1.2 反比例函数的图象与性质(5) 教学设计 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数与一次函数综合应用，通过复习一次函数和反比例函数的增减性、象限分布等性质搭建学习支架，衔接新旧知识，为交点坐标、解析式及图形面积问题学习奠定基础。 以中考真题为载体设计探索活动，通过图象共存、求解析式、面积计算等问题链渗透数形结合思想，培养学生几何直观和推理能力。例题典型且附答案，助力学生掌握综合解题方法，也为教师提供清晰教学路径。

盐城市北蒋实验学校九年级数学导学活动单 九年级数学·上册· 第1章·反比例函数 1.2 反比例函数的图象与性质(5)---与一次函数的综合 【学习目标】 1、会求一次函数与反比例函数的图象的交点， 能根据图象的交点坐标求函数的解析式以及相关的图形 面积问题. 2、探索、研究反比例函数与一次函数的综合问题，理解数形结合的数学思想，来分析、解决函数图像 交点问题. 【学习重点】探索、研究反比例函数与一次函数的综合问题. 【学习难点】探索、研究反比例函数与一次函数的综合问题. 【学习过程】 一、复习回顾： 1、一次函数y=kx+b的图像以及性质； (1)当k＞0时，y随x的增大而 ；当k＜0时，y随x的增大而 ； 2、直线y=kx+b经过的象限与k，b的符号关系： (1)当k＞0,b＞0时，直线y=kx+b经过第 象限；(2)当k＞0,b＜0时，直线y=kx+b经过第 象限； (3)当k＜0,b＞0时，直线y=kx+b经过第 象限；(4)当k＜0,b＜0时，直线y=kx+b经过第 象限； 3、反比例函数的图像以及性质： (1)当k＞0时，双曲线的两个分支在第 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ； (2)当k＜0时，双曲线的两个分支在第 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ； 二、新课讲解 1、探索活动一 一次函数与反比例函数的图象共存问题 (1)（2025秋•漳州期末）一次函数y＝﹣x+2与反比例函数在同一直角坐标系中的图象是（　　） A． B． C． D． (2)（2026春•徐汇区校级）反比例函数与一次函数y＝﹣kx+k（k≠0）在同一坐标系中的图象是（　　） A． B． C． D． 2、探索活动二 求函数解析式、交点坐标 (1)（2026•曹县二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，6）、B（n，﹣2），且与y轴交于点C． ①求一次函数、反比例函数的表达式； ②连接OA，OB，求△ABO的面积． (2)（2026•淄博二模）如图，一次函数y＝x+2与反比例函数的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（n，﹣1）． ①求m，n的值和反比例函数的解析式； ②若点B关于原点O的对称点为B′，求△ABB′的面积； ③当时，求x的取值范围． (3)练习：（2026•市南区校级模拟）如图，直线y＝2x﹣3与反比例函数y的图象相交A（2，m）， B（n，﹣4）两点，连接OA，OB． ①k= ；n= ； ②求△AOB的面积； ③若点P是x轴上一点，且S△AOP＝2S△AOB，求点P的坐标． (4)（2025•东海县三模）如图1，已知点（a，b）为双曲线上一点，且，直线 y＝﹣x+t分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． （1）求双曲线的解析式； （2）如图2，连接OC． ①若t＝8，在双曲线上找一点D，使得△OBD的面积是△OBC的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 1.2 反比例函数的图象与性质(5)---与一次函数的综合(答案) 【学习目标】 1、会求一次函数与反比例函数的图象的交点， 能根据图象的交点坐标求函数的解析式以及相关的图形 面积问题. 2、探索、研究反比例函数与一次函数的综合问题，理解数形结合的数学思想，来分析、解决函数图像 交点问题. 【学习重点】探索、研究反比例函数与一次函数的综合问题. 【学习难点】探索、研究反比例函数与一次函数的综合问题. 【学习过程】 一、复习回顾： 1、一次函数y=kx+b的图像以及性质： (1)当k＞0时，y随x的增大而 增大 ；当k＜0时，y随x的增大而 减小 ； 2、直线y=kx+b经过的象限与k，b的符号关系： (1)当k＞0,b＞0时，直线y=kx+b经过第 象限；(2)当k＞0,b＜0时，直线y=kx+b经过第 象限； (3)当k＜0,b＞0时，直线y=kx+b经过第 象限；(4)当k＜0,b＜0时，直线y=kx+b经过第 象限； 2、反比例函数的图像以及性质： (1)当k＞0时，双曲线的两个分支在第 一、三 象限，在每个象限内，y随x的增大而 减小 ； (2)当k＜0时，双曲线的两个分支在第 二、四 象限，在每个象限内，y随x的增大而 增大 ； 二、新课讲解 1、探索活动一 一次函数与反比例函数的图象共存问题 (1)（2025秋•漳州期末）一次函数y＝﹣x+2与反比例函数在同一直角坐标系中的图象是（　A　） A． B． C． D． (2)（2026春•徐汇区校级）反比例函数与一次函数y＝﹣kx+k（k≠0）在同一坐标系中的图象是（　A　） A． B． C． D． 2、探索活动二 求函数解析式、交点坐标 (1)（2026•曹县二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，6）、B（n，﹣2），且与y轴交于点C． ①求一次函数、反比例函数的表达式； ②连接OA，OB，求△ABO的面积． 解：（1）把点A（1，6）代入，得m＝6，所以； 把B（n，﹣2）代入，得n＝﹣3，即B（﹣3，﹣2）， 由条件可知：，解得k＝2，b＝4，所以y＝2x+4； （2）直线y＝2x+4与y轴的交点坐标为（0，4）， ． (2)（2026•淄博二模）如图，一次函数y＝x+2与反比例函数的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（n，﹣1）． ①求m，n的值和反比例函数的解析式； ②若点B关于原点O的对称点为B′，求△ABB′的面积； ③当时，求x的取值范围． 解：（1）将A（1，m），B（n，﹣1）分别代入y＝x+2，得m＝3，n＝﹣3， ∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）， 将A的坐标代入，得3，解得a＝3， ∴反比例函数的解析式为； （2）由题意得，点B（﹣3，﹣1）关于原点的对称点为B′（3，1）， 连接AB'，BB'，AO． 设直线AB与y轴交于点C，则点C坐标为（0，2） ∵O为BB'的中点，∴． （3）观察图象，当时，x的取值范围是﹣3≤x＜0或x≥1． (3)练习：（2026•市南区校级模拟）如图，直线y＝2x﹣3与反比例函数y的图象相交A（2，m）， B（n，﹣4）两点，连接OA，OB． ①k= 3 ；n= ； ②求△AOB的面积； ③若点P是x轴上一点，且S△AOP＝2S△AOB，求点P的坐标． 解：（1）∵点B（n，﹣4）在直线y＝2x﹣3上，∴﹣4＝2n﹣3，解得n，∴B（，﹣4）， ∵反比例函数y的图象也经过点B，∴﹣4，解得k＝3； （2）设直线y＝2x﹣3分别与 x轴、y轴相交于点C、点D， 当x＝0时，y＝﹣3，∴OD＝3， ∵点A（2，m）在直线y＝2x﹣3上， ∴m＝2×2﹣3＝1，即A（2，1），∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD． （3）∵S△AOP＝2S△AOB，∴2，即OP＝2，∴OP＝15， ∴点P的坐标为（﹣15，0）或（15，0）． (4)（2025•东海县三模）如图1，已知点（a，b）为双曲线上一点，且，直线 y＝﹣x+t分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． （1）求双曲线的解析式； （2）如图2，连接OC． ①若t＝8，在双曲线上找一点D，使得△OBD的面积是△OBC的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 解：（1）∵，∴， ∴．∴a＝﹣3，b＝3．∴k＝﹣3×3＝﹣9． ∴双曲线的解析式． （2）①由题意，当t＝8时，y＝﹣x+8，令x＝0，得y＝8， ∴B（0，8），即OB＝8． 令y＝0，得﹣x+8＝0，即x＝8，∴A（8，0），即OA＝8， 又联立方程﹣x+8，∴x＝﹣1或x＝9（x＜0）．∴C（﹣1，9）． ∴S△BOCOB•|xC|8×1＝4． 设点D的坐标为（m，﹣m），m＜0， ∴． ∵S△DOB＝3S△BOC＝12，∴﹣4m＝12．∴m＝﹣3．∴D（﹣3，3）． ②的值不发生变化，理由如下：过C作CH⊥y轴于H， 如图：在y＝﹣x+t中，令x＝0得y＝t，令y＝0得x＝t，∴OA＝OB＝t， ∴AB2＝OA2+OB2＝2OA2，． ∴△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝45°＝∠CBH．∴△CBH是等腰直角三角形．∴CH＝BH． 设CH＝BH＝x，则OH＝t+x， ∴OC2＝OH2+CH2＝（t+x）2+x2， ∴OC2﹣OA2＝（t+x）2+x2﹣t2＝2x（x+t）， 由反比例函数可得，， ∴CH﹣OH＝9，即x（x+t）＝9， ∴OC2﹣OA2＝2x（x+t）＝18． ∴18，即的值不发生变化，为18． 1 学科网（北京）股份有限公司 $