4.4 对数函数 专项分层训练 - 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以题型为载体，系统提炼对数函数判定、求解、性质分析的方法体系，培养逻辑推理与数学抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义辨析|5题|三步判定法、快速排除法|从定义本质（三大条件）到与对数型函数的区分| |解析式|6题|待定系数法、特殊点代入|基于标准形式，通过参数求解构建函数关系| |定义域|5题|真数大于0核心、多条件交集|结合分式、根式等约束，强化定义域优先意识| |性质应用（单调性等）|各5-6题|同增异减、中间量比较法等|从图象到单调性、奇偶性、值域，体现知识生成与应用的逻辑链条|

人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网 - 徽率数学 第四章 指数函数与对数函数 专项分层训练 §4.4  对数函数 对数函数定义的辨析题型01 · 知识回顾 1. 对数函数定义：形如（且，）的函数叫做对数函数。 三大判定条件： ① 底数为常数，满足且； ② 真数只能是自变量； ③ 前面系数必须为。 2. 区分：、属于对数型函数，不是标准对数函数。 3. 指数与对数互化：。 · 方法与技巧 1. 三步判定：看底数范围、看真数是否仅为、看对数前面系数是否为 1。 2. 快速排除：底数、底数等于 1、真数不是单纯、系数不为 1，均不是对数函数。 3. 易错提醒：函数定义域是对数函数自带条件；、无意义。 1．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 3．下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 4．下列函数表达式中，是对数函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列给出的函数:① ; ②且; ③; ④; ⑤且 ; ⑥.其中是对数函数的为（    ） A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥ 求对数函数的解析式题型02 · 知识回顾 1. 标准对数函数：，仅含一个参数。 2. 对数型函数通用形式：，通过图像上点的坐标求解参数。 3. 对数恒等式：。 · 方法与技巧 1. 待定系数法为核心。 ① 设解析式：标准对数函数设；对数型按需设。 ② 将已知点代入解析式。 ③ 解方程求参数，务必验证。 ④ 回代写出完整解析式。 2. 优先代入特殊点，简化运算。 1．函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数（且）在上单调递增，且，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．27 3．函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 4．若函数为对数函数，则______． 5．对数函数的图象经过点，则的解析式为______. 6．已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为______． 对数函数定义域问题题型03 · 知识回顾 1. 有意义的条件：；底数且。 2. 对数型复合函数，定义域要求内层真数。 3. 若同时含有分母、偶次根式，要同时满足分式、根式限制条件，取条件交集。 · 方法与技巧 1. 解题核心：令对数内部真数大于 0。 2. 步骤： ① 找出全部对数的真数表达式，全部列大于 0 不等式。 ② 若存在分母、偶次根式，补充对应约束。 ③ 解不等式组，取所有条件交集，写成集合或者区间。 3. 易错：不要把底数大于 0 的条件当成自变量的条件；注意多个对数叠加时每一个真数都要大于 0。 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．若，则函数f(x)的定义域为（    ） A． B．(0，+∞) C． D． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域是______. 4．函数的定义域为______． 5．函数的定义域是__________． 对数型函数过定点问题题型04 · 知识回顾 1. 对数恒成立结论：，无论底数合法取何值，真数等于 1 时对数值恒为 0。 2. 对数型函数形式：，定点不受底数变化影响。 · 方法与技巧 1. 通用套路：令对数的真数等于 1，解出，再代入求。 2. 步骤： ① 令真数部分，解出。 ② 将代入原函数，利用计算。 ③ 定点坐标。 3. 常用模型：过定点。 4. 易错：定点和底数无关，不需要讨论与。 1．设，函数 的图像恒过定点，则 点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．函数（，且）的图象恒过点（   ） A． B． C． D． 3．函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为_________. 4．函数（且）过定点________． 5．函数图象恒过定点，且点坐标满足方程，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D．8 对数函数的图象问题题型05 · 知识回顾 1. 基础图像性质 ① ：单调递增；过定点；轴为渐近线；。 ② ：单调递减；过定点；轴为渐近线；。 2. 底数图像规律：在区域，底数越大图像越靠下。 3. 图像变换：遵循左加右减、上加下减；与关于轴对称。 · 方法与技巧 1. 图像识别：先由增减性判断底数范围；利用定点、渐近线快速排除选项。 2. 底数大小判断：处，图像位置越低，底数越大。 3. 平移对称变换：左加右减作用于真数内部；上加下减作用整个对数式子。 4. 做题优先标记定点，很多图像选择题可以直接秒杀。 1．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．   B．   C．   D．   2．已知，，则函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 4．小华同学作出的时的对数函数的图象如图所示，则对应于的的值分别为   A． B． C． D． 5．已知三个对数函数：y=logax，y=logbx，y=logcx，它们分别对应如图中标号为①②③三个图象，则a，b，c的大小关系是（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a 指对幂比较大小题型06 · 知识回顾 1. 指数：；对数：；幂函数：。 2. 三个关键分界中间量：。 指数：； 对数：。 3. 同构造用函数单调性；不同构造引入中间量搭桥。 · 方法与技巧 1. 分类处理： ① 同结构：同指数看幂函数；同底数指数看指数函数；同底数对数看对数函数单调性。 ② 不同底不同类型：找中间量划分层级：大于 1，0 到 1 之间，小于 0。 2. 步骤：先判断正负；再和 1 比较；剩余难以比较的，构造对应函数或者作差作商。 3. 常见层级：指数大于 0 恒成立；对数可正可负；幂函数看自变量与指数正负。 4. 高阶技巧：特殊估值，找中间值如辅助比较。 1．比较下列各组数中两个数的大小： （1），；    （2），； （3），；        （4），. 2．比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 3．已知a=， b=， c=，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 4．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知，则（ ） A． B． C． D． 6．（多选）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 解对数型不等式题型07 · 知识回顾 核心依据对数函数单调性，解对数不等式必须优先保证真数大于 0。 1. ，单调递增： 2. ，单调递减： · 方法与技巧 1. 解题四步： ① 化同底，不等式两侧写成同底数对数。 ② 列出全部真数大于 0的限制条件。 ③ 根据底数判断增减；时去掉对数符号不等号反向。 ④ 解不等式组，取交集得到解集。 2. 若一侧是常数，把常数改写为对数形式，如。 3. 高频易错：极易漏掉真数大于 0 的约束条件，导致解集扩大出错。 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．解不等式：． 3．已知（，且），求x的取值范围． 4．已知函数为奇函数，当时，，则满足不等式的的取值范围是_______. 5．解下列不等式： (1)； (2)； 对数型函数的单调性问题题型08 · 知识回顾 1. 复合函数法则：同增异减，函数,外层函数：；内层函数：。 2. 外层单调性：外层递增；外层递减。 3. 前提条件：真数，单调区间一定在定义域之内。 · 方法与技巧 1. 解题步骤： ① 第一步求定义域：。 ② 拆分内外两层函数。 ③ 判断外层对数函数增减，再求内层单调区间。 ④ 使用 “同增异减” 判断整体单调性；最终区间不能超出定义域。 2. 已知单调性求参：定义域优先；再根据同增异减列出参数不等式求解。 3. 易错：单调区间必须写在定义域内部；不要忘记写定义域再分析单调性。 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间为（      ） A． B． C． D． 3．求函数的单调区间. 4．求下列函数的单调区间： （1）； （2）. 5．已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 对数型函数的奇偶性问题题型09 · 知识回顾 1. 奇偶性前提：定义域关于原点对称。偶函数：；奇函数：。 2. 经典对数奇偶模型：，定义域，为奇函数。 3. 对数运算变形：。 · 方法与技巧 1. 判断步骤： ① 先求定义域，定义域不关于原点对称，直接判定非奇非偶。 ② 写出，利用对数运算法则化简。 ③ 对比与得到奇偶性。 2. 已知奇偶性求参数：利用恒成立，列等式求解参数，求出参数回代检验定义域。 3. 技巧：遇到分式真数，分子分母同时取倒数对应对数变号。 1．函数是奇函数，则的值为 A．0 B．1 C．-1 D．不存在 2．若函数是奇函数，则b的值为（   ） A． B．2 C．-2 D．4 3．“”是“函数是奇函数”的（      ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．“”是“函数为奇函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 对数型函数的值域问题题型10 · 知识回顾 1. ：当，对数函数值域为。 2. 复合：先求内层的取值集合，注意，再结合外层对数单调性求值域。 3. 换元模型：令，且，转化为求值域。 · 方法与技巧 1. 解题步骤 ① 求内层取值范围，筛选部分。 ② 根据底数的单调性，求的取值。 ③ 写出函数值域。 2. 换元法高频使用：令，一定要标注新元的取值范围。 3. 易错：内层可以取遍全部正实数时，对数值域是，不要错误写为。 4. 含参题型：分类讨论与两种底数情况。 1．已知函数，，则的值域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域为 A． B． C． D． 3．函数（）的值域是 A． B． C． D． 4．若函数的值域为，则的单调递增区间为 A． B． C． D． 5．函数的最小值为__________． 6．已知函数，求在上的值域. 1．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）“”的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）（多选）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的最大值为 6．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 7．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则_____． 8．（23-24高一上·海南海口·阶段检测）若函数的定义域是，则实数的取值范围是________． 9．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 10．（25-26高一下·天津·期末）已知函数，且． (1)求实数的值； (2)判断的单调性； (3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山西晋城·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B． C．在上单调递减 D．若，则的最大值为 3．（25-26高一下·湖北十堰·期中）已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为______． 4．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）已知函数． (1)当时，若，求的值； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 1．（2026·北京·高考真题）我国在机器人技术领域取得了一系列重要成就．在处理机器人语音信号时，常用公式 （其中常数）将声音频率（单位：）转换为．若的取值范围是，则的取值范围是________． 2．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网 - 徽率数学 第四章 指数函数与对数函数 专项分层训练 §4.4  对数函数 对数函数定义的辨析题型01 · 知识回顾 1. 对数函数定义：形如（且，）的函数叫做对数函数。 三大判定条件： ① 底数为常数，满足且； ② 真数只能是自变量； ③ 前面系数必须为。 2. 区分：、属于对数型函数，不是标准对数函数。 3. 指数与对数互化：。 · 方法与技巧 1. 三步判定：看底数范围、看真数是否仅为、看对数前面系数是否为 1。 2. 快速排除：底数、底数等于 1、真数不是单纯、系数不为 1，均不是对数函数。 3. 易错提醒：函数定义域是对数函数自带条件；、无意义。 1．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数定义直接判断即可. 【详解】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是， 对于A，满足，故A正确； 对于B，C，D，形式均不正确，均错误. 故选：A 2．下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义求解． 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 3．下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数函数概念可判断. 【详解】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 4．下列函数表达式中，是对数函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对数函数定义分析每个函数表达式即可 【详解】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数； 由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数； 由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数； 由于⑥中的真数，⑥也不是对数函数； 只有③④符合对数函数的定义. 故选：B 5．下列给出的函数:① ; ②且; ③; ④; ⑤且 ; ⑥.其中是对数函数的为（    ） A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥ 【答案】D 【解析】根据对数函数的解析式 来判断即可. 【详解】解:①,不满足单项式,不是对数函数; ②且中真数不是自变量,不是对数函数; ④的系数不为,不是对数函数; ⑤且中真数是常数，不是对数函数; 故只有③⑥是对数函数. 故选:D 求对数函数的解析式题型02 · 知识回顾 1. 标准对数函数：，仅含一个参数。 2. 对数型函数通用形式：，通过图像上点的坐标求解参数。 3. 对数恒等式：。 · 方法与技巧 1. 待定系数法为核心。 ① 设解析式：标准对数函数设；对数型按需设。 ② 将已知点代入解析式。 ③ 解方程求参数，务必验证。 ④ 回代写出完整解析式。 2. 优先代入特殊点，简化运算。 1．函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【详解】由解得或，又，且，所以 故选：B. 2．已知函数（且）在上单调递增，且，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】根据在上单调递增得，由代入解析式通过解方程即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 因为，所以，即， 解得或（舍），所以. 故选：C 3．函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义得出，求解出值，需要看是否在底数的取值范围内． 【详解】解：， 所以， ， 所以， 故选：C． 4．若函数为对数函数，则______． 【答案】2 【分析】根据对数函数的概率列式求解即可. 【详解】因为函数为对数函数， 所以，且，则（舍去）或． 故答案为：2 5．对数函数的图象经过点，则的解析式为______. 【答案】 【分析】设对数函数，根据图象过点即可求解. 【详解】设对数函数， 因为对数函数的图象经过点， 所以，则，解得：，因为，所以. 所以函数解析式为：， 故答案为：. 6．已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为______． 【答案】 【分析】把已知点坐标代入解析式，可求出，即可求解. 【详解】由题可得，即， 因为，且，所以， 故函数解析式为． 故答案为：. 对数函数定义域问题题型03 · 知识回顾 1. 有意义的条件：；底数且。 2. 对数型复合函数，定义域要求内层真数。 3. 若同时含有分母、偶次根式，要同时满足分式、根式限制条件，取条件交集。 · 方法与技巧 1. 解题核心：令对数内部真数大于 0。 2. 步骤： ① 找出全部对数的真数表达式，全部列大于 0 不等式。 ② 若存在分母、偶次根式，补充对应约束。 ③ 解不等式组，取所有条件交集，写成集合或者区间。 3. 易错：不要把底数大于 0 的条件当成自变量的条件；注意多个对数叠加时每一个真数都要大于 0。 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 2．若，则函数f(x)的定义域为（    ） A． B．(0，+∞) C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】由题知：. 故选：C 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域是______. 【答案】 【分析】根据复合函数定义域之间的关系，即可求得答案. 【详解】 的定义域为， 又 解得：，即 故答案为：. 4．函数的定义域为______． 【答案】 【分析】根据真数为正数，列式，即可求解. 【详解】令，整理为， 解得：或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 5．函数的定义域是__________． 【答案】 【分析】解不等式，可得出函数的定义域. 【详解】对于函数，由，即，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 对数型函数过定点问题题型04 · 知识回顾 1. 对数恒成立结论：，无论底数合法取何值，真数等于 1 时对数值恒为 0。 2. 对数型函数形式：，定点不受底数变化影响。 · 方法与技巧 1. 通用套路：令对数的真数等于 1，解出，再代入求。 2. 步骤： ① 令真数部分，解出。 ② 将代入原函数，利用计算。 ③ 定点坐标。 3. 常用模型：过定点。 4. 易错：定点和底数无关，不需要讨论与。 1．设，函数 的图像恒过定点，则 点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：当时， ，故定点.故选：A 2．函数（，且）的图象恒过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令真数为1，则可得到定点坐标. 【详解】真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f（x）=1，所以函数的图象过定点. 3．函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为_________. 【答案】 【解析】根据，可令求出定点. 【详解】当时，， 定点的坐标为. 故答案为：. 4．函数（且）过定点________． 【答案】 【分析】根据指数型以及对数型函数的性质即可令求解. 【详解】令且可得， 将代入可得， 故定点为， 故答案为： 5．函数图象恒过定点，且点坐标满足方程，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】先根据对数函数的性质求出点的坐标，然后代入方程中，根据基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】因为函数图象恒过定点， 所以令，即时，，所以. 因为点坐标满足方程，则有. 因为，所以根据基本不等式的性质可得 ， 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为8. 故选：D. 对数函数的图象问题题型05 · 知识回顾 1. 基础图像性质 ① ：单调递增；过定点；轴为渐近线；。 ② ：单调递减；过定点；轴为渐近线；。 2. 底数图像规律：在区域，底数越大图像越靠下。 3. 图像变换：遵循左加右减、上加下减；与关于轴对称。 · 方法与技巧 1. 图像识别：先由增减性判断底数范围；利用定点、渐近线快速排除选项。 2. 底数大小判断：处，图像位置越低，底数越大。 3. 平移对称变换：左加右减作用于真数内部；上加下减作用整个对数式子。 4. 做题优先标记定点，很多图像选择题可以直接秒杀。 1．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由可知，根据指数函数和对数函数图象的单调性即可判断得出结果. 【详解】依题意可将指数函数化为，由可知； 由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BC， 由对数函数图象性质可得为单调递增，且过定点，排除D， 故选：A 2．已知，，则函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】作出函数的图象，通过数形结合即可求得答案. 【详解】函数图象如图所示： 则图象不过第一象限. 故选：A. 3．已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】由图象可得，指数函数为减函数， 对数函数为增函数， 所以， 即. 故选：B 4．小华同学作出的时的对数函数的图象如图所示，则对应于的的值分别为   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令得，结合图象可确定选项. 【详解】令得，如图可得的的值为从小到大的顺序，即， 故选：C 5．已知三个对数函数：y=logax，y=logbx，y=logcx，它们分别对应如图中标号为①②③三个图象，则a，b，c的大小关系是（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a 【答案】C 【分析】令时，分布求对应的实数根，根据图象确定的大小. 【详解】当时， 由图可知. 故选：C 指对幂比较大小题型06 · 知识回顾 1. 指数：；对数：；幂函数：。 2. 三个关键分界中间量：。 指数：； 对数：。 3. 同构造用函数单调性；不同构造引入中间量搭桥。 · 方法与技巧 1. 分类处理： ① 同结构：同指数看幂函数；同底数指数看指数函数；同底数对数看对数函数单调性。 ② 不同底不同类型：找中间量划分层级：大于 1，0 到 1 之间，小于 0。 2. 步骤：先判断正负；再和 1 比较；剩余难以比较的，构造对应函数或者作差作商。 3. 常见层级：指数大于 0 恒成立；对数可正可负；幂函数看自变量与指数正负。 4. 高阶技巧：特殊估值，找中间值如辅助比较。 1．比较下列各组数中两个数的大小： （1），；    （2），； （3），；        （4），. 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）. 【分析】结合对数函数的单调性和运算性质，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）由对数函数在上为单调递增函数， 又由，所以. （2）由对数函数在上为单调递减函数， 又由，所以. （3）由对数函数的性质，可得，所以. （4）由对数函数的性质，可得，，所以. 2．比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据对数函数的单调性比较大小即可； （2）根据对数函数的单调性比较大小即可； （3）根据对数函数的单调性比较大小即可； （4）根据对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】（1）因为函数为定义域上的单调递增函数，且， 所以. （2）因为函数为定义域上的单调递减函数，且， 所以. （3）因为函数为定义域上的单调递增函数，且， 所以. （4）因为函数为定义域上的单调递减函数，且， 所以. 3．已知a=， b=， c=，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 【答案】A 【解析】根据指数函数、对数函数与幂函数的单调性，借助中间量即可比较大小. 【详解】解：由函数在上单调递增， 所以， 由于函数在上单调递减， 所以， 由于函数在上单调递增， 所以， 故. 故选：A. 4．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用换底公式，对数函数、指数函数的单调性求解即得. 【详解】依题意，，，而， 所以. 故选：A 5．（多选）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件以及指数函数的单调性判断选项A即可；选项B利用幂函数的性质判断即可；利用对数函数的单调性判断C、D选项即可. 【详解】因为，所以函数在上单调递减， 又，所以，故A选项不正确， 因为幂函数在上单调递增， 且，所以，故B选项正确； 因为，所以函数在上单调递减， 且，所以，故C选项正确； 因为，所以函数在上单调递减， 且，所以，即，故D选项正确； 故选：BCD. 6．（多选）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数函数、对数函数及幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以在定义域上单调递减，又， 所以，故A错误； 对于B：因为，所以在上单调递增，又， 所以，故B正确； 对于C：因为，所以在上单调递减，又， 所以，故C错误； 对于D：因为，所以，则， 所以，故D正确； 故选：BD 解对数型不等式题型07 · 知识回顾 核心依据对数函数单调性，解对数不等式必须优先保证真数大于 0。 1. ，单调递增： 2. ，单调递减： · 方法与技巧 1. 解题四步： ① 化同底，不等式两侧写成同底数对数。 ② 列出全部真数大于 0的限制条件。 ③ 根据底数判断增减；时去掉对数符号不等号反向。 ④ 解不等式组，取交集得到解集。 2. 若一侧是常数，把常数改写为对数形式，如。 3. 高频易错：极易漏掉真数大于 0 的约束条件，导致解集扩大出错。 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式可化为，根据对数函数的定义域及单调性，可得，解得原不等式的解集． 【详解】 ， ， 不等式的解集为． 故选：B 2．解不等式：． 【答案】，或 【分析】利用换底公式化简为，再求解一元二次不等式和对数不等式. 【详解】根据题意，， 即， 即，或， 所以或， 则或， 所以不等式解集为，或. 3．已知（，且），求x的取值范围． 【答案】 当时，的取值范围为； 当时，的取值范围是． 【分析】分、讨论，利用对数函数的单调性可得答案. 【详解】， 当时，有，解得． 当时，有， 解得． 综上可得， 当时，不等式中的取值范围为； 当时，不等式中的取值范围是． 4．已知函数为奇函数，当时，，则满足不等式的的取值范围是_______. 【答案】 【分析】首先令,则,结合已知条件和奇函数的性质,求出此时的解析式,又,故在上的解析式即可求出,然后分和两种情况分别求出的解集,最后求其并集. 【详解】函数为奇函数 ,即 时, ,即 当时, 当时,由解得 当时,由解得,故： 综上所述,得或 故的取值范围为 故答案为: 5．解下列不等式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）、（2）结合对数函数的定义与性质、对数运算求得不等式的解集. 【详解】（1）由题且，且，得且， ，则，由， ， 化简得 ， 则或，解得或， 故不等式解集为. （2）由题， 则或，解得. 故不等式解集为. 对数型函数的单调性问题题型08 · 知识回顾 1. 复合函数法则：同增异减，函数,外层函数：；内层函数：。 2. 外层单调性：外层递增；外层递减。 3. 前提条件：真数，单调区间一定在定义域之内。 · 方法与技巧 1. 解题步骤： ① 第一步求定义域：。 ② 拆分内外两层函数。 ③ 判断外层对数函数增减，再求内层单调区间。 ④ 使用 “同增异减” 判断整体单调性；最终区间不能超出定义域。 2. 已知单调性求参：定义域优先；再根据同增异减列出参数不等式求解。 3. 易错：单调区间必须写在定义域内部；不要忘记写定义域再分析单调性。 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间. 【详解】对于函数，有，解得或， 故函数的定义域为， 令，则内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为外层函数为增函数，故函数的单调递增区间为. 故选：B. 2．函数的单调递增区间为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，令,求出函数的定义域，根据定义域内的和二次函数的增减性相结合，即可得出增区间. 【详解】因为，令，求得：， 可得函数的定义域为，又因为在定义域内为单调递增， 而在上为单调递增，在上为单调递减， 由于复合函数单调性原则“同增异减”得，的单调增区间为. 故选:C. 3．求函数的单调区间. 【答案】单调递减区间是，单调递增区间是 【分析】分别判断函数和的单调性，结合“同增异减”原则判断复合函数单调性． 【详解】令，，则在上递减. 在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性“同增异减”原则，当时，由，得，可得其减区间， 当时，由，得，可得其增区间， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 4．求下列函数的单调区间： （1）； （2）. 【答案】（1）增区间，减区间；（2）增区间，减区间 【解析】（1）先求定义域，在定义域内研究的单调性，然后由复合函数单调性得单调区间； （2）换元，令，它是递减的，讨论的单调性，由的范围得的范围，再由复合函数单调性得单调区间． 【详解】（1）由题意知，依据二次函数的图象可得或. 且在上单调递减，在上单调递增. 又是上的减函数， ∴所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）令，且在上单调递减. 又在上单调递增，在上单调递减， 由，得， 由，得. 故所求函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 5．已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令， ，根据复合函数的单调性及条件即可求出结果. 【详解】令，则， 因为在定义域上单调递增，又函数在区间上递增， 所以，得到， 故选：B. 6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数定义域，结合复合函数单调性得到不等式，求出，得到答案. 【详解】由，得，所以的定义域为. 又在上单调递增，且在上单调递增， 所以解得，即的取值范围是. 故选：A 对数型函数的奇偶性问题题型09 · 知识回顾 1. 奇偶性前提：定义域关于原点对称。偶函数：；奇函数：。 2. 经典对数奇偶模型：，定义域，为奇函数。 3. 对数运算变形：。 · 方法与技巧 1. 判断步骤： ① 先求定义域，定义域不关于原点对称，直接判定非奇非偶。 ② 写出，利用对数运算法则化简。 ③ 对比与得到奇偶性。 2. 已知奇偶性求参数：利用恒成立，列等式求解参数，求出参数回代检验定义域。 3. 技巧：遇到分式真数，分子分母同时取倒数对应对数变号。 1．函数是奇函数，则的值为 A．0 B．1 C．-1 D．不存在 【答案】C 【详解】试题分析：由题意得，函数是奇函数，则，即 ，解得，故选C. 2．若函数是奇函数，则b的值为（   ） A． B．2 C．-2 D．4 【答案】A 【分析】利用奇函数定义，结合对数运算求出值. 【详解】由函数是奇函数，得， 即， 则，即，而不恒为0， 因此，解得，此时， 函数的定义域为R，符合题意，所以. 故选：A 3．“”是“函数是奇函数”的（      ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用奇函数性质对充分性和必要性分别验证可得结论. 【详解】充分性：当时，， 易知，所以，因此其定义域为； 则, 可得,即是奇函数,即充分性成立； 必要性：因是奇函数,所以的定义域关于原点对称，则, 即所以, ，因此，可得,经检验符合题意，即必要性不成立； 故选：A 4．“”是“函数为奇函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若函数 为奇函数，则 ， ∴， ∴ ∴， 整理得, 故，解得. 总上可得，“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.选C. 5．已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 【答案】(1) (2) 函数为定义域上的偶函数． 令， 则， 又 ． 则，有成立． 则函数为在定义域上的偶函数． 【分析】（1）由题意可得，解不等式即可求出结果； （2）令，证得，根据偶函数的定义即可得出结论. 【详解】（1）由， 则有，得．则函数的定义域为． （2）略 对数型函数的值域问题题型10 · 知识回顾 1. ：当，对数函数值域为。 2. 复合：先求内层的取值集合，注意，再结合外层对数单调性求值域。 3. 换元模型：令，且，转化为求值域。 · 方法与技巧 1. 解题步骤 ① 求内层取值范围，筛选部分。 ② 根据底数的单调性，求的取值。 ③ 写出函数值域。 2. 换元法高频使用：令，一定要标注新元的取值范围。 3. 易错：内层可以取遍全部正实数时，对数值域是，不要错误写为。 4. 含参题型：分类讨论与两种底数情况。 1．已知函数，，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对数函数求得的范围，再结合函数的解析式求得最终结果. 【详解】因为，所以，则，即 . 故选：B. 2．函数的值域为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先由二次函数的性质，求出内函数的值域，再由对数函数的性质，即可求出结果. 【详解】令，， 因为是开口向上，对称轴为的二次函数， 所以在上单调递减，在上单调递增； 因此，，即； 又函数单调递增， 所以时，. 故选：A. 3．函数（）的值域是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：分离常数得，因为，所以. 4．若函数的值域为，则的单调递增区间为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的值域得真数的最大值，从而求出参数的值，再根据复合函数的单调性的判断求解. 【详解】由已知得令的最大值是，所以解得， 所以 ， 又因为在上且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性得C选项正确. 故选C. 5．函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质得，令，的最小值即为函数的最小值. 【详解】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 故答案为：. 6．已知函数，求在上的值域. 【答案】 【详解】令，当时，， 故，由于在上单调递增，故， 由复合函数单调性可知，在上单调递增， 故. 1．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】直接由对数函数及幂函数的性质列不等式组，再解不等式组可得. 【详解】要使函数有意义，则， 由，得，解得或； 由，得，解得或. 因此不等式组的解集为或. 所以函数的定义域为或. 2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】先由复合函数单调性得出内层二次函数需单调递减且恒大于0的条件，从而得到函数递增的充要条件为 ；再将此范围与题干条件 比较，通过判断两者之间的推出关系确定条件类型． 【详解】设，则， 因为在定义域内单调递减，要使在上单调递增，需在上单调递减且恒大于0， 二次函数的图象开口向上，对称轴为，因为在上单调递减，所以， 又因为对任意恒成立，所以，即，解得， 因此，函数在区间上单调递增的充要条件为， 若，显然，所以必要性成立； 但不能保证，所以充分性不成立； 所以，“”是函数在上单调递增的必要不充分条件． 3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数在 上单调递减，判断；根据幂函数 在 上单调递增，得到 . 【详解】因为对数函数在 上单调递减，所以 ，所以； ， ， 因为幂函数 在 上单调递增，且 ，所以 ， 即 ； 所以 . 4．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）“”的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出选项中的关系，利用充要条件的定义即可判断. 【详解】对于选项A，由得，即，所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于选项B，取，则，所以不是的必要条件，故B错误； 对于选项C，等价于，所以是的充要条件，故C错误； 对于选项D，等价于，所以是的充要条件，故D错误. 5．（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）（多选）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】由对数函数的定义域求得函数定义域，由复合函数对称性得到对称轴，复合函数的单调性求得单调区间，由单调区间求得最大值． 【详解】，则，所以，定义域为，A正确； ，令，则， 因为二次函数的图象的对称轴为直线， 因为的定义域为，所以的图象关于直线对称，C正确； 且在上单调递增，在上单调递减，B错误； 当时，t有最大值，所以，D错误. 6．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【分析】对于A，由的解集为，得为方程的两个根，进而判断；对于B，由对于恒成立，进而判断；对于C，令，根据二次函数的性质结合条件进而判断；对于D，令，由外函数为增函数，得在上单调递增，进而判断. 【详解】对于A，由的定义域为，所以的解集为， 所以为方程的两个根，所以，故A正确； 对于B，由的定义域为，所以对于恒成立， 当时，满足题意， 当时，， 所以，故B错误； 对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意， 当时，， 所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令， 当时，不满足题意， 当时，二次函数的对称轴为， 由外函数为增函数，所以在上单调递增， 所以对于，恒成立， 所以， 所以，故D错误. 7．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则_____． 【答案】-3 【详解】由题意得, ; 由可得 由定义在上的奇函数可得. ,,. 8．（23-24高一上·海南海口·阶段检测）若函数的定义域是，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将题设条件等价转换成不等式恒成立进行求解． 【详解】依题意得，对任意的，都有恒成立， 所以，故得，即对任意的恒成立， 则，即，解得， 故实数的取值范围是． 9．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【答案】(1) (2)当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 【分析】（1）先根据已知区间上的最大值与最小值之差确定对数的底数及单调性，再利用对数函数的单调性解不等式； （2）将所求函数化为关于新变量的二次函数，在闭区间上求最值． 【详解】（1）由题意得所给区间的右端点大于左端点，所以，，， 所以，所以在上单调递增， 所以，解之得，所以解集为． （2）因为在上单调递增， 所以，， 即，所以. 所以，所以. 令，因为，所以， 所以. 该二次函数图象开口向上，所以在闭区间上的最小值在顶点处取得，最大值在端点处取得； 比较两个端点的函数值，右端点处的函数值较大． 所以，. 即，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0． 10．（25-26高一下·天津·期末）已知函数，且． (1)求实数的值； (2)判断的单调性； (3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减 (3) 【分析】（1）利用对数运算即可求解； （2）根据复合函数的单调性直接判断即可； （3）结合函数单调性直接求解恒成立的不等式即可. 【详解】（1）由题知，， 则，所以. （2）由（1）可知，， 则定义域为， 令，，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 从而在上单调递减. （3）因为不等式恒成立， 又由（2）知，在上单调递减， 所以恒成立，即， 设，令，可知， 则可得， 当，即时，最小值为， 所以． 1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是减函数，所以，即； 因为函数是减函数，所以，即； ， ，所以. 函数是减函数，所以，即. 所以. 2．（25-26高一上·山西晋城·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B． C．在上单调递减 D．若，则的最大值为 【答案】AC 【分析】求得函数定义域，结合奇函数定义可判断A，由函数定义域可判断B，通过时，，结合和的单调性即可判断C，由得到，再结合基本不等式即可判断D. 【详解】对A：，要使得函数有意义，则， 解得且， 所以的定义域关于原点对称，且， 从而是奇函数，A正确； 对B：当时，，由定义域可知无意义，故错误； 对C：当时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，故在上单调递减，C正确； 对D：当，且时， 即， 化简得， 则， 当且仅当，即或时取“=”， 的最大值为，D错误． 故选：AC 3．（25-26高一下·湖北十堰·期中）已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性的性质，结合对数型函数的单调性、换元法进行求解即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为， 所以函数是奇函数， 由复合函数的单调性可知在上单调递增，而在上也单调递增，且函数是奇函数，， 所以函数在R上单调递增，所以， 即， 所以，即， 所以，令，则， 求解在上的最小值， 因为该二次函数对称轴为， 所以在上单调递增，所以，故， 即m的取值范围为． 故答案为：． 4．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）已知函数． (1)当时，若，求的值； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，令，当时，令求解； （2）易得时，，从而要使值域为R，只需在上的取值范围包含，令，分和时求解； 【详解】（1）当时，令，符合题意． 当时，令，，解得不符合，舍去． 综上． （2）当时，， 所以要使值域为R，只需在上的上取值范围包含 则当时，令， 当时，可得， 因为在上的上取值范围包含， 所以，结合可得； 当时，在上是增函数， 所以，不满足在上的上取值范围包含， 综上 1．（2026·北京·高考真题）我国在机器人技术领域取得了一系列重要成就．在处理机器人语音信号时，常用公式 （其中常数）将声音频率（单位：）转换为．若的取值范围是，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意，则，解得， 所以f的取值范围为. 2．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $