2.2+反比例函数的图象与性质(3) 教学设计 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数图象与性质的应用，核心知识点为利用图象确定给定自变量范围的函数值及已知函数值范围求自变量范围。通过创设“自变量1＜x＜2时求函数值范围”的情境导入，衔接此前反比例函数图象绘制与增减性知识，为逆向问题及分段讨论搭建学习支架。 这份资料以数形结合思想为核心，亮点在于通过例题讲解（如例1画图象找特殊点、例2比较大小）和分层练习（含中考真题），培养学生几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维）。课堂小结明确解题四步骤，强化模型意识（数学语言），助力学生提升逻辑推理与应用能力，也为教师提供结构化教学流程与实用训练资源。

2.2 反比例函数的图象与性质(3) 【教学目标】 1、能利用反比例函数图象直观确定给定自变量范围内的函数值取值范围。 2、能解决“已知函数值范围，求自变量范围”的逆向问题。 【教学重点】利用图象和增减性确定函数值(或自变量)的范围，体会数形结合思想。 【教学难点】1函数分段的讨论；2.逆向求自变量取值范围的思维转化。 【教学过程】 1、 创设情境： 问题：对于反比例函数y，如果自变量的取值范围是1＜＜2， 你能确定函数值y的取值范围吗? 2、 探究新知： 可以先画出函数的图象，根据图象研究y的取值范围. 反比例函数y的图象如图所示. 观察图象可知： 当自变量z的取值范围是1＜＜2时， 对应的函数值y的取值范围是 . 尝试练习1： 1．（2026春•沙坪坝区校级同步）已知反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．其图象经过点（﹣1，﹣3） B．其图象位于第一、第三象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＜﹣3时，0＜y＜1 2．（2025秋•沂源县期末）函数，当y≥﹣1时，x的取值范围是 　 ． 3、 例题讲解 例1.已知反比例函数y. (1)画出这个反比例函数的图象，并找出图象上横坐标与纵坐标相同的点. (2)根据这个反比例函数的图象，写出当＜-1时，y的取值范围. 讨论: 在例1中，当自变量x≤1时，函数值y的取值范围是什么? 例2.已知a＜b，比较的大小， 尝试练习2： 1.已知点P(-2,3)在反比例函数y的图象上. (1)判断点(2，一3)，(2，3)，(一2，一3)是否在这个反比例函数的图象上. (2)找出图象上横坐标、纵坐标互为相反数的点. 2.已知反比例函数y (1)当x＜一1时，写出y的取值范围; (2)当y的值不小于2时，写出x的取值范围. 3．（2025•玉田县校级三模）已知反比例函数，当1≤x≤3时，y的最小值为﹣4，则k的值为　 　 ． 四、课堂小结 1.核心方法:数形结合，画图优先； 2.注意点:反比例函数的增减性仅在单个象限内成立若自变量的取值范围跨过0，一定要进行分段讨论，避免因忽略象限限制而得出错误结论； 3.解题步骤:第一步代入端点值计算，第二步判断所在象限内的增减性，第三步确定函数值的区间范围，第四步务必检验区间端点处等号是否成立。 五、当堂训练 1．（2026春•莱西市期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．点（2，﹣2），（﹣4，1）均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若y＜﹣2，则x的取值范围是0＜x＜2 D．该函数图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，则y1＜y2 2．（2026春•鼓楼区校级期末）已知反比例函数，当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是（ 　） A．x≥﹣2.5 B．x＞0或x＜﹣2.5 C．0＜x≤﹣2.5 D．x＞0或x≤﹣2.5 3．（2026•宿迁校级模拟）反比例函数，若y＞﹣3，则x的取值范围是 　 ． 4．（2025秋•罗湖区期末）已知反比例函数（k为常数且k≠0），当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是6，则当1≤x≤3时，y的最小值为　　 ． 5．（2024秋•乾县校级期末）若反比例函数，，当1≤x≤2时，函数y1的最大值是m，函数y2的最大值是n，则mn＝　 　 ． 6．（2025秋•遵化市期末）已知反比例函数y的图象经过点A（a，﹣6）． （1）求a的值； （2）当﹣6＜x＜﹣2时，求y的取值范围． 7．（2025秋•临沂校级月考）利用图象解决问题”的学习过程．我们可以借鉴这种方法探究函数y的图象性质． （1）补充表格，并画出函数的图象． ①列表： x … ﹣3 ﹣1 0 2 3 5 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 1 … ②描点并连线，画图． （2）观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征：　 　 ． （3）函数y的图象是由函数y的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为　 　 ． （4）根据上述经验，猜一猜函数y2的图象大致位置，结合图象直接写出y≥3时，x的取值范围　 　 ． 2.2 反比例函数的图象与性质(3)参考答案与试题解析 【教学目标】 1、能利用反比例函数图象直观确定给定自变量范围内的函数值取值范围。 2、能解决“已知函数值范围，求自变量范围”的逆向问题。 【教学重点】利用图象和增减性确定函数值(或自变量)的范围，体会数形结合思想。 【教学难点】1函数分段的讨论；2.逆向求自变量取值范围的思维转化。 【教学过程】 2、 创设情境： 问题：对于反比例函数y，如果自变量的取值范围是1＜＜2， 你能确定函数值y的取值范围吗? 4、 探究新知： 可以先画出函数的图象，根据图象研究y的取值范围. 反比例函数y的图象如图所示. 观察图象可知： 当自变量z的取值范围是1＜＜2时， 对应的函数值y的取值范围是2＜y＜4. 尝试练习1： 1．（2026春•沙坪坝区校级同步）已知反比例函数，下列结论正确的是（　D　） A．其图象经过点（﹣1，﹣3） B．其图象位于第一、第三象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＜﹣3时，0＜y＜1 2．（2025秋•沂源县期末）函数，当y≥﹣1时，x的取值范围是x＞1或x≤﹣1　 ． 5、 例题讲解 例1.已知反比例函数y. (1)画出这个反比例函数的图象，并找出图象上横坐标与纵坐标相同的点. (2)根据这个反比例函数的图象，写出当＜-1时，y的取值范围. (1)函数y的图象如图所示. 根据题意，当图象上点的横坐标与纵坐标相同时，得x，即x2=6，由平方根的意义，得 .所以满足题意的点是 (2)观察图象可知，当＜-1时，y的取值范围是-6＜y＜0. 讨论: 在例1中，当自变量x≤1时，函数值y的取值范围是什么? y＞6或y＜0 例2.已知a＜b，比较的大小， 可通过作差比较，也可利用反比例函数y的图象和性质来比较， 解：考察反比例函数y，其图象如图所示.点(a,),(b,)在函数图象上. 当0＜a＜b时,点(a,),(b,)在第一象限内，根据y在第一象限内的性质，y随x的增大而减小，得 当a＜b＜0时，点(a,),(b,)在第三象限内，根据y在第一象限内的性质，y随x的增大而减小，得; 当a＜0＜b时，有＜O，＞0，所以 所以，若a,b同号，则;若a,b异号，则. 尝试练习2： 1.已知点P(-2,3)在反比例函数y的图象上. (1)判断点(2，一3)，(2，3)，(一2，一3)是否在这个反比例函数的图象上. (2)找出图象上横坐标、纵坐标互为相反数的点. 解(1)∵P(-2,3)在反比例函数y的图象上. ∴k=-6 ∴点(2，一3)在反比例函数y的图象上. 点(2，3)，(一2，一3)不在反比例函数y的图象上. (2)根据题意，当图象上点的横坐标与纵坐标相反时，得-x，即x2=6，由平方根的意义，得 .所以满足题意的点是 2.已知反比例函数y (1)当x＜一1时，写出y的取值范围; (2)当y的值不小于2时，写出x的取值范围. (1)观察图象可知，当＜-1时，y的取值范围是0＜y＜1. (2)观察图象可知，当y≥2时，x的取值范围是x＜0或x≥-0.5. 3．（2025•玉田县校级三模）已知反比例函数，当1≤x≤3时，y的最小值为﹣4，则k的值为　﹣4　 ． 四、课堂小结 1.核心方法:数形结合，画图优先； 2.注意点:反比例函数的增减性仅在单个象限内成立若自变量的取值范围跨过0，一定要进行分段讨论，避免因忽略象限限制而得出错误结论； 3.解题步骤:第一步代入端点值计算，第二步判断所在象限内的增减性，第三步确定函数值的区间范围，第四步务必检验区间端点处等号是否成立。 五、当堂训练 1．（2026春•莱西市期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（　D　） A．点（2，﹣2），（﹣4，1）均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若y＜﹣2，则x的取值范围是0＜x＜2 D．该函数图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，则y1＜y2 2．（2026春•鼓楼区校级期末）已知反比例函数，当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是（ D　） A．x≥﹣2.5 B．x＞0或x＜﹣2.5 C．0＜x≤﹣2.5 D．x＞0或x≤﹣2.5 3．（2026•宿迁校级模拟）反比例函数，若y＞﹣3，则x的取值范围是x＜0或x＞1　 ． 4．（2025秋•罗湖区期末）已知反比例函数（k为常数且k≠0），当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是6，则当1≤x≤3时，y的最小值为　﹣6　 ． 5．（2024秋•乾县校级期末）若反比例函数，，当1≤x≤2时，函数y1的最大值是m，函数y2的最大值是n，则mn＝　﹣3　 ． 6．（2025秋•遵化市期末）已知反比例函数y的图象经过点A（a，﹣6）． （1）求a的值； （2）当﹣6＜x＜﹣2时，求y的取值范围． 解：（1）∵反比例函数y的图象经过点A（a，﹣6）， ∴﹣6， 解得a＝﹣3； （2）∵令x＝﹣6，则y3；令x＝﹣2，则y9， ∴当﹣6＜x＜﹣2时，﹣9＜y＜﹣3． 7．（2025秋•临沂校级月考）利用图象解决问题”的学习过程．我们可以借鉴这种方法探究函数y的图象性质． （1）补充表格，并画出函数的图象． ①列表： x … ﹣3 ﹣1 0 2 3 5 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 1 … ②描点并连线，画图． （2）观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征：　当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小　 ． （3）函数y的图象是由函数y的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为　（1，0）　 ． （4）根据上述经验，猜一猜函数y2的图象大致位置，结合图象直接写出y≥3时，x的取值范围　1＜x≤5　 ． 解：（1）①由题意，∵y， ∴当x＝3时，则y2． ②图象如图所示： （2）由题意得，当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小． （3）函数y的图象是由函数y的图象向右平移1个单位得到．y的对称中心为（1，0）． （4）由题意得，函数y2的图象是由y的图象向上平移2个单位得到，y≥3时，即函数y1， ∴1＜x≤5． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $