2.5.2圆与圆的位置关系（知识清单+9类热点题型讲练+分层强化训练）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第10讲 2.5.2圆与圆的位置关系 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 【即学即练1】（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 知识点02：圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 【即学即练2】（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 知识点03：圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 【即学即练3】（24-25高二上·广东·阶段检测）已知圆，圆，则的公切线方程为______．（写出一条即可） 知识点04：圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 第三部分 题型精讲 题型01判断圆与圆的位置关系 【典例1】（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【典例2】（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【变式1】（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式2】（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．内含 C．相交 D．外离 【变式3】（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 题型02求两圆交点坐标 【典例1】（25-26高二上·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【变式2】圆与的交点坐标为______. 题型03由圆的位置关系确定参数 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·上海·期末）圆与圆相交，则的取值范围为_________. 【变式1】（25-26高二下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 题型04由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【典例1】（2024·甘肃张掖·一模）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·河北邢台·期中）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程：______． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·河南南阳·阶段检测）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 题型05相交圆的公共弦方程 【典例1】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知⊙：与⊙：交于点，则线段的长为____________. 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【变式3】（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）圆和圆的公共弦所在的直线方程_________． 题型06两圆的公共弦长 【典例1】（25-26高二上·海南·阶段检测）圆和圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·山西朔州·期末）圆与圆的公共弦的长为__________. 【变式1】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）若圆与圆相交于A，B两点，则公共弦的长为_____. 【变式2】（2025·广东·模拟预测）已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 【变式3】（25-26高二上·重庆·期中）已知 与相交于点 ，则 _____ 题型07圆的公切线条数 【典例1】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（25-26高二上·湖北黄冈·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【变式3】（25-26高二上·江苏淮安·期末）圆与圆的公切线条数为___________． 题型08圆的公切线方程 【典例1】（多选）（23-24高二上·四川雅安·阶段检测）圆与圆的公切线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【典例2】写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______. 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线：__________. 【变式2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 _____和 _____． 【变式3】写出圆：与圆：的一条公切线方程________． 题型09圆的公切线长 【典例1】（24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【典例2】求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长． 【变式1】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【变式2】圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）． 【变式3】（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______.    第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 2．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知与圆外切，则的取值为（   ） A． B． C． D．3 4．（2026·河北·模拟预测）已知圆与圆有3条公切线，则实数的值为（   ） A．0或4 B．1或3 C．或 D．或 5．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若圆与圆外切，则m=（ ） A．14 B．28 C．9 D． 6．（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（2026·江苏南京·模拟预测）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 8．（多选）（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 9．（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆的公共弦长为________． 10．（25-26高二上·广东·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为________. B能力提升 1．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（2026·湖南湘西·三模）过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一下·重庆·期末）已知点是圆上一动点，点，点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．点到直线的距离的最小值为 C．面积的最大值为 D．若点满足，则的最大值为 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知圆，则圆C的半径为________；若M是圆C上任意一点，且点满足是钝角，则正数的取值范围是________． 5．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 6．（25-26高二上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点，圆的半径为，且圆心在直线：上． (1)若半径，圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； (2)若半径，圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 7．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点 (1)求过点与垂直的直线方程； (2)求圆的标准方程； (3)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 8．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知，圆． (1)若，判断圆与圆的位置关系； (2)若，判断直线与圆C的位置关系； (3)是否存在定直线，使得动圆截直线所得的弦长恒为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 2.5.2圆与圆的位置关系 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 【即学即练1】（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 知识点02：圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 【即学即练2】（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 知识点03：圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 【即学即练3】（24-25高二上·广东·阶段检测）已知圆，圆，则的公切线方程为______．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 知识点04：圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 第三部分 题型精讲 题型01判断圆与圆的位置关系 【典例1】（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 【典例2】（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】C 【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案. 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 【变式1】（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 【变式2】（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．内含 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】求出两圆圆心距，并比较与两圆半径和、差的绝对值的大小关系，可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 圆心距为，故，故两圆外切. 故选：A. 【变式3】（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案. 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 故选：B. 题型02求两圆交点坐标 【典例1】（25-26高二上·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先求得公共弦所在直线的方程，联立直线方程与其中一个圆的方程可得交点坐标. 【详解】圆和圆, 两圆方程相减可得公共弦方程为， 联立方程，解得或， 可得两圆的交点坐标为和， 故选：B． 【变式1】圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案. 【详解】由,可得，即， 代入，解得或， 故得或, 所以两圆的交点坐标为和, 故选:C 【变式2】圆与的交点坐标为______. 【答案】和 【分析】联立两圆的方程即可求解. 【详解】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或， 所以交点坐标为 故答案为：和 题型03由圆的位置关系确定参数 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 【典例2】（25-26高二上·上海·期末）圆与圆相交，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】先找出两个圆的圆心和半径，然后根据两圆的位置关系建立不等式，解出即可. 【详解】由的圆心，半径为， 的圆心，半径为， 所以圆心距为， 因为圆与圆相交，所以， 即，则得， 又，所以解得：， 故答案为：. 【变式1】（25-26高二下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两圆位置关系的判断方法列不等式求解即得． 【详解】依题意，两圆有公共点，则， 即，解得． 【变式2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解. 【详解】圆的圆心，半径， 由圆，得， 所以圆的圆心，半径， 由圆与圆外切，得，则， 所以. 故选：D. 【变式3】（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 【答案】4或6 【分析】求出两圆的圆心距，根据两圆有且只有一个公共点的条件建立关于的不等式求解即可. 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆的位置关系为外切或内切， 即或，则解得或6. 故答案为：4或6． 题型04由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【典例1】（2024·甘肃张掖·一模）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再设点应用圆外切得出化简得出轨迹方程. 【详解】圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径． 因为圆与圆外切，且半径为3，所以点与点的距离． 设，则，化简得， 故选:C. 【典例2】（23-24高二上·河北邢台·期中）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程：______． 【答案】（答案不唯一，只要方程满足即可） 【分析】求出圆的圆心和半径，利用两圆外切即可求出一个圆C的标准方程. 【详解】由题意， 在中，圆心，半径， 因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆C与圆M：外切， 设半径为，则圆心 所以圆C的方程为． ∴一个圆C的标准方程： 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过点关于直线对称求圆的圆心和半径来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：A 【变式3】（23-24高二上·河南南阳·阶段检测）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 【答案】B 【分析】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【详解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B 题型05相交圆的公共弦方程 【典例1】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 【典例2】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知⊙：与⊙：交于点，则线段的长为____________. 【答案】 【分析】先求出公共弦的方程，求出点到直线的距离，结合勾股定理可得答案. 【详解】两圆的方程相减可得：， 如图，圆心到直线的距离为， 所以. 故答案为：      【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 【变式2】（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 【变式3】（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）圆和圆的公共弦所在的直线方程_________． 【答案】 【分析】将展开得一般式方程，与圆联立，即可得答案. 【详解】圆展开可得，即， 与圆联立可得，即， 所以两圆公共弦所在的直线方程为. 故答案为： 题型06两圆的公共弦长 【典例1】（25-26高二上·海南·阶段检测）圆和圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出公共弦的方程，再利用垂径定理求出弦长. 【详解】由圆，得， 又圆，两圆方程作差可得两圆交点所在的直线方程为， 又因为圆心到直线的距离， 故两圆公共弦长为． 故选：A． 【典例2】（25-26高二上·山西朔州·期末）圆与圆的公共弦的长为__________. 【答案】 【分析】两个圆的方程相减，得到相交弦所在的直线方程，结合点到直线距离公式、圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】两圆为① ，② ， ②-①可得，即两圆的公共弦所在直线的方程为. 圆的圆心为点，半径为， 圆心到公共弦的距离为公共弦的长为. 故答案为： 【变式1】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）若圆与圆相交于A，B两点，则公共弦的长为_____. 【答案】 【分析】两圆相减，求出相交弦所在直线方程，圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】圆与圆， 两圆的方程相减，得， 即为直线的方程， 的圆心到距离为， 所以 故答案为： 【变式2】（2025·广东·模拟预测）已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 【答案】 【分析】将两圆的方程进行相减，然后结合几何知识进行求解即可. 【详解】由题得，，，两方程相减得， ，则圆心到此直线距离为， 所以． 故答案为：. 【变式3】（25-26高二上·重庆·期中）已知 与相交于点 ，则 _____ 【答案】 【分析】首先求两圆相交弦所在的直线方程，再求弦长. 【详解】两圆相减得直线的方程， 圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 题型07圆的公切线条数 【典例1】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 【典例2】（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆心距，得到两圆相交，有两条公切线． 【详解】圆心，半径， ，故圆心，半径． 圆心距， 所以两圆相交，有两条公切线． 故选：B． 【变式1】（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A 【变式2】（25-26高二上·湖北黄冈·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】判断两圆的位置关系，可得出两圆的公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ，，所以两个圆相交， 所以圆与圆的公切线条数为条. 故选：C. 【变式3】（25-26高二上·江苏淮安·期末）圆与圆的公切线条数为___________． 【答案】 【分析】先求圆心距，利用几何法判断圆与圆的关系，进而求解. 【详解】由圆得，由圆得，所以， 所以，所以， 所以圆与圆内切，所以圆与圆有1条公切线， 故答案为：1. 题型08圆的公切线方程 【典例1】（多选）（23-24高二上·四川雅安·阶段检测）圆与圆的公切线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据圆心距和半径的关系可判断两圆相交，结合圆的半径相等，可得切线斜率，即可由点到直线的距离公式求解. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径， 由题意得，圆与圆的半径之和为，半径之差为0， 因为，所以圆与圆的位置关系为相交． 由题意得，因为圆与圆的半径相等，所以公切线的斜率为2． 设公切线的方程为，即，由，得， 所以公切线的方程为或． 故选：CD 【典例2】写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______. 【答案】（或或，写出一个即可） 【分析】根据题意，得到圆与圆相外切，将两圆的方程相减，求得其中一条公切线的方程，再由圆与圆的半径相等，得到外公切线与平行，求得，设，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得的值，即可得到公切线的方程. 【详解】由题意得，圆，可得圆心，半径为， 圆，可得圆心，半径为， 因为，可得，所以圆与圆相外切， 将两圆的方程相减，可得，此方程为圆与圆的公切线， 又由圆与圆的半径相等，故外公切线与直线平行， 因为，所以圆C与圆D的外公切线的方程可设为， 即，则，解得或， 所以两条外公切线的方程为或， 综上所述，圆C与圆D公切线的方程为或或. 故答案为：或或.    【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线：__________. 【答案】答案不唯一 【分析】求出关于直线对称点的坐标，写出圆C的方程，判断出圆O和圆C的位置关系，设与OC平行的公切线方程为，即，利用点到直线的距离关系，即可求出结果. 【详解】设关于直线对称点的坐标为， 则，解得， 圆C的方程是，其圆心坐标为，半径为1， 两圆的圆心距， 所以两圆外离，且， 设与OC平行的公切线方程为，即， 则由O到直线的距离，可得，解得， 所以两圆的一条公切线为或， 另外，根据对称性可知，，也为两圆的公切线. 故答案为：答案不唯一 【变式2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 _____和 _____． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】由，设圆心为，半径为， 由，设圆心为，半径为1， 设直线l不存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以有，此时直线l的方程为， 当直线l存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以或， 所以此时切线方程为，或，即 ，或， 故答案为： ； 【变式3】写出圆：与圆：的一条公切线方程________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出圆与圆外切，两圆相减求出两圆内公切线方程，再设两圆的外公切线所在直线方程，根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 题型09圆的公切线长 【典例1】（24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 【典例2】求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长． 【答案】或，8 【分析】利用两圆的圆心在轴得到内公切线的交点也在轴上，再利用几何性质可求的坐标，最后利用内公切线和圆相切得到其斜率，从而可求其直线方程. 【详解】，，，． 设内公切线与连心线交于点，则在轴上且． 设，可得，． 设内公切线所在直线方程为，即． 由，得． 所以内公切线所在直线方程为或． 内公切线的长为． 【点睛】当两圆相离时，两圆有两条外公切线和内公切线，求它们的直线方程时，应先利用几何性质求出外公切线的交点、内公切线的交点，它们和两圆的圆心在一条直线上，再利用相切求出斜率. 【变式1】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 【变式2】圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 【变式3】（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______. 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 【答案】D 【分析】根据两圆方程求出圆心距，并与两圆半径之和、之差进行比较，即可得出结论. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，因， 即两圆相交， 故选：D. 2．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为一般方程，再把两圆的一般式方程相减得到公共弦方程即可. 【详解】由题意得圆方程可化为， 圆方程可化为， 将两圆的方程相减可得， 化简得，则公共弦方程为，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知与圆外切，则的取值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据求得. 【详解】由题意可知，，半径；，半径， 因为两圆外切，所以，得. 故选：B 4．（2026·河北·模拟预测）已知圆与圆有3条公切线，则实数的值为（   ） A．0或4 B．1或3 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意可知圆和圆外切，利用列等式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 圆与圆恰有3条公切线，圆和圆外切， ，即，解得或. 故选：D. 5．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若圆与圆外切，则m=（ ） A．14 B．28 C．9 D． 【答案】A 【分析】分别求出两圆的圆心坐标和半径，，由两圆外切，可得，代入数据，即可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以， 所以，解得. 故选：A 6．（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆心，再判断两圆位置关系，将两圆方程相减可判断选项； 【详解】圆圆心，半径为； 圆圆心，半径为； 因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故两圆公共弦所在直线的方程为； 故选：D. 7．（多选）（2026·江苏南京·模拟预测）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 8．（多选）（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用两圆相离和内含列式求出的范围即可判断. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心， 半径，圆心距， 由圆与圆没有公共点，得两圆内含或者外离， 当两圆内含时，，即，解得； 当两圆外离时，，即，解得， 因此当两圆没有公共点时，的取值范围是或. 故选：AD 9．（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【分析】将两圆方程作差，可得其公共弦所在直线的方程，根据点到直线距离公式，可得圆心到公共弦所在直线的距离d，根据圆的半径为，代入弦长公式，即可求得答案. 【详解】已知圆，圆， 圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 因为，所以，所以两圆相交， 两圆方程作差，得到其公共弦所在直线的方程为， 而圆心到公共弦所在直线的距离， 又圆的半径为， 所以公共弦长为． 故答案为： 10．（25-26高二上·广东·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为________. 【答案】 【分析】将圆的方程作差即可求得公共弦方程. 【详解】两圆方程相减得到，即. 故答案为：. B能力提升 1．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【分析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 2．（2026·湖南湘西·三模）过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得以为直径的圆的方程，与圆方程相减得到直线方程，进而可求解. 【详解】因为是圆的切线，所以， 所以是圆与以为直径的圆的公共弦，的中点为， 可得以为直径的圆的方程为①， 又因为②， ①与②相减得，直线，即， 由可得， 即过定点，点位于圆内部． 设圆心到直线的距离为，则， 当时，最大，最小， 由题可知，所以． 3．（多选）（25-26高一下·重庆·期末）已知点是圆上一动点，点，点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．点到直线的距离的最小值为 C．面积的最大值为 D．若点满足，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】将圆方程配方得到圆心坐标，选项A直接判断；选项B先求出直线 的方程，圆心到直线距离减去半径即得圆上点到直线距离的最小值；选项C以 为底，最大高为圆心到直线距离加半径，计算面积后与选项值比较；选项D由 得点 的轨迹圆，再求两圆上点距离的最大值（圆心距加两半径之和），与选项数值核对即可． 【详解】对于A选项，将圆化为标准方程，故圆心为，所以A正确； 对于B选项，直线的方程为，所以圆心到直线距离，半径，故点到直线的距离最小值，所以B正确； 对于C选项，，点到距离最大值为， 所以面积最大为，不是，所以C错误； 对于D选项，由，设， 所以 整理得，所以 所以点的轨迹是圆心为，半径的圆， 因为在圆上，在圆上， 两圆圆心距，两圆半径分别为，， 所以最大距离为：，所以D正确． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知圆，则圆C的半径为________；若M是圆C上任意一点，且点满足是钝角，则正数的取值范围是________． 【答案】 1 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解半径；由是钝角得出M点在以为直径的圆内，列出不等式求解即可． 【详解】圆化为， 所以圆的半径为1，圆心； 是钝角，表示M点在以为直径的圆内， 设以为直径的圆为圆O，则两圆内含，圆C在内部， 两圆心距离，圆C的半径为1，圆半径为， 由． 5．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 6．（25-26高二上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点，圆的半径为，且圆心在直线：上． (1)若半径，圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； (2)若半径，圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 【答案】(1)与 (2) 【分析】（1）对切线斜率是否存在进行分类讨论，再由点到直线距离公式计算可得结果； （2）求出点的轨迹，再利用圆上点到定点距离的最值问题解不等式可得结果. 【详解】（1）因为圆心同在直线和直线上， 所以，解得，所以， 若过点的直线斜率不存在，此时恰为圆的切线； 若过点的直线斜率存在， 设直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以，解得， 所以切线方程为，即， 综上可知，过点的圆的切线方程为与． （2）因为，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 要使得圆上存在符合条件的点，则圆与点的轨迹必有公共点， 又圆的圆心，半径为， 因此可得 整理可得，解得， 所以圆心的横坐标的取值范围为． 7．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点 (1)求过点与垂直的直线方程； (2)求圆的标准方程； (3)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）联立两条直线求出交点，再由两直线垂直得出斜率，根据直线点斜式方程即可求解. （2）根据两圆外切的关系，圆心距即可求解 （3）分直线的斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程. 【详解】（1）联立直线方程 ，解得 ，所以圆心 ， 圆 化为圆的标准方程： ，所以圆心 ， 而直线   的斜率 . 设所求直线斜率为 ， 则 ，即 ，解得 ， 所求直线过点 ，所求直线方程为 ，整理得 ， 因此，过点 与 C D 垂直的直线方程为 . （2）由（1）知圆心 ，圆心 ，， 因为圆 与圆 相外切，所以圆 的半径 ， 因此，圆 的标准方程为 . （3）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时圆心 到直线 的距离 ，根据弦长公式可得弦长为 ，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即， 已知圆心 ，半径 ，弦长为 ，则圆心到直线的距离 . 根据点到直线的距离公式可得 ，即 2， 两边平方可得 ，展开得 ，解得 . 所以直线 的方程为 ，整理得 0 . 因此，直线 的方程为 或 .    8．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知，圆． (1)若，判断圆与圆的位置关系； (2)若，判断直线与圆C的位置关系； (3)是否存在定直线，使得动圆截直线所得的弦长恒为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1)圆C与圆相外切 (2)直线与圆C相离 (3)或 【分析】（1）求得两圆圆心的距离，结合圆心距与半径的关系可得结论； （2）求得圆心到直线距离，可判断直线与圆的位置关系； （3）求得圆心的坐标并消去参数，从而求得圆心的轨迹方程，求得圆心到直线的距离，根据两平行线间的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）若，则圆，所以圆心，半径. 由圆，可得圆心，半径. 所以， 所以圆与圆相外切； （2）若，则圆，可得圆心，半径. 所以点到直线的距离， 所以直线与圆相离； （3）由圆，所以圆心，半径为， 即，消去，得，所以圆心的轨迹方程为. 设直线l交圆于两点，设到直线l的距离为， 则，假设存在符合题意的定直线， 则，所以，所以，解得， 即圆心与直线l的距离恒为，而圆心的轨迹方程为， 所以可设直线l的方程为，且， 所以，解得或， 所以存在符合题意的定直线，且定直线的方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $