☆ 问题解决策略： 反思 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理在立体图形最短路径问题中的应用，通过“解决问题后的反思”导入，从过程反思、一题多解、一法多用、一题多变搭建学习支架，衔接勾股定理基础与立体图形展开的新知识。 其亮点是以圆柱绕金属丝、蚂蚁爬行等实例，引导学生用数学眼光抽象立体为平面图形，通过勾股定理推理计算（数学思维），用规范步骤表达解决过程（数学语言）。帮助学生发展几何直观与空间观念，教师可直接利用实例提升教学效率。

第一章　勾股定理 ☆ 问题解决策略： 反思 数学·八年级上册　 1 解决问题之后的反思，一般主要关注以下几个方面： （1）反思解决问题的过程，强化解决问题的经验； （2）一题多解：比较解决问题的方法，形成多样的解决问题的方法； （3）一法多用：思考问题的本质，促进方法的运用； （4）一题多变：改变问题的条件，研究更多的问题. 数学·八年级上册　 1. （2024•龙华区新华中学月考）如图1，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的 高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝. 数学·八年级上册　 （1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ⁠. A B C D 解析：圆柱的侧面展开图为长方形，AC展开应该是两条线段，且有公共点C. 故选A. A　 数学·八年级上册　 （2）如图1，求最短的金属丝的长. 解：把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的长度最小为2AC的长度. ∵圆柱底面的周长为12，圆柱的高AB为8， ∴AC2＝82＋62＝102， ∴AC＝10， ∴最短的金属丝的长为2AC＝2×10＝20. 数学·八年级上册　 （3）如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度的 平方是多少？ 解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度是以圆柱 底面周长及 高为直角边的直角三角形的斜边长的4倍. ∵一圈金属丝的长度的平方是122＋22＝148， ∴所需金属丝最短长度的平方是16×148＝2 368. 数学·八年级上册　 （4）如图3，圆柱形玻璃杯的高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯 底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm， 且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是 多少？（杯壁厚度不计） 解：如图，将玻璃杯侧面展开，作点B关于CE的对称点B′，作 B′D⊥AE，交AE的延长线于点D，连接AB′与CE交于点F， 由题意得DE＝ BB′＝1 cm， AE＝9－4＝5（cm）， ∴AD＝AE＋DE＝6 cm. 数学·八年级上册　 ∵底面周长为16 cm， ∴B′D＝ ×16＝8（cm）， ∴AB′2＝82＋62＝102， ∴AB′＝10 cm. 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 10 cm. 数学·八年级上册　 2. （2024•龙岗区月考）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底 面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁 沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 　　　 　　 　　　 数学·八年级上册　 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定 A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应 的问题.如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利 用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程为线段AB的长. 数学·八年级上册　 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为18 cm，底面周长为60 cm，在外侧 距下底1 cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距 开口处1 cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最 短路线的长度. 数学·八年级上册　 解：如图1是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段SF就是蜘蛛走的最短路线. 由题意可得在Rt△SFN中， ∠SNF＝90°，FN＝18－2＝16（cm）， SN＝ ×60＝30（cm）， ∴SF2＝302＋162＝342， ∴SF＝34 cm， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34 cm. 数学·八年级上册　 （2）如图4，长方体的棱长AB＝BC＝6 cm，AA1＝14 cm，假设昆虫甲从 顶点C1开始以1 cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从 顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间 才能捕捉到昆虫甲？ 解：如图2，设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行， 爬行捕捉到昆虫甲需x秒. 数学·八年级上册　 ∵长方体的棱长AB＝BC＝6 cm，AA1＝CC1＝14 cm， ∴AF＝1•x＝x（cm），C1F＝1•x＝x（cm）， CF＝（14－x）cm，AC＝12 cm， 在Rt△ACF中，AF2＝AC2＋CF2， ∴x2＝122＋（14－x）2，解得x＝ . 答：昆虫乙至少需要 秒才能捕捉到昆虫甲. 数学·八年级上册　 1. 解：（1）A　解析：圆柱的侧面展开图为长方形，AC展开应该是两条线 段，且有公共点C. 故选A. （2）把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的长度最小为2AC的 长度. ∵圆柱底面的周长为12，圆柱的高AB为8， ∴AC2＝82＋62＝102，∴AC＝10， ∴最短的金属丝的长为2AC＝2×10＝20. 数学·八年级上册　 （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝的最短长度是以圆柱底面周长及 高为直角边的直角三角形的 斜边长的4倍. ∵一圈金属丝的长度的平方是122＋22＝148， ∴所需金属丝最短长度的平方是16×148＝2 368. 数学·八年级上册　 （4）如图，将玻璃杯侧面展开，作点B关于CE的对称点B′，作 B′D⊥AE，交AE的延长线于点D，连接AB′与CE交于点F， 由题意得DE＝ BB′＝1 cm，AE＝9－4＝5（cm）， ∴AD＝AE＋DE＝6 cm. ∵底面周长为16 cm， ∴B′D＝ ×16＝8（cm）， ∴AB′2＝82＋62＝102，∴AB′＝10 cm. 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为10cm. 数学·八年级上册　 2. 解：（1）如图1是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段SF就是蜘蛛走的 最短路线. 由题意可得在Rt△SFN中， ∠SNF＝90°，FN＝18－2＝16（cm）， SN＝ ×60＝30（cm）， ∴SF2＝302＋162＝342，∴SF＝34 cm， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34 cm. 数学·八年级上册　 （2）如图2，设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶 点A按路径A→E→F爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒. ∵长方体的棱长AB＝BC＝6 cm，AA1＝CC1＝14 cm， ∴AF＝1•x＝x（cm），C1F＝1•x＝x（cm）， CF＝（14－x）cm，AC＝12 cm， 在Rt△ACF中，AF2＝AC2＋CF2， ∴x2＝122＋（14－x）2，解得x＝ . 答：昆虫乙至少需要 秒才能捕捉到昆虫甲. 数学·八年级上册　 $