第十八讲 圆的一般方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦圆的一般方程，引导学生从圆的标准方程出发，通过配方法转化得出一般方程，明确其代数结构及表示圆的充要条件，构建从标准到一般的知识支架，衔接点与圆位置关系等应用。 资料亮点在于易错点精准归纳，如圆心符号、成圆条件检验等，题型覆盖轨迹问题、动圆过定点等，通过分层练习培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（应用意识），帮助学生构建逻辑体系，提升解决问题的能力。

第十八讲 圆的一般方程 【学习目标】1.能通过圆的标准方程得出圆的一般方程，能用自己的语言解释圆的方程的代数结构； 2.能根据给定的条件求圆的方程，并能将圆的标准方程和一般方程进行相互转化； 3.能用圆的方程解决一些与圆有关的简单问题． 【学习重点】圆的一般方程. 【学习难点】圆的一般方程的应用. 必掌握知识点 一 .圆的一般方程： ① 表示圆的充要条件：； ② 若，方程表示一个点； ③ 若，方程无实数轨迹，不表示任何图形。 二 .配方法转化为标准方程 圆心：，半径：。注意：圆心坐标带负号！ 三.圆的一般方程用法：已知圆上三个点，优先设一般方程，代入三点，解三元一次方程组求。 四 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，圆半径为， .点在圆内； .点在圆上； 点在圆外. 给定点及圆 在圆内； 在圆上； 在圆外. 某点到圆上点的距离 若点在圆内，则，； 若点在圆外，则，； 五. 易错点汇总 易错点 1：圆一般方程成圆条件 错因：使用，忘记检验，直接当作圆。算出参数后，一定要回代检验，有可能只是一个点。 易错点 2：一般方程求圆心符号错误 错因：圆心是，负号极易漏掉，直接写成。 易错点 3：点与圆位置关系双重条件 错因：题目 “点在圆外”，需要同时满足两个条件：①方程本身表示圆（）；②代入点满足不等式。很多同学只写点代入的不等式，漏掉方程表示圆的条件。 易错点 4：圆对称问题漏核心条件 错因：圆关于直线对称、直线平分圆周长，核心条件：直线过圆心。不要去算圆上点对称，直接把圆心代入直线求参数。 易错点 5：动圆求定点计算逻辑错误 错因：不会分离参数；不要代入特殊参数猜定点，正确做法：整理为，令系数、常数项同时等于 0，解方程组。 易错点 6：相关点法（中点轨迹）坐标变换颠倒 错因：用中点表示动点，搞反代入，把直接代入已知圆，而不是。 易错点 7：最值公式混淆 错因：圆上点到定点距离，最大值不是，是；最小值，忘记算定点到圆心距离。 易错点 8：概念混淆 1.得到的是一个点，不是圆；无图形。 2.“直线平分圆周长” 等价直线过圆心，不是直线和圆有交点。 易错点 9：大题陷阱 求圆的一般方程，最后看清题目要求：要一般方程还是标准方程，不要写混。 两圆关于直线对称：半径不变，只需要求圆心的对称点，不要重新计算半径。 必考题型全归纳： 题型一、圆的一般方程 1．若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．圆的半径为（   ） A． B． C． D． 4．已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A．B． C．或 D．或 题型二、点与圆的位置关系 5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 8．已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 题型三、圆的对称性 9．圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 10．已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 12．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 题型四、轨迹问题（相关点法 、代入法） 13．已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14（多选）．在平面直角坐标系中，已知点，，动点C满足，则（    ） A．C的轨迹方程为 B．的面积最大值为3 C．的最大值为 D．B到直线AC的距离最大值为 15．已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 16．①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 题型六、动圆过定点问题 17．对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 18．若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 19．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为______. 20．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 题型七、综合大题（待定系数法、圆系、存在性） 21．已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 22．已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 23．在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 八、多选综合（圆与直线结合） 24（多选）．在中，，的内心，下列说法正确的有（   ） A．的内切圆的半径为3 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 25（多选）．在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（    ） A．当时，直线的方程为 B．当为的中点时，直线的斜率为 C．当面积最小时，其外接圆的方程为 D．点在的外接圆内 26（多选）．以下四个命题中正确的是（　　） A．直线与直线之间的距离是 B．如果，则直线不经过第二象限 C．“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 D．直线与的交点在圆内 巩固提升： 1．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B．C． D． 3．过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 5．已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 6．圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 7．在中，，，为与的交点，且．若，则面积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 8．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 9．若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 11．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A．B．C． D． 12．某数据中心有一核心节点，周围边缘节点均部署在圆上．定义流量损耗函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 13（多选）．已知点都在圆上，点，则（    ） A．线段是圆的直径 B．圆的方程为 C．对于任意，圆上都存在点，使得 D．若在圆外，则的取值范围是 14（多选）．已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 15．方程表示圆的充要条件是，，．( ) 16．圆关于直线对称的圆的方程为___________． 17．圆的圆心坐标为_________． 18．圆的直径的最小值为____________． 19．若方程为圆的方程，则的值为______. 20．已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 21．方程表示圆，的取值范围为_____ 22．在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 23．已知中，，，，则边上的高的最大值为______． 24．若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 25．圆的半径为________． 26．过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线的方程是________. 27．若直线平分圆的周长，则的取值范围是________． 28．给出以下五个点的坐标：①；②；③；④；⑤以上各点在圆上的是________（写出所有可能的序号）. 29．若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 30．若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 31．圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八讲 圆的一般方程 【学习目标】1.能通过圆的标准方程得出圆的一般方程，能用自己的语言解释圆的方程的代数结构； 2.能根据给定的条件求圆的方程，并能将圆的标准方程和一般方程进行相互转化； 3.能用圆的方程解决一些与圆有关的简单问题． 【学习重点】圆的一般方程. 【学习难点】圆的一般方程的应用. 必掌握知识点 一 .圆的一般方程： ① 表示圆的充要条件：； ② 若，方程表示一个点； ③ 若，方程无实数轨迹，不表示任何图形。 二 .配方法转化为标准方程 圆心：，半径：。注意：圆心坐标带负号！ 三.圆的一般方程用法：已知圆上三个点，优先设一般方程，代入三点，解三元一次方程组求。 四 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，圆半径为， .点在圆内； .点在圆上； 点在圆外. 给定点及圆 在圆内； 在圆上； 在圆外. 某点到圆上点的距离 若点在圆内，则，； 若点在圆外，则，； 五 易错点汇总 易错点 1：圆一般方程成圆条件 错因：使用，忘记检验，直接当作圆。算出参数后，一定要回代检验，有可能只是一个点。 易错点 2：一般方程求圆心符号错误 错因：圆心是，负号极易漏掉，直接写成。 易错点 3：点与圆位置关系双重条件 错因：题目 “点在圆外”，需要同时满足两个条件：①方程本身表示圆（）；②代入点满足不等式。很多同学只写点代入的不等式，漏掉方程表示圆的条件。 易错点 4：圆对称问题漏核心条件 错因：圆关于直线对称、直线平分圆周长，核心条件：直线过圆心。不要去算圆上点对称，直接把圆心代入直线求参数。 易错点 5：动圆求定点计算逻辑错误 错因：不会分离参数；不要代入特殊参数猜定点，正确做法：整理为，令系数、常数项同时等于 0，解方程组。 易错点 6：相关点法（中点轨迹）坐标变换颠倒 错因：用中点表示动点，搞反代入，把直接代入已知圆，而不是。 易错点 7：最值公式混淆 错因：圆上点到定点距离，最大值不是，是；最小值，忘记算定点到圆心距离。 易错点 8：概念混淆 1.得到的是一个点，不是圆；无图形。 2.“直线平分圆周长” 等价直线过圆心，不是直线和圆有交点。 易错点 9：大题陷阱 求圆的一般方程，最后看清题目要求：要一般方程还是标准方程，不要写混。 两圆关于直线对称：半径不变，只需要求圆心的对称点，不要重新计算半径。 必考题型全归纳： 题型一、圆的一般方程 1.圆的一般方程： ① 表示圆的充要条件：； ② 若，方程表示一个点； ③ 若，方程无实数轨迹，不表示任何图形。 2.配方法转化为标准方程 圆心：，半径：。注意：圆心坐标带负号！ 3.一般方程用法：已知圆上三个点，优先设一般方程，代入三点，解三元一次方程组求。 1．若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆，故，，A正确． 2．已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】配方得到圆的充要条件即可判断. 【详解】方程配方得， 若方程表示圆，则，解得， 则“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 3．圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程通过配方法由一般形式化为标准形式即可. 【详解】原方程为，分组配方得， 整理为圆的标准方程， 对比圆的标准方程 （为半径），可得半径 . 4．已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A．B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 题型二、点与圆的位置关系 已知圆：，点 1.点在圆外：； 2.点在圆上：； 3.点在圆内：。用一般方程判断：把代入：点在圆外；：点在圆上；：点在圆内。前提：方程本身必须是圆，即满足。 5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得.因为点在圆的外部， 所以，解得.综上可得. 6．若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为．故选：B. 7．点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径，所以点P到圆心的距离，所以点P在圆内，且不是圆心.故选：C 8．已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上；又，故点在圆外；因为，故点在圆内；又，故点在圆外；综上，在圆内的是.故选：C. 题型三、圆的对称性 1.若直线平分圆周长 、圆关于该直线对称、 圆上两点关于该直线对称，则直线必过圆心。解题操作：把圆心坐标代入直线方程求参数。 2.两圆关于直线对称：两圆半径相等；两圆圆心关于这条直线对称（求一个圆心关于直线的对称点）。 3.圆关于点对称：半径不变，求出原圆心关于该点的对称点作为新圆心。 9．圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为4. 10．已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】由题可得直线过已知圆圆心，则，然后由基本不等式可得答案. 【详解】由题可得圆方程可化为：，则圆心坐标为. 因圆关于对称，则过圆心，从而. 则， 当且仅当，即时取等号.故选：D 11．已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称，即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确.故选：A. 12．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可. 【详解】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得.故选：C 题型四、轨迹问题（相关点法 、 代入法） 相关点法（中点轨迹） 已知点在已知曲线上，是的中点，求轨迹： 1.设，反解出点坐标（用表示）； 2.将坐标代入满足的已知圆方程； 3.化简得到的轨迹；注意剔除不符合题意的点。 13．已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求，再结合消元法可求的取值范围. 【详解】设，则，故， 故，故，且， 故，故，故. 14（多选）．在平面直角坐标系中，已知点，，动点C满足，则（    ） A．C的轨迹方程为 B．的面积最大值为3 C．的最大值为 D．B到直线AC的距离最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意求出点的轨迹方程；对于B，由，可由点的轨迹方程得当的最大值，从而求得的面积的最大值；对于CD，当共线时，，点到直线的距离为0，当不共线时，由余弦定理结合基本不等式，求得的取值范围，从而求得的最大值，同时根据点到直线的距离为，可求得点到直线的距离的最大值． 【详解】对于A，设，由，得， 整理得，故A正确； 对于B，因为点的轨迹方程为，即， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为的面积为，所以当取最大值2时， 的面积取得最大值，最大值为，故B正确； 对于C，当共线时，；当不共线时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以，结合共线情形，所以， 综上的最大值为，故C错误； 对于D，当共线时，点到直线的距离为0； 当不共线时，点到直线的距离， 由选项C知，此时，所以， 所以点到直线的距离，结合共线情况可知， 综上点到直线的距离的最大值为，故D正确． 15．已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 【答案】（） 【分析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程． 【详解】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，令的中点为，则， 若点不重合时，，点在以线段为直径的圆上，且， 若点重合时，点也在以线段为直径的圆上， 所以弦的中点的轨迹方程且． 16．①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)，M的轨迹是一个圆. 【分析】（1）设出圆的方程，根据条件构造方程，运用待定系数法求解即可； （2）画出图形，运用相关点法求解即可. 【详解】（1）方案一：选条件①. 设圆的方程为，则，解得，则圆G的方程为. 方案二：选条件② 直线恒过点. 因为圆G恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆G经过点， 所以圆的半径，所以圆G的方程为，即. 方案三：选条件③ 设圆G的方程为， 由题意可得，解得， 则圆G的方程为，即. （2）设，因为M为线段的中点，所以， 因为点P是圆G上的动点，所以， 即， 所以M的轨迹是一个圆.    题型六、动圆过定点问题 1.动圆恒过定点处理方法： 将圆方程整理为：，该式对任意参数恒成立，则，解方程组得到定点。 2.题型拓展：抛物线与坐标轴三点构成的外接圆恒过定点，同样使用圆系方程，分离参数求定点。 17．对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 第一个方程，代入第二个方程得： 将由代入，得.所以，定点坐标为或. 故答案为：或 18．若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【分析】变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案. 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以.故答案为：3 19．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为______. 【答案】 【分析】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，.令，则由韦达定理得，，线段的中点为.由圆的性质可设外接圆的圆心为.由可得，代入化简可得，，可得圆的方程为得，解方程组令即可求解； 法二：抛物线交轴于点，，交轴于点，，，，则为的两个解，由韦达定理得.由相交弦定理可得，解得.即可求解定点坐标； 法三：设外接圆方程为.令， 得，.令，则有一根为，结合，可得，故外接圆方程为，即，解方程组即可. 【详解】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，. 令，则由韦达定理得，，所以线段的中点为. 由圆的性质可知外接圆的圆心在直线上，故设外接圆的圆心为. 由可得，解得. 因为，所以，则，所以半径的平方为， 所以圆的方程为，整理可得， 类比直线过定点的求法，方程的值不随的变化而变化. 令，解得.因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 法二：如图所示，抛物线交轴于点，交轴于点. 设，，，，，， 则为的两个解，则由韦达定理得. 由相交弦定理可知过三点的圆也过点，且有，即，即，可得，解得. 则就是的外接圆过的定点坐标. 法三：设外接圆方程为. 令，则与为同一方程，，. 令，则有一根为，且，，， ∴外接圆方程为，即， 令，解得，所以的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 20．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 【答案】， 【分析】由题设，令其为，令则是的两个根，经过，，三点的圆为，将点代入得，，进而有，令求定点坐标. 【详解】由题设，可得，故， 令，则，不妨令其为，令 令，则，且， 所以或，则是的两个根， 经过，，三点的圆为， 所以，即是的两个根，则， 且且（否则与中一点重合且为原点），则， 综上， ，则， 令，可得，即或， 对应分别为，所以圆必过，.故答案为：， 题型七、综合大题（待定系数法、圆系、存在性） 1.求圆方程二选一： 条件给圆心、半径、切线、对称：优先标准方程； 条件给圆上三个点：优先一般方程。 2.存在性问题：假设存在，设圆方程，联立方程看解是否存在。 3.圆与其他曲线相交，利用图形对称性，结合韦达定理。 21．已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为，已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 22．已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 【答案】(1)或 (2)是，理由： 由（1）知圆的方程为或， 令，解得或， 故圆过定点和. 【分析】（1）设圆的方程为，在该圆的方程中，令，可知方程与方程是同一个方程，可得出、的值，然后令，得到方程，此方程有一个根为，可求出的值，即可得出圆的方程； （2）在圆的方程中，令，可求出圆所过定点的坐标. 【详解】（1）由题意知，解得或， 设所求圆的方程为， 由题意知函数的图象与两坐标轴的三个交点即为圆与坐标轴的交点. 在圆的方程中，令，得，这与是同一个方程，故，. 令，得，此方程有一个根为，代入此方程得，解得， 综上可知，圆的方程为或 （2）略 23．在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，和. 【分析】（1）根据已知得到圆心在直线上，设圆心，利用半径列方程求参数，即可得； （2）设，得，根据三点共圆，应用待定系数法求得圆的方程为，进而求圆所过的定点. 【详解】（1）已知点，则的中点坐标为， 由三点共圆，且，所以圆心在直线上， 设圆心，所以，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，设，所以，则， 设圆的一般方程为，圆过点， 令可得的两个根为0和，所以， 所以方程为，再代入，解得， 所以方程为， 所以， 所以，解得或. 所以过点三点的圆存在定点和. 八、多选综合（圆与直线结合） 融合：点与圆位置、轨迹、距离最值、直线平行垂直、充分必要条件。 24（多选）．在中，，的内心，下列说法正确的有（   ） A．的内切圆的半径为3 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，求出到直线的距离即可判断；对于BC，设直线方程根据点到直线的距离公式即可判断；对于D，求出点坐标，设圆的一般方程，代入即可判断. 【详解】直线的方程为，即， 内心到直线的距离为， 故的内切圆的半径为，故A错误；当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或，其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故B正确； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或，其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故C正确； 联立，解得，所以， 设外接圆的方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为，故D正确. 25（多选）．在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（    ） A．当时，直线的方程为 B．当为的中点时，直线的斜率为 C．当面积最小时，其外接圆的方程为 D．点在的外接圆内 【答案】ABD 【分析】由两直线垂直斜率关系和点斜式可得A；结合中点坐标和斜率公式可得B；设出截距式方程，代入点，由基本不等式确定直线方程，再得到外接圆方程可得C；将点代入外接圆方程可得D. 【详解】对于A，，，， 直线的方程为，即，A正确； 对于B，设，因为的中点，所以， 可得,，B正确； 对于C，依题意设， 过，，，， ，当且仅当，时等号成立． 外接圆方程为，即，所以C错误； 对于D，的外接圆方程为， 整理得（*），将点代入（*）左边，得 又因为，所以 ，当且仅当，时等号成立， 点在的外接圆内，D正确．故选：ABD． 16（多选）．以下四个命题中正确的是（　　） A．直线与直线之间的距离是 B．如果，则直线不经过第二象限 C．“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 D．直线与的交点在圆内 【答案】BD 【分析】应用平行直线间的距离公式判断A；将直线化为斜截式判断B；应用直线平行的判定列方程求参数，注意直线重合的情况判断C；求出直线的交点，再判断点与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，因直线与直线平行，则它们的距离为，故A错误； 对于B，由可化为，因，则， 则直线过一、三、四象限，不过第二象限，故B正确， 对于C，由与平行，可得，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，两直线方程均为，即两直线重合，不符合题意，故. 故 “”是“直线与直线平行”的充要条件，即C错误； 对于D，由，可得，则交点为， 由，则，该圆的圆心为，半径为， ，故点在圆内，故D正确.故选：BD 巩固提升： 1．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得，则整数m的值为. 2．若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程的要求列不等式求解即可. 【详解】方程表示一个圆，则，解得.故选：D. 3．过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由圆的一般方程可列出方程组，直接求解即可. 【详解】设圆的一般方程为， 由题意可知，圆经过三点，则，解得， 所以圆的方程为，即，故B正确. 4．以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而,即 5．已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】将代入圆的方程进行求解． 【详解】将代入圆的方程中，得，即， 方程为，满足，故,故选：B. 6．圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 7．在中，，，为与的交点，且．若，则面积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】以为原点，所在直线为轴，设，其中，联立直线与求得交点坐标，利用条件推出点坐标满足的方程，从而确定点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），当最大时即可求得面积最大值. 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，其中，因为，所以， 由知，所以，所以， 所以直线的方程为，，所以直线的方程为， 因为为与的交点，所以，解得， 代入计算得，所以， 因为， ，， 由得，化简得， 所以点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），所以 ，因为，所以面积的最大值为.    8．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 9．若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即.故选：A 10．若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【详解】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以，解得，所以的取值范围.故选：D. 11．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程及点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆外，则，即，解得，选：B． 12．某数据中心有一核心节点，周围边缘节点均部署在圆上．定义流量损耗函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将流量损耗函数化简为对勾函数形式，再结合点与圆的位置关系确定的取值范围，最后利用对勾函数单调性求最小值. 【详解】由圆可知圆心，半径， 令，则，因为，，所以， 所以，因为在上单调递增， 所以当时，. 13（多选）．已知点都在圆上，点，则（    ） A．线段是圆的直径 B．圆的方程为 C．对于任意，圆上都存在点，使得 D．若在圆外，则的取值范围是 【答案】AB 【分析】根据已知的三点坐标确定圆的标准方程，利用圆心和半径的性质判断直径关系，从而验证选项A和B，选项C，通过向量垂直的条件转化为圆的交点问题，结合几何特征分析存在性；选项D，利用点与圆的位置关系转化为距离不等式求解参数范围. 【详解】设圆的方程为，， 由三点，，在圆上， 所以，解得，所以圆的方程为， 故圆的方程为，圆心为，半径， 对于A，线段的中点为，与圆心重合，所以线段是圆的直径，故A正确； 对于B，由上述计算可知，圆的方程为，故B正确； 对于C，若时，点与点不重合， 对于圆上一点，若，则， ，， 则，化简得，此为过原点的圆， 点P为圆与该圆的交点，两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 当时，，此时或， 即满足的点只有和，故此时不存在满足条件的点， 因此，命题“对于任意，圆上都存在点，使得”为假命题，故C错误； 对于D，点在圆外，则点D到圆心的距离大于半径，即， 解得，即，解得或，故D错误.故选：AB 14（多选）．已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 【答案】ABD 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项正确； 点在圆外，B选项正确； ∵圆心不在直线上， ∴圆关于直线不对称，C选项错误； ，圆半径， ，即，D选项正确.故选：ABD. 15．方程表示圆的充要条件是，，．( ) 【答案】错误 【详解】方程表示圆 表示圆，且 表示圆且 即，，．所以原命题错误. 16．圆关于直线对称的圆的方程为___________． 【答案】 【详解】由圆，将其化为标准式可得， 所以圆心坐标为，半径为， 由圆与圆关于直线对称，则可得圆心坐标为，半径为， 所以圆的标准方程为. 17．圆的圆心坐标为_________． 【答案】 【详解】将方程转化为圆的标准方程得：，所以圆心坐标为. 18．圆的直径的最小值为____________． 【答案】 【分析】化为标准方程得到半径求解. 【详解】圆的方程可化为，则直径． 故答案为： 19．若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去，所以 20．已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解. 【详解】由题可得， 所以的取值范围为.故答案为： 21．方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【分析】由方程表示圆列出不等式，直接求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，化简得.所以的取值范围为.故答案为：. 22．在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【答案】 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， 所以的外接圆方程为． 23．已知中，，，，则边上的高的最大值为______． 【答案】/ 【分析】先根据确定点的位置，结合的等量关系，建立平面直角坐标系，设，从而得点的轨迹及，即可求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 易知，，则边上的高就是点纵坐标的绝对值， 设，由，可知是靠近的三等分点， 由，得点坐标为，因此， 又，，由，得， 整理得，所以点的轨迹是圆心为、半径的圆， 因此的最大值就是圆的半径，代入，得的最大值为. 24．若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得，则所求圆的方程为. 25．圆的半径为________． 【答案】2 【分析】将圆的一般方程通过配方转化为标准方程，即可求解半径. 【详解】圆方程可化为 ，故半径为2. 26．过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线的方程是________. 【答案】 【详解】由配方得可得圆心为， 则截得弦最长的直线必过点和圆心，故所求直线方程为，即． 27．若直线平分圆的周长，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】∵直线平分的周长， ∴圆心在直线上，可得0，解得． ，当且仅当时等号成立，因此的取值范围为． 28．给出以下五个点的坐标：①；②；③；④；⑤以上各点在圆上的是________（写出所有可能的序号）. 【答案】③⑤ 【分析】将根据点点距与半径的大小关系即可判断. 【详解】由于，故点在圆内， ，故点在圆内，，故点在圆上， ，故点在圆内，，故点在圆上， 故答案为：③⑤ 29．若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 30．若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 【答案】9 【分析】由题意得直线过圆心，可得，再使用1的代换，即可求得的最小值. 【详解】易得圆心，半径， 由题意得直线 过圆心，则有， 故，当且仅当即时取等号， 故 的最小值是9，故答案为：9. 31．圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由，所以，得圆心为，半径为，由关于点对称点为，所以关于对称的圆的标准方程为：，故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $