4.4 对数函数 限时训练02-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合应用，适配新授课对数函数知识巩固与能力进阶，培养数学抽象、推理及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|对数函数定义、反函数等单一知识点|以单选（如第1题定义）、填空（第11题求值）为主，强化概念理解与基础运算| |进阶层|函数性质、参数范围等综合应用|融合多选（如第8题单调性与值域）、中档解答（第14题奇偶性判断），提升推理能力| |拓展层|实际情境、复杂恒成立问题|结合实际模型（第9题菌数量记录）、竞赛题（第13题方程应用），发展创新与应用意识|

4.4 对数函数限时训练02 1．（2026·山东东营·三模）定义在上的函数满足，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据递推关系推导函数周期为6，再计算2026模6的余数，对应周期内的函数值即可求解. 【详解】当时，， 因此，. 当时，递推关系为 ①， 将替换为得 ②， 将①+②可得，即， 因此，故函数在具有周期性，周期为. 因为，所以， 因为， ， ， . 因此. 2．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数、指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，，， 所以. 3．（2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反函数的定义结合指对互化即可获得． 【详解】由得，． 因此函数的反函数是. 4．（2026·全国·三模）若函数（且）的最大值为3，则（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数求出的值域，再分、讨论即可. 【详解】由，得，则的定义域为， 函数在上单调递增，在上单调递减，且当，， 其值域为， 而函数在上单调递增， 因此函数的值域为， 当时，函数在上单调递减，值域为， 无最大值，不符合题意； 当时，函数在上单调递增， 当时，，解得，符合题意， 所以. 故选：B 5．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先说明的单调性，再结合可解不等式. 【详解】的定义域为， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，所以等价于，则， 得， 故不等式的解集为. 故选：B 6．（25-26高一上·湖北·期末）若函数没有最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出时，再分，和三种情况进行求解，即可求解. 【详解】当时，此时为增函数，所以可得， 若，则时单调递增，则， 此时在上没有最小值，符合题意； 当，函数，则时，当时，， 此时函数有最小值，则不符合题意故舍去； 当，则时，单调递减，且，则必须，解得； 综上所述，故D正确. 故选：D. 7．（25-26高二下·北京·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用对数的换底公式或对数运算性质，统一等式两边的对数底数，构造函数，判断其在定义域上的单调性. 【详解】因为，其中，， 因此原等式可整理为：. 设函数， 因为 和 在上都是单调递增函数， 因此是定义域上的增函数. 对等式变形：， 代入得：，即， 因为单调递增，因此，故A错误，B正确. 排除选项C、D 举反例验证： 当时，原等式右侧为， 即，且，可得， 即，故D不成立； 当 时，原等式右侧为， 即，且， 得，此时，，故C不成立. 8．（25-26高二下·山西运城·期末）（多选）关于函数，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．在单调递增 C．的值域为 D．有两个零点 【答案】AD 【分析】先得到函数定义域为，由，即可得到图象关于直线对称，即可验证A项；令内层函数， 时，单调递减，根据复合函数“同增异减”得到在单调递减，即可验证B项；先由复合函数的单调性原则得到函数的单调性，即可验证C项；令，解得，即可验证D项. 【详解】函数 需满足，即定义域为， 由对数的运算法则得到， 对于A项，因为， 所以，即图象关于直线对称，故A正确； 对于B项，令内层函数，开口向下，对称轴， 时，单调递增，时，单调递减， 因为外层函数在单调递增， 所以根据复合函数的单调性得到在单调递减，故B错误； 对于C项，根据复合函数的单调性得到在单调递增， 所以当时，函数有最大值， 又因为当或时，函数，， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D项，令，即，得到， 整理得到，解得， 所以函数有两个零点，故D正确. 9．（25-26高二下·安徽宿州·期末）（多选）已知一容器中有两种菌，且在任何时刻两种菌的个数乘积均为定值，为了简单起见，科学家用来记录菌个数的资料，其中为菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是（　　） A． B． C．若今天的值比昨天的值增加1，则今天的菌个数比昨天的菌个数多10 D．假设科学家将菌的个数控制为5万，则此时（注：） 【答案】BD 【分析】运用对数的运算性质，逐个对选项进行判断. 【详解】对于选项A，当时，，故A错误； 对于选项B，，，，所以，则，故B正确； 对于选项C，设昨天的菌个数为，今天的菌个数为，则，所以，故C错误； 对于选项D，当时，，所以，故D正确. 10．（26-27高一上·全国·专题训练）（多选）已知函数，下面说法正确的是（   ） A． B．在区间上单调递减 C．关于的方程的实根个数不可能为4个 D．关于的方程的实根个数可能为6个 【答案】AD 【分析】对于A，直接由解析式即可判断，对于B，由对数型复合函数单调性可判断，画出函数图象，结合函数和的图象分类讨论可判断CD. 【详解】，A正确， 当时，，由对数型复合函数单调性可知： 在区间上单调递增，B错误. 画出函数的图象，如图1， 设，画出其图象，如图2，， 对于选项C，D， ， 当时，则，由的图象可知，方程的实根个数为2个； 故方程的实根个数为2个； 当时，则或，由的图象可知，方程的实根个数为2个； 故方程的实根个数为2个； 当时，由图1可知，有三个根， ， 当，由的图象可知，方程无解， 当，由的图象可知，方程的实根个数为2个， 综上可知：方程的实根个数为2个； 当时，方程有四个根，， 当，由的图象可知，方程有一个根， 当，由的图象可知，方程无解， 当，由的图象可知，方程有一个根， 当，由的图象可知，方程有两个根， 综上方程的实根个数为4个； 当时，方程有四个根，， 当时，由的图象可知，方程有两个根， 当时，由的图象可知，方程无解， 当时，由的图象可知，方程有两个根， 当时，由的图象可知，方程有两个根， 综上方程的实根个数为6个； 当时，方程有两个根，， 当时，由的图象可知，方程有两个根， 当，由的图象可知，方程无解， 当，由的图象可知，方程有两个根， 综上方程的实根个数为4个； 当时，方程有两个根，， 当时，，由的图象可知，方程有两个根， 当，由的图象可知，方程无解， 综上方程的实根个数为2个. 故C错误，D正确. 【点睛】 11．（2026高一上·广东江门·竞赛）已知函数，若，则________． 【答案】 【分析】先根据绝对值相等结合对数函数单调性推出，再将其代入所求分式通分化简即可得结果. 【详解】由可得，则. 已知，又因为函数在上单调递增， 故，因此. 进而，即. . 12．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知函数.若有四个不同实根，，，且满足，则________，的取值范围为________ 【答案】 1 【分析】①通过画出函数图像确认各个实根的位置后将代入到对数函数求解.②通过韦达定理表示出后求解范围. 【详解】①因为，所以可大致画出该图像， 且点坐标为，由此可知，时才能取到四个不同的实根， 且位于内，位于上. 可知，解得， 同理，解得，所以. ②由韦达定理可知，，， 所以， 因为，所以. 13．（2026高三下·重庆·竞赛）已知两不相等的正实数、均满足方程，则的值为________． 【答案】 【分析】设，可得出，由反函数的性质可得出函数与图象的交点必在直线上，于是得出，，进而得出，，再利用对数的运算性质化简可得答案. 【详解】设，由得， 函数与互为反函数，且均单调递增， 因此函数与图象的交点必在直线上，即，所以，． 于是，，故． 因此． 14．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据对数的真数为正数可求解； （2）为偶函数，根据偶函数的定义证明； （3）对和分类讨论，解不等式求解. 【详解】（1）要使函数的解析式有意义，则，解得． ∴函数的定义域为． （2）函数是偶函数， 证明如下：由（1）知函数的定义域为，关于原点对称．          ∵， ∴，             ∴ ∴函数是定义在上的偶函数． （3）的定义域为， ∵，∴，               当时，函数为上的增函数， ∴函数在上的最小值为， ∴，∴．                 当时，函数为上的减函数，                ∴函数在上的最小值为， ∴，∴，不符合题意 综上，a的取值范围为． 15．（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数是偶函数，函数是奇函数. (1)求的值； (2)当时，求的值域； (3)设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用是奇函数可得的值，利用是偶函数可得的值，由此可得答案； （2）因为在区间上是增函数，即可得出值域； （3）在区间上是增函数，可得的最小值，结合对数函数的性质可得，解不等式即可. 【详解】（1）由于为奇函数，且定义域为R， ∴，即， 当时，函数，满足，为奇函数符合题意； ∵， ∴ ∵是偶函数， ∴，得恒成立， 故 综上所述，可得 （2）∵在区间上是增函数， ∴当时，，所以的值域为； （3）∵， ∴ 又∵在区间上是增函数， ∴当时， 由题意，得， 因此实数的取值范围是：. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 对数函数限时训练02 1．（2026·山东东营·三模）定义在上的函数满足，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 2．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·全国·三模）若函数（且）的最大值为3，则（ ） A． B． C．2 D．3 5．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖北·期末）若函数没有最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·北京·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·山西运城·期末）（多选）关于函数，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．在单调递增 C．的值域为 D．有两个零点 9．（25-26高二下·安徽宿州·期末）（多选）已知一容器中有两种菌，且在任何时刻两种菌的个数乘积均为定值，为了简单起见，科学家用来记录菌个数的资料，其中为菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是（　　） A． B． C．若今天的值比昨天的值增加1，则今天的菌个数比昨天的菌个数多10 D．假设科学家将菌的个数控制为5万，则此时（注：） 10．（26-27高一上·全国·专题训练）（多选）已知函数，下面说法正确的是（   ） A． B．在区间上单调递减 C．关于的方程的实根个数不可能为4个 D．关于的方程的实根个数可能为6个 11．（2026高一上·广东江门·竞赛）已知函数，若，则________． 12．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知函数.若有四个不同实根，，，且满足，则________，的取值范围为________ 13．（2026高三下·重庆·竞赛）已知两不相等的正实数、均满足方程，则的值为________． 14．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求a的取值范围． 15．（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数是偶函数，函数是奇函数. (1)求的值； (2)当时，求的值域； (3)设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $