13.3.1三角形内角讲义2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦“三角形的内角”核心知识点，系统阐述三角形内角和定理（三个内角和等于180°），涵盖剪拼法与作平行线法两种证明方法及直角三角形两锐角互余的性质。以三角形按角分类、平行线性质、平角定义为知识基础，通过典型例题（基础应用、方程思想等）和分层练习，构建从理解到应用的完整学习支架。 该资料亮点在于以实验探究（剪拼三个内角形成平角）引导猜想，培养几何直观与创新意识（数学眼光），通过作平行线严谨证明定理，发展推理能力（数学思维），例题融入比例设x、分类讨论等方法，助力学生用数学语言解决问题。课中辅助教师高效授课，课后便于学生回顾知识、强化练习，有效查漏补缺。

人教版八年级上册 · 13.3.1 13.3.1 三角形的内角 学习目标 · 理解并掌握三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 · 能运用多种方法（剪拼法、作平行线法）证明三角形内角和定理。 · 能灵活运用三角形内角和定理解决实际问题。 · 掌握直角三角形的两个锐角互余的性质。 知识回顾 1. 三角形按角分类：锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角等于90°）、钝角三角形（有一个角大于90°）。 2. 平行线的性质：两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。 3. 平角等于180°。 图1 三角形按角分类 新课导入 同学们，我们知道三角形有三个内角。那么，任意一个三角形的三个内角之间是否存在某种固定的数量关系呢？ 让我们先做一个实验：在纸上画一个三角形，剪下它的三个角，然后把它们拼在一起，看看会形成一个什么角？ 猜想：三角形的三个内角拼在一起，恰好组成一个平角（180°）。 图2 剪拼法验证三角形内角和 新课讲解 一、三角形内角和定理 🏠 三角形内角和定理：三角形的内角和等于 180° 即在 △ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。 图3 三角形内角和定理示意图 二、定理的证明（作平行线法） 已知：如图，△ABC。 求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°。 图4 过点A作平行线证明 证明：过点A作直线l ∥ BC ① ∵ l ∥ BC（已作）， ② ∴ ∠B= ∠1（两直线平行，内错角相等）， ③ ∴ ∠C = ∠2（两直线平行，内错角相等）， ④ ∵ ∠1 + ∠A + ∠2= 180°（平角定义）， ⑤ ∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°（等量代换）。 ✅ 证毕！我们通过作平行线，利用平行线的性质和平角定义，成功证明了三角形内角和定理。 三、直角三角形的性质 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，根据内角和定理： ∠A + ∠B + 90° = 180° ⇒ ∠A + ∠B = 90° 🏠 推论：直角三角形的两个锐角互余 图5 直角三角形中 ∠A + ∠B = 90° 四、三角形的外角（拓展） 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠CBD 是 △ABC 的一个外角。 🏠 三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 即：∠CBD = ∠A + ∠C（∠CBD 是 ∠ABC 的外角） 图6 三角形的外角 ✏️ 典型例题 例1 基础应用 题目：在 △ABC 中，已知 ∠A = 60°，∠B = 45°，求 ∠C 的度数。 解：∵ 在 △ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理）， ∴ ∠C = 180° − ∠A − ∠B = 180° − 60° − 45° = 75°。 答：∠C 的度数为 75°。 图7 例1配图 例2 直角三角形应用 题目：在 △ABC 中，∠C = 90°，∠A = 35°，求 ∠B 的度数。 解：∵ 在 △ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°， ∴ ∠B = 180° − 90° − 35° = 55°。 另解：∵ △ABC 是直角三角形，∠C = 90°， ∴ ∠A + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余）， ∴ ∠B = 90° − 35° = 55°。 例3 方程思想 题目：在 △ABC 中，∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4，求三个角的度数。 解：设 ∠A = 2x，∠B = 3x，∠C = 4x。 ∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°， ∴ 2x + 3x + 4x = 180°， ∴ 9x = 180°，x = 20°。 ∴ ∠A = 40°，∠B = 60°，∠C = 80°。 例4 分类讨论 题目：在 △ABC 中，∠A = 50°，∠B 比 ∠C 大 10°，求 ∠B 和 ∠C 的度数。 解：设 ∠C = x，则 ∠B = x + 10°。 ∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°， ∴ 50° + (x + 10°) + x = 180°， ∴ 2x = 120°，x = 60°。 ∴ ∠C = 60°，∠B = 70°。 课堂练习 题号 题目 答案 难度 1 在 △ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°，则 ∠C = ____。 50° ★ 2 直角三角形中，一个锐角为 28°，则另一个锐角为 ____。 62° ★ 3 △ABC 中，∠A = 2∠B = 3∠C，求 ∠A 的度数。 约98.2° ★★ 4 等腰三角形中，顶角为 40°，求底角的度数。 70° ★★ 5 在 △ABC 中，∠A = ½∠B = ∠C，判断三角形的形状。 直角三角形 ★★★ 课堂小结 知识点 内容 三角形内角和定理 △ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180° 证明方法 作平行线法：过顶点作对边的平行线，利用平行线性质和平角定义证明 直角三角形性质 直角三角形的两个锐角互余（和为90°） 三角形外角性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 常见题型 ① 已知两角求第三角 ② 比例设x求解 ③ 方程思想 ④ 分类讨论 — — 学科网（北京）股份有限公司 $