据面积公式得到S4C,然后利用基本不等式求最值即可： 【详解】(1)因为圆C:x2+y2-8x-2y+12=0,所以(x-4)2+0-12=5, 所以圆C的圆心为C(4,),半径为√5. 设圆心C到直线1的距离为d,则AB=2V5-d2=4,所以d=1. 当直线1的斜率不存在时，：x=3,，此时d=1· 当直线1的斜率存在时，设直线1的斜率为k，则：y+2=k(x-3), 人=1，所以k=音所以15+2--)，即4-3-18=0· 所以P+k 综上可知：直线1的方程为x=3或4x-3y-18=0. (2)。1BC的商积5e方xd25-G。 由△ABC的性质可知0<d<V5, 所以5m-(6-49s+5-）5 2 当且仅当a2=6-4)时，即4=四 时等号成立， 所以△ABC的面积的最大值是2 题型10圆与圆的位置关系 【典例1】(25-26高二下·浙江开学考试)圆℃：(x-1)+y2=2与圆 C2:(x-t}+(y-4)=1(teR)的位置关系是() A.外离 B.相交 C.相切 D.内含 【答案】A 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系判断即可。 【详解】圆G:(x-+y2=2的圆心为C(1,0),半径为=V2: 圆C,:(x-)+(y-4)°=1(teR)的圆心为C(亿，4)，半径为2=1. 所以CC=V-12+(4-0}=V-1+42≥V④=4>2+1， 即CC>片+5，所以圆C:(x-)+y2=2与圆C2:(x-°+(0y-4)=1(t∈R)外离 【典例2】(25-26高二下湖南衡阳开学考试)若圆0：x2+y2=1与圆 O2:(x-a)2+(y-2a)=4没有公共点，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】根据两圆的位置关系，结合圆心距、两圆半径和差之间的关系进行求解即可， 【详解】由已知得O(0,0),半径r=1,0,(a,2a),半径R=2. 因为0,0=Va2+4a2=V51al,两圆没有公共点， 所以两圆的位置关系为外离或内含， 所以OO>R+r或O,O,<R-r, 即V51a>3或51ak1, 所以/a535 或/ak 5,即a35 5或 所以安数台取克国}5S 故答案为： （x59sw 【变式1】(25-26高二上北京朝阳期中)己知圆C:(x+1)+(0y-1)=1与圆 C2:(x-2)}+(y+3)=a+13外切，则a=() A.-9 B.-4 C.1 D.3 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解。 【详解】圆C:(x+1)+(y-)=1的圆心C(-1,1),半径5=1， 圆C2:(x-2)+(0y+3}=a+13的圆心C2(2,-3),半径5=Va+13, 由圆C,C2外切，得CC=1+2,即V32+4=1+Va+13, 所以a=3. 故选：D. 【变式2】(25-26高二上陕西汉中阶段检测)已知圆M:(c-a+y2=2与圆 N:x2+(y-a)=8相交，则a的取值范围为() A.（2,-1U(,2) B.（-2,-1)U(1,2) c.（-3,-1)u(1,3) D.（-22,-2)U(2,22) 【答案】C 【分析】根据两圆相交的判断方法得到不等式组，解出即可 【详解】由题知圆M的圆心为(a,0),半径为√2，圆N的圆心为(0，a),半径为22， MN=V2d. 若圆M和圆N相交，则22-V2<V2a<22+2,解得-3<a<-1或1<a<3. 故选：C 【变式3】(25-26高二上河北期中)己知圆C:(c+2+(y+3=r2(r>0)与圆C,: (x-1}+(y-)=1没有公共点，则r的取值范围是 【答案】(0,4)U(6,+∞) 【分析】根据两圆无公共点，可知两圆外离或者内含，根据圆心距和两圆半径的关系即可 求解。 【详解】圆C的圆心坐标为C（-2,-3),半径为r(r>0): 圆C,的圆心坐标为C(1,),半径为1，则CC=V-2-)+(-3-1)}=5, 因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或内含， r+1<5 r-1>5 若外离： →r>6 r>0 →0<r<4;若内含： r>0 综上：r∈(0,4)U(6,+o)」 故答案为：(0,4U(6,+∞)】 题型11两圆公共弦方程和公共弦长 【典例1】(25-26高三下河南驻马店阶段检测)已知圆C:x2+y2-4x-2y=0与 C2:x2+y2-2x-5=0,则圆C与圆C的公共弦长为 V78 【答案】 2 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定 理求弦长即可 5 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程x+y一 0 圆C2:(x-1)2+y2=6,其圆心C(1,0),半径r=6, 1+0-5到3 则圆心到直线x+y-；=0的距离为 2_2=32,则两圆的公共弦长为 2 V24 6 082· 【典例2】(25-26高二下·上海浦东新期中)己知两圆x2+y-2x-6y+1=0和 x2+y2-10x-12y+m=0.求： (1)m取何值时两圆外切？ (2)当m=45时，两圆相交于A,B两点，求公共弦AB所在的直线方程及AB. 【答案】(1)57 2)4x+3y-2=0,AB=24 【分析】(1)求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； (2)利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可 【详解】(1)由圆x2+y2-2x-6y+1=0,即x-1)2+0-3)2=9, 则圆心为(1,3)，半径为5=3， 圆x2+y2-10x-12y+m=0,即(x-5)2+(y-6)2=61-m, 则圆心为(5,6)，半径为5=61-m,m<61, 因为两圆外切，所以两圆圆心距为V1-5)2+(3-6)=5=片+5， 即3+V61-m=5,解得m=57 (2)当m=45时，两圆方程相减得：8x+6y-44=0,即4x+3y-22=0, 所以两圆的公共弦AB所在直线的方程为4x+3y-22=0, 圆心(L,3)到直线4r+3y-2=0的距离为d= 4+9-22_9 V42+325, 所以公关在长为=2FF-2多 【变式1】(2026高三下四川成都专题练习)已知圆C:x2+y=4,圆 C2:(x-2}+0y-2)=8,则圆C和圆C的公共弦长为 【答案】14 【分析】先用两圆方程相减得到公共弦方程，再用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦 的距离，最后用勾股定理即可求解。 【详解】圆C:x2+y=4,圆心为(0,0)，半径为r=2: 圆C2:(x-2+(y-2=8,圆心为(2,2)，半径为R=22: 圆心距d=V22+22=2√2， 因为R-=2√2-2<d<R+r=2V2+2,所以两圆相交 两圆方程相减得公共弦方程为：-4x-4y+4=0,即x+y-1=0, 故圆心(0,0)到公共弦的距离4= V+122 公共弦长为： 【变式2】(25-26高二下河南开封开学考试)已知圆℃：x2+y-4x-6y+9=0. (1)过点P(3,5)作圆C的切线1，求1的方程： (2)若圆C,:x2+y+2x-4y-4=0与圆C相交于A、B两点，求公共弦AB所在直线的方程 及公共弦AB的长 【答案】(1)y=5或4x+3y-27=0 3W6 (2)6x+2y-13=0' 2 【分析】(1)求出圆心和半径，求出PC的值判断出P在圆G的外部，分别按照切线不 存在斜率时和切线存在斜率讨论求解，当切线的斜率存在时，利用点斜式设出切线方程， 求出圆心C(2,3)到直线切线的距离d,由d=r得到k的方程，解出k的值，将k代入切线 方程得到所求。 (2)两圆相减得到公共弦AB所在直线的方程：求出圆心C(2,3)到直线AB的距离为d, 则AB=2P2-d计算得解. 【详解】(1)C:x2+y2-4x-6y+9=0,(x-2+(y-3)=4, .C(2,3),r=2, :P3,5),PC=V3-2}+(5-3)}=5>2=r, P在圆C的外部， 当切线不存在斜率时，切线方程为x=3, 此时圆心C(2,3)到直线x=3的距离为1≠2， 则直线x=3不是圆C的切线： 当切线存在斜率时，设切线方程为y-5=k(x-3), 即-y-3k+5=0 圆心C(23)到直线x-y-3认+5-0的距离为d 2k-3-3k+5_上k+2=2 Vk2+1 Vk2+1 解得-0或=手 当k=0时，切线方程为y-5=0,即y=5； 当长=专时，切线方程为y-5=x-3).即4r+3y-27-0 综上可得，切线1的方程为y=5或4x+3y-27=0. (2)C:x2+y2-4x-6y+9=00, C2:x2+y2+2x-4y-4=0②， ①②这两个等式相减，得到-6x-2y+13=0,即6x+2y-13=0, 则公共弦AB所在直线的方程为6x+2y-13=0, 圆心C(2,3)到直线6r+2y-13=0的距离为d= 6×2+2×3-13_|51-10 V62+22 404 6 即公共弦AB的长为2 【变式3】(25-26高二上辽宁抚顺期末)已知圆C经过4(2,0)，B(4,-2)两点，且圆心C在 直线x+3y-4=0上. (1)求圆C的方程： (2)已知圆D:(x-2)+(y-2)'=1,求圆C与圆D的公共弦MN的方程以及公共弦MN的 长 【答案】(1)(x-4)2+y2=4 14 (2)4x-4y-5=0'4 【分析】(1)先求出线段AB的中垂线方程，然后再与直线x+3y-4=0联立可求得圆心 C(4,0),再求出半径R=2,即可求解： (2)将圆C与圆D的方程相减，得公共弦MN所在直线的方程为4x-4y-5=0,再利用 垂径定理可求公共弦的弦长， -2-0 【详解】(4)由题可知直线4B的斜率为42=-1，线段4B的中点坐标为3，-： 线段AB的中垂线方程为y+1=x-3,所以圆心C在直线y=x-4上， 又圆心C在直线x+3y-4=0上， y=x-4 x=4 由x+3y-4=0' 得 y=0, 所以圆心C(4,0) 又R=AC=2 所以圆C的方程为(x-4)2+y2=4. (2)将圆C与圆D的方程相减，得公共弦MN所在直线的方程为4x-4y-5=0, 前以圆心C0到直线的距离d-4年05引. √42+48， 又圆的半径R=2所以由圆的弦长公式得MN=2√R2-dP24-321-14 4 14 故公共弦MN的方程为4x-4y-5=0:公共弦MN的长为4 题型12与圆有关的最值问题 【典例1】(25-26高二下河南平顶山期末)已知a∈R,则圆(x-a)}+(y-2a)2=9上任 意一点到直线3x-4y+5a+10=0的距离的最大值为() A.2 B.3 c.5 D.6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值， 【详解】该圆的圆心为(a,2a),半径为3，圆心到直线3x-4y+5a+10=0的距离为 0-8+50日2所以该圆上任意一点到该直线班离的最大值为235 V32+(-4)2 【典例2】(25-26高二上江苏常州期末)己知直线：x+4y-2a-2=0(a∈R)与圆 C:(x-+y2=4,则圆C上一点P到直线的距离最大值为() A.V5-2 B.V5+1 C.V5+2 D.V5-1 【答案】C 【详解】直线1可化为a(y-2)+(x-2)=0」 所以直线1经过直线y-2=0与x-2=0的交点M(2,2), 点C到直线1距离的最大值为MC=V(2-1)2+(2-0)}=V5, 所以圆C上的一点P到直线1的最大距离等于MC+r=V5+2, 当且仅当P,C,M三点共线且PM⊥I时取得. 【变式1】(2026湖南长沙三模)己知圆O:(x+2)+y=169,过点P(,4)的直线与圆 交于A,B两点，则弦AB的最小值为() A.24 B.12 C.10 D.5 【答案】A 【详解】求弦AB最小值，即求圆心O到直线AB距离的最大值， 因为(1+2)+42=25<169，所以P在圆0中， 所以dx=l0P=V1-（-2)+(4-0)=5, 因此AB=2V169-52=24 【变式2】(25-26高二下湖北期中)己知圆C:(x-1)+(y-3=25,直线 1:(m+2)x+(2m+1)y-7m-8=0,则直线1被圆C截得的最短弦长为() A.2W5 B.45 c.210 D.410 【答案】B 【详解】圆C:(x-1+(y-3)=25的圆心为C(1,3),半径r=5. 将直线的方程整理为关于m的式子： (m+2)x+(2m+1)y-7m-8=0→m(x+2y-7)+(2x+y-8)=0. x+2y-7=0 令12x+y-8=0:解得x=3,y=2:即直线，恒过定点P(3,2) 由于I恒过定点P,故当CP⊥I时，直线I被圆C截得的弦最短 计算CP=V3-1)+(2-3)}2=V4+1=V5 最短弦长Lm=2VF2-(CP=2W25-5=220=4V5 【变式3】(25-26高二下安徽宜城期末)过点P(-山，2)的直线1与圆C:x2+y2=9交于 A、B两点，则AB的最小值是 【答案】4 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点P在圆内部，根据圆的几何性质：过圆内一点 的最短弦为与过该点的半径垂直的弦，结合弦长公式计算最小值： 【详解】：圆C的方程为x2+y=9,圆心C坐标为(0,0)，半径r=3. :点P坐标为(-1,2)，·圆心到点P的距离1CP卡V(-1-02+(2-02=V5<3,即点P 在圆C内部 :过圆内一点的所有弦中，当直线与CP垂直时，圆心到直线的距离最大，等于CP,此 时弦长最短， ∴.最短弦长|AB=2Vr2-1CPP=2V9-5=4. 【点晴】方法归纳：过圆内定点的弦长最值问题，最长弦为过该点的直径，长度等于2r: 最短弦为与过该点的半径垂直的弦，弦长公式为AB=2VF2-d(d为圆心到定点的距 离)· 题型13轨迹方程 【典例1】(2026高二·全国专题练习)已知动直线-y+1=0(其中k∈R且k为变动参 数)和圆x+y=4相交于A、B两点，则弦AB的中点的轨迹方程为 【案】+0-=6y0 【分析】由题设直线恒过D(O,),若AB的中点为C,结合圆的性质有OC⊥CD,进而判断 C的轨迹，即可写出轨迹方程. 【详解】由c-y+1=0恒过D0,),且与圆x2+y=4相交于A、B, 而x2+y=4的圆心为O0,0),令AB的中点为C,则OC上AB, 若点D,C不重合时，OC⊥CD,点C在以线段OD为直径的圆上，且OD上1， 若点D,C重合时，点C也在以线段OD为直径的圆上， 所以弦4B的中点的轨迹方程产+0-分=4且y≠0： 【典例2】(25-26高二上江西景德镇期末)已知圆C的圆心为点C,其在直线 x-2y+4=0上，且与x轴交于两点A(-5,0)、B(1,0) (1)求△ABC的面积； (2)求圆C的标准方程； 3)已知(2,1)，点P在圆C上运动，求线段P9中点M的轨迹方程. 【答案】(1)3 (2)(x+2)+(y-1)2=10 ar2+0--月 【分析】(1)求出线段AB的中垂线方程，分析可知点C为直线x-2y+4=0与线段AB中 垂线的交点，联立两直线方程，可得出点C的坐标，即可求得△ABC的面积： (2)求出圆C的半径，即可得出圆C的标准方程： x=2x-2 (3)设点P(,小M(k,)利用中点坐标公式得出。=2y-1,再将点p的坐标代入 圆C的方程，化简可得出点M的轨迹方程 【详解】(1)因为A(-5,0)、B(1,0),所以线段AB的中垂线方程为x=-2, 易知点C为直线x=-2与直线x-2y+4=0的交点， x=-2 x=-2 联立x-2y+4=0得=1，故点c(2,1故5c-4x1=x6x1-3. (2)由(1)可知圆c的半径为BC=1+2)2+(0-1)}=V10, 故圆C的标准方程为(x+2)+(y-1)}2=10 x=七+2 2 (3)设点 ，由线段中点坐标公式可得 P(xoo）M(x,y) y=%+1所以6=2x-2, 2 %=2y-1 因为点p在圆c上，所以2x-2+2了+2y-1-=10,化简得2+0-1-多 故点y的轨迹方程为+（心--习 【变式1】(25-26高二上云南昆明期中)在平面直角坐标系中，已知M(-1,0),N(2,0) ，动点P满足PN=V2PM,则点P的轨迹方程为 【答案】(x+4)+y2=18 【分析】设P(x,y),根据两点间距离公式V(x-x)+(-2),化简求动点的轨迹方程 【详解】设动点P(x,y),又M(-1,0),N(2,0),则PM=V(x+1)+y2, PW=x-2}+y2, 因为点P满足PW=2PM, 所以Vx-2}+y2=V2×V(x+1)}+y2,化简整理得x2+y2+8x-2=0, 所以动点P的轨迹方程为(x+4)+y2=18 【变式2】(25-26高二上河北石家庄期中)己知圆E经过点A(0,0),且恒被直线 x-my+m=0(m∈R)平分. (1)求圆E的标准方程： (2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.（当点P经过点A时，规定点M 与点P重合) 【答案】(1)x2+(y-1)}2=1 【分析】(1)分析可知圆心坐标为C(0,),进而可得半径，=1，即可得圆的方程： (2)设M(x,y),根据中点坐标公式可得P(2x,2y),代入圆的方程运算求解即可. 【详解】(1)因为直线x-my+m=0(m∈R)可化为：m(1-y)+x=0, 所以直线x-y+m=0恒过点C(0,1), 又因为圆E恒被直线x-my+m=0(meR)平分，则x-my+m=0(meR)恒过圆 心， 可知圆心坐标为C(0,1),且圆B经过点A(0,0),所以圆的半径r=1, 所以圆E的方程为x2+(y-1)2=1 (2)设M(x,y), 因为M为线段AP的中点，且A(0,0),则P(2x,2y), 因为点P是图上的动点，则2+，-旷=1即2+- 【变式3】(25-26高二上内蒙古包头期中)(1)己知动点M到定点A(3,0)的距离与到 定点0(0,0)的距离之比为2求动点M的轨迹方程： (2)已知圆(x+2+y2=4,线段AB的一端A点在圆上运动，另一个端点B(3,1).求线 段AB的中点M的轨迹方程.。 【案1-4+=42--1 【分析】(1)设M(,y),根据MO=2MA结合两点间距离公式运算求解即可： (2)设M(x,),根据中点可得A(2x-3,2y-),代入圆的方程运算求解即可 【详解】(1)设M(x,), MA 1 由题意可知： MO2,即MO=2MA: 则Vx2+y2=2√x-3)}2+y2,整理可得(x-4}2+y2=4, 所以动点M的轨迹方程为(x-4)}+y2=4: (2)设M(cy): 因为点M为线段AB的中点，且B(3,1),则A(2x-3,2y-1), 又因为点4在圆(c+2+y2=4上运动， 则（2x-3+2y+-=4可海-+习》=1， 所以点M的轨迹方程为x+=1 题型14直线与圆的综合问题 【典例1】(25-26高二上山东聊城期末)己知圆C经过点P(2,-2)与点Q(5,),且圆心在 直线x-y-1=0上 (1)求圆C的方程： (2)若圆C上恰有三个点到直线：x+my-4m=0(m∈R)的距离为1，求直线I的方程. 【答案】(1)(x-2+(0y-1)}=9 (2)5r+12y-48=0或x=0 【分析】(1)由题意设圆心C(a,a-),由CP=CQ=r即可解得a,br的值，进而求得圆 C的方程： (2)若圆C上恰有三个点到直线的距离为1，则有一条与平行，且与距离为1的直线 与圆C相切，另一条与1平行，且与！距离为1的直线与圆C相交，且圆心到直线的距离 d=r-1=2,由此求得m的值并加以验证即可 【详解】(1)设圆心为C(a,b),半径为r,由题意得b=a-1,即C(a,a-), 且有CP=Cg=r,即V(a-2)}+(a-1+2)}=V(a-5)}+(a-1-12, 解得a=2,进而b=1,r=3, 则圆C的方程为(x-2)+(0y-1)=9 (2)由题意得一条平行于1，且与距离为1的直线与圆相切，此时贡献1个点， 一条平行于1，且与距离为1的直线与圆相交，此时贡献2个点， 且圆心到直线的距离d=r-1=2, ①当直线斜率不存在时，即m=0时，直线1：x=0, 此时圆心C(2,)到l的距离为2，符合题意， x=-1与圆相切于1个点，x=1与圆相交于2个点，符合题意， 故x=0满足题意： ②当直线斜率存在时，即m≠0时，直线：x+my-4m=0, 则有42+m1-4m-2-3m三2，解得0（已验证)或m12 1+m2 V1+m2 此时有直线1：5x+12y-48=0. 易得5x+12y-61=0与圆相切于1个点，5x+12y-35=0与圆相交于2个点， 符合题意，故5x+12y-48=0满足题意： 综上，直线/的方程为5x+12y-48=0或x=0. 【典例2】(25-26高二上全国期末)己知圆C:(x+2)+(y-2)=1,圆C,: (x-3+(y-4)=4,直线1经过点A(-2,4). (1)若直线1与圆(x-1)+y=9相切，求直线1的方程： 2)动点P、Q分别在圆C和圆C,上，试在x轴上找一点M,使得PM+QM取得最小 值，并求出该最小值及点M的坐标. 【答案】(1)x+2=0或7x+24y-82=0 a凝木值y石-31坐标0 【分析】(1)分直线！斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式求解即 可： (2)作圆C关于x轴的对称圆C,由对称性可知，点P关于x轴的对称点R在圆C上， 故PM=RM,则PM+QM=RM+QM,根据两点之间线段最短， |RM+OM≥C,C-5-?(当且仅当M在C,C2连线上时取等号)即可求解. 【详解】(1)当直线1斜率存在时，设直线方程为y-4=k(x+2), 整理为-y+2k+4=0,圆(x-1)+y2=9的圆心为(1,0)，半径r=3, 由直线与圆相切的条件，圆心到直线的距离等于半径， 即： 102-3,化简得以+4e3NP1解得= Vk2+1 将k代入所设方程，得直线1：7x+24y-82=0, 当直线斜率不存在时，直线方程为x=-2, 验证：圆心(1,0)到直线x=-2的距离为3，满足相切条件， 综上，直线I的方程为x+2=0或7x+24y-82=0 (2)作圆C关于x轴的对称圆C,圆C:(x+2)+(y-2)}=1, 则C的方程为(x+2)+(0y+2)}=1,圆心C(-2,-2),半径5=1： 圆C,的圆心C,(3,4),半径5=2，由对称性可知，点P关于x轴的对称点R在圆C上， 故PM=RM,则PM+OM=RM+OM, 根据两点之间线段最短，RM+QM≥C,C-5-2(当且仅当M在C,C2连线上时取等 号)， C,C=V3+2}2+(4+2}=V25+36=√6i 因此|PM+QM的最小值为V6i-1-2=V6-3, 4-(-2)6 先求直线CC,的方程，斜率c63(2)3 直线方程为+2-号x+2).令y=0:解=则点M的坐标为兮0） 【变式1】(25-26高二上湖北孝感·期末)在平面直角坐标系中，圆M为过点 A1,-V5),B(2,2),C(4,0)的圆， (1)求圆M的标准方程： (2)已知斜率为k的直线I与圆M相交于异于原点O的两点E,F,直线OE,OF的斜率分别为 k,k2,且kk2=5证明：直线l恒过定点. 【答案】(1)(x-2)2+y2=4 (2) 设直线1的方程为y=x+m,E(x,片)，F(x2,y2),xx2≠0， 「y=+m 由1x-2y+y'=4得(1+k2)x2+2(m-2)x+m2=0 因为直线与圆相交，所以 △=4(km-2)）-41+k2）m2=16-16km-4m2>0, 且5+5s 2(km-2） 1+k2 xx2=12 所以k,=-匹+m),+m_x西+m(6飞+5)+m xx2 XX2 xx> 2km(2-km 2+m2 =K2+1+k2 m =1+址=5，化简得 m 1+k2 m=k 故直线1的方程为y=+k=k(x+),恒过点(1,0)， VA 【分析】(1)设圆的标准方程，将圆上三点坐标代入，解方程组求得圆心坐标与半径，从 而确定圆的标准方程： (2)联立直线与圆的方程，利用韦达定理和斜率乘积条件推导出直线斜率与截距的关系， 进而确定直线恒过的定点： 【详解】(1)设圆M的标准方程为(c-a2+0y-b)=r2 (1-a)2+(-V3-b)2=r2 [a=2 (2-a)2+(2-b)2=r2→{b=0 (4-a)2+(0-b)2=r2 r=2 ∴.圆M的标准方程为(x-2)2+y2=4 (2)略 【变式2】(25-26高二上四川眉山期末)古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成 果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点 距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆，称为阿波罗尼斯圆己知平面内两定点 PA 1 A(-1,0),B(2,0),点P满足P82 (1)记动点P的轨迹为C,求轨迹C的方程： (2)设点E(-2,0),点T在直线1：x-y-2=0上，过点T作轨迹C的两条切线，切点分别为 M,N,求四边形EMTN面积的最小值· 【答案】(1)(x+2)2+少2=4 (2)4 【分析】(1)设点P(x,y),根据阿波罗尼斯圆的定义得出等量关系，化简变形可得轨迹 C的方程： (2)利用图形以及相切关系，利用勾股定理得出四边形EMTN的面积表达式，再由点到 直线距离公式即可求得面积最小值， 【详解】(1)设点P(x,y), -0)'B20)点P满足P=可 V(x+1)+y21 由点 PB 2 Vx-22 化简可知轨迹C的方程为(x+2)+y2=4。 (2)易知轨迹C是以（-2,0)为圆心，半径为2的圆， 又点E(-2,0),因此E即为圆心， 点E到直线：，-2-0的距离为日=上20323> 1+1 因此直线与轨迹C相离，如下图所示： 显然TM=TN,且EM⊥TM,EN⊥TN,又因为ET为公共边， 所以aENT=△EMT, 因此四边形EMTN的面积为 S =2S.ENT =2x-ENIINTI=2INTI=2ET-EN=2VET-4: 显然当ET取得最小值时，四边形EMTN面积最小， 又点T在直线：x-y-2=0上， 当ET⊥1时，满足题意，此时ETmm即为点E到直线：x-y-2=0的距离，所以 ETlnn =d=212: 所以四边形EMTN面积的最小值为Sm=2《22-4=4 变式3】2525高二上上海期)已知到原点0和D,0的距离之比为2的点的轨迹 为曲线C, (1)求曲线C的方程； (2)点N是曲线C上任意一点，点N到直线2x+y-4=0的距离为d,求d+2|DN|的最小 值； (3)点P是I:x=1上的一个动点，过点P作曲线C的两条切线，切点分别为A,B若两条切 线PA,PB与y轴分别交于点S,T,求ST的最小值 【答案】(1)(x-2)2+y2=1. 4v5 2)5 @ 【分析】(1)设出曲线C上任意一点坐标，由给定关系列出方程并化简即可， (2)由d+2DN=d+|ON|,结合图形利用几何法求出原点到直线距离即可 (3)设切线方程y-(=k(x+),利用切线的性质求出k与t的关系，借助韦达定理求出 ST的表达式，进而求出最小值， x+y =2 【详解】(1)设曲线上任意一点坐标为，依题意， 3、 Vr-)2+y2 ，化简得 C (x,y) x2+y2-4x+3=0. 所以曲线C的方程为(x-2)2+y2=1 (2)由(1)知，曲线C是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆， 过点0作直袋2x+y4=0的重线OMM为垂足，则直线OM的方程为y, y=2 2x+y-4=0 。,解得84，即点， ,，即点在圆内， 1 、4ξ902 M C 则线段OM与圆C相交，令交点为N',由点N是曲线C上任意一点，得2 DN HON, 因此d+2 IDNd+-1oNOM=45 ,当且仅当N与N重合时取等号， 4V5 所以d+2DN的最小值为 2x+y-4=0 (3)设切线方程为y-t=k(x+),即-y+k+t=0,切线PA,PB的斜率分别为k,k2, 13水+整理得8+6+10'则+=-，名刀 因此K2+1 8 在切线方程中令x=0,得y=k+t,于是S(0,k+),T(0,k+), 则S7月6+)=k+0日k-kE飞+》=4kk+8之？，当且仅当，0时取等 4 号， √2 所以1ST的最小值为之· 第11讲 第二章 直线和圆的方程 重点题型章末总结 第一部分 思维导图 第二部分 题型精讲 题型01直线的倾斜角和斜率 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【变式2】（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 题型02直线方程 【典例1】（25-26高一下·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【典例2】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知直线经过点. (1)若直线在轴上的截距是在轴上的截距3倍，求直线的方程； (2)若直线与轴、轴的正半轴分别相交于两点，求当的面积取得最小值时直线的方程. 【变式1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【变式2】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点的直线方程； (2)原点与点关于直线对称，求直线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【变式3】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程. 题型03两直线的平行与垂直 【典例1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； 【典例2】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）求下列直线的方程. (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程. 【变式1】（25-26高二上·安徽·期中）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； (3)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 【变式2】（25-26高二上·浙江台州·期中）已知的三个顶点，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)过点且与直线平行的直线方程； (3)过点且与直线垂直的直线方程. 【变式3】（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知直线经过点，. (1)求直线的斜率及直线的斜截式方程； (2)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； (3)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程. 题型04两直线的交点与距离问题 【典例1】（25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______． 【变式1】（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 【变式3】（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 题型05直线中的对称问题 【典例1】（25-26高二上·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【变式1】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·新疆·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为______________. 题型06圆的方程 【典例1】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【变式1】（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【变式2】（25-26高二上·山西朔州·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. (1)求线段的中垂线l的方程； (2)求圆C的标准方程. 【变式3】（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，已知直线. (1)求过点且和垂直的直线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 题型07切线和切线长问题 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【典例2】（25-26高二下·上海·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 【变式1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【变式2】（25-26高二下·上海·期中）已知圆，过点作圆的切线，求切线的方程. 【变式3】（25-26高二上·广东潮州·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点，且与圆相切的直线的方程． 题型08弦长问题 【典例1】（25-26高二上·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【典例2】（24-25高二下·上海·期中）已知圆，直线. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【变式1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【变式2】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线，点. (1)直线关于点对称的直线的方程： (2)以为圆心，3为半径作圆，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【变式3】（25-26高二上·上海宝山·期末）已知直线：，直线：. (1)当时，求的值； (2)若与圆：的相交弦长为，求直线的方程. 题型09三角形面积问题 【典例1】（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知圆经过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于、两点，求的面积． 【典例2】（25-26高二上·四川广元·期末）已知圆内有一点．过点且倾斜角为的直线与圆交于两点． (1)当弦被点平分时，求直线的方程和的值； (2)若，求直线的方程． 【变式1】（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知圆的半径为，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的标准方程； (2)过圆心的直线与圆交于、两点，且的面积是（为坐标原点），求直线的方程. 【变式2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线和圆，为坐标原点. (1)直线与圆相切时，求的值； (2)当时，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，求的最小值； (3)直线与圆相交于两点，的面积为，求直线的方程. 【变式3】（25-26高三上·云南临沧·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点． (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最大值． 题型10圆与圆的位置关系 【典例1】（25-26高二下·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【典例2】（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）若圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为___________. 【变式1】（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C．1 D．3 【变式2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知圆与圆相交，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·河北·期中）已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是______. 题型11两圆公共弦方程和公共弦长 【典例1】（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【典例2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【变式1】（2026高三下·四川成都·专题练习）已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【变式2】（25-26高二下·河南开封·开学考试）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【变式3】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，求圆与圆的公共弦的方程以及公共弦的长. 题型12与圆有关的最值问题 【典例1】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【典例2】（25-26高二上·江苏常州·期末）已知直线与圆，则圆上一点到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·湖南长沙·三模）已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（    ） A．24 B．12 C．10 D．5 【变式2】（25-26高二下·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 题型13轨迹方程 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 【典例2】（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【变式1】（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 【变式2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知圆E经过点，且恒被直线（）平分. (1)求圆E的标准方程； (2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.（当点P经过点A时，规定点M与点P重合） 【变式3】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程； （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 题型14直线与圆的综合问题 【典例1】（25-26高二上·山东聊城·期末）已知圆经过点与点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若圆上恰有三个点到直线的距离为1，求直线的方程. 【典例2】（25-26高二上·全国·期末）已知圆：，圆：，直线经过点． (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)动点、分别在圆和圆上，试在轴上找一点，使得取得最小值，并求出该最小值及点的坐标． 【变式1】（25-26高二上·湖北孝感·期末）在平面直角坐标系中，圆为过点的圆. (1)求圆的标准方程； (2)已知斜率为的直线与圆相交于异于原点的两点，直线的斜率分别为，且证明：直线恒过定点. 【变式2】（25-26高二上·四川眉山·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆，称为阿波罗尼斯圆.已知平面内两定点，，点P满足. (1)记动点的轨迹为，求轨迹的方程； (2)设点，点在直线上，过点作轨迹的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值. 【变式3】（25-26高二上·上海·期末）已知到原点和的距离之比为2的点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点是曲线上任意一点，点到直线的距离为，求的最小值； (3)点是上的一个动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为.若两条切线与轴分别交于点，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $