第一章 勾股定理 问题解决策略：反思 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦立体图形中两点最短距离问题，以蚂蚁识别最短路径实验为情境导入，通过圆柱、正方体、长方体等任务，搭建“立体图形展开→平面转化→勾股定理应用”的学习支架，衔接平面几何与立体几何知识。 其亮点在于情境化与问题驱动结合，以蚂蚁觅食等生活实例引导学生用数学眼光观察现实，通过展开转化培养数学思维中的推理与转化能力，如圆柱侧面展开构造直角三角形计算最短路径。归纳总结步骤助力学生形成模型意识，既提升空间观念与应用能力，又为教师提供清晰教学路径。

1.4 问题解决策略：反思 1.4 问题解决策略：反思 第一章 勾股定理 主题情境·蚂蚁识别最短路径实验 八年级上│BS 1. 学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离. 2. 进一步积累解决问题的经验，学会分析解决问题的过程，培养知识迁移和问题转化的能力. 学习目标 蚂蚁群体觅食时，大量蚂蚁同时出发探索不同路径，爬行过程中持续分泌信息素. 那些偶然发现较短路径的蚂蚁，因往返耗时更短，留下更浓信息素标记路径. 同伴们凭借对信息素浓度的感知与记忆，引导同伴汇聚于最短路径，高效觅食. 情境串新知 问题1 如图，一个圆柱的高为12cm，底面圆周长为18cm.在圆柱下底面的点 A处有一只蚂蚁，它想吃到上地面上与点A相对的点C处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ A B C D 任务一：蚂蚁在圆柱体上找食物 情境串新知 (1)在这个问题中，已知条件有哪些？你认为已知条件足够解决这个问题吗？ 理解问题 问题1 如图，一个圆柱的高为12cm，底面圆周长为18cm.在圆柱下底面的点 A处有一只蚂蚁，它想吃到上地面上与点A相对的点C处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 已知条件：①圆柱的高为12cm；②圆柱底面圆周长为18cm； ③蚂蚁在圆柱下底面的点A处，食物在与点A相对的上底面的点C处. 这些条件足够解决问题. 情境串新知 A B C D A B C D A B C D (2)沿侧面爬行的可能路线有哪些？ 理解问题 情境串新知 (1)以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同？ 拟定计划 (2)如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题？ 之前研究过的最短路线问题通常是在平面上，例如两点之间线段最短.而本题中的最短路线问题是在圆柱的曲面上. 不同之处在于，不能直接应用平面上 “两点之间线段最短” 的原理. 立体图形 转化 展开 平面图形 情境串新知 拟定计划 展开曲面后，如何确定各个点的位置呢？ 展开曲面确定点位置时，需依曲面形状和点在原曲面相对位置确定. 例如，圆柱侧面展开成矩形，可由曲面上点到圆柱底面圆周上点的距离和该点高度确定点在矩形位置. 情境串新知 (1)如图，将圆柱侧面剪开，确定展开后的形状，以及与圆柱的对应关系. 实施计划 (2)在图中标出点C的位置. A C B D A B C D 分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬动，如果将这半个侧面展开，得到长方形如下图. 展开 情境串新知 A C B (3)在图中确定A、C两点之间最短的路线，并计算它的长度.. 实施计划 12 18 9 ？ 解：如图，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=9cm. 由勾股定理，可得 答:爬行的最短路程约为15cm. 情境串新知 (1)在拟定解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验？ 模型转化意识：对于曲面这类复杂空间问题，转化为平面模型求解. 知识迁移运用：从已有知识储备中提取相关内容，如将平面 “两点之间线段最短” 原理应用于转化后的平面图形，构建新旧知识联系. 分析问题本质：深入分析曲面问题与平面问题的差异，明确不能直接套用平面结论的原因，针对性探寻转化方法. 回顾与反思 (2)这个问题中，影响结果的量有哪些？ 立体图形的形状、图形上各个点的位置 情境串新知 例1 有一个圆柱形油罐，在油罐底部的 A 点处有一只蚂蚁，在油罐顶部与 A 点相对的点 B 处有一些食物，要从A 点环绕油罐去吃B 点处的食物，问蚂蚁爬行的最短距离是多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)? A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则 AB' 为蚂蚁爬行的最短距离. BB' = 2×3×2 = 12m， 即蚂蚁爬行的最短距离是 13 m. 情境串新知 变式 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为________cm.(杯壁厚度不计) B′ 10 解析：如图，将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′， 连接B′A，则B′A即为最短距离， 情境串新知 归纳总结 立体图形 转化 展开 平面图形 (1)先将立体图形的表面展开；(立体→平面) (2)再作两点之间的连线；(构造直角三角形) (3)运用勾股定理求出两点之间的距离. 立体图形 平面图形 直角三角形模型 展开 构造 情境串新知 任务二：蚂蚁在正方体上找食物 问题2 如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从点A到点B需要爬行的最短路程又是多少呢？(精确到0.01cm) 分析：把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间，线段最短”性质来解决问题. A B 10 10 10 B' C A 情境串新知 解：最短路程即为长方形的对角线AB'， 10 10 10 B' C A 答：爬行的最短路程约是22.36cm. 情境串新知 变 式 如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面由A爬到B需要爬行的最短路程又是多少呢？ A B 情境串新知 A C B A1 B1 4 3 2 3 B2 3 4 2 B3 3 (1)经过正面和上面; (2)经过左面和上面; (3)经过正面和右面; 情境串新知 问题3 一只蚂蚁高0.9mm，背着一块边长为1.6mm的正方形饼干(饼干比蚂蚁宽)，要将食物搬进形状如图所示的巢穴通道，下面是长方形ABCD，上面是半圆形，问这只蚂蚁能否通过该巢穴通道?并说明理由. A D C B 2mm 2.3mm 任务三：蚂蚁将食物搬回巢穴 长方形 半圆 情境串新知 A D C B 2mm 2.3mm 长方形 半圆 O G P E F M N 解：如图，M，N为饼干的宽度，过M，N作AD的垂线交半圆于F，G，点O是AD的中点，过O作OE⊥FG，E为垂足，NG交AD于点P， 则FG=MN=1.6mm，AD=BC=2mm， 由作法得，FE=GE=0.8mm， 又∵OG=OD=1mm， 在Rt△OPG中，由勾股定理得， ∴NG＝NP＋PG＝2.3＋0.6＝2.9(mm)， 蚂蚁背着饼干的总高度为0.9+1.6=2.5， ∵2.9＞2.5，(关键点：蚂蚁和饼干的高度低于NG才能通过) ∴蚂蚁能通过巢穴通道． 情境串新知 问题4 生活中还有哪些现实问题设计几何体表面上的最短距离？ 装饰彩带问题：在给圆柱形的柱子包裹装饰彩带时，计算出彩带在圆柱表面的最短缠绕长度，以确定购买彩带的长度，避免浪费. 道路规划问题：在山区修建公路，需要从一座山的山脚绕到山顶，为了减少工程量和成本，工程师需要考虑在圆锥体形状的山体表面设计出最短的道路路线. 通风管道连接问题：在一些大型建筑的通风系统中，通风管道通常是长方体或圆柱体形状.当需要将两个不同位置的通风口用管道连接起来时，需要计算管道在几何体表面的最短铺设长度，以优化管道布局和节省材料. 情境串新知 问题5 对于解决问题之后的回顾反思.你有哪些体会？ 解决问题之后的反思，一般可以关注以下几个方面： ①反思解决问题的过程，强化解决问题的经验； ②比较解决问题的方法，形成多样的解决问题方法； ③思考方法的本质，促进方法的运用； ④改变问题的条件，研究更多的问题. 一题多解，一法多用，一题多变. 情境串新知 1.如图为一个三级台阶，每一级台阶的长为8dm，宽为5dm，高为2dm，A和B是台阶上两个端点，点A处有一只壁虎想到点B处吃食物，求壁虎从点A爬行到点B的最短路径是( ) A. B. C. D. A 点拨：将台阶展开如下图， 连接AB，则AB的长就是从 A处爬到B处的最短路程. 随堂练习 2.如图，桌子上有一个长方体盒子，长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，那么小虫爬行的最短路程为____________. 点拨：将长方体展开如下图， 连接EC，则EC的长就是从E 处爬到C处的最短路程. 25cm 随堂练习 3.如图，在墙角处放着一个长方体木柜(木柜与墙面和地面均没有缝隙)，一只蚂蚁从柜角D处沿着木柜表面爬到柜角C处．若AB＝3，BC＝5，AD＝6，则蚂蚁爬行的最短路程为(　　) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 C 点拨：衣柜的平面展开图如图， ①蚂蚁沿着木柜表面经线段AB到C， 爬过的路径DC′； ②蚂蚁沿着木柜表面经线段BE到C， 爬过的路径DC的长，比较选出最短路程. 随堂练习 4.厂里预新建的一圆柱形锅炉，内部设计有螺旋式楼梯，为了工人的安全，要求建造的螺旋式楼梯如图所示．已知圆柱的底面半径是 建造楼梯的费用为300元/m，则建造这个楼梯至少需要花费________元. ( ≈2.24，结果保留整数) 10752 点拨：圆柱体的平面展开图如图， 当修建楼梯的长度为(AC′＋CB′)时， 所需费用最少. 随堂练习 解决立体图形中的最短路径问题的思想是什么？ 立体图形 展开表面 平面图形 直角三角形模型 求出两点 距离 连两点，构造直角三角形 运用勾股定理 课堂小结 $