11.1整式的乘法（第1课时同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）（讲义，3大知识点&6大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本初中数学讲义聚焦整式乘法中的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方核心知识点，以乘方定义为起点推导三类运算法则，明确公式表达、结构特征及逆用方法，构建“定义-法则-辨析-应用”的学习支架。 资料亮点在于通过乘方意义理解算理培养推理能力，对比辨析运算结构发展抽象能力，设计分层练习与逆用题型强化模型意识。课中例题与随练辅助教师高效授课，课后分层习题助力学生查漏补缺，提升运算与应用能力。

第十一章 整式的乘除 11.1 整式的乘法（第1课时同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方） 课标要点 1.认识同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算意义； 2.掌握三类幂运算的核心法则，能准确书写对应运算公式，规范完成各类幂的基础运算； 3.能借助乘方的定义自主推导三类幂的运算法则，准确辨析三类运算的结构特征与差异； 4. 能基于三类幂的运算法则解决几何量表示、大数简化运算、代数式化简等实际问题，能在简单混合运算中正确选用对应法则，解释运算结果的实际含义。 学习重难点 重点： 1.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的法则内容、公式表达与基础规范运算。 2. 三类幂运算的结构特征辨析，准确区分运算类型并匹配对应法则。 难点： 1.基于乘方的意义理解三类运算的算理，建立 “底数不变、指数分级运算” 的思维模型，厘清指数相加、指数相乘的不同适用场景。 2. 底数为负数、分数或多项式整体时的运算符号处理与整体思想的应用。 3. 幂的混合运算中法则的准确选用，以及运算法则的逆向应用与灵活变形。 知识点 同底数幂的乘法 1．与幂相关的概念 一般地，将个相乘的运算叫作乘方，记作，乘方的结果叫作幂。在中，叫作底数，正整数 叫作指数。 读作＂的次方＂，当被看作是的次方的结果时，也读作＂的次幂＂，当时，我们规定：。 （1）一个数可以看作这个数本身的一次方。例如5就是 ，就是，指数1通常省略不写。指数是2时读作平方，指数是 3 时读作立方。例如读作＂的平方＂，读作＂的立方＂。 （2）乘方与幂不同，乘方是一种运算，幂是乘方的结果，乘方与幂的关系就如同乘法与积的关系． 2．同底数幂：同底数幂是指底数相同的幂，如 与 与等。 3．同底数幂的乘法性质：（m, n是正整数）。即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 同底数幂的乘法运算，可以转化为指数的加法运算。 4．同底数幂的乘法性质的推广及逆用 （1）推广：一般地，都是正整数），都是正整数）； （2）逆用：（m，都是正整数）． 随学随练 （25-26七年级上·上海虹口·期末）计算：_____． （25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 若，，则__________． 知识点 幂的乘方 1．幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，读作＂的五次幂的三次方＂，表示3个相乘；类似地， 读作＂的次幂的次方＂，表示个 相乘。 2．幂的乘方性质：（m, n是正整数）． 即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ：幂的乘方运算，可以转化为指数的乘法运算。 3．幂的乘方性质的推广及逆用 （1）推广：都是正整数）； （2）逆用：（m, n都是正整数）。 当运用幂的有关运算性质计算时，若幂中含有负号，先确定符号，再利用性质进行计算；若式子中同时含有乘方与乘法运算，先算乘方，再算乘法． 随学随练 （25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：_________． （25-26七年级上·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 （25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，则_______： 知识点 积的乘方 1．积的乘方的定义 积的乘方指的是底数是乘积形式的乘方。如等。 2．积的乘方性质：（是正整数），即积的乘方，等于乘方的积。 运用积的乘方性质时需注意： （1）公式中的可以是正整数，也可以是代表正整数的式子；与可以是数字，也可以是单项式或整式，如 ，. （2）在积的乘方法则中，公式的左边是幂的形式，而幂的底数是2个因式的积；右边是积，而积的因式是 2 个幂。 （3）积的乘方法则中，一定是积且积中的每个因式都应乘方，如。不是积的不能运用，如 与不相等。 在进行积的乘方的运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项。尤其是当底数中含有＂-＂号时，应将其视为＂-1＂，作为一个因式进行乘方。 3．积的乘方性质的推广及逆用 （1）推广：（为正整数）； （2）逆用：为正整数）． 4．同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算性质的区别 同底数幂的乘法：，底数不变，指数相加，公式。 幂的乘方： ，底数不变，指数相乘，公式。 积的乘方：，底数中的每个因式分别乘方，幂相乘，公式。 随学随练 （25-26七年级上·上海·期中）计算：________________． （25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型1 同底数幂相乘 ▌例1（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）代数式可表示为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1计算：________． ▌对点练1-2（25-26七年级上·上海青浦·期中）计算：__________．（结果用幂的形式表示） ▌对点练1-3（25-26七年级上·上海·期中）计算（结果用幂的形式表示）：______． 题型2 同底数幂乘法的逆用 ▌例2若，，则_________． ▌对点练2-1（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________．（结果用幂的形式表示） ▌对点练2-2（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：，，则 __________． ▌对点练2-3______________． 题型3 幂的乘方运算 ▌例3下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-1（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知与是同类项，则__________． ▌对点练3-2（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算：___________． ▌对点练3-3计算：=______． 题型4 幂的乘方的逆用 ▌例4（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． ▌对点练4-1（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，，那么__________（用含和的式子表示） ▌对点练4-2（25-26七年级上·上海·阶段检测）以下三个数：，，最大的数为___________． ▌对点练4-3（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； 题型5 积的乘方运算 ▌例5（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-1计算：________． ▌对点练5-2计算：=___________． ▌对点练5-3计算：______． ▌对点练5-4（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：______． ▌对点练5-5（24-25七年级上·上海·期中）计算：（结果用幂的形式表示）． 题型6 积的乘方的逆用 ▌例6（25-26七年级上·上海奉贤·期中）的计算结果是（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-1（24-25七年级上·上海静安·阶段检测）已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． ▌对点练6-2（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：_____． ▌对点练6-3（25-26七年级上·上海·期中）计算：______． ▌对点练6-4（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：______． ▌对点练6-5已知（都是正整数），用含的式子表示． 基础通关 1．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：_____．（结果用幂的形式表示） 2．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，则______． 3．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算（保留幂的形式）：______． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）比较大小：______． 5．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算：_________．（结果用幂的形式表示） 6．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 7．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 8．（25-26七年级上·上海·期中）已知：，，求的值． 9．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：． 10．（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算：． 11．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； 素养提升 12．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 13．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________ 14．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若，的值为_____． 15．（25-26七年级上·上海·阶段检测）化简： 16．（24-25七年级上·上海·期中）计算：______． 17．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知：，， (1)求代数式的值； (2)试求a、b、c所满足的数量关系式． 18．若（且，m、n是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求a的值． 迁移创新 19．（24-25七年级上·上海宝山·期中）通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算________． 20．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3，______）． 21．阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 整式的乘除 11.1 整式的乘法（第1课时同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方） 课标要点 1.认识同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算意义； 2.掌握三类幂运算的核心法则，能准确书写对应运算公式，规范完成各类幂的基础运算； 3.能借助乘方的定义自主推导三类幂的运算法则，准确辨析三类运算的结构特征与差异； 4. 能基于三类幂的运算法则解决几何量表示、大数简化运算、代数式化简等实际问题，能在简单混合运算中正确选用对应法则，解释运算结果的实际含义。 学习重难点 重点： 1.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的法则内容、公式表达与基础规范运算。 2. 三类幂运算的结构特征辨析，准确区分运算类型并匹配对应法则。 难点： 1.基于乘方的意义理解三类运算的算理，建立 “底数不变、指数分级运算” 的思维模型，厘清指数相加、指数相乘的不同适用场景。 2. 底数为负数、分数或多项式整体时的运算符号处理与整体思想的应用。 3. 幂的混合运算中法则的准确选用，以及运算法则的逆向应用与灵活变形。 知识点 同底数幂的乘法 1．与幂相关的概念 一般地，将个相乘的运算叫作乘方，记作，乘方的结果叫作幂。在中，叫作底数，正整数 叫作指数。 读作＂的次方＂，当被看作是的次方的结果时，也读作＂的次幂＂，当时，我们规定：。 （1）一个数可以看作这个数本身的一次方。例如5就是 ，就是，指数1通常省略不写。指数是2时读作平方，指数是 3 时读作立方。例如读作＂的平方＂，读作＂的立方＂。 （2）乘方与幂不同，乘方是一种运算，幂是乘方的结果，乘方与幂的关系就如同乘法与积的关系． 2．同底数幂：同底数幂是指底数相同的幂，如 与 与等。 3．同底数幂的乘法性质：（m, n是正整数）。即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 同底数幂的乘法运算，可以转化为指数的加法运算。 4．同底数幂的乘法性质的推广及逆用 （1）推广：一般地，都是正整数），都是正整数）； （2）逆用：（m，都是正整数）． 随学随练 （25-26七年级上·上海虹口·期末）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法计算，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． （25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，将等式左边化简为，右边化简为，据此即可得到． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ， 故选 ：D． 若，，则__________． 【答案】8 【分析】根据同底数幂乘法的逆用将原式整理为，然后进一步计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 知识点 幂的乘方 1．幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，读作＂的五次幂的三次方＂，表示3个相乘；类似地， 读作＂的次幂的次方＂，表示个 相乘。 2．幂的乘方性质：（m, n是正整数）． 即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ：幂的乘方运算，可以转化为指数的乘法运算。 3．幂的乘方性质的推广及逆用 （1）推广：都是正整数）； （2）逆用：（m, n都是正整数）。 当运用幂的有关运算性质计算时，若幂中含有负号，先确定符号，再利用性质进行计算；若式子中同时含有乘方与乘法运算，先算乘方，再算乘法． 随学随练 （25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的计算；利用幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． （25-26七年级上·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方与符号的性质，解题关键是根据幂的运算规则分析的符号与的符号关系，从而确定n的奇偶性． 根据指数运算法则，将左边化简后，等式成立的条件仅与n的奇偶性有关，需n为偶数． 【详解】∵ = = ， 又∵ = ， ∴ = ． 假设 ，则两边除以 ，得 ， ∴ n 是偶数． 因此，n是偶数． 故选D． （25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，则_______： 【答案】 196 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法及幂的乘方是解题的关键；根据指数运算法则，将分解为，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：由已知，，则， 所以． 故答案为196． 知识点 积的乘方 1．积的乘方的定义 积的乘方指的是底数是乘积形式的乘方。如等。 2．积的乘方性质：（是正整数），即积的乘方，等于乘方的积。 运用积的乘方性质时需注意： （1）公式中的可以是正整数，也可以是代表正整数的式子；与可以是数字，也可以是单项式或整式，如 ，. （2）在积的乘方法则中，公式的左边是幂的形式，而幂的底数是2个因式的积；右边是积，而积的因式是 2 个幂。 （3）积的乘方法则中，一定是积且积中的每个因式都应乘方，如。不是积的不能运用，如 与不相等。 在进行积的乘方的运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项。尤其是当底数中含有＂-＂号时，应将其视为＂-1＂，作为一个因式进行乘方。 3．积的乘方性质的推广及逆用 （1）推广：（为正整数）； （2）逆用：为正整数）． 4．同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算性质的区别 同底数幂的乘法：，底数不变，指数相加，公式。 幂的乘方： ，底数不变，指数相乘，公式。 积的乘方：，底数中的每个因式分别乘方，幂相乘，公式。 随学随练 （25-26七年级上·上海·期中）计算：________________． 【答案】 【详解】解：． （25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂乘法及积的乘方的逆运算，将原式进行正确的变形是解题的关键． 利用同底数幂乘法及积的乘方得逆运算法则将原式变形后进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 原式 ， 故选：C． 题型1 同底数幂相乘 ▌例1（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）代数式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．先利用同底数幂的乘法法则，再利用求相同加数的和的简便算法得结论． 【详解】解： ． 故选：C ▌对点练1-1计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”求解即可． 【详解】解：． 故答案为： ． ▌对点练1-2（25-26七年级上·上海青浦·期中）计算：__________．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】根据同底数幂相乘底数不变，指数相加，进行求解即可． 【详解】解：． ▌对点练1-3（25-26七年级上·上海·期中）计算（结果用幂的形式表示）：______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是将底数互为相反数的形式转换成底数相同的形式； 将 转换为 ，利用同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 题型2 同底数幂乘法的逆用 ▌例2若，，则_________． 【答案】15 【详解】解：． ▌对点练2-1（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________．（结果用幂的形式表示） 【答案】299 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． ▌对点练2-2（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：，，则 __________． 【答案】128 【详解】本题考查同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂乘法的逆用法则解答即可，也是解题关键． 【分析】解：∵，， ∴ ． 故答案为：128． ▌对点练2-3______________． 【答案】/ 【分析】拆分原式得到同指数幂，逆用积的乘方法则简化计算，即可解题． 【详解】解：原式 ． 题型3 幂的乘方运算 ▌例3下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方和积的乘方计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． ▌对点练3-1（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知与是同类项，则__________． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，得到相同字母指数相等的方程，求解得到和的值，再利用幂的乘方法则计算最终结果． 【详解】解：根据同类项所含字母相同，且相同字母的指数也相同，可得：，， 解得，， 根据幂的乘方法则，可得． ▌对点练3-2（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键．先计算乘方，再利用同底数幂相乘法则计算乘积． 【详解】解：原式， ， 故答案为． ▌对点练3-3计算：=______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是积的乘方和幂的乘方，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 先根据积的乘方和幂的乘方依次去括号，再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型4 幂的乘方的逆用 ▌例4（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用． 由得，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，∴ ∵ ∴，即，A正确 对于B∶，但，故，所以B错误 对于C∶，不是常数，且不等于2，故C错误 对于D∶，而，所以，故D错误 故选A． ▌对点练4-1（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，，那么__________（用含和的式子表示） 【答案】 【分析】利用指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，将 分解为 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，则由和得，，代入原式即可求解；本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． ▌对点练4-2（25-26七年级上·上海·阶段检测）以下三个数：，，最大的数为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，解决此题的关键是熟练的掌握幂的乘方运算；把这三个数化成指数相同的形式，比较底数的大小，从而确定数的大小即可； 【详解】解： ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． ▌对点练4-3（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； 【答案】(1)44 (2)24 【分析】（1）利用幂的乘方的逆运算以及有理数的乘方计算即可； （2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴原式 ； （2）解：∵，， ∴原式 ． 题型5 积的乘方运算 ▌例5（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数运算规则，包括合并同类项、幂的乘方、积的乘方等． 逐项验证即可． 【详解】解：对于A：∵，∴ A错误． 对于B：∵，∴ B错误． 对于C： ∵，∴ ，与右边相等，∴ C正确． 对于D：∵ ，，∴，D错误． 故选C． ▌对点练5-1计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． ▌对点练5-2计算：=___________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是积的乘方、幂的乘方，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 先计算括号内的平方运算，再处理负号，最后计算立方运算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． ▌对点练5-3计算：______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方运算法则．根据积的乘方和幂的乘方运算法则解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． ▌对点练5-4（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，根据相关运算法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． ▌对点练5-5（24-25七年级上·上海·期中）计算：（结果用幂的形式表示）． 【答案】 【分析】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知积的乘方与幂的乘方公式； 根据积的乘方与幂的乘方公式即可求解； 【详解】解： 题型6 积的乘方的逆用 ▌例6（25-26七年级上·上海奉贤·期中）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，把原式先变形为，进一步变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． ▌对点练6-1（24-25七年级上·上海静安·阶段检测）已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答本题的关键． 先根据幂的乘方和积的乘方的运算法则变形，然后将的值代入计算即可． 【详解】解： ． 故选C． ▌对点练6-2（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：_____． 【答案】1 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及负数的偶次幂是正数， 利用负数的偶次幂是正数和指数运算法则，可得，再逆用积的乘方运算得出，由此即可计算． 【详解】解：， 故答案为1． ▌对点练6-3（25-26七年级上·上海·期中）计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握指数运算性质是解题的关键． 将带分数转换为假分数，利用指数运算性质合并底数，结合负数的奇次幂性质计算即可． 【详解】解： 故答案为：． ▌对点练6-4（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，通过指数运算性质，先计算并前两项为，再与第三项结合，利用指数法则化简． 【详解】解： 故答案为 ． ▌对点练6-5已知（都是正整数），用含的式子表示． 【答案】 【分析】运用逆用幂的乘方、积的乘方进行解答即可． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查了逆用幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 基础通关 1．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：_____．（结果用幂的形式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂相等是解决这个问题的关键． 本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，则______． 【答案】54 【分析】本题主要考查了代数式求值，同底数幂的乘法，幂的乘方运算，逆用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：当，时， ． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算（保留幂的形式）：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂的运算，幂的乘方，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则运算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）比较大小：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，将转化为 ，然后比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算：_________．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，将看成一个整体是解题关键．通过观察表达式，发现和，从而将看作整体，再应用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以多项式，再逆用积的乘方将各项化为的形式，进而根据计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，解题关键是将所求式子转化为以3为底的幂的形式，再利用已知条件代入计算． 先将和转化为以为底的幂，即再根据幂的乘方性质变形为；最后代入，计算，求和得到结果． 【详解】 ， ， ， ， ， ， ． 8．（25-26七年级上·上海·期中）已知：，，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了幂的乘方． 通过将方程两边化为同底数幂，比较指数求出m和n的值，进而计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，且 ， ∴， ∴， ∴； ∴． 9．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法和幂的运算性质，包括同底数幂的乘法和幂的乘方，根据同底数幂的乘法法则计算前一部分，根据幂的乘方法则计算后一部分即可． 【详解】解： 10．（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，先计算同底数幂乘法和积的乘方，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 11．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； 【答案】 【分析】先进行积的乘方运算，再进行单项式的乘法运算即可解答． 【详解】解：原式 ． 素养提升 12．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂相乘，积的乘方，由已知证明可得，进而求得代数式的值． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴； ∴， ． 故选B． 13．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________ 【答案】/0.25 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先将原式变形为，再根据积的乘方的逆运算进行求解． 【详解】解：原式 = ， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若，的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，首先根据，可得：，把写成，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：原式，从而可得：结果为． 【详解】解：， ， 故答案为：． 15．（25-26七年级上·上海·阶段检测）化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了同底幂乘法和幂的乘方，解决此题的关键是正确的计算；先算幂的乘方，根据次数先判断符号，再根据同底幂乘法公式运算，进而得到答案即可； 【详解】解： ， ， ． 16．（24-25七年级上·上海·期中）计算：______． 【答案】 【分析】主要考查了考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算法则把原式进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 17．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知：，， (1)求代数式的值； (2)试求a、b、c所满足的数量关系式． 【答案】(1)675 (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方法则，整体代数法求值即可； （2）根据同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴． 18．若（且，m、n是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求a的值． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答； （2）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：（1）， ， ， ， ， ， 解得：， 的值为4． （2）解：， ， ， ， 解得：， 的值为3． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 迁移创新 19．（24-25七年级上·上海宝山·期中）通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算________． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，正确将所求式子变形为是解题的关键． 所求式子可以变形为，根据积的乘方计算法则继续变形得到，由此根据题意求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 20．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3，______）． 【答案】128 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则，弄懂定义是解题的关键． 由题意可得，解得，再由，结合规定即可求解． 【详解】∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：128． 21．阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $