2.4.2 圆的一般方程（导学案）数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“圆的一般方程”，核心内容包括方程形式特征、D²+E²-4F的几何意义、配方法互化及待定系数法求方程。通过三个二元二次方程配方探究导入，衔接圆的标准方程，搭建从具体到抽象的学习支架。 以配方法、相关点法为核心，通过“探究—例析—检测”流程，规范轨迹推导步骤，深化数形结合思想。习题精选不同地区期中期末题，分层设计，助力提升数学运算、逻辑推理、直观想象核心素养，培养解析几何问题解决能力。

2.4.2 圆的一般方程 （导学案） 1. 数学抽象与运算：掌握圆的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0的形式特征，理解D²+E²-4F的几何意义，熟练运用配方法完成圆的一般方程与标准方程的互化，能快速写出圆心、半径。 1. 逻辑推理应用：熟练使用待定系数法，根据三点、圆心半径相关条件设一般方程，列三元一次方程组求解D、E、F，独立完成“三点定圆”类基础题型。 1. 直观想象提升：掌握相关点法（代入法）求解双动点轨迹方程，规范写出“设点—找坐标关系—代换—化简”完整解题流程；了解直接法求简单轨迹方程。 1. 核心素养落地：在标准方程与一般方程互化、轨迹推导中深化数形结合思想，提升数学运算、逻辑推理、直观想象三大解析几何核心素养。 （一）学习重点 1. 圆的一般方程形式、D²+E²-4F>0成立条件，圆心、半径计算公式； 1. 配方法实现一般方程与标准方程的双向互化； 1. 待定系数法求过三点的圆的一般方程。 （二）学习难点 1. 理解判别式D²+E²-4F三种取值对应的几何图形（圆/点/无图形）； 1. 相关点法求解动点轨迹方程，建立主动点、从动点坐标等量关系并完成代换化简。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　圆的一般方程 (1)定义 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)叫做圆的一般方程． (2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 变形 将此方程的左边配方，常数项移到右边，得＋＝ 结论 条件 图形 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，为半径的圆 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 [拓展]　判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0； 二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数． 知识点二　待定系数法求圆的方程的步骤 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程． 探究：是否所有的二元二次方程表示的都是圆呢？ 观察以下三个二元二次方程： (1) x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0； (2) x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0； (3) x2＋y2＋2x＋2y＝0. 要求：先将它们分别按圆的标准方程的形式进行配方，分析它们分别表示什么图形？ (1)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝－6，------> 不表示任何图形． (2)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，------> 表示点(－1，－1) (3)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，------>表示圆 设计意图：引导学生认识圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的关系. 探究：有些二元二次方程不表示任何图形，有些表示点，有些表示圆， 对于以下二元二次方程，如果它要表示圆，系数D、E、F需要满足什么条件呢？ 教师：提示学生，将以上方程按圆的标准方程的形式进行配方， 思考：分析方程②，思考：方程①表示的一定是圆吗？若要表示圆，需要满足什么条件呢？ 学生：学生同桌讨论分析，得出结论：方程①表示的不一定是圆，只有当时才能表示圆. 设计意图：通过对圆的标准方程的讨论，引出圆的一般方程，同时类比直线方程的多种形式，帮助学生认识圆的一般方程与二元二次方程的关系.学会联系旧知，制定解决问题的策略. 师生：总结归纳，并得出圆的一般方程： 当时，二元二次方程： 此时， 我们称方程:为圆的一般方程. 思考：当、时，方程①分别表示什么图形？ 学生：独立思考，然后与同桌沟通交流，共同得出答案： 当时，方程①只有实数解，，它表示一个点； 当时，方程①没有实数解，它不表示任何图形． 思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 教师：教师引导学生观察和思考，根据两个方程的形式特点，启发学生得出结论. 学生：回顾标准方程的相关知识点，分析比较，得出结论： 圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径，重“形”； 圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程,方程的代数特征非常明显，重“数”，这两个方程充分体现了数形结合思想的具象提现. 例4 求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 师生：共同分析：将，，点的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：设圆的方程是 ． ① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于，，的一个三元一次方程组 解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是． 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，半径． 思考：与P83页例2的方法比较，你有什么体会？ 学生：面对两次使用待定系数法，学生通过解题过程的分析与比较，体会其中的相同点和不通点，并得出结论：都是用待定系数法求圆的方程，只是设的方程形式不同，待定的系数不同. 设计意图：通过对比两种解题方法，加深学生思考，优化解题步骤，培养学生良好的数学思维习惯和反思总结的能力. 师生：结合两次使用待定系数法，总结待定系数法求圆的方程的步骤： ①设：根据题意，设圆的标准方程或一般方程； ②列：根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解：解方程组得到a，b，r或D，E，F的值； ④代：代入圆的标准方程或一般方程，即可得解； 跟踪练习：的三个顶点分别是，，，求的外接圆的一般方程，并写出圆心坐标和半径． 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：设圆的方程是 ． ① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于，，的一个三元一次方程组 解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是． 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，半径． 例5已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点 的轨迹方程． 知识小贴士：点的运动轨迹是指点的坐标满足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）． 师生：共同分析；如图，点运动引起点运动，而点在已知圆上运动，点的坐标满足方程．建立点与点坐标之间的关系，就可以利用点的坐标所满足的关系式得到点的坐标满足的关系式，求出点的轨迹方程． 预设：设点的坐标是，点的坐标是．由于点的坐标是，且是线段的中点，所以 ， 于是有 ，． ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即 ． ② 把①代入②得 ． 整理，得 ． 这就是点的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆． 教师：这种求动点轨迹方程的方法称之为相关点法 师生：共同总结分析，用相关点法求动点轨迹方程的有哪些步骤： ①设坐标：设所求动点坐标为，另一动点为； ②找关系：根据已知条件找到与、与的等式关系； ③代方程：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程； ④标准化：将所得新的方程进行整理成标准化方程； 1.（25-26高二下·四川成都·期中）圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将圆的方程通过配方法由一般形式化为标准形式即可. 【详解】原方程为，分组配方得， 整理为圆的标准方程， 对比圆的标准方程 （为半径），可得半径 .故选：B. 2. （25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（ ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】把圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径. 【详解】将圆的一般方程转换为标准方程，得， 则圆的半径为2. 故选：B. 3.（25-26高二下·广东深圳·期中）已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、由标准方程确定圆心和半径、圆的弧长、面积、圆心角等计算 【详解】法一：将圆的一般方程化为标准方程， 由此可知圆的半径，所以该圆的面积. 法二：由圆的一般方程知， 所以圆的半径，所以该圆的面积.故选：C. 4.（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点与圆的位置关系求参数、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【详解】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：D. 5.（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将方程配成标准式，即可得到，解得即可. 【详解】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数m的取值范围是. 故选：B. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.2 圆的一般方程 （导学案） 1. 数学抽象与运算：掌握圆的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0的形式特征，理解D²+E²-4F的几何意义，熟练运用配方法完成圆的一般方程与标准方程的互化，能快速写出圆心、半径。 1. 逻辑推理应用：熟练使用待定系数法，根据三点、圆心半径相关条件设一般方程，列三元一次方程组求解D、E、F，独立完成“三点定圆”类基础题型。 1. 直观想象提升：掌握相关点法（代入法）求解双动点轨迹方程，规范写出“设点—找坐标关系—代换—化简”完整解题流程；了解直接法求简单轨迹方程。 1. 核心素养落地：在标准方程与一般方程互化、轨迹推导中深化数形结合思想，提升数学运算、逻辑推理、直观想象三大解析几何核心素养。 （一）学习重点 1. 圆的一般方程形式、D²+E²-4F>0成立条件，圆心、半径计算公式； 1. 配方法实现一般方程与标准方程的双向互化； 1. 待定系数法求过三点的圆的一般方程。 （二）学习难点 1. 理解判别式D²+E²-4F三种取值对应的几何图形（圆/点/无图形）； 1. 相关点法求解动点轨迹方程，建立主动点、从动点坐标等量关系并完成代换化简。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　圆的一般方程 (1)定义 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0( )叫做圆的一般方程． (2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 变形 将此方程的左边配方，常数项移到右边，得 ＝ 结论 条件 图形 D2＋E2－4F>0 表示以 为圆心， 半径的圆 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 [拓展]　判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0； 二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数． 知识点二　待定系数法求圆的方程的步骤 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程． 探究：是否所有的二元二次方程表示的都是圆呢？ 观察以下三个二元二次方程： (1) x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0； (2) x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0； (3) x2＋y2＋2x＋2y＝0. 要求：先将它们分别按圆的标准方程的形式进行配方，分析它们分别表示什么图形？ (1)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝－6，------> 不表示任何图形． (2)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，------> 表示点(－1，－1) (3)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，------>表示圆 探究：有些二元二次方程不表示任何图形，有些表示点，有些表示圆， 对于以下二元二次方程，如果它要表示圆，系数D、E、F需要满足什么条件呢？ 师生：总结归纳，并得出圆的一般方程： 当时，二元二次方程： 此时， 我们称方程:为圆的一般方程. 思考：当、时，方程①分别表示什么图形？ 思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 例4 求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 思考：与P83页例2的方法比较，你有什么体会？ 例5已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点 的轨迹方程． 1.（25-26高二下·四川成都·期中）圆的半径为（   ） A． B． C． D． 2. （25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（ ） A．1 B．2 C． D．4 3.（25-26高二下·广东深圳·期中）已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $