第二章 直线与圆的方程（单元自测·强化卷）-2026-2027学年高二数学上学期重点•题型（人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦直线与圆的方程单元核心，以概念生成→性质推导→综合应用为逻辑主线，通过多样化题型培养几何直观、运算能力与模型观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|选择1-4、填空12|直线平行垂直、斜率计算、距离公式|直线方程概念→斜率与平行垂直性质→距离公式推导| |位置关系综合|选择3、6、填空10-11|圆与直线/圆位置关系、公切线|圆的方程→位置关系判定定理→公共弦/切线性质| |动态与反射问题|选择5、7-8|反射光线、动点距离范围|对称性质→轨迹思想→动态几何量计算| |解答题综合|15-19|对称图形、切线方程、弦长|概念整合→逻辑推理→综合问题解决|

第二章 直线与圆的方程（单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知直线：与直线：，若，则（    ） A． B．2 C．2或 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的性质，解方程 ， 再检验即得解. 【详解】若 ， 则， 所以 或 . 当 时， ，符合题意； 当 时， 符合题意. 故选：. 2．若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.9 【知识点】已知两点求斜率、已知斜率求参数 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 3．设点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的距离的最小值为. 4．已知直线，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．-2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可. 【详解】由，， 可知，解得. 故选：C 5．一条光线从点射出，经过直线反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求点关于直线的对称点、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先圆的圆心为，再求圆心关于对称的点，最后由直线方程的点斜式即可求解. 【详解】由题意有：圆的圆心为， 所以反射光线经过圆心， 又因为点关于直线对称的点为， 即入射光线所在直线经过， 所以，所以， 所以入射光所在直线的方程为， 故选：B. 6．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】已知两点求斜率、直线过定点问题 【详解】可知直线过定点， 如图所示，可知， 所以当直线与线段有公共点时，的取值范围为. 7．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】已知两点求斜率、直线的一般式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】先根据题意求得关于直线对称的点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，再数形结合得到点的变动范围，从而得到，由此得解. 【详解】设直线方程为，则，解得，即，即， 设关于直线对称的点为，则，解得，即，， 同理可得： 点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， 如图所示： 利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点； 所以点之间为点的变动范围， 因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而， 所以，即. 故选：D 8．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、圆的对称性的应用、判断圆与圆的位置关系 【分析】根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答. 【详解】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点， 显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆， 其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图： ，两圆外离，由圆的几何性质得：，， 所以的取值范围是：. 故选：B 【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法. 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点 C．曲线与曲线恰有三条公切线，则 D．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、切点弦及其方程、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．直线恒过定点，判断错误；求出直线方程，判断直线经过定点，正确；根据两圆外切，三条公切线，可得正确；根据圆心到直线的距离等于1，判断错误. 【详解】对于，直线方程可化为，令，则，，，所以直线恒过定点，错误； 对于，设点的坐标为，所以，，以为直径的圆的方程为， 两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，， 令，，解得，，故直线经过定点，正确； 对于，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线化为标准式得， 曲线化为标准式得， 所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，正确； 对于，因为圆心到直线的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，错误； 故选：． 【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题． 10．已知圆 与圆 （    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公切线有 3 条 C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D．两圆相交，且公共弦的长度为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标，求出两圆圆心距，判断A；判断两圆的位置关系，即可判断B；将两圆方程相减，即可得两圆公共弦所在的直线方程，判断C；利用几何法求得公共弦长，判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为 与圆的圆心为，半径为， 故两圆的圆心距为，故A正确； 对于B，由于， 即圆与圆相交，两圆的公切线有2条，故B错误； 对于C，由B可知两圆相交，将圆与圆的方程相减，得， 即公共弦所在的直线方程为，故C正确； 对于D，由B可知两圆相交，而， 到直线的距离为， 故两圆公共弦的长度为，故D错误； 故选：AC. 11．已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与圆C相切 C．当时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则的最小值为 D．若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由已知可得直线过定点,可判断A；当时，求得圆心到直线的距离可判断 B；先求|PC|的最小值，再利用勾股定理可求|PQ|的最小值判断C；由圆心到直线的距离为3可求得判断D. 【详解】对于A，由直线，得， 直线过定点，故A错误； 对于B，当时，直线的方程为， 圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为 ， 直线与圆相切，故B正确； 对于C，当时，直线的方程为， 因为， 又， 的最小值为，故C正确； 对于D，若圆上只有一个点到直线的距离为1， 圆心到直线的距离为， ，解得，故D错误. 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．平行直线与之间的距离是__________． 【答案】 【难度】0.88 【知识点】求平行线间的距离 【详解】由两条平行线间的距离公式得直线与之间的距离为. 13．已知圆：，圆：．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【解析】将转化为，由圆与圆：有公共点可解得结果. 【详解】因为，所以， 所以，， 所以圆与圆：有公共点， 所以， 所以，得，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：转化为圆与圆：有公共点求解是解题关键. 14．已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是_________ 【答案】或． 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】根据切线夹角分析出，由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得． 【详解】圆，则圆心为，半径， 设两切点为，则，因为，在中，，所以, 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 圆心，所以圆心到直线的距离，解得或． 故答案为：或．    四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知直线． (1)若直线与直线平行，求的值； (2)若圆关于直线的对称图形为曲线，直线过点，求曲线截直线所得的弦长的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （2）求出圆的标准方程，分析可知，当时，圆心到直线的距离最大，此时，圆截直线的弦长最短，利用勾股定理可求得弦长的最小值. 【详解】（1）因为直线与直线平行， 则，解得. （2）圆关于直线的对称图形为曲线是圆， 圆的圆心为，半径为， 设圆心，直线的斜率为， 由题意可得，解得， 所以，圆的标准方程为， 因为，所以，点在圆内， 当时，圆心到直线的距离取最大值，且， 所以，圆截直线的弦长的最小值为. 16．已知直线与圆相交于A，B两点． (1)求； (2)求过点且与圆C相切的直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）根据题意可得圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线的距离，结合勾股定理求出弦长的一半，进而得出弦长； （2）切线的斜率不存在，易知方程为；当切线斜率存在，设切线为，利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线的距离等于半径，列出方程，解出k，结合直线的点斜式方程求解即可. 【详解】（1）由题意知，圆心，半径， 所以圆心C到直线的距离为， 所以，所以； （2）当切线的斜率不存在时，因为过点，其方程为， 圆心到直线的距离为，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线为，即， 圆心，半径，，解得． 切线方程为，即． 故切线方程为或． 17．已知点，圆． (1)若过点M的直线与圆C恰有一个交点，求直线的方程； (2)已知点在直线上，若直线与圆C相交于A，B两点，求弦的长． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.76 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【详解】（1）由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. （2）由于点在直线上，则， 解得，所以直线方程 则圆心到直线的距离为， 所以弦的长 18．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.76 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 19．已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 【答案】(1) 由直线，整理成， 由，解得，则直线恒过定点 (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【详解】（1）略 （2）根据题意，圆. 则圆的标准方程，圆心为，半径. 若直线与圆相切，则有，解得， 即当时，直线与圆相切． （3）设圆心到直线的距离为， 依题意，有，即，解得， 又由，解得或. 直线的方程为或. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线与圆的方程（单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知直线：与直线：，若，则（    ） A． B．2 C．2或 D．5 2．若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 3．设点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．已知直线，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．-2 5．一条光线从点射出，经过直线反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点 C．曲线与曲线恰有三条公切线，则 D．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 10．已知圆 与圆 （    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公切线有 3 条 C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D．两圆相交，且公共弦的长度为 11．已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与圆C相切 C．当时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则的最小值为 D．若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．平行直线与之间的距离是__________． 13．已知圆：，圆：．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为______． 14．已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是_________ 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知直线． (1)若直线与直线平行，求的值； (2)若圆关于直线的对称图形为曲线，直线过点，求曲线截直线所得的弦长的最小值． 16．已知直线与圆相交于A，B两点． (1)求； (2)求过点且与圆C相切的直线的方程． 17．已知点，圆． (1)若过点M的直线与圆C恰有一个交点，求直线的方程； (2)已知点在直线上，若直线与圆C相交于A，B两点，求弦的长． 18．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 19．已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $