专题11.1 整式的乘法 优等生讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

本讲义聚焦整式的乘法核心知识点，系统梳理同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，以及单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式方法，形成递进式知识支架，配合思维导图实现课程内容整体认知。 资料以“知识梳理+典例+压轴+练习”设计，通过典型例题强化逆用公式（如已知\(a^m=3\)，\(a^n=2\)求\(a^{m+n}\)）培养运算能力与推理意识，压轴题结合图形面积、新定义运算发展几何直观与模型意识，课中辅助教师系统授课，课后分层练习助力学生查漏补缺。

专题11.1 整式的乘法 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习)新沪教版（五四制）数学七年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，能熟练进行幂的运算。 · 掌握单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的法则。 · 能运用整式乘法解决图形面积、不含项、新定义等综合问题。 · 体会整体思想、转化思想在整式乘法中的应用。 · 培养运算能力、逻辑推理能力和几何直观能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即 aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ（m、n 为正整数）。 · 底数可以是数、字母或整式。 · 逆用：aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ。 · 注意符号和指数运算。 ※ 典型例题 1 题目：已知 aᵐ = 3，aⁿ = 2，求 aᵐ⁺ⁿ 的值。 解析：aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ = 3 × 2 = 6。 答案：6 ☆ 2. 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ（m、n 为正整数）。 · 逆用：aᵐⁿ = (aᵐ)ⁿ = (aⁿ)ᵐ。 · 注意符号，如 (−a²)³ = −a⁶。 ※ 典型例题 2 题目：计算 (−x⁵)² 的结果是（  ） A. −x¹⁰   B. x¹⁰   C. −x⁷   D. x⁷ 解析：(−x⁵)² = (−1)² · (x⁵)² = x¹⁰。 答案：B ☆ 3. 积的乘方 法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ（n 为正整数）。 · 逆用：aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ。 · 注意符号和多个因式的情况。 ※ 典型例题 3 题目：计算 (−2x²y³)³ 的结果是（  ） A. −8x⁶y⁹   B. 8x⁶y⁹   C. −6x⁵y⁶   D. 6x⁵y⁶ 解析：(−2)³ · (x²)³ · (y³)³ = −8x⁶y⁹。 答案：A ☆ 4. 单项式乘以单项式 法则：系数相乘，同底数幂相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 · 注意符号和指数运算。 · 结果仍是单项式。 ※ 典型例题 4 题目：计算 (−\frac{3}{2}xy²)² · 4xy 的结果是（  ） A. −9x²y³   B. 6x²y³   C. 6x³y⁵   D. 9x³y⁵ 解析：先算积的乘方：(−\frac{3}{2}xy²)² = \frac{9}{4}x²y⁴，再乘 4xy 得 9x³y⁵。 答案：D ☆ 5. 单项式乘以多项式 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即 m(a+b+c) = ma+mb+mc。 · 注意符号，特别是负号。 · 结果仍是多项式，项数不变。 ※ 典型例题 5 题目：计算 −2x³ · (4x − 2xy) 的结果是（  ） A. −8x⁴ + 4x⁴y   B. −8x⁴ + 4x³y   C. −8x⁴ − 4x⁴y   D. 8x⁴ − 4x⁴y 解析：−2x³ · 4x = −8x⁴，−2x³ · (−2xy) = 4x⁴y，所以结果为 −8x⁴ + 4x⁴y。 答案：A ☆ 6. 多项式乘以多项式 法则：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即 (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd。 · 注意不漏项，符号要正确。 · 合并同类项得到最简结果。 ※ 典型例题 6 题目：若 (x+1)(x−2) = x²+mx−2，则 m 的值为（  ） A. −1   B. 1   C. 2   D. 3 解析：(x+1)(x−2) = x²−2x+x−2 = x²−x−2，所以 m = −1。 答案：A ☑ 知识总结表 运算类型 法则 注意事项 同底数幂乘法 底数不变，指数相加 底数必须相同，指数相加 幂的乘方 底数不变，指数相乘 注意符号，负号偶次幂为正 积的乘方 每个因式分别乘方 逆用可简化计算 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘 只在一个单项式中的字母照写 单项式×多项式 单项式乘多项式的每一项 注意符号，不要漏项 多项式×多项式 用一个多项式的每一项乘另一个 合并同类项，结果最简 核心考点 ·7大典型考点精讲 【考点1】同底数幂的乘法 （第1—12题） 📌 方法总结： · 底数相同（或可化为相同）时，指数相加。 · 注意符号：负数的奇次幂为负，偶次幂为正。 · 多项式作为底数时，要整体处理。 · 逆用：am+n = am·an 可用于求值。 1．（2025秋•奉贤区期中）若a、b均为正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则a与b的关系正确的是（　　） A．a＝3b B．3a＝b+3 C．a+1＝b3 D．a+1＝3b 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：∵3a+3a+3a＝3×3a＝3a+1，3b×3b×3b＝（3b）3＝33b， ∴a+1＝3b． 故选：D． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（2025秋•上海校级月考）计算﹣a2•（﹣a）3的结果是（　　） A．a5 B．a6 C．﹣a3 D．﹣a6 【分析】先计算（﹣a）3＝﹣a3，再根据同底数幂乘法计算法则求解即可． 【解答】解：﹣a2•（﹣a）3 ＝﹣a2•（﹣a3） ＝a5， 故选：A． 【点评】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法，正确计算是解题的关键． 3．（2025秋•思明区校级期中）已知a+2b﹣3＝0，则3a•32b＝（　　） A．24 B．27 C．54 D．81 【分析】先求得a+2b＝3，进而根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求得答案． 【解答】解：∵a+2b﹣3＝0， ∴a+2b＝3， ∴3a•32b＝3a+2b＝33＝27． 故选：B． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2026春•桥西区校级期中）化简式子（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4的结果（　　） A．（m﹣n）8 B．（n﹣m）8 C．﹣（n﹣m）8 D．（m﹣n）（n﹣m）7 【分析】利用m﹣n和n﹣m互为相反数的关系，将式子统一为n﹣m的幂，再应用同底数幂相乘的法则合并指数，完成求解． 【解答】解：由条件可知：原式＝[﹣（n﹣m）]•（n﹣m）3•（n﹣m）4＝﹣（n﹣m）1+3+4＝﹣（n﹣m）8． 故选：C． 【点评】本题重点考查了同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，熟练掌握运算法则是求解的关键． 5．（2026•嘉陵区一模）若72•7m＝76，则m的值为　4　 ． 【分析】根据同底数幂相乘的法则得到72+m＝76，则可得到关于m的方程，求解即可得到m的值． 【解答】解：∵72•7m＝72+m＝76， ∴2+m＝6， ∴m＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． 6．（2025秋•闵行区校级月考）若a﹣1＝﹣3b，2a×8×23b的值为　16　 ． 【分析】首先根据a﹣1＝﹣3b，可得：a+3b＝1，把8写成23，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：原式＝2a+3b+3，从而可得：结果为24＝16． 【解答】解：∵a﹣1＝﹣3b， ∴a+3b＝1， 2a×8×23b ＝2a×23b×8 ＝2a+3b×8 ＝2×8 ＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 7．（2025秋•闵行区期末）计算：（a﹣b）2（b﹣a）4＝　（a﹣b）6 ．（结果用幂的形式表示） 【分析】先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案． 【解答】解：原式＝（a﹣b）2•（a﹣b）4＝（a﹣b）6， 故答案为：（a﹣b）6． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 8．（2025秋•浦东新区校级期中）计算（结果用幂的形式表示）：﹣（b﹣a）（a﹣b）2（b﹣a）4＝　（a﹣b）7 ． 【分析】将 （b﹣a）转换为﹣（a﹣b），利用同底数幂的乘法法则计算． 【解答】解：原式＝（a﹣b）（a﹣b）2（a﹣b）4 ＝（a﹣b）1+2+4 ＝（a﹣b）7． 故答案为：（a﹣b）7． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，关键是将底数互为相反数的形式转换成底数相同的形式． 9．（2025秋•浦东新区校级月考）已知am＝6，an＝2，求下列各式的值： （1）a2m+a3n； （2）am+2n． 【分析】（1）利用幂的乘方的逆运算以及有理数的乘方计算即可； （2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算法则求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，a2m+a3n＝（am）2+（an）3， ∵am＝6，an＝2， ∴原式＝62+23 ＝36+8 ＝44； （2）根据题意可知，am+2n＝am•（an）2， ∵am＝6，an＝2， ∴原式＝6×22 ＝6×4 ＝24． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． 10．（2025秋•闵行区校级月考）计算，结果用幂的形式表示：2（b﹣a）3×（a﹣b）2﹣3（a﹣b）4×（b﹣a）． 【分析】先利用有理数乘方的性质（a﹣b）2＝（b﹣a）2，（a﹣b）4＝（b﹣a）4将幂的底数变成相同，再根据同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项． 【解答】解：2（b﹣a）3×（a﹣b）2﹣3（a﹣b）4×（b﹣a） ＝2（b﹣a）3（b﹣a）2﹣3（b﹣a）4（b﹣a） ＝2（b﹣a）5﹣3（b﹣a）5 ＝﹣（b﹣a）5． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项，解决本题的关键是运用同底数幂乘法法则：同底数幂相乘底数不变指数相加，有理数的乘方性质，合并同类项． 11．（2025秋•闵行区校级月考）计算：103•10m﹣1•102m+2． 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可． 【解答】解：103•10m﹣1•102m+2＝103+m﹣1+2m+2＝103m+4． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 12．（2025秋•闵行区校级期中）阅读材料，回答问题． 材料一：因为23＝2×2×2，22＝2×2，所以23×22＝（2×2×2）×（2×2）＝25． 材料二：求31+32+33+34+35+36的值． 解：设S＝31+32+33+34+35+36① 则3S＝32+33+34+35+36+37② 用②﹣①得，3S﹣S＝（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）＝37﹣3 所以2S＝37﹣3，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． （1）填空：5×58＝5（9 ），a2•a5＝a（7 ）． （2）“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放 　263 粒米．（用幂表示） ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【分析】（1）根据材料一进行求解； （2）①由题意可得，第n个格放2n﹣1粒米进行求解； ②根据材料二中的方法进行求解． 【解答】解：（1）由题意得，5×58＝59，a2•a5＝a7， 故答案为：59，a7； （2）（2）①由题意得，第一格放的米粒数为1＝20； 第二格放的米粒数为2＝21； 第三格放的米粒数为4＝22； 第四格放的米粒数为8＝23； …… ∴第n格放的米粒数为2n﹣1， ∴在第64格中应放263粒米， ②由题意得， S＝1+2+22+23+……+263， 2S＝2+22+23+……+264， ∴2S﹣S＝264﹣1， 即S＝264﹣1． 【点评】此题考查了同底数幂相乘新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用定义和同底数幂相乘运算法则进行求解． 【考点2】幂的乘方 （第13—24题） 📌 方法总结： · 幂的乘方，指数相乘，底数不变。 · 区分 (am)n 与 am·an。 · 含负号时，注意符号处理。 · 逆用：amn = (am)n 可化不同底数为同底数。 13．（2025秋•闵行区期末）设2m＝3，2n＝4，2p＝12下列m，n，p三者之间的关系式正确的是（　　） A．m+n＝p B．m+p＝2n C．n2﹣mp＝2 D．p+n＝2n 【分析】由2n＝4得n＝2，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得m+n＝p，再进一步分析即可． 【解答】解：∵2n＝4＝22， ∴n＝2， ∵2p＝12＝3×4＝2m×2n＝2m+n， ∴p＝m+n，即m+n＝p，A正确，符合题意， B：m+p＝m+（m+n）＝2m+n，但2m≠2，故m+p≠2n，所以B错误，不符合题意， C：n2﹣mp＝4﹣m（m+n）＝4﹣m2﹣2m，不是常数，且不等于2，故C错误，不符合题意， D：p+n＝（m+n）+n＝m+2n，而2n＝4，所以m+2n≠2n，故D错误，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14．（2026•徐汇区二模）下列计算正确的是（　　） A．x3•x3＝2x3 B．（x2）3＝x5 C．（﹣xy）4＝x4y4 D．x3+x5＝x8 【分析】A选项：根据合并同类项法则，x3•x3＝x6，而非2x3，错误． B选项：根据幂的乘方法则（am）n＝amn，（x2）3＝x2×3＝x6，而非x5，错误． C选项：根据积的乘方法则（ab）n＝anbn，（﹣xy）4＝（﹣1）4x4y4＝x4y4，正确． D选项：根据合并同类项法则，x3+x5，不能合并同类项，而非x8，错误． 【解答】解：A选项，根据合并同类项法则，同类项相减时，系数相减，字母和指数不变；x3•x3＝x3+3＝x6，而不是2x3，所以A选项错误； B选项，根据幂的乘方法则：（am）n＝amn，则（x2）3＝x2×3＝x6，不是x5，所以B选项错误； C选项，根据积的乘方法则：（ab）n＝anbn，则（﹣xy）4＝（﹣1）4x4y4＝x4y4，所以C选项正确； D选项，根据合并同类项法则，同类项相加时，系数相加，字母和指数不变．x3+x5，不是同类项，不能合并，所以D选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 15．（2025秋•上海校级期中）计算[（x﹣y）m]n•[（x﹣y）n]m等于（　　） A．2（x﹣y）2m+2n B．（x﹣y） C．（x﹣y）2m+2n D．（x﹣y）2mn 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：[（x﹣y）m]n•[（x﹣y）n]m ＝（x﹣y）mn（x﹣y）mn ＝（x﹣y）2mn． 故选：D． 【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 16．（2025秋•普陀区校级期中）如果（﹣am）n＝amn成立，则（　　） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解． 【解答】解：∵（﹣am）n＝amn成立， ∴n为偶数． 故选：D． 【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则． 17．（2026•上海）计算：（m4）2＝m8 ． 【分析】根据幂的乘方的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（m4）2＝m4×2＝m8， 故答案为：m8． 【点评】本题考查幂的乘方，掌握幂的乘方的计算方法是正确解答的关键． 18．（2025秋•浦东新区校级月考）计算：　﹣2　 ． 【分析】先将原式化为 ，再根据积的乘方法则计算． 【解答】解：原式 ＝（﹣1）2025×2 ＝（﹣1）×2 ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 19．（2025秋•浦东新区校级期末）若，27n＝3m+5，则m﹣n的值为　﹣3　 ． 【分析】将等式两边的底数化为相同的数，再根据“同底数幂相等则指数相等”建立方程组求解． 【解答】解：将等式两边的底数化为相同的数可得： ，4＝22， ∴（2﹣1）m＝（22）n，即2﹣m＝22n， ∴﹣m＝2n，即m＝﹣2n； ∴（33）n＝3m+5，即33n＝3m+5， ∴3n＝m+5； 解，得， 则m﹣n＝﹣2﹣1＝﹣3； 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了幂的乘方运算的运用，关键是将等式两边的底数化为相同的数． 20．（2026春•上海校级月考）已知am＝3，an＝2，求a3m+2n的值． 【分析】先将a3m+2n转化为（am）3•（an）2，再代入数据，最后进行有理数的乘方及乘法运算即可． 【解答】解：∵am＝3，an＝2， ∴a3m+2n ＝a3m•a2n ＝（am）3•（an）2 ＝33×22 ＝27×4 ＝108， ∴a3m+2n的值为108． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握同底数幂的乘法的逆用、幂的乘方的逆用是解题的关键． 21．（2025秋•闵行区校级月考）按要求计算下面各题： （1）已知am＝3，an＝2，则a2m+n的值． （2）已知3a+2b＝6，求8a•4b的值． 【分析】（1）先把a2m+n化为（am）2•an在把为（am）2、an的值代入即可； （2）先8a•4b化为23a•22b再化为23a+2b，然后把3a+2b＝6代入即可． 【解答】解：（1）a2m+n＝（am）2×an＝32×2＝18； （2）8a•4b＝23a•22b＝23a+2b＝26＝64； 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握以上运算规则是解题的关键 22．（2025秋•浦东新区校级月考）已知am＝7，an＝3，bm＝2，求下列各式的值． （1）am+2n； （2）（ab）2m． 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，将am+2n转化为am•（an）2，再代入已知值计算； （2）利用积的乘方法则和幂的乘方法则，将（ab）2m转化为a2m•b2m＝（am）2•（bm）2，再代入已知值计算． 【解答】解：（1）∵am＝7，an＝3，代入得： am+2n＝am•a2n＝am•（an）2＝7×32＝7×9＝63； （2）∵am＝7，bm＝2，代入得： （ab）2m＝a2m•b2m＝（am）2•（bm）2＝72×22＝49×4＝196． 【点评】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则． 23．（2025秋•闵行区校级期中）计算：[﹣2（a﹣b）3]2+3（a﹣b）•（b﹣a）5（结果用幂的形式表示）． 【分析】先将（b﹣a）5转化为（a﹣b）5，再根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算． 【解答】解：原式＝4（a﹣b）6﹣3（a﹣b）•（a﹣b）5 ＝4（a﹣b）6﹣3（a﹣b）6 ＝（a﹣b）6． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 24．（2025秋•闵行区校级月考）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ （1）如果27x＝39，求x的值； （2）如果2×8x×16x＝222，求x的值； （3）已知x满足22x+3﹣22x+1＝48，求x的值． 【分析】（1）先把已知等式中的等式写成底数是3的幂，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （3）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【解答】解：（1）∵27x＝39， （33）x＝39， 33x＝39， 3x＝9， x＝3； （2）2×8x×16x＝222， 2×（23）x×（24）x＝222， 2×23x×24x＝222， 21+3x+4x＝222， 27x+1＝222， 7x+1＝22， 7x22﹣1， 7x＝21， x＝3； （3）22x+3﹣22x+1＝48， 22x+1•22﹣22x+1＝3×24， 22x+1×（4﹣1）＝3×24， 3×22x+1＝3×24， 22x+1＝24， 2x+1＝4， 2x＝4﹣1， 2x＝3， x＝1.5． 【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程． 【考点3】积的乘方 （第25—33题） 📌 方法总结： · 积的乘方等于各因式乘方的积。 · 注意系数也要乘方。 · 逆用：anbn = (ab)n 可简化计算。 25．（2026•长宁区校级模拟）计算（2a2）3的结果为（　　） A．2a5 B．2a6 C．8a5 D．8a6 【分析】根据幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（2a2）3＝23•（a2）3＝8a6． 故选：D． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的关键． 26．（2025秋•浦东新区月考）已知xm＝8，x2n+m＝128，则xn的值是（　　） A．±8 B．±4 C．4 D．8 【分析】根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法进行计算即可． 【解答】解：∵x2n+m＝128， ∴（xn）2•xm＝128， 又∵xm＝8， ∴（xn）2×8＝128， ∴（xn）2＝16， ∴xn＝±4． 故选：B． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法是正确解答的关键． 27．（2025•上海）下列运算中，正确的是（　　） A．m3+m3＝2m3 B．m3+m3＝m6 C．m3•m3＝m9 D．（m3）3＝m6 【分析】A、B选项均根据合并同类项法则计算，然后判断即可； C．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； D．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可． 【解答】解：A．∵m3+m3＝2m3，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； B．∵m3+m3＝2m3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵m3•m3＝m6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵（m3）3＝m9，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则和合并同类项法则． 28．（2025秋•黄浦区校级期末）计算的结果是　　 ． 【分析】根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是关键． 29．（2025秋•闵行区期末）计算：（﹣xy4）3＝　﹣x3y12 ． 【分析】先计算积的乘方，再计算幂的乘方即可． 【解答】解：原式＝（﹣x）3•（y4）3＝﹣x3y12， ∴（﹣xy4）3＝﹣x3y12， 故答案为：﹣x3y12． 【点评】本题考查了积的乘方与幂的乘方，掌握这两个运算法则是关键． 30．（2026春•庐阳区校级期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n． 请利用上面的结论解决下面的问题． （1）如果2×8x×16x＝222，求x的值； （2）如果5x+5x+1＝150，求x的值． 【分析】（1）利用幂的乘方，同底数幂乘法法则将原式整理后可得关于x的一元一次方程，解方程即可； （2）利用同底数幂乘法法则将原式整理后可得关于x的一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵2×8x×16x＝222， ∴2×（23）x×（24）x＝222， 即2×23x×24x＝222， 那么27x+1＝222， 因此7x+1＝22， 解得：x＝3； （2）∵5x+5x+1＝150， ∴5x+5x×5＝150， 则5x×（5+1）＝150， 那么5x×6＝150， 因此5x＝25＝52， 故x＝2． 【点评】本题考查幂的乘方，同底数幂乘法，将原式进行正确地变形是解题的关键． 31．（2026春•闵行区校级期末）已知5x＝m，5y＝n，求52x+3y的值．（用含m，n的代数式表示） 【分析】根据同底数幂的乘法，列代数式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算． 【解答】解：∵5x＝m，5y＝n， ∴原式＝（5x）2×（5y）3＝m2n3． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，列代数式，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 32．（2025秋•上海校级期中）计算：（a3b3）n+2（﹣anbn）3+（ab）3n． 【分析】先计算积的乘方和幂的乘方，再合并同类项即可． 【解答】解：原式＝a3nb3n﹣2a3nb3n+a3nb3n＝0． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，掌握相应的运算法则是关键． 33．（2025秋•浦东新区月考）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果2×（22）x×（2x）3＝221，求x的值； （2）如果3a+2•6a+2＝182a﹣4，求a的值． 【分析】（1）先将等式左边化为底数为2的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于x的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知21+2x+3x＝221， 即1+2x+3x＝21， 解得：x＝4； （2）由条件可知（3×6）a+2＝182a﹣4， ∴18a+2＝182a﹣4， ∴a+2＝2a﹣4， 解得a＝6． 【点评】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的相关运算法则，正确的列出方程是解题的关键． 【考点4】整式的乘法 （第34—49题） 📌 方法总结： · 单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘。 · 单项式乘多项式：分配律，注意符号。 · 多项式乘多项式：每一项乘每一项，合并同类项。 · 不含某项：令该项系数为0，求参数。 34．（2025秋•宝山区校级月考）下列运算中，计算结果正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（2a2）3＝6a6 D．2a4×3a5＝6a9 【分析】根据运算规则逐项判断即可． 【解答】解：A．a2与a3指数不同，不是同类项，不能合并，不符合题意； B．a2•a3＝a2+3＝a5≠a6，选项计算错误，不符合题意； C．（2a2）3＝23•（a2）3＝8a6≠6a6，选项计算错误，不符合题意； D．2a4×3a5＝2×3×a4×a5＝6a9，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，掌握相应的运算法则是关键． 35．（2026•浦东新区二模）下列运算中，计算正确的是（　　） A．x3y•xy3＝4xy B．x3+xy＝x2y C．（xy2）2＝x2y4 D．x2y+xy2＝x3y3 【分析】根据单项式乘单项式法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则分别计算判断即可． 【解答】解：A、x3y•xy3＝x4y4，故此选项不符合题意； B、x3与xy不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C、（xy2）2＝x2y4，故此选项符合题意； D、x2y与xy2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 36．（2025秋•闵行区期末）如果（x+1）（3x+a）的乘积中不含x的一次项，则a为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【分析】首先利用多项式乘以多项式的计算方法进行乘法运算，再根据乘积中不含x的一次项，使含x的一次项的系数之和等于0即可． 【解答】解：（x+1）（3x+a）， ＝3x2+ax+3x+a， ＝3x2+（a+3）x+a， ∵乘积中不含x的一次项， ∴a+3＝0， 解得：a＝﹣3， 故选：B． 【点评】此题主要考查了多项式的乘法，关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 37．（2026•崇明区二模）下列运算中，计算结果正确的是（　　） A．a2•2a3＝2a6 B．a2+2a3＝3a5 C．（a2）3＝a5 D． 【分析】利用单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方法则逐项判断即可． 【解答】解：a2•2a3＝2a5，则A不符合题意， a2与2a3不是同类项，无法合并，则B不符合题意， （a2）3＝a6，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 38．（2025秋•宝山区期中）从前，一位庄园主把一块长为（a+5）米，宽为（b+6）米（a＞b＞0）的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【分析】先列出算式计算长方形土地的原面积和变化后的面积，并用多项式乘多项式法则和合并同类项法则进行化简，然后求出它们的差，通过比较差的大小，进行判断即可． 【解答】解：（a+5）（b+6） ＝ab+6a+5b+30， （a+5+5）（b+6﹣5） ＝（a+10）（b+1） ＝ab+a+10b+10， ∴（a+5）（b+6）﹣（a+10）（b+1） ＝ab+6a+5b+30﹣ab﹣a﹣10b﹣10 ＝5a﹣5b+20 ＝5（a﹣b）+20＞0， ∴（a+5）（b+6）＞（a+5+5）（b+6﹣5）， ∴张老汉的租地面积会变小， 故选：A． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 39．（2025秋•黄浦区校级月考）如果x2+px+q＝（x﹣1）（x+4），那么p、q的值是（　　） A．p＝3，q＝4 B．p＝3，q＝﹣4 C．p＝﹣4，q＝3 D．p＝4，q＝﹣3 【分析】由（x﹣1）（x+4）＝x2+3x﹣4结合（x﹣1）（x+4）＝x2+px+q，即可得出p、q的值． 【解答】解：∵（x﹣1）（x+4）＝x2+3x﹣4，且（x﹣1）（x+4）＝x2+px+q， ∴p＝3，q＝﹣4， 故选：B． 【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 40．（2025秋•闵行区校级期中）若等式（x﹣3）（3x+5）＝mx2+nx﹣p对任意x恒成立，m，n，p为常数，则m+n+p的值为（　　） A．﹣16 B．22 C．﹣8 D．14 【分析】根据多项式与多项式的乘法法则把左边化简，并比较等式两边对应项的系数，求出m、n、p的值，再计算它们的和． 【解答】解：∵原式＝3x2+5x﹣9x﹣15＝3x2﹣4x﹣15＝mx2+nx﹣p， ∴m＝3，n＝﹣4，p＝15， ∴m+n+p＝3+（﹣4）+15＝14． 故选：D． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 41．（2025秋•崇明区校级期中）已知关于x的整式x2﹣mx+n与x﹣2的乘积中不含x2项和x项，则mn＝　﹣8　 ． 【分析】利用多项式乘多项式法则将原式计算，根据乘积中不含x2项和x项得到方程，解方程即可． 【解答】解：（x2﹣mx+n）（x﹣2） ＝x3﹣2x2﹣mx2+2mx+nx﹣2n ＝x3﹣（2+m）x2+（2m+n）x﹣2n， ∵乘积中不含x2项和x项， ∴2+m＝0，2m+n＝0， 解得：m＝﹣2，n＝4， ∴mn＝﹣2×4＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 42．（2025秋•金山区校级期末）若，则ab•（a2b5﹣ab3﹣b）的值是　　 ． 【分析】先计算单项式乘多项式，再逆用积的乘方将各项化为（ab2）n的形式，进而根据计算即可． 【解答】解：原式＝a3b6﹣a2b4﹣ab2 ＝（ab2）3﹣（ab2）2﹣ab2 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方的逆用．熟练掌握以上知识点是关键． 43．（2026春•闵行区校级期末）已知（x2+mx+n）（3x﹣1）的展开式中，不含有x2和x，则m+n＝　　 ． 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x2项和x项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式（x2+mx+n）（3x﹣1）＝3x3+（3m﹣1）x2+（﹣m+3n）x﹣n不含x2项和x项， ∴3m﹣1＝0且﹣m+3n＝0， 解得m，n， ∴m+n． 故答案为：． 【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 44．（2025秋•浦东新区校级月考）公园里有一块长为2xm，宽为xm的长方形花坛，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为 （2x+2y）m，宽为（x+2y）m，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加了　（6xy+4y2）　 m2． 【分析】根据长方形面积计算公式分别求出扩展前后图形的面积，二者相减即可得到答案． 【解答】解：根据长方形面积计算公式可得： （2x+2y）（x+2y）﹣2x•x ＝（6xy+4y2）m2， ∴扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加了（6xy+4y2）m2， 故答案为：（6xy+4y2）． 【点评】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，熟练掌握该知识点是关键． 45．（2026春•慈溪市校级期中）计算： （1）； （2）4a2b•（﹣3ab2）+（﹣2ab）3． 【分析】（1）根据单项式乘单项式，有理数的混合运算，幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可； （2）根据单项式乘单项式，有理数的混合运算，幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可； 【解答】解：（1）原式， ， ＝﹣1+（﹣3）， ＝﹣4； （2）原式＝4×（﹣3）a2+1b1+2+（﹣2）3a3b3， ＝﹣12a3b3+（﹣8）a3b3， ＝﹣20a3b3． 【点评】本题考查单项式乘单项式，有理数的混合运算，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 46．（2026春•同步）计算： （1）6x2•3xy； （2）﹣3ab•（﹣2a2b3）； （3）； （4）（2x2y）2•（﹣3xy2）3； （5）﹣4ab2•（﹣ab）3•2abc； （6）； （7）； （8）（m2n）3•（﹣m4n）+（﹣mn）2； （9）[a（a﹣b）2]3•[a2（b﹣a）3]2． 【分析】利用幂的乘方、积的乘方、整式的乘法做即可． 【解答】解：（1）6x2•3xy＝6×3x2y＝18x3y； （2）﹣3ab•（﹣2a2b3）＝（﹣3）×（﹣2）a•a2•b•b3＝6a3b4； （3）原式＝（﹣4）×（）a2•a3•b2•b4＝10a5b6； （4）（2x2y）2•（﹣3xy2）3＝4x4y2•（﹣27x3y6）＝4×（﹣27）x4•x3•y2•y6＝﹣108x7y8； （5）﹣4ab2•（﹣ab）3•2abc＝﹣4ab2•（﹣a3b3）•2abc＝8a5b6c； （6）•（）； （7）（）×（44×108）＝6.4×1012； （8）（m2n）3•（﹣m4n）+（﹣mn）2＝m6n3•（﹣m4n）+m2m2＝﹣m10n4+m2n2； （9）[a（a﹣b）2]3•[a2（b﹣a）3]2＝a3（a﹣b）6•a4（b﹣a）6 ＝a7（a﹣b）12． 【点评】此题考查了幂的乘方、积的乘方、整式的乘法，熟记公式和细心是关键． 47．（2024秋•闵行区校级期中）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10． （1）试求出式子中a，b的值； （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【分析】（1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程，再求出a与b的值； （2）把a与b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【解答】解：（1）由题意得（2x﹣a）（3x+b） ＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab ＝6x2+11x﹣10， （2x+a）（x+b） ＝2x2+（a+2b）x+ab ＝2x2﹣9x+10， 所以2b﹣3a＝11，① a+2b＝﹣9．② 由②得2b＝﹣9﹣a，代入①得﹣9﹣a﹣3a＝11， 所以a＝﹣5． 所以2b＝﹣4． 所以b＝﹣2． （2）当a＝﹣5，b＝﹣2时，由（1）得（2x+a）（3x+b）＝（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣19x+10． 【点评】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点，根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出a与b的值是解题的关键． 48．（2025秋•上海校级期中）已知（x2+4x+2）（px﹣q）的展开式中不含x2项，且一次项的系数为14，求常数p、q的值． 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，依题意，x2项的系数为0，一次项系数为14，列方程组求解即可． 【解答】解：原式＝px3+4px2+2px﹣qx2﹣4qx﹣2q＝px3+（4p﹣q）x2+（2p﹣4q）x﹣2q， ∵（x2+4x+2）（px﹣q）的展开式中不含x2项，且一次项的系数为14， ∴， 解得：， ∴p＝﹣1，q＝﹣4． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 49．（2025秋•浦东新区期中）如图所示，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． （1）用含有a、b的式子表示绿化的面积S； （2）若a＝2，b＝4，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【分析】（1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可； （2）把相应的值代入（1）中运算即可． 【解答】解：（1）S＝（3a+2b）（2a+3b）﹣a（3a+2b）＝（3a2+11ab+6b2）（平方米）， ∴绿化的面积S为（3a2+11ab+6b2）平方米； （2）S＝3×22+11×2×4+6×42＝12+88+96＝196（平方米）， ∴此时绿化的面积为196平方米． 【点评】本题考查多项式乘多项式，解答的关键是掌握相应的运算法则和公式． 【考点5】创新及压轴题 （第50—53题） 📌 方法总结： · 综合运用幂的运算法则和整式乘法。 · 注意错位相减法、整体代入等技巧。 · 新定义运算：理解规则，代入计算。 · 面积问题：利用整式乘法表示面积关系。 50．（2025秋•浦东新区期中）小明和小刚共同解一道题（2x+a）（3x+b），由于粗心，小明抄错了第一个多项式中a前面的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是2x2﹣9x+10． （1）求a，b的值； （2）计算出正确的结果． 【分析】（1）根据小明的做法得到2b﹣3a＝11①，根据小刚的做法得到2b+a＝﹣9②，两式联立即可求出a，b； （2）用多项式乘多项式展开即可． 【解答】解：（1）∵小明的做法（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab， ∴2b﹣3a＝11①， ∵小刚的做法（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab， ∴2b+a＝﹣9②， ①②两式联立，解得； （2）（2x﹣5）（3x﹣2） ＝6x2﹣4x﹣15x+10 ＝6x2﹣19x+10． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． 51．（2025秋•黄浦区校级月考）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片，每种卡片各有30张．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为b、宽为a的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中a＞b．现在从这些卡片中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张）无缝隙、无重叠的拼成一个长方形． （1）若取出A型卡片　2　 张、B型卡片　5　 张、C型卡片　2　 张，可以拼成一个长为（2a+b）、宽为（a+2b）的长方形； （2）若取出A型卡片1张、C型卡片6张，请先判断需要抽取几张B型卡片才能拼成长方形，再画出相应的长方形； （3）若将选取的卡片拼成一个正方形： ①若一共选取50张卡片，能否拼成一个正方形？请说明理由． ②若a＝2b，请用含b的代数式表示能拼成的正方形面积的最大值．请直接写出答案，不必说明理由． 【分析】（1）先求出长为（2a+b）、宽为（a+2b）的长方形面积，再根据三种卡片的面积确定各自的数量； （2）先根据A型和C型卡片的数量求出总面积的表达式，再通过因式分解确定长方形的长和宽，从而得出B型卡片的数量； （3）①设出三种卡片的数量，根据正方形面积公式和卡片总数列出方程，判断是否有正整数解；②将a＝2b代入，找出能拼成正方形的最大面积． 【解答】解：（1）长方形的面积为（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5ab+2b2． ∵A型卡片面积为a2，C型卡片面积为b2，B型卡片面积为ab， ∴需要A型卡片2张、C型卡片2张，B型卡片5张、 故答案为：2，5，2； （2）设需要x张B型卡片，面积为xab，则总面积为a2+xab+6b2， 将其因式分解，a2+xab+6b2＝（a+2b）（a+3b）＝a2+5ab+6b2， ∴需要5张B型卡片， 如图所示： 或将其因式分解，a2+xab+6b2＝（a+b）（a+6b）＝a2+7ab+6b2． ∴需要7张B型卡片，如图所示： B C C C C C C A B B B B B B （3）①设选取m张A型卡片，n张B型卡片，p张C型卡片， 拼成的正方形边长为xa+yb（x，y为正整数）， 则面积为（xa+yb）2＝x2a2+2xyab+y2b2， ∴m＝x2，n＝2xy，p＝y2，且m+n+p＝50， 即x2+2xy+y2＝50，（x+y）2＝50， ∵50不是完全平方数，且x，y为正整数， ∴不存在这样的x，y，不能拼成一个正方形； ②当a＝2b时： B型卡片面积为ab＝2b×b＝2b2， C型卡片面积为b2， A型卡片面积为a2＝（2b）2＝4b2， 设拼成的正方形边长为pb（p为正整数），则正方形面积为p2b2， 该面积可表示为x张A型卡片、y张B型卡片、z张C型卡片的面积和， 即p2b2＝x•4b2+y•2b2+z•b2（其中x≤30，y≤30，z≤30，且x，y，z≥1）， 整理得p2＝4x+2y+z， ∵x≤30，y≤30，z≤30， ∴p2≤4×30+2×30+30＝210， 由于y≤30，z≤30，x≤30，则p2≤4×30+2×30+30＝210， 则p取最大为14的整数， 当p＝14时，p2＝196，存在可行解如x＝30，y＝30，z＝16， ∴能拼成的正方形面积的最大值为196b2． 【点评】本题考查了多项式乘法与图形面积的综合应用，解题的关键是利用多项式乘法法则求出图形面积，进而确定卡片的数量． 52．（2024秋•虹口区校级月考）定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b．如：3⊕32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝36，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求22⊕23的值； （2）2p＝3，2q＝5，3q＝6，求2p⊕2q的值． 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【解答】解：（1）22⊕23 ＝22×3+22+3 ＝26+25 ＝64+32 ＝96； （2）当2p＝3，2q＝5，3q＝6时． 2p⊕2q ＝2pq+2p+q ＝（2p）q+2p×2q ＝3q+3×5 ＝6+15 ＝21． 【点评】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． 53．（2024秋•宝山区校级月考）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题． 例1：“若am＝4，am+n＝20，求an的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an（m，n都是正整数），则20＝4•an，所以an＝5． 例2：“若a2m＝9（a＞0），求am的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘方公式，即amn＝（am）n（m，n都是正整数），则9＝（am）2，所以am＝3． （1）若am＝2，a3m+n＝32，请你也利用逆向思考的方法求出an的值． （2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题： 小贤的作业 计算：89×（﹣0.125）9． 解：89×（﹣0.125）9＝（﹣8×0.125）9＝（﹣1）9＝﹣1． ①小贤的求解过程逆用的幂的乘法公式是 C ； A．am+n＝am•an B．amn＝（am）n C．anbn＝（ab）n ②计算：42023×（﹣0.25）2022． 【分析】（1）利用给定的逆向运用同底数幂的乘法公式和逆向运用同底数幂的乘方公式即可求得； （2）①利用积的乘方逆运算即可；②结合①的运算法则即可求得答案． 【解答】解：（1）a3m+n＝a3m•an＝（am）3•an＝32， ∵am＝2， ∴23•an＝8•an＝32，得an＝4． （2）①由89×（﹣0.125）9＝（﹣8×0.125）9可得小贤的求解过程用到anbn＝（ab）n， 故选：C． ②42023×（﹣0.25）2022＝4×42022×（﹣0.25）2022＝4×[4×（﹣0.25）]2022＝4×（﹣1）2022＝4． 【点评】本题主要考查同底数幂相乘和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂相乘和幂的乘方与积的乘方运算法则是关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 同底数幂关系 作业2 幂运算判断 作业3 运算正确性 作业4 幂的乘方符号 作业5 求幂的值 作业6 奇偶性判断 作业7 整式乘法结果 作业8 面积变化 作业9 同底数幂求值 作业10 幂的方程 作业11 积的乘方计算 作业12 不含项求参数 作业13 不含项求参数 作业14 系数与指数 作业15 错题纠正 作业16 整式乘法综合 作业17 运算依据填空 作业18 整式乘法计算 作业19 整式乘法化简 作业20 多项式乘法 作业21 面积应用题 💡 复习建议 熟记运算法则：同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，避免混淆。 注意符号处理：负数的奇偶次幂符号不同，整式乘法中注意去括号变号。 灵活逆用公式：逆用公式可简化计算，如 。 多项式乘法要“项项相乘”：避免漏项，最后合并同类项。 结合实际问题：面积、体积等问题常需整式乘法，注意建立正确模型。 1．（2025秋•奉贤区期中）若a、b均为正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则a与b的关系正确的是（　　） A．a＝3b B．3a＝b+3 C．a+1＝b3 D．a+1＝3b 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：∵3a+3a+3a＝3×3a＝3a+1，3b×3b×3b＝（3b）3＝33b， ∴a+1＝3b． 故选：D． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（2025秋•上海期中）下列运算中，正确的是（　　） A．（a3）2＝a5 B．（a2b3）2＝a4b6 C．（ab2）3＝ab6 D．a3•a2＝a6 【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则对每个选项进行计算，然后判断对错． 【解答】解：A、（a3）2＝a3×2＝a6≠a5，选项计算错误，不符合题意； B、（a2b3）2＝a2×2b3×2＝a4b6，选项计算正确，符合题意； C、（ab2）3＝a3（b2）3＝a3b6≠ab6，选项计算错误，不符合题意； D、a3•a2＝a3+2＝a5≠a6，选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算方法是关键． 3．（2026春•上海校级月考）下列运算中正确的是（　　） A．（﹣ab）5＝a5b B．（a3）2＝a5 C．3a3+3a3＝6a6 D．a2•a6＝a8 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法和合并同类项，对每个选项，先识别它属于哪种运算类型，逐一验证每个选项即可． 【解答】解：∵（﹣ab）5＝（﹣1）5a5b5＝﹣a5b5≠a5b， ∴选项A错误，不符合题意； ∵（a3）2＝a3×2＝a6≠a5， ∴选项B错误，不符合题意； ∵3a3+3a3＝（3+3）a3＝6a3≠6a6， ∴选项C错误，不符合题意； ∵a2•a6＝a2+6＝a8， ∴选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题综合考查了幂的运算，熟练掌握运算法则是关键． 4．（2025秋•普陀区校级期中）如果（﹣am）n＝amn成立，则（　　） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解． 【解答】解：∵（﹣am）n＝amn成立， ∴n为偶数． 故选：D． 【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则． 5．（2025秋•浦东新区月考）已知xm＝8，x2n+m＝128，则xn的值是（　　） A．±8 B．±4 C．4 D．8 【分析】根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法进行计算即可． 【解答】解：∵x2n+m＝128， ∴（xn）2•xm＝128， 又∵xm＝8， ∴（xn）2×8＝128， ∴（xn）2＝16， ∴xn＝±4． 故选：B． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法是正确解答的关键． 6．（2024秋•普陀区校级期中）m、n为正整数，若（﹣am）n＝﹣amn成立，则（　　） A．m、n必同为奇数 B．m、n必同为偶数 C．m必为奇数 D．n必为奇数 【分析】根据乘方的定义判断即可得． 【解答】解：∵（﹣am）n＝﹣amn， ∴n必为奇数， 故选：D． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握乘方的定义及幂的乘方是解题的关键． 7．（2025秋•宝山区校级月考）下列运算中，计算结果正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（2a2）3＝6a6 D．2a4×3a5＝6a9 【分析】根据运算规则逐项判断即可． 【解答】解：A．a2与a3指数不同，不是同类项，不能合并，不符合题意； B．a2•a3＝a2+3＝a5≠a6，选项计算错误，不符合题意； C．（2a2）3＝23•（a2）3＝8a6≠6a6，选项计算错误，不符合题意； D．2a4×3a5＝2×3×a4×a5＝6a9，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，掌握相应的运算法则是关键． 8．（2025秋•宝山区期中）从前，一位庄园主把一块长为（a+5）米，宽为（b+6）米（a＞b＞0）的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【分析】先列出算式计算长方形土地的原面积和变化后的面积，并用多项式乘多项式法则和合并同类项法则进行化简，然后求出它们的差，通过比较差的大小，进行判断即可． 【解答】解：（a+5）（b+6） ＝ab+6a+5b+30， （a+5+5）（b+6﹣5） ＝（a+10）（b+1） ＝ab+a+10b+10， ∴（a+5）（b+6）﹣（a+10）（b+1） ＝ab+6a+5b+30﹣ab﹣a﹣10b﹣10 ＝5a﹣5b+20 ＝5（a﹣b）+20＞0， ∴（a+5）（b+6）＞（a+5+5）（b+6﹣5）， ∴张老汉的租地面积会变小， 故选：A． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 9．（2026春•西夏区期末）若xm＝3，xn＝5，则x2m+n的值为　45　 ． 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵xm＝3，xn＝5， ∴x2m+n＝（xm）2×xn＝9×5＝45． 故答案为：45． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 10．（2025秋•浦东新区校级期末）若，27n＝3m+5，则m﹣n的值为　﹣3　 ． 【分析】将等式两边的底数化为相同的数，再根据“同底数幂相等则指数相等”建立方程组求解． 【解答】解：将等式两边的底数化为相同的数可得： ，4＝22， ∴（2﹣1）m＝（22）n，即2﹣m＝22n， ∴﹣m＝2n，即m＝﹣2n； ∴（33）n＝3m+5，即33n＝3m+5， ∴3n＝m+5； 解，得， 则m﹣n＝﹣2﹣1＝﹣3； 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了幂的乘方运算的运用，关键是将等式两边的底数化为相同的数． 11．（2025秋•青浦区校级期中）计算的结果是　　 ． 【分析】先把原式变形为，再利用积的乘方的逆运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是关键． 12．（2025秋•崇明区校级期中）已知关于x的整式x2﹣mx+n与x﹣2的乘积中不含x2项和x项，则mn＝　﹣8　 ． 【分析】利用多项式乘多项式法则将原式计算，根据乘积中不含x2项和x项得到方程，解方程即可． 【解答】解：（x2﹣mx+n）（x﹣2） ＝x3﹣2x2﹣mx2+2mx+nx﹣2n ＝x3﹣（2+m）x2+（2m+n）x﹣2n， ∵乘积中不含x2项和x项， ∴2+m＝0，2m+n＝0， 解得：m＝﹣2，n＝4， ∴mn＝﹣2×4＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 13．（2026春•闵行区校级期末）已知（x2+mx+n）（3x﹣1）的展开式中，不含有x2和x，则m+n＝　　 ． 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x2项和x项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式（x2+mx+n）（3x﹣1）＝3x3+（3m﹣1）x2+（﹣m+3n）x﹣n不含x2项和x项， ∴3m﹣1＝0且﹣m+3n＝0， 解得m，n， ∴m+n． 故答案为：． 【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 14．（2025秋•上海校级月考）已知关于x的一次二项式ax+b与二次三项式x2+2x+3相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为1，则ba＝　9　 ． 【分析】由题意列出算式，利用多项式乘多项式法则计算，合并后令二次项系数为1，一次项系数为0，求出a与b的值，即可得出结果． 【解答】解：（ax+b）（x2+2x+3） ＝ax3+2ax2+3ax+bx2+2bx+3b ＝ax3+（2a+b）x2+（3a+2b）x+3b， ∵积中不出现一次项，且二次项系数为1， ∴， 解得：， ∴ba＝（﹣3）2＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了多项式乘多项式以及多项式的系数等知识，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是关键． 15．（2024秋•闵行区校级期中）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10． （1）试求出式子中a，b的值； （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【分析】（1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程，再求出a与b的值； （2）把a与b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【解答】解：（1）由题意得（2x﹣a）（3x+b） ＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab ＝6x2+11x﹣10， （2x+a）（x+b） ＝2x2+（a+2b）x+ab ＝2x2﹣9x+10， 所以2b﹣3a＝11，① a+2b＝﹣9．② 由②得2b＝﹣9﹣a，代入①得﹣9﹣a﹣3a＝11， 所以a＝﹣5． 所以2b＝﹣4． 所以b＝﹣2． （2）当a＝﹣5，b＝﹣2时，由（1）得（2x+a）（3x+b）＝（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣19x+10． 【点评】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点，根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出a与b的值是解题的关键． 16．（2025秋•宝山区校级期中）计算：（﹣3a2b）3+（﹣2a3b）2•3b． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算，然后再合并同类项即可． 【解答】解：原式＝﹣27a6b3+（4a6b2）•3b ＝﹣27a6b3+12a6b3 ＝﹣15a6b3． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方的运算法则以及合并同类项，解题关键是熟练掌握幂的运算法则． 17．（2025秋•杨浦区期中）在括号中填入每个步骤相应的数学依据： 3ax5•6bx7＝3×6•a•b•x5•x7…（　乘法交换律　 ） ＝（3×6）•a•b•（x5•x7）…（　乘法结合律　 ） ＝18abx12 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的　系数　 、　相同字母的幂　 分别相乘． 【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则和乘法运算律得出答案． 【解答】解：直接利用单项式乘单项式运算法则和乘法运算律可得： 3ax5•6bx7＝3×6•a•b•x5•x7…（乘法交换律） ＝（3×6）•a•b•（x5•x7）…（乘法结合律） ＝18abx12， 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘． 故答案为：乘法交换律；乘法结合律；系数；相同字母的幂． 【点评】本题考查了单项式乘单项式法则和乘法运算律，正确掌握相关运算法则和运算律是解题关键． 18．（2025秋•浦东新区期中）计算：． 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，掌握单项式乘单项式的运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 19．（2025秋•上海校级月考）． 【分析】首先分别进行单项式与单项式相乘，然后合并同类项得出结果即可． 【解答】解：原式＝﹣8x2yxy3+6x2y﹣0.5xy3＝﹣2x2y． 【点评】本题考查了单项式乘单项式的知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20．（2025秋•闵行区校级月考）计算：． 【分析】先算积的乘方，再算单项式乘多项式，然后合并同类项即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了单项式乘多项式、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 21．（2026春•市中区期中）如图所示的是人民公园的一块长为（2m+n）米，宽为（m+2n）米的空地．预计在空地上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）． （1）请用m、n表示观景台的面积；（结果化为最简） （2）如果修建观景台的费用为200元/平方米．且已知m＝5（米），n＝4（米）．那么修建观景台需要费用多少元？ 【分析】（1）根据面积之间的和差关系用代数式表示即可； （2）代入进行计算即可． 【解答】解：（1）阴影部分的面积为： （2m+n）（m+2n）﹣mn﹣（m﹣n）2﹣（2m+n）（m﹣n） ＝2m2+4mn+mn+2n2﹣mn﹣（m2﹣2mn+n2）﹣（2m2﹣2mn+mn﹣n2） ＝2m2+4mn+mn+2n2﹣mn﹣m2+2mn﹣n2﹣2m2+2mn﹣mn+n2 ＝﹣m2+7mn+2n2； 所以观景台的面积为（﹣m2+7mn+2n2）平方米； （2）当m＝5，n＝4时， 原式＝﹣25+7×5×4+2×16 ＝147（平方米）， 200×147＝29400（元）． 所以修建观景台需要费用为29400元． 【点评】本题考查多项式乘多项式，掌握图形中各个部分面积之间的关系是正确解答的前提． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1 整式的乘法 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习)新沪教版（五四制）数学七年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，能熟练进行幂的运算。 · 掌握单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的法则。 · 能运用整式乘法解决图形面积、不含项、新定义等综合问题。 · 体会整体思想、转化思想在整式乘法中的应用。 · 培养运算能力、逻辑推理能力和几何直观能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即 aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ（m、n 为正整数）。 · 底数可以是数、字母或整式。 · 逆用：aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ。 · 注意符号和指数运算。 ※ 典型例题 1 题目：已知 aᵐ = 3，aⁿ = 2，求 aᵐ⁺ⁿ 的值。 解析：aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ = 3 × 2 = 6。 答案：6 ☆ 2. 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ（m、n 为正整数）。 · 逆用：aᵐⁿ = (aᵐ)ⁿ = (aⁿ)ᵐ。 · 注意符号，如 (−a²)³ = −a⁶。 ※ 典型例题 2 题目：计算 (−x⁵)² 的结果是（  ） A. −x¹⁰   B. x¹⁰   C. −x⁷   D. x⁷ 解析：(−x⁵)² = (−1)² · (x⁵)² = x¹⁰。 答案：B ☆ 3. 积的乘方 法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ（n 为正整数）。 · 逆用：aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ。 · 注意符号和多个因式的情况。 ※ 典型例题 3 题目：计算 (−2x²y³)³ 的结果是（  ） A. −8x⁶y⁹   B. 8x⁶y⁹   C. −6x⁵y⁶   D. 6x⁵y⁶ 解析：(−2)³ · (x²)³ · (y³)³ = −8x⁶y⁹。 答案：A ☆ 4. 单项式乘以单项式 法则：系数相乘，同底数幂相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 · 注意符号和指数运算。 · 结果仍是单项式。 ※ 典型例题 4 题目：计算 (−\frac{3}{2}xy²)² · 4xy 的结果是（  ） A. −9x²y³   B. 6x²y³   C. 6x³y⁵   D. 9x³y⁵ 解析：先算积的乘方：(−\frac{3}{2}xy²)² = \frac{9}{4}x²y⁴，再乘 4xy 得 9x³y⁵。 答案：D ☆ 5. 单项式乘以多项式 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即 m(a+b+c) = ma+mb+mc。 · 注意符号，特别是负号。 · 结果仍是多项式，项数不变。 ※ 典型例题 5 题目：计算 −2x³ · (4x − 2xy) 的结果是（  ） A. −8x⁴ + 4x⁴y   B. −8x⁴ + 4x³y   C. −8x⁴ − 4x⁴y   D. 8x⁴ − 4x⁴y 解析：−2x³ · 4x = −8x⁴，−2x³ · (−2xy) = 4x⁴y，所以结果为 −8x⁴ + 4x⁴y。 答案：A ☆ 6. 多项式乘以多项式 法则：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即 (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd。 · 注意不漏项，符号要正确。 · 合并同类项得到最简结果。 ※ 典型例题 6 题目：若 (x+1)(x−2) = x²+mx−2，则 m 的值为（  ） A. −1   B. 1   C. 2   D. 3 解析：(x+1)(x−2) = x²−2x+x−2 = x²−x−2，所以 m = −1。 答案：A ☑ 知识总结表 运算类型 法则 注意事项 同底数幂乘法 底数不变，指数相加 底数必须相同，指数相加 幂的乘方 底数不变，指数相乘 注意符号，负号偶次幂为正 积的乘方 每个因式分别乘方 逆用可简化计算 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘 只在一个单项式中的字母照写 单项式×多项式 单项式乘多项式的每一项 注意符号，不要漏项 多项式×多项式 用一个多项式的每一项乘另一个 合并同类项，结果最简 核心考点 ·7大典型考点精讲 【考点1】同底数幂的乘法 （第1—12题） 📌 方法总结： · 底数相同（或可化为相同）时，指数相加。 · 注意符号：负数的奇次幂为负，偶次幂为正。 · 多项式作为底数时，要整体处理。 · 逆用：am+n = am·an 可用于求值。 1．（2025秋•奉贤区期中）若a、b均为正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则a与b的关系正确的是（　　） A．a＝3b B．3a＝b+3 C．a+1＝b3 D．a+1＝3b 2．（2025秋•上海校级月考）计算﹣a2•（﹣a）3的结果是（　　） A．a5 B．a6 C．﹣a3 D．﹣a6 3．（2025秋•思明区校级期中）已知a+2b﹣3＝0，则3a•32b＝（　　） A．24 B．27 C．54 D．81 4．（2026春•桥西区校级期中）化简式子（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4的结果（　　） A．（m﹣n）8 B．（n﹣m）8 C．﹣（n﹣m）8 D．（m﹣n）（n﹣m）7 5．（2026•嘉陵区一模）若72•7m＝76，则m的值为　 　 ． 6．（2025秋•闵行区校级月考）若a﹣1＝﹣3b，2a×8×23b的值为　 　 ． 7．（2025秋•闵行区期末）计算：（a﹣b）2（b﹣a）4＝　 　 ．（结果用幂的形式表示） 8．（2025秋•浦东新区校级期中）计算（结果用幂的形式表示）：﹣（b﹣a）（a﹣b）2（b﹣a）4＝　 　 ． 9．（2025秋•浦东新区校级月考）已知am＝6，an＝2，求下列各式的值： （1）a2m+a3n； （2）am+2n． 10．（2025秋•闵行区校级月考）计算，结果用幂的形式表示：2（b﹣a）3×（a﹣b）2﹣3（a﹣b）4×（b﹣a）． 11．（2025秋•闵行区校级月考）计算：103•10m﹣1•102m+2． 12．（2025秋•闵行区校级期中）阅读材料，回答问题． 材料一：因为23＝2×2×2，22＝2×2，所以23×22＝（2×2×2）×（2×2）＝25． 材料二：求31+32+33+34+35+36的值． 解：设S＝31+32+33+34+35+36① 则3S＝32+33+34+35+36+37② 用②﹣①得，3S﹣S＝（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）＝37﹣3 所以2S＝37﹣3，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． （1）填空：5×58＝5（　 　 ），a2•a5＝a（　 　 ）． （2）“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放 　 　 粒米．（用幂表示） ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【考点2】幂的乘方 （第13—24题） 📌 方法总结： · 幂的乘方，指数相乘，底数不变。 · 区分 (am)n 与 am·an。 · 含负号时，注意符号处理。 · 逆用：amn = (am)n 可化不同底数为同底数。 13．（2025秋•闵行区期末）设2m＝3，2n＝4，2p＝12下列m，n，p三者之间的关系式正确的是（　　） A．m+n＝p B．m+p＝2n C．n2﹣mp＝2 D．p+n＝2n 14．（2026•徐汇区二模）下列计算正确的是（　　） A．x3•x3＝2x3 B．（x2）3＝x5 C．（﹣xy）4＝x4y4 D．x3+x5＝x8 15．（2025秋•上海校级期中）计算[（x﹣y）m]n•[（x﹣y）n]m等于（　　） A．2（x﹣y）2m+2n B．（x﹣y） C．（x﹣y）2m+2n D．（x﹣y）2mn 16．（2025秋•普陀区校级期中）如果（﹣am）n＝amn成立，则（　　） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 17．（2026•上海）计算：（m4）2＝　 　 ． 18．（2025秋•浦东新区校级月考）计算：　 　 ． 19．（2025秋•浦东新区校级期末）若，27n＝3m+5，则m﹣n的值为　 　 ． 20．（2026春•上海校级月考）已知am＝3，an＝2，求a3m+2n的值． 21．（2025秋•闵行区校级月考）按要求计算下面各题： （1）已知am＝3，an＝2，则a2m+n的值． （2）已知3a+2b＝6，求8a•4b的值． 22．（2025秋•浦东新区校级月考）已知am＝7，an＝3，bm＝2，求下列各式的值． （1）am+2n； （2）（ab）2m． 23．（2025秋•闵行区校级期中）计算：[﹣2（a﹣b）3]2+3（a﹣b）•（b﹣a）5（结果用幂的形式表示）． 24．（2025秋•闵行区校级月考）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ （1）如果27x＝39，求x的值； （2）如果2×8x×16x＝222，求x的值； （3）已知x满足22x+3﹣22x+1＝48，求x的值． 【考点3】积的乘方 （第25—33题） 📌 方法总结： · 积的乘方等于各因式乘方的积。 · 注意系数也要乘方。 · 逆用：anbn = (ab)n 可简化计算。 25．（2026•长宁区校级模拟）计算（2a2）3的结果为（　　） A．2a5 B．2a6 C．8a5 D．8a6 26．（2025秋•浦东新区月考）已知xm＝8，x2n+m＝128，则xn的值是（　　） A．±8 B．±4 C．4 D．8 27．（2025•上海）下列运算中，正确的是（　　） A．m3+m3＝2m3 B．m3+m3＝m6 C．m3•m3＝m9 D．（m3）3＝m6 28．（2025秋•黄浦区校级期末）计算的结果是　 　 ． 29．（2025秋•闵行区期末）计算：（﹣xy4）3＝　 　 ． 30．（2026春•庐阳区校级期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n． 请利用上面的结论解决下面的问题． （1）如果2×8x×16x＝222，求x的值； （2）如果5x+5x+1＝150，求x的值． 31．（2026春•闵行区校级期末）已知5x＝m，5y＝n，求52x+3y的值．（用含m，n的代数式表示） 32．（2025秋•上海校级期中）计算：（a3b3）n+2（﹣anbn）3+（ab）3n． 33．（2025秋•浦东新区月考）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果2×（22）x×（2x）3＝221，求x的值； （2）如果3a+2•6a+2＝182a﹣4，求a的值． 【考点4】整式的乘法 （第34—49题） 📌 方法总结： · 单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘。 · 单项式乘多项式：分配律，注意符号。 · 多项式乘多项式：每一项乘每一项，合并同类项。 · 不含某项：令该项系数为0，求参数。 34．（2025秋•宝山区校级月考）下列运算中，计算结果正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（2a2）3＝6a6 D．2a4×3a5＝6a9 35．（2026•浦东新区二模）下列运算中，计算正确的是（　　） A．x3y•xy3＝4xy B．x3+xy＝x2y C．（xy2）2＝x2y4 D．x2y+xy2＝x3y3 36．（2025秋•闵行区期末）如果（x+1）（3x+a）的乘积中不含x的一次项，则a为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 37．（2026•崇明区二模）下列运算中，计算结果正确的是（　　） A．a2•2a3＝2a6 B．a2+2a3＝3a5 C．（a2）3＝a5 D． 38．（2025秋•宝山区期中）从前，一位庄园主把一块长为（a+5）米，宽为（b+6）米（a＞b＞0）的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 39．（2025秋•黄浦区校级月考）如果x2+px+q＝（x﹣1）（x+4），那么p、q的值是（　　） A．p＝3，q＝4 B．p＝3，q＝﹣4 C．p＝﹣4，q＝3 D．p＝4，q＝﹣3 40．（2025秋•闵行区校级期中）若等式（x﹣3）（3x+5）＝mx2+nx﹣p对任意x恒成立，m，n，p为常数，则m+n+p的值为（　　） A．﹣16 B．22 C．﹣8 D．14 41．（2025秋•崇明区校级期中）已知关于x的整式x2﹣mx+n与x﹣2的乘积中不含x2项和x项，则mn＝　 　 ． 42．（2025秋•金山区校级期末）若，则ab•（a2b5﹣ab3﹣b）的值是　 　 ． 43．（2026春•闵行区校级期末）已知（x2+mx+n）（3x﹣1）的展开式中，不含有x2和x，则m+n＝　 　 ． 44．（2025秋•浦东新区校级月考）公园里有一块长为2xm，宽为xm的长方形花坛，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为 （2x+2y）m，宽为（x+2y）m，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加了　 　 m2． 45．（2026春•慈溪市校级期中）计算： （1）； （2）4a2b•（﹣3ab2）+（﹣2ab）3． 46．（2026春•同步）计算： （1）6x2•3xy； （2）﹣3ab•（﹣2a2b3）； （3）； （4）（2x2y）2•（﹣3xy2）3； （5）﹣4ab2•（﹣ab）3•2abc； （6）； （7）； （8）（m2n）3•（﹣m4n）+（﹣mn）2； （9）[a（a﹣b）2]3•[a2（b﹣a）3]2． 47．（2024秋•闵行区校级期中）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10． （1）试求出式子中a，b的值； （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果． 48．（2025秋•上海校级期中）已知（x2+4x+2）（px﹣q）的展开式中不含x2项，且一次项的系数为14，求常数p、q的值． 49．（2025秋•浦东新区期中）如图所示，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． （1）用含有a、b的式子表示绿化的面积S； （2）若a＝2，b＝4，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【考点5】创新及压轴题 （第50—53题） 📌 方法总结： · 综合运用幂的运算法则和整式乘法。 · 注意错位相减法、整体代入等技巧。 · 新定义运算：理解规则，代入计算。 · 面积问题：利用整式乘法表示面积关系。 50．（2025秋•浦东新区期中）小明和小刚共同解一道题（2x+a）（3x+b），由于粗心，小明抄错了第一个多项式中a前面的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是2x2﹣9x+10． （1）求a，b的值； （2）计算出正确的结果． 51．（2025秋•黄浦区校级月考）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片，每种卡片各有30张．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为b、宽为a的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中a＞b．现在从这些卡片中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张）无缝隙、无重叠的拼成一个长方形． （1）若取出A型卡片　 　 张、B型卡片　 　 张、C型卡片　 　 张，可以拼成一个长为（2a+b）、宽为（a+2b）的长方形； （2）若取出A型卡片1张、C型卡片6张，请先判断需要抽取几张B型卡片才能拼成长方形，再画出相应的长方形； （3）若将选取的卡片拼成一个正方形： ①若一共选取50张卡片，能否拼成一个正方形？请说明理由． ②若a＝2b，请用含b的代数式表示能拼成的正方形面积的最大值．请直接写出答案，不必说明理由． 52．（2024秋•虹口区校级月考）定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b．如：3⊕32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝36，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求22⊕23的值； （2）2p＝3，2q＝5，3q＝6，求2p⊕2q的值． 53．（2024秋•宝山区校级月考）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题． 例1：“若am＝4，am+n＝20，求an的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an（m，n都是正整数），则20＝4•an，所以an＝5． 例2：“若a2m＝9（a＞0），求am的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘方公式，即amn＝（am）n（m，n都是正整数），则9＝（am）2，所以am＝3． （1）若am＝2，a3m+n＝32，请你也利用逆向思考的方法求出an的值． （2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题： 小贤的作业 计算：89×（﹣0.125）9． 解：89×（﹣0.125）9＝（﹣8×0.125）9＝（﹣1）9＝﹣1． ①小贤的求解过程逆用的幂的乘法公式是 　 　 ； A．am+n＝am•an B．amn＝（am）n C．anbn＝（ab）n ②计算：42023×（﹣0.25）2022． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 同底数幂关系 作业2 幂运算判断 作业3 运算正确性 作业4 幂的乘方符号 作业5 求幂的值 作业6 奇偶性判断 作业7 整式乘法结果 作业8 面积变化 作业9 同底数幂求值 作业10 幂的方程 作业11 积的乘方计算 作业12 不含项求参数 作业13 不含项求参数 作业14 系数与指数 作业15 错题纠正 作业16 整式乘法综合 作业17 运算依据填空 作业18 整式乘法计算 作业19 整式乘法化简 作业20 多项式乘法 作业21 面积应用题 💡 复习建议 熟记运算法则：同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，避免混淆。 注意符号处理：负数的奇偶次幂符号不同，整式乘法中注意去括号变号。 灵活逆用公式：逆用公式可简化计算，如 。 多项式乘法要“项项相乘”：避免漏项，最后合并同类项。 结合实际问题：面积、体积等问题常需整式乘法，注意建立正确模型。 1．（2025秋•奉贤区期中）若a、b均为正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则a与b的关系正确的是（　　） A．a＝3b B．3a＝b+3 C．a+1＝b3 D．a+1＝3b 2．（2025秋•上海期中）下列运算中，正确的是（　　） A．（a3）2＝a5 B．（a2b3）2＝a4b6 C．（ab2）3＝ab6 D．a3•a2＝a6 3．（2026春•上海校级月考）下列运算中正确的是（　　） A．（﹣ab）5＝a5b B．（a3）2＝a5 C．3a3+3a3＝6a6 D．a2•a6＝a8 4．（2025秋•普陀区校级期中）如果（﹣am）n＝amn成立，则（　　） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 5．（2025秋•浦东新区月考）已知xm＝8，x2n+m＝128，则xn的值是（　　） A．±8 B．±4 C．4 D．8 6．（2024秋•普陀区校级期中）m、n为正整数，若（﹣am）n＝﹣amn成立，则（　　） A．m、n必同为奇数 B．m、n必同为偶数 C．m必为奇数 D．n必为奇数 7．（2025秋•宝山区校级月考）下列运算中，计算结果正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（2a2）3＝6a6 D．2a4×3a5＝6a9 8．（2025秋•宝山区期中）从前，一位庄园主把一块长为（a+5）米，宽为（b+6）米（a＞b＞0）的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 9．（2026春•西夏区期末）若xm＝3，xn＝5，则x2m+n的值为　 　 ． 10．（2025秋•浦东新区校级期末）若，27n＝3m+5，则m﹣n的值为　 　 ． 11．（2025秋•青浦区校级期中）计算的结果是　 　 ． 12．（2025秋•崇明区校级期中）已知关于x的整式x2﹣mx+n与x﹣2的乘积中不含x2项和x项，则mn＝　 　 ． 13．（2026春•闵行区校级期末）已知（x2+mx+n）（3x﹣1）的展开式中，不含有x2和x，则m+n＝　 　 ． 14．（2025秋•上海校级月考）已知关于x的一次二项式ax+b与二次三项式x2+2x+3相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为1，则ba＝　 　 ． 15．（2024秋•闵行区校级期中）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10． （1）试求出式子中a，b的值； （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果． 16．（2025秋•宝山区校级期中）计算：（﹣3a2b）3+（﹣2a3b）2•3b． 17．（2025秋•杨浦区期中）在括号中填入每个步骤相应的数学依据： 3ax5•6bx7＝3×6•a•b•x5•x7…（　 　 ） ＝（3×6）•a•b•（x5•x7）…（　 　 ） ＝18abx12 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的　 　 、　 　 分别相乘． 18．（2025秋•浦东新区期中）计算：． 19．（2025秋•上海校级月考）． 20．（2025秋•闵行区校级月考）计算：． 21．（2026春•市中区期中）如图所示的是人民公园的一块长为（2m+n）米，宽为（m+2n）米的空地．预计在空地上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）． （1）请用m、n表示观景台的面积；（结果化为最简） （2）如果修建观景台的费用为200元/平方米．且已知m＝5（米），n＝4（米）．那么修建观景台需要费用多少元？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $