湖北省武汉市九师联盟2027届高三年级上学期8月月考数学试卷

高三数学参考答案、提示及评分细则 1.C由题知A={-3,-2,0,2},所以(CA)∩B={-3,-2.故选C. 2.B由(2+i)x=4-yi得2.x=4,x=一y,所以x=2,y=-2,所以x十yi=2√2.故选B. 3.D 二项式(x一是)°展开式的通项为T1=Cx(-)=(-1DCx,令5-5r=0,解得，=1，所以二项式 (x-)）的展开式中常数项为-C=一5.故选D. 4D取m=一2，则|m>1,但m<品：取m=-合，则m>但m<1.故>1是“m>”的既不充分也不必 要条件.故选D. 反A设圆维的底自半径为，球的丰径为尺，由圆维与球的表应积相等，得”十义2一状，所以京后，圆维的高为 3,所以圆锥的体积与球的体积的比为3二-号故选A R 6.A由已知条件可得x=log4,y=log45,x=logy.因为3,4,5>1，且底数大于1，所以x>1,y>1. 比较x与一一g4bg5-等餐由基本不等式g3®5<(3)-()广.由于15<16，则g15 <1g16=2g4,所以(，5）°<g42.因此(1g402-lg3·1g5>0,即x一>0，所以>>1. 比较之与1： 由之=logy,且y<x,底数x>1,所以<1.于是x>y>之.故选A. 7.B设等比数列{an)的公比为g,当q=1时，可得Sg=9a,S=3a,S=6a,则2Sg=18a1,S+S6=9a1.因为a≠0， 所以2S,≠5+S,所以q≠1，此时5.=2，又因为2S,=S十S,可得24二2）=a2+2,所 1-g 1-q 1-g 1-g 以21-)=(1-)+1-)，即2对-g-1=0.令1=，可得21-1-1=0，解得1=-2或1=1（舍去），所以g= 一号因为品+士之所以1十号所以=1一2=-1，所以9=一日=可，所以m一3=9，解得m= 12.故选B. 8.B不妨设FF2=√10，则a=1.设|BF2|=x,|AF2|=y,则|BF|=2+x,|AF2|=2 十y.在△BF1F2中，由勾股定理可得，(2十x)2+x2=10,所以x=1;同理，在△AF1F2中，由 勾股定理可得，1十》+9=(2+，所以y8所以品-兰=3放选B 9.BCD由90+92+95+96+98+95+95+95+93+95=944得该组数据的平均数为94.4， A错误；将该组数据由小到大排列知该组数据的众数与中位数都是95，极差为98一90=8， BC正确：由(90-94.4)2+(92-94.4)2+…+(95-94.4)2=44.4知方差2=4.44，D正 确.故选BCD. 10.AB对于A,a2+b=cos2a十sin2B+cos2B+sina=2,故A正确；对于B,a·b=cos acos B十sin asin B=cos(a一B),故 c2=1十(a·b)2,故B正确：对于C,取a=0,3-π，则a=(1,0),b=(-1,0),c=(-1,-1),此时a·c=一1，b·c=1,故C 错误：对于D,取a=受，8=0，则a=(0,0),b=(1,1),c=(0,-1),此时a+b十c=0十1=1<2，故D错误.故 选AB. 11.ABD因为f(a)是R上的奇函数，所以f(一x)=一f(x),两边取导数得-∫(-x)=一(x),则f(-x)=f(x),所 以f(x)是偶函数，即曲线y=f(x)关于y轴对称，故A正确；设h(x)=f(2十x)十f(x),则h'(x)=f(2十x)+f(x) =0,所以h(x)=c,当x=-1时，h(-1)=f(1)十f(-1)=0,因此c=0,所以f(2十x)=一f(x),则f(4+x) 一f(2十x)=f(x),所以4为f(x)的一个周期，故f(x)是周期函数，故B正确；因为f(一x)=一f(x),f(2+x)= 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 002-HB 一f(x),所以f(2+x)=f(一x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当1<x≤2时，2一x∈[0,1)，所以f(x) =f2-x)=-(2-)2+2(2-)=-2+2x,故C错误；由周期性可知f()=f(16+号)=（号）=f(2+号) =一f(分)=子，故D正确，放选AD 12支由题意，得8-久，又510A1=210B1,所以2-，所以E的离心率为e-√-(2丁-√-（停） 2 13.2n2-3曲线y=e2+ax+6,导数为)y=2e+a,切线斜率=4，在x=号ln2处有2exn2+a=2X2十a=4>a= 0.切点纵坐标为y=2+b,切线方程为y=4x-1,切点在该直线上，2+b=4×之ln2-1=21n2-1,故6=2n2-3.因 此a+b=0+(2n2-3)=2n2-3. 14.[号x)因为-1≤cs3≤1，所以sm(cs3x)<1,所以函数f()=[s(sin3x)-1[sn(as3)-1在区间 [0,a]上恰有3个零点，即cos(sin3x)-1=0在[0，a]上恰有3个实数根，所以sin3x=2kx,k∈Z,又-1≤sin3x≤ 1,所以sin3x=0在[0a]上恰有3个实数根，所以2x≤3a<3,解得≤a<,即a的取值范围是[三x): 15.解：(1)因为sinA十3cosA=5, 所以之s血A+osA-号 …1分 于是im(A+号)=， 3分 因为A∈0，x),A+吾∈(3，)， 所以A十吾-经，得到A=吾 …5分 (2)因为im∠ADC-sin(x-至-吾)=m(径+吾)=5+2 …7分 B=x-于-登∠ADB=子十音=登 …8分 E△ACD中，由正弦定理ACAC·sin∠ADC=+1,一 10分 在△ABD中，∠B=∠ADB=段，所以AB=AD=2, 11分 所以△ABC的面积为2 ABXACX sin∠BAC=2X2XW5+1)X √3_3+3 13分 16.解：(1)由题意，得C的准线方程为y=一多 2 1分 因为直线y=2与C交于A,B两点，所以A的纵坐标为2， 又AF=4所以2+号=4，解得p=4, 4分 所以抛物线C的方程为x2=8火.… …6分 (2)因为直线y=2与C交于A,B两点，不妨设A在第一象限， 所以A(4,2),B(-4,2),AB引=8.… …7分 由题意知直线l的斜率存在且不为0，F(0,2),故可设直线l:y=x十2，M(x,y1),N(x2,2), 不妨设y>y2,则由题意知y>2>y2, T=8y,得-8k-16=0,4=64k+64>0,西十9=86，西西=-16， 联立 …9分 y=kx+2, 因为Sa边形v=SaM+Sv=X8(1-2)+号X8(2-为)=4(y-光)=85， 所以y一2=25，… …11分 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 002-HB 又y-2=km+2-(k2十2)=k(x-2)=|k|√（一x2)z=|k|√(+2）-402=8k√/R+I=25,所以 7或k7,… 所以直线1的方程为y=分x+2或y=-号x+2,即x-2y十4=0或x+2-4=0. 15分 17.(1)证明：因为E为AD的中点，AD=2,所以AE=DE=1, 因为BC=CD=1,AD⊥CD,BC⊥CD,所以四边形BCDE是正方形，所以BE⊥AD,…2分 因为PA⊥平面ABCD,BEC平面ABCD,所以BE⊥PA, 因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以BE⊥平面PAD. …3分 (2)解：如图，在平面ABCD中，过点A作AD的垂线为x轴，以A为坐标原点，向量AD,AP方向 分别为y、之轴建立空间直角坐标系. 则P(0,0,2),E(0,1,0),B(1,1,0),C(1,2,0),…4分 设平面PBE的法向量为m=(x,y,z),EB=(1,0,0),EP=(0,一1,2)， PC=(1,2,-2）),…5分 1EB·m=x=0, 有 取之=1，得m=(0,2,1),…7分 E·m=-y十2x=0, 设直线PC与平面PBE所成的角为0，则sim0=|cos(m,Pd1=lm·P产-25 mPC 15 …9分 (3)解：在(2)的空间直角坐标系中，A(0,0,0),AP=(0,0,2),AB=(1,1,0),…10分 设平面PAB的法向量为n=(a,b,c), 1A2·n=2c=0, 则 1AB·n=a十b=0, 取a=1,得n=(1,-1,0)，… 12分 cosm,m=m·n=-@ 14分 m n 5 故平面PAB与平面PBE所政二面角的正弦值为√厂票=①， 5 15分 18.(1)解：(1)从5个相同小球中有放回地随机取2次，共有52=25种情况，X2的取值为3,4. X2=3表示2次取球中未被取到的球的个数为3个，即2次取球中取到2个不同编号的球， X2=4表示2次取球中未被取到的球的个数为4个，即2次取球中取到的是同1个编号的球， 所以PX=3)=告，PX=0景=号 所以X2的分布列为 X2 3 4 P 1 5 …5分 (ⅱ)Xm=3表示m次取球中未被取到的球的个数为3个，即m次取球中取到2个不同编号的球，从5个相同小球中有 放回地随机取m次，共有5m种情况，Xm=3时有C号(2m-2)种情况， 所以X.=3的概率为C3(2-2_22-2 5 5m-1 …10分 (2)证明：从n个相同小球中有放回地随机取球m次中，定义随机变量I,其中I=1表示第k个小球未被取到，I=0 表示第k个小球至少被取到1次，则I服从两点分布，所以 X=1+6+5十+.由题张知.X)=习B)=立P,= 又Pu=1)=("）”,所以EX)=()” X)=·(2司)”=…之(1-)》广，因为0<1-上<1所 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 002-HB 空-…3-扩-0--门---世- 1-(1-7) 故E(Xa）<t-………产 …17分 19.（)解：f(r)的定义域为(-1，十o∞)，∫（)=2ax十1一市…1分 因为x=2是函数x)的极值点，所以了2)=4如十1-弓-0，解得a= 1 69 …2分 当a=-言时，fx)=-吉+1-号， 因为0<x<2时，f(x)>0;x>2时，f(x)<0,所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，十∞)上单调递减，所以x=2是 f(x)的极大值点.… …3分 (2公解：r)=2+1-h=2a2 x+1 当a≥0时，2a.x+1+2a=2a(x+1)+1>0,f'(0)=0,-1<x<0时，f(x)<0;x>0时，f'(x)>0,f(x)在(-1,0)上 单调递减，在(0，十∞)上单调递增， 所以x>0时，f(x)>f(0)=0,不合题意.… …4分 当a<0时，由2ax+1+2a=0得x=-1-乙>-1， 当-1一云≤0即a≤一专时.f)<0对>0成立.所以f)在0，十e)上单调递减，所以>0时，<0) …5分 当-1云>0即宁<<0时，)>0对0<<-1-云成立在(0，-1)上单湖递销，所以当0< -1一云时，)>0)=0，不合题意。… …6分 所以u的取值范围是（一o9,一令] …7分 (3)证明：因为)二f）-az+-ln(+1)-a-2+h(x+) X2一 T2x1 =a(m十2)+1-1n(+1)-ln(+1D … …8分 所以要证f）>1十a(+) 1 2x1 V++元成立， 只要证-ln(+D-h(+D 1 成立，… …9分 X2一x √/(x1+1)(2+1D x2一x 因为2之x之-，所以只要证lh十)一n（十1）/十D干元成立，… 10分 因为h(+1)-n(+1)=n9士. 2一x1 (2+1)-(x+1) /x2+1 /十1 +1'√/+1)(2+1) √/(x+1)(2+1) √+√2+，所以只要证 ln22+1 第√第成立. /2+1 …… 12分 记0=lh1i+VF,则g)=2f=D≤0对>0成立所以g在0，+) 1 2i 21 2tNf 2it 上单调递减，当>1时g)<g)=0,所以n√…15分 ，由>≥>-1知+1>+10，从面密>1， 取t=2十1 所以n+2+巨 x+1V+1V2+ 成立，故原不等式成立。…17分 【高三数学参考答案第4页（共4页）】 002-HB 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，，则 A． B． C． D． 2．设，其中，是实数，则 A． B． C． D． 3．二项式的展开式中常数项为 A．10 B．-10 C．5 D．-5 4．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为 A． B． C． D． 6．已知，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 7．已知等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为 A．9 B．12 C．15 D．18 8．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与的右支交于，两点．若，则的值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．春节期间，某市10个景点游客综合满意度评分分别为90，92，95，96，98，95，95，95，93，95，则 A．该组数据的平均数为94 B．该组数据的众数与中位数相同 C．该组数据的极差为8 D．该组数据的方差为4.44 10．已知向量，，，则 A． B． C． D． 11．设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则 A．曲线关于轴对称 B．是周期函数 C．当时， D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知椭圆：（）的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，若，则的离心率为________． 13．若直线是曲线在处的切线，则________． 14．已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在中，角满足． （1）求； （2）若，的角平分线交线段于点，，求的面积． 16．（本小题满分15分） 已知抛物线：（）的焦点为，直线与交于，两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与抛物线交于，两点．若四边形的面积为，求直线的方程． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，，为的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）求平面与平面所成二面角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 有编号为1，2，3，…，的个相同小球，，从中有放回地随机取次，每次取1个球，记为这个球中未被取到的球的个数． （1）已知． （ⅰ）若，求的分布列； （ⅱ）若，求的概率； （2）若，都是离散型随机变量，则．证明：． 19．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）若是的极值点，求的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求的取值范围； （3）对的定义域内的任意，（）， 证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $