2.4.1 圆的标准方程导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“圆的标准方程”，引导学生从圆心和半径这一几何要素出发，结合两点距离公式推导方程，衔接坐标法知识，为后续直线与圆位置关系学习搭建认知支架。 资料亮点在于易错点精准归纳，题型覆盖轨迹、最值等综合问题，通过数形结合培养数学思维，分层习题助力学生用数学语言表达几何关系，有效提升抽象能力与应用意识。

第十七讲 圆的标准方程 【学习目标】1.能根据确定圆的几何要素：圆心和半径，结合两点距离公式，利用坐标法得到圆的标准方程； 2.能利用圆的标准方程判断点与圆的位置关系； 3.会根据给定的条件，利用圆的有关几何性质求圆的标准方程，体会数形结合的思想． 【学习重点】圆的标准方程. 【学习难点】选择合适的方法求圆的标准方程. 必掌握知识点 一 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 二 圆的标准方程 标准方程，圆心，半径为. 求圆方程的方法 待定系数法 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 三 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，圆半径为， .点在圆内； .点在圆上； 点在圆外. 给定点及圆 在圆内； 在圆上； 在圆外. 某点到圆上点的距离 若点在圆内，则，； 若点在圆外，则，； 圆上一点到圆外一直线的距离 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 四 弦长 弦长公式：(是圆的半径，是圆心到直线的距离). 利用垂径定理及勾股定理可以得到. 五 易错点总结： 易错点 1：圆标准方程 1.，符号易错：圆心，方程写成，是，很多同学写成。 2.直径式圆：中点计算不要算错；半径是直径一半，不要直接把两点距离当作半径。 3.“过两点面积最小圆”：是以两点为直径，不是随便一个过两点的圆。 易错点 2：圆的对称性 1.“圆上两点关于直线对称”，直线必须过圆心；很多同学忘记代入圆心坐标。 2.对称轴是直线，不是线段。 易错点 3：弦长公式 弦长，用的是弦长一半，不要直接拿弦长代入根号。错误写法： 易错点 4：三角形外接圆、内切圆 1.直角三角形外接圆：圆心是斜边中点，半径是斜边一半；不要找错斜边。 2.内切圆半径公式：；不要记成，漏掉。 3.外心是垂直平分线交点，内心是角平分线交点，两个概念容易混淆。 易错点 5：轨迹方程（阿氏圆、相关点法） 1.，轨迹是直线（垂直平分线），不是圆！只有才是圆。 2.求轨迹，要注意挖去不符合题意的点（题目几何限制，分母不为 0 等）。 3.相关点法（中点轨迹）：坐标变换搞反，在已知圆上，用表示再代入，不要反过来。 易错点 6：带绝对值花瓣曲线 1.去绝对值，要分象限讨论； 2.算面积：图形由圆弧 + 正方形拼接，不要直接当成一个圆计算面积。 易错点 7：圆上点的最值 1.圆上点到定点距离最大值：；最小值：，不是直接。 2.三角换元：，圆心，不要直接写成（默认圆心原点）。 易错点 8：角度与切线综合 直线上存在点使，推导：，得到；很多同学直接写成。 必考题型全归纳： 题型一、圆的标准方程 1．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型二、圆的几何性质 5．若直线是圆的一条对称轴，则______________． 6．已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 7．若圆 M: 上存在两点A，B，且直线l:3x+4y-5=0上存在点 P，使得∠APB=60°，则r的取值范围是（   ） A．(0，4] B．[4，+∞) C．(0，2] D．[2，+∞) 8．若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 题型三、轨迹问题（阿氏圆、阿波罗尼斯圆） 9．在中，已知，．记点的运动轨迹为曲线，的外接圆与曲线交于两点．当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，已知，，，射线AO是∠BAC的角平分线，则△ABC面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．在平面直角坐标系中，点，若动点P满足，则点P的轨迹是圆心坐标为______，半径为______的圆． 题型四、与圆有关的最值问题 12．若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 13（多选）．点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．满足的点有且仅有2个 D． 14（多选）．已知曲线，点在上，为坐标原点，，则下列说法正确的是（    ） A．点在上 B．围成的图形面积为 C．的最小值为 D．若，则的最大值为2 题型五、带绝对值的复合曲线（花瓣型曲线） 15．曲线所表示的图形是（   ） A．以为圆心1为半径的圆 B．以为圆心1为半径的半圆 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心1为半径的圆 D．以为圆心1为半径的半圆和以为圆心1为半径的半圆 16（多选）．已知曲线，则（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线上任意一点到原点的最大距离为 C．曲线所围成图形的面积为 D．函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点 17（多选）．关于曲线，下列结论中正确的是（） A．曲线有且仅有两条对称轴 B．曲线围成的图形的面积为 C．曲线上的点到直线距离的最小值为 D．若直线与曲线有四个公共点，m的取值范围为 18．曲线围成的面积为_________． 巩固提升： 1．已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则“圆不经过第四象限”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若圆与曲线有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，圆：，过点且斜率存在的直线与圆相交于，两点，若，则圆心到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 7．已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 9．以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 11．已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 12．已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 13．圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 14．已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 15．上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 16．已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 17．若圆的面积为，则（    ） A． B． C． D． 18．已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 19．已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 20．与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 21．以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 22．已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为______. 23．已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是_________. 24．已知圆过点，，，则其标准方程为________． 25．在梯形中，，分别以该梯形的四条边为直径向外作半圆，是四个半圆上的动点，则的最大值为__________. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七讲 圆的标准方程 【学习目标】1.能根据确定圆的几何要素：圆心和半径，结合两点距离公式，利用坐标法得到圆的标准方程； 2.能利用圆的标准方程判断点与圆的位置关系； 3.会根据给定的条件，利用圆的有关几何性质求圆的标准方程，体会数形结合的思想． 【学习重点】圆的标准方程. 【学习难点】选择合适的方法求圆的标准方程. 必掌握知识点 一 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 二 圆的标准方程 标准方程，圆心，半径为. 求圆方程的方法 待定系数法 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 三 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，圆半径为， .点在圆内； .点在圆上； 点在圆外. 给定点及圆 在圆内； 在圆上； 在圆外. 某点到圆上点的距离 若点在圆内，则，； 若点在圆外，则，； 圆上一点到圆外一直线的距离 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 四 弦长 弦长公式：(是圆的半径，是圆心到直线的距离). 利用垂径定理及勾股定理可以得到. 五 易错点总结： 易错点 1：圆标准方程 1.，符号易错：圆心，方程写成，是，很多同学写成。 2.直径式圆：中点计算不要算错；半径是直径一半，不要直接把两点距离当作半径。 3.“过两点面积最小圆”：是以两点为直径，不是随便一个过两点的圆。 易错点 2：圆的对称性 1.“圆上两点关于直线对称”，直线必须过圆心；很多同学忘记代入圆心坐标。 2.对称轴是直线，不是线段。 易错点 3：弦长公式 弦长，用的是弦长一半，不要直接拿弦长代入根号。错误写法： 易错点 4：三角形外接圆、内切圆 1.直角三角形外接圆：圆心是斜边中点，半径是斜边一半；不要找错斜边。 2.内切圆半径公式：；不要记成，漏掉。 3.外心是垂直平分线交点，内心是角平分线交点，两个概念容易混淆。 易错点 5：轨迹方程（阿氏圆、相关点法） 1.，轨迹是直线（垂直平分线），不是圆！只有才是圆。 2.求轨迹，要注意挖去不符合题意的点（题目几何限制，分母不为 0 等）。 3.相关点法（中点轨迹）：坐标变换搞反，在已知圆上，用表示再代入，不要反过来。 易错点 6：带绝对值花瓣曲线 1.去绝对值，要分象限讨论； 2.算面积：图形由圆弧 + 正方形拼接，不要直接当成一个圆计算面积。 易错点 7：圆上点的最值 1.圆上点到定点距离最大值：；最小值：，不是直接。 2.三角换元：，圆心，不要直接写成（默认圆心原点）。 易错点 8：角度与切线综合 直线上存在点使，推导：，得到；很多同学直接写成。 必考题型全归纳： 题型一、圆的标准方程 1.圆的标准方程： 圆心：，半径： 2.直径式圆方程：若直径两端点， 圆心为线段中点： 半径 ， 3.特殊条件求圆方程 圆与轴相切：半径（圆心）；圆与轴相切：半径 过两点面积最小的圆：以这两点连线为直径的圆（直径是最短弦） 4.求圆标准方程两类方法 ① 待定系数法：设，代入条件列方程组解； ② 几何法：利用垂直平分线找圆心，两点距离求半径。 1．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 2．已知，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为以、为直径两端点的圆的圆心坐标为， 半径为，所以所求圆的标准方程为， 即以为直径的圆的方程为. 3．已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 4．过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 题型二、圆的几何性质 1.圆的对称性 圆是中心对称 + 轴对称图形，所有对称轴都过圆心。 若一条直线是圆的对称轴，则直线必经过圆心；若圆上两点关于直线对称，直线过圆心。 2.弦长公式：弦长，为圆心到直线距离，半径。 弦长越大，弦心距越小；弦长最大为直径。 面积（圆心，弦）：；当圆心角时面积取得最大值。 3.切线、角度问题 圆外一点引圆两条切线，切线长相等；设两条切线夹角，，为圆心。 5．若直线是圆的一条对称轴，则______________． 【答案】2 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上， 即，解得． 6．已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 7．若圆 M: 上存在两点A，B，且直线l:3x+4y-5=0上存在点 P，使得∠APB=60°，则r的取值范围是（   ） A．(0，4] B．[4，+∞) C．(0，2] D．[2，+∞) 【答案】D 【分析】过点作圆的两条切线（为切点），根据题意得到，结合已知可得圆心到直线的距离，由点直线的距离公式代入列不等式求解即可． 【详解】圆 M:的圆心坐标，半径为， 此时圆心到直线l:的距离为， 若在圆M上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝60°，过点作圆的两条切线（为切点），,所以，解得，故选：D. 8．若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. 题型三、轨迹问题（阿氏圆、阿波罗尼斯圆） 1.阿波罗尼斯圆（阿氏圆）：平面内两点，动点满足，轨迹是圆。时轨迹是线段垂直平分线。 2.求解步骤：设动点，把距离等式坐标化，平方化简，得到圆方程，注意剔除无效点（轨迹要去掉不符合题意交点）。 3.中点轨迹（相关点法）：已知点在已知圆上，是中点，求轨迹。设反表示坐标，代入满足的圆方程，化简得到轨迹。 9．在中，已知，．记点的运动轨迹为曲线，的外接圆与曲线交于两点．当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设，求出曲线方程，在中由余弦定理得，再利用基本不等式，结合余弦函数的单调性可得最大值，此时是直角三角形，求出圆的方程与曲线方程联立可得答案.， 【详解】以的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴， 所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则， 设，由得， 化简得， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆， 在中，，， 由余弦定理得 ， 又因为，所以， 当且仅当即时等号成立，所以， 因为在上单调递减，所以当时， 最大，此时，由 可得，所以是直角三角形，且， 所以，可得的外接圆的圆心即为的中点， 所以，圆的方程为， 由得，或， 即， 所以. 10．在平面直角坐标系中，已知，，，射线AO是∠BAC的角平分线，则△ABC面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据角平分线得到点的轨迹，再结合三角形面积求解最大值即可. 【详解】AO是∠BAC的角平分线，， 设，则，两边平方化简得， 故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（除去与轴的交点）. ，又，. 故选：C. 11．在平面直角坐标系中，点，若动点P满足，则点P的轨迹是圆心坐标为______，半径为______的圆． 【答案】 【详解】设，得，，. 因为，所以，化简得. 所以圆心坐标为，半径为. 题型四、与圆有关的最值问题 常见几类最值模型 1.，在圆上：几何意义直线截距；代数用三角换元：设代入求最值。 2.：圆上点到坐标原点距离；圆上点到定点距离； 最大值：；最小值：，圆心。 3.：圆上点与定点连线斜率。 4.：圆上点到直线距离的倍数；最值 = 圆心到直线距离。 5.基本不等式结合圆：圆心满足线性等式，求代数式最小。 12．若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】换元，，将转化为关于的三角函数，利用辅助角公式求最值 【详解】因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为 13（多选）．点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．满足的点有且仅有2个 D． 【答案】ABD 【分析】利用点到直线的距离公式、圆的定义结合基本不等式判定各选项即可. 【详解】设，则. 点到直线的距离为，点到直线的距离为. 对于A，.故A正确. 对于B，由于，且， 所以. 因此.当且仅当时取等，故B正确. 对于C，若，则. 平方得，化简得. 单位圆上满足的点有（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），共4个，故C错误. 对于D，由，得.故D正确. 14（多选）．已知曲线，点在上，为坐标原点，，则下列说法正确的是（    ） A．点在上 B．围成的图形面积为 C．的最小值为 D．若，则的最大值为2 【答案】ABD 【分析】对于A，将点坐标代入方程即可验证；对于B，先判断曲线围成的图像由四个半径为的半圆和一个边长为的正方形组成，进而计算面积；对于C，表示曲线上的点到直线的距离的倍，进而计算即可；对于D，将等价于到点的距离，即可计算. 【详解】 当时，原方程化为， 所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分， 又曲线关于轴，轴对称，所以曲线，如图所示. 对于A，代入满足方程，所以A正确. 对于B，曲线围成的图像由四个半径为的半圆和一个边长为的正方形组成， 所以面积为：， 所以B正确. 对于C，表示曲线上的点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离，结合图像得， 故到直线的最小距离为,进而的最小值为，所以C错误. 对于D， 因为时，方程变为，所以 等价于到点的距离， 所以所以D正确. 故选：ABD. 题型五、带绝对值的复合曲线（花瓣型曲线） 方程形如与圆结合，等，处理方法：分类讨论去绝对值，分四个象限讨论，写出每一段曲线方程，画出图形。 1.判断对称轴；计算围成图形面积（拆分：圆 + 正方形）； 2.判断曲线与直线交点个数； 3.曲线上点到定点、定直线距离最值。 15．曲线所表示的图形是（   ） A．以为圆心1为半径的圆 B．以为圆心1为半径的半圆 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心1为半径的圆 D．以为圆心1为半径的半圆和以为圆心1为半径的半圆 【答案】C 【分析】分和讨论，由圆的标准方程即可求解. 【详解】由题意有：当时，，表示以为圆心，半径为的圆； 当时，，表示以为圆心，半径为的圆， 故选：C. 16（多选）．已知曲线，则（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线上任意一点到原点的最大距离为 C．曲线所围成图形的面积为 D．函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点 【答案】BCD 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图象，由图可得答案. 【详解】已知曲线， 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线为原点； 因此，画出曲线的图象，如图所示， 对于A，曲线的图象有条对称轴，故A错误； 对于B，曲线上任意一点到原点的距离为，则， 由于，所以，当且仅当时取等号， 则，解得，所以曲线上任意一点到原点的最大距离为，故B正确； 对于C，由图象可知，曲线所围成的图形是由个半径为的半圆和个边长为的正方形组成， 因此曲线所围成的图形的面积为，故C正确； 对于D，由于，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，且，，如图所示， 当时，，在上单调递减，此时与曲线有个交点； 当时，，在上单调递增，此时与曲线有个交点； 因此函数的图象与曲线的图象在第一象限有个交点， 根据函数的对称性，函数的图象与曲线的图象在第二象限也会有个交点， 所以函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点，故D正确. 17（多选）．关于曲线，下列结论中正确的是（） A．曲线有且仅有两条对称轴 B．曲线围成的图形的面积为 C．曲线上的点到直线距离的最小值为 D．若直线与曲线有四个公共点，m的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据曲线的方程，分类讨论去绝对值可画出曲线围成的图形，再数形结合一一判断即可． 【详解】因为曲线， 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为． 所以曲线的图象如图所示：曲线有四条对称轴，A选项错误； 由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， ，B选项正确； 直线恒经过定点与，如图所示， 曲线到直线最短距离为第四象限半圆圆心到直线的距离减去半径， 可知第四象限圆心为：，则圆心到直线距离， 减去半径：，故C选项正确； 直线恒过点，对称性保证和时情况对称，只需考虑， 保持四个交点的条件是直线与各弧恰有一个交点，不会因相切导致某一象限无交点， 临界是直线与某一象限的弧相切，切点在该弧内部（非端点）， 取第三象限圆弧（圆心，半径）， 直线到圆心距离等于半径： 平方并整理：， 解得： 其中的上界取（负根舍去，因为需对应临界状态）， 当时，直线通过某段弧的端点，导致两个象限共享一个交点，公共点数减少为， 因此要保持四个交点，须，因此正斜率范围， 对称得负斜率范围，由对称性，当时同样有区间：， 综上，，D选项正确. 故选：BCD 18．曲线围成的面积为_________． 【答案】/ 【分析】利用曲线的对称性以及圆面积公式、扇形的面积公式分析计算即可. 【详解】由曲线围成的图形如图所示：    要计算曲线围成的面积，只需计算第一象限内围成的面积，然后乘以4即可， 当曲线方程化为， 这是一个以为圆心，为半径的圆， 该圆刚好经过原点以及坐标轴上的和． 第一象限内的面积是这个圆在内的部分，由圆的面积为， 它超出第一象限的部分，是被轴（弦长为2）和轴（弦长为2）切下的两个弓形， 由于弦长等于2，半径为，满足，这意味着圆心角为， 单个月牙弓形面积， 所以第一象限内的面积， 因此曲线围成的总面积为：． 巩固提升： 1．已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 2．已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 3．圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定圆的圆心与半径，从而根据圆的标准方程进行求解. 【详解】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为. 因此所求圆的方程是． 4．已知，则“圆不经过第四象限”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合圆不经过第四象限，根据圆心到原点的距离与半径的大小关系列不等式求出的范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为圆， 所以圆，则圆心坐标为，半径， 因为半径，所以，化简得：， 解得，又因为，所以， 若圆不经过第四象限，则圆心到轴的距离要大于等于半径， 即，移项可得：，解得：或， 又因为，可得，所以可推出， 所以是的充分条件， 当时，不满足，所以是的不必要条件， 综上，圆不经过第四象限是的充分不必要条件. 5．若圆与曲线有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定圆的圆心和半径，再将问题转化为圆心到直线的距离不超过半径的不等式，分析求解得到的取值范围. 【详解】圆的方程为，可得圆心，半径， 又的值域为，圆与曲线有公共点，等价于存在，使得直线与圆有交点， 直线与圆有交点的条件为圆心到该直线的距离不大于半径，即， 问题转化为存在使该不等式成立。该不等式化为， 因，故，所以，即， 要使存在满足此条件，需区间与有交集，故，解得， 综上，的取值范围是. 6．在平面直角坐标系中，圆：，过点且斜率存在的直线与圆相交于，两点，若，则圆心到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以点在线段垂直平分线上. 又因为圆心也在线段垂直平分线上，所以直线就是的垂直平分线. 因为，所以， 因为， 所以. 由题意得直线过点，那么直线为，一般形式为. 那么. 7．已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 8．已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点，则以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 9．以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出圆心坐标和半径，再根据圆的标准方程求解即可. 【详解】因为为直径的两个端点， 所以圆心坐标为，即， 半径为， 所以以为直径的两个端点的圆的方程为， 故选：D 10．已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的标准方程分析即可. 【详解】由于圆与轴相切，圆心到轴的距离等于半径， 距离为，故半径.由题知圆心为，故圆方程为. 故选：A． 11．已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意设，由求出的值，即得圆心与半径，进而得到圆的方程. 【详解】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为，则所求圆的方程为. 故选：A. 12．已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得圆心坐标与半径，据此可得答案. 【详解】由题可得圆心坐标为，圆直径为：，则圆半径为. 从而圆方程为：.故选：C 13．圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接运用圆的标准方程进行求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为6， 所以圆的标准方程为.故选：B 14．已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为，因为，且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为.故选：D 15．上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，利用待定系数法来求圆的方程，再通过坐标运算求高度即可． 【详解】以为原点，建立平面直角坐标系，如图： 设该圆弧所在圆为圆． 将的坐标代入圆的方程，得，解得， ∴圆． 当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7． 故选：C． 16．已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆的圆心和半径. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心的坐标为，半径. 故选：A 17．若圆的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆化成标准方程，可以知道圆的半径，代入面积公式即可求出答案. 【详解】由题意知圆的方程是， 可以化成标准方程，而圆的面积为， 则由圆的面积公式可得，解之可得. 故选： 18．已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 【答案】 【分析】利用待定系数法联立方程即可求解. 【详解】设圆心为，半径为r，则圆的标准方程为. 由题意可得方程组.解此方程组，得， 故所求圆的方程为. 19．已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可. 【详解】线段的中点，直线的斜率为， 则线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线方程为， 即，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 20．与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【答案】 【详解】已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径 等于圆心到切线 轴的距离， 圆心到 轴的距离为其横坐标的绝对值，即 . 根据圆的标准方程 （其中为圆心坐标， 为半径）. 将 代入，可得所求圆的方程为 . 21．以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 22．已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为______. 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 则的面积， 当且仅当时取等号，此时点到直线的距离即为等腰斜边上的高. 23．已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是_________. 【答案】 【分析】利用代入法，通过解方程组进行求解即可. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，，且圆心在直线上， 所以有， 因此圆的标准方程为，故答案为： 24．已知圆过点，，，则其标准方程为________． 【答案】 【分析】设，，，根据，得出圆是以为直径的圆，进而计算圆心和半径即可. 【详解】设，，，则, 则，故，于是圆是以为直径的圆， 故其圆心为，半径，故圆的标准方程为． 故答案为：． 25．在梯形中，，分别以该梯形的四条边为直径向外作半圆，是四个半圆上的动点，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，求得，分别求得以为直径的圆的方程，得到的最大值，即可求解. 【详解】如图所示，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    因为梯形中，，且， 过点作于点，所以，且， 所以， 设，可得，则， ①当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得， 所以的最大值为； ②当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得， 所以的最大值为； ③当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得， 所以的最大值为； ④当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得的最大值为2， 所以的最大值为, 综上可得，的最大值为. 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