湖北省武汉市九师联盟2027届高三年级上学期8月月考数学试卷

高三数学答题卡 班 级： 姓 名： 贴条形码区 准考证号： (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 缺考标记 缺考考生，由监考员贴条形码 (考生禁填) 并用2B铅笔填涂缺考标记 填 正确填涂 注 1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在规定的位置，再认真核对条形码上的 准考证号姓名及考试科目，确认无误后将条形码粘贴在规定的位置。 涂 意2.作答时，选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用05毫米黑色墨水签 样 字笔书写，字体工整笔迹清楚。 错误填涂 事3.必须在答题卡各题目规定的答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无 例的[I⊙[P] 项 微：在草稿纸试题卷上答题无效。 4.请保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 选择题答题区域（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9LA][B][C][D] 2[A][B][C]CD] 6 [A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 非选择题答题区域（请用0.5毫米黑色墨水签字笔书写） 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三数学第1页（共2页） 002-HB 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) E 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三数学第2页（共2页） 002-HB 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2},集合A={-1,1},B={-3,-2,-1},则(CA)∩B= A.{-1} B.{-1,1} C.{-3,-2} D.{-3,-2,-1} 2.设(2+i)x=4-yi,其中x,y是实数，则|x十yi= A.2 B.22 C.25 D.4 3.二项式(-)月 的展开式中常数项为 A.10 B.-10 C.5 D.-5 4.m>1是m>分的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为 A号 B号 c 6.已知3=4,4=5，x=y,则x,y,x的大小关系为 A.yz B.y C.yr> D.x>y 【高三数学第1页（共4页）】 002-HB 7.已知等比数列{a,)的前m项和为S,若2S,=S,十S,且上+1=，则正整数m的值为 A.9 B.12 C.15 D.18 8已知双周线C号若-1(a>0,6>0)的左，右焦点分别为，5，离心率为四过的直线与C的 AF2 右支交于A,B两点.若BF LBF,,则B的值为 A.√10 B.3 C.5 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.春节期间，某市10个景点游客综合满意度评分分别为90,92,95,96,98,95,95,95,93,95，则 A.该组数据的平均数为94 B.该组数据的众数与中位数相同 C.该组数据的极差为8 D.该组数据的方差为4.44 10.已知向量a=(cosa,sin3),b=(cos3,sina),c=(cos(a-3),-1),则 A.a2+b2=2 B.c2=1+(a·b)2 C.a·c=b·c D.|al+|b+cl>√2 11.设定义在R上的奇函数f(x)的导函数为∫(x),对于Hx∈R,都有∫(2十x)=一f(x),当0≤x<1 时，f(x)=一x2+2x,则 A.曲线y=f'(x)关于y轴对称 B.f(x)是周期函数 C.当1<x≤2时，f(x)=-x2+4x-3 D.(留)=- 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知椭圆E:号+芳-1(。>>0)的左顶点为A,上顶点为B.0为坐标原点，若1OA1=21OB1,则 E的离心率为 13.若直线y=4x-1是曲线y=e2十ax十b在x=2ln2处的切线，则u十b= 14.已知函数f(x)=[cos(sin3.x)-1][sin(cos3.x)-1]在区间[0，a]上恰有3个零点，则a的取值范 围是 【高三数学第2页（共4页）】 002-HB 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A满足sinA十√3cosA=5 (1)求A: (2)若∠C-T,∠CAB的角平分线交线段BC于点D,AD=2,求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线y=2与C交于A,B两点，且|AF=4. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F且斜率不为O的直线I与抛物线C交于M,N两点.若四边形AMBN的面积为8√5，求直 线l的方程. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形，AD⊥CD,BC⊥CD, E为AD的中点，AP=AD=2,BC=CD=1. (1)求证：BE⊥平面PAD: (2)求直线PC与平面PBE所成的角的正弦值； (3)求平面PAB与平面PBE所成二面角的正弦值. 【高三数学第3页（共4页）】 002-HB 18.(本小题满分17分) 有编号为1,2,3，…，n的n个相同小球，≥2，从中有放回地随机取m次，每次取1个球，记Xm为这n 个球中未被取到的球的个数 (1)已知n=5. (i)若m=2,求X2的分布列： （ii)若m≥2，求Xm=3的概率； (2)若X,Y都是离散型随机变量，则E(X+Y)=E(X)+EY).证明：∑E(X)<n-n. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=a.x2+x-ln(x+1),a∈R. (1)若x=2是f(x)的极值点，求a的值并说明x=2是极大值点还是极小值点； (2)若x≥0时，f(x)≤0，求a的取值范围： (3)对f(x)的定义域内的任意x1,x2(x<x2), 证明：a）f>1+a(+）++示 x2一C1 【高三数学第4页（共4页）】 002-HB高三数学参考答案、提示及评分细则 1.C由题知A={-3,-2,0,2},所以(CA)∩B={-3,-2.故选C. 2.B由(2+i)x=4-yi得2.x=4,x=一y,所以x=2,y=-2,所以x十yi=2√2.故选B. 3.D 二项式(x一是)°展开式的通项为T1=Cx(-)=(-1DCx,令5-5r=0,解得，=1，所以二项式 (x-)）的展开式中常数项为-C=一5.故选D. 4D取m=一2，则|m>1,但m<品：取m=-合，则m>但m<1.故>1是“m>”的既不充分也不必 要条件.故选D. 反A设圆维的底自半径为，球的丰径为尺，由圆维与球的表应积相等，得”十义2一状，所以京后，圆维的高为 3,所以圆锥的体积与球的体积的比为3二-号故选A R 6.A由已知条件可得x=log4,y=log45,x=logy.因为3,4,5>1，且底数大于1，所以x>1,y>1. 比较x与一一g4bg5-等餐由基本不等式g3®5<(3)-()广.由于15<16，则g15 <1g16=2g4,所以(，5）°<g42.因此(1g402-lg3·1g5>0,即x一>0，所以>>1. 比较之与1： 由之=logy,且y<x,底数x>1,所以<1.于是x>y>之.故选A. 7.B设等比数列{an)的公比为g,当q=1时，可得Sg=9a,S=3a,S=6a,则2Sg=18a1,S+S6=9a1.因为a≠0， 所以2S,≠5+S,所以q≠1，此时5.=2，又因为2S,=S十S,可得24二2）=a2+2,所 1-g 1-q 1-g 1-g 以21-)=(1-)+1-)，即2对-g-1=0.令1=，可得21-1-1=0，解得1=-2或1=1（舍去），所以g= 一号因为品+士之所以1十号所以=1一2=-1，所以9=一日=可，所以m一3=9，解得m= 12.故选B. 8.B不妨设FF2=√10，则a=1.设|BF2|=x,|AF2|=y,则|BF|=2+x,|AF2|=2 十y.在△BF1F2中，由勾股定理可得，(2十x)2+x2=10,所以x=1;同理，在△AF1F2中，由 勾股定理可得，1十》+9=(2+，所以y8所以品-兰=3放选B 9.BCD由90+92+95+96+98+95+95+95+93+95=944得该组数据的平均数为94.4， A错误；将该组数据由小到大排列知该组数据的众数与中位数都是95，极差为98一90=8， BC正确：由(90-94.4)2+(92-94.4)2+…+(95-94.4)2=44.4知方差2=4.44，D正 确.故选BCD. 10.AB对于A,a2+b=cos2a十sin2B+cos2B+sina=2,故A正确；对于B,a·b=cos acos B十sin asin B=cos(a一B),故 c2=1十(a·b)2,故B正确：对于C,取a=0,3-π，则a=(1,0),b=(-1,0),c=(-1,-1),此时a·c=一1，b·c=1,故C 错误：对于D,取a=受，8=0，则a=(0,0),b=(1,1),c=(0,-1),此时a+b十c=0十1=1<2，故D错误.故 选AB. 11.ABD因为f(a)是R上的奇函数，所以f(一x)=一f(x),两边取导数得-∫(-x)=一(x),则f(-x)=f(x),所 以f(x)是偶函数，即曲线y=f(x)关于y轴对称，故A正确；设h(x)=f(2十x)十f(x),则h'(x)=f(2十x)+f(x) =0,所以h(x)=c,当x=-1时，h(-1)=f(1)十f(-1)=0,因此c=0,所以f(2十x)=一f(x),则f(4+x) 一f(2十x)=f(x),所以4为f(x)的一个周期，故f(x)是周期函数，故B正确；因为f(一x)=一f(x),f(2+x)= 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 002-HB 一f(x),所以f(2+x)=f(一x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当1<x≤2时，2一x∈[0,1)，所以f(x) =f2-x)=-(2-)2+2(2-)=-2+2x,故C错误；由周期性可知f()=f(16+号)=（号）=f(2+号) =一f(分)=子，故D正确，放选AD 12支由题意，得8-久，又510A1=210B1,所以2-，所以E的离心率为e-√-(2丁-√-（停） 2 13.2n2-3曲线y=e2+ax+6,导数为)y=2e+a,切线斜率=4，在x=号ln2处有2exn2+a=2X2十a=4>a= 0.切点纵坐标为y=2+b,切线方程为y=4x-1,切点在该直线上，2+b=4×之ln2-1=21n2-1,故6=2n2-3.因 此a+b=0+(2n2-3)=2n2-3. 14.[号x)因为-1≤cs3≤1，所以sm(cs3x)<1,所以函数f()=[s(sin3x)-1[sn(as3)-1在区间 [0,a]上恰有3个零点，即cos(sin3x)-1=0在[0，a]上恰有3个实数根，所以sin3x=2kx,k∈Z,又-1≤sin3x≤ 1,所以sin3x=0在[0a]上恰有3个实数根，所以2x≤3a<3,解得≤a<,即a的取值范围是[三x): 15.解：(1)因为sinA十3cosA=5, 所以之s血A+osA-号 …1分 于是im(A+号)=， 3分 因为A∈0，x),A+吾∈(3，)， 所以A十吾-经，得到A=吾 …5分 (2)因为im∠ADC-sin(x-至-吾)=m(径+吾)=5+2 …7分 B=x-于-登∠ADB=子十音=登 …8分 E△ACD中，由正弦定理ACAC·sin∠ADC=+1,一 10分 在△ABD中，∠B=∠ADB=段，所以AB=AD=2, 11分 所以△ABC的面积为2 ABXACX sin∠BAC=2X2XW5+1)X √3_3+3 13分 16.解：(1)由题意，得C的准线方程为y=一多 2 1分 因为直线y=2与C交于A,B两点，所以A的纵坐标为2， 又AF=4所以2+号=4，解得p=4, 4分 所以抛物线C的方程为x2=8火.… …6分 (2)因为直线y=2与C交于A,B两点，不妨设A在第一象限， 所以A(4,2),B(-4,2),AB引=8.… …7分 由题意知直线l的斜率存在且不为0，F(0,2),故可设直线l:y=x十2，M(x,y1),N(x2,2), 不妨设y>y2,则由题意知y>2>y2, T=8y,得-8k-16=0,4=64k+64>0,西十9=86，西西=-16， 联立 …9分 y=kx+2, 因为Sa边形v=SaM+Sv=X8(1-2)+号X8(2-为)=4(y-光)=85， 所以y一2=25，… …11分 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 002-HB 又y-2=km+2-(k2十2)=k(x-2)=|k|√（一x2)z=|k|√(+2）-402=8k√/R+I=25,所以 7或k7,… 所以直线1的方程为y=分x+2或y=-号x+2,即x-2y十4=0或x+2-4=0. 15分 17.(1)证明：因为E为AD的中点，AD=2,所以AE=DE=1, 因为BC=CD=1,AD⊥CD,BC⊥CD,所以四边形BCDE是正方形，所以BE⊥AD,…2分 因为PA⊥平面ABCD,BEC平面ABCD,所以BE⊥PA, 因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以BE⊥平面PAD. …3分 (2)解：如图，在平面ABCD中，过点A作AD的垂线为x轴，以A为坐标原点，向量AD,AP方向 分别为y、之轴建立空间直角坐标系. 则P(0,0,2),E(0,1,0),B(1,1,0),C(1,2,0),…4分 设平面PBE的法向量为m=(x,y,z),EB=(1,0,0),EP=(0,一1,2)， PC=(1,2,-2）),…5分 1EB·m=x=0, 有 取之=1，得m=(0,2,1),…7分 E·m=-y十2x=0, 设直线PC与平面PBE所成的角为0，则sim0=|cos(m,Pd1=lm·P产-25 mPC 15 …9分 (3)解：在(2)的空间直角坐标系中，A(0,0,0),AP=(0,0,2),AB=(1,1,0),…10分 设平面PAB的法向量为n=(a,b,c), 1A2·n=2c=0, 则 1AB·n=a十b=0, 取a=1,得n=(1,-1,0)，… 12分 cosm,m=m·n=-@ 14分 m n 5 故平面PAB与平面PBE所政二面角的正弦值为√厂票=①， 5 15分 18.(1)解：(1)从5个相同小球中有放回地随机取2次，共有52=25种情况，X2的取值为3,4. X2=3表示2次取球中未被取到的球的个数为3个，即2次取球中取到2个不同编号的球， X2=4表示2次取球中未被取到的球的个数为4个，即2次取球中取到的是同1个编号的球， 所以PX=3)=告，PX=0景=号 所以X2的分布列为 X2 3 4 P 1 5 …5分 (ⅱ)Xm=3表示m次取球中未被取到的球的个数为3个，即m次取球中取到2个不同编号的球，从5个相同小球中有 放回地随机取m次，共有5m种情况，Xm=3时有C号(2m-2)种情况， 所以X.=3的概率为C3(2-2_22-2 5 5m-1 …10分 (2)证明：从n个相同小球中有放回地随机取球m次中，定义随机变量I,其中I=1表示第k个小球未被取到，I=0 表示第k个小球至少被取到1次，则I服从两点分布，所以 X=1+6+5十+.由题张知.X)=习B)=立P,= 又Pu=1)=("）”,所以EX)=()” X)=·(2司)”=…之(1-)》广，因为0<1-上<1所 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 002-HB 空-…3-扩-0--门---世- 1-(1-7) 故E(Xa）<t-………产 …17分 19.（)解：f(r)的定义域为(-1，十o∞)，∫（)=2ax十1一市…1分 因为x=2是函数x)的极值点，所以了2)=4如十1-弓-0，解得a= 1 69 …2分 当a=-言时，fx)=-吉+1-号， 因为0<x<2时，f(x)>0;x>2时，f(x)<0,所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，十∞)上单调递减，所以x=2是 f(x)的极大值点.… …3分 (2公解：r)=2+1-h=2a2 x+1 当a≥0时，2a.x+1+2a=2a(x+1)+1>0,f'(0)=0,-1<x<0时，f(x)<0;x>0时，f'(x)>0,f(x)在(-1,0)上 单调递减，在(0，十∞)上单调递增， 所以x>0时，f(x)>f(0)=0,不合题意.… …4分 当a<0时，由2ax+1+2a=0得x=-1-乙>-1， 当-1一云≤0即a≤一专时.f)<0对>0成立.所以f)在0，十e)上单调递减，所以>0时，<0) …5分 当-1云>0即宁<<0时，)>0对0<<-1-云成立在(0，-1)上单湖递销，所以当0< -1一云时，)>0)=0，不合题意。… …6分 所以u的取值范围是（一o9,一令] …7分 (3)证明：因为)二f）-az+-ln(+1)-a-2+h(x+) X2一 T2x1 =a(m十2)+1-1n(+1)-ln(+1D … …8分 所以要证f）>1十a(+) 1 2x1 V++元成立， 只要证-ln(+D-h(+D 1 成立，… …9分 X2一x √/(x1+1)(2+1D x2一x 因为2之x之-，所以只要证lh十)一n（十1）/十D干元成立，… 10分 因为h(+1)-n(+1)=n9士. 2一x1 (2+1)-(x+1) /x2+1 /十1 +1'√/+1)(2+1) √/(x+1)(2+1) √+√2+，所以只要证 ln22+1 第√第成立. /2+1 …… 12分 记0=lh1i+VF,则g)=2f=D≤0对>0成立所以g在0，+) 1 2i 21 2tNf 2it 上单调递减，当>1时g)<g)=0,所以n√…15分 ，由>≥>-1知+1>+10，从面密>1， 取t=2十1 所以n+2+巨 x+1V+1V2+ 成立，故原不等式成立。…17分 【高三数学参考答案第4页（共4页）】 002-HB