2.5.1直线与圆的位置关系（知识清单+13类热点题型讲练+分层强化训练）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理相交、相切、相离三种位置关系，通过几何法（距离与半径比较）和代数法（方程联立判别式）构建判断体系，延伸至相交弦长计算、相切切线方程及切线长公式、圆上点到直线距离最值等应用，形成从概念到实践的完整学习支架。 资料以思维导图统领知识脉络，几何法优先培养数学眼光观察空间形式，代数法推理强化数学思维逻辑，实际应用题（如台风影响、渔船航线）提升数学语言表达能力。典例与变式结合、分层练习（夯实基础到综合素养）设计，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识迁移与问题解决能力。

第09讲 2.5.1直线与圆的位置关系 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 【即学即练1】（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 知识点02：直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点03：直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 【即学即练2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过引直线l,与圆C：相切于Q,则__________. 知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 【即学即练3】（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 第三部分 题型精讲 题型01判断直线与圆的位置关系 【典例1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【典例2】（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【变式1】（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式2】（河北衡水中学2024届高三年级下学期二调考试数学试题）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【变式3】（2026·湖南·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 题型02由直线与圆的位置关系求参数 【典例1】（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 【典例2】（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【变式3】（2026·北京·高考真题）若直线与圆相切，则________． 题型03直线与圆相交问题 【典例1】已知圆的弦AB的中点为，直线AB交y轴于点M，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【典例2】过点且斜率为的直线与圆：交于，两点，若，则______. 【变式1】（2025·山东·二模）直线与圆交于两点，，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2】直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（ ） A． B． C．1 D．2 【变式3】已知圆：，是否存在满足以下两个条件的直线:（1）斜率为；（2）直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点. 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由. 题型04求切线方程 【典例1】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【典例2】（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）过点且与圆相切的直线方程为______. 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 【变式2】（25-26高二下·上海·期中）经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）写出过点且与圆相切的一条直线方程__________________． 题型05切线长（切点弦）问题 【典例1】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【典例2】过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为_________. 【变式1】（2026·重庆九龙坡·一模）过点作圆的切线，则切线长为___________． 【变式2】已知圆，过圆外一点作圆的两条切线（切点为），则直线的方程为_________． 【变式3】（25-26高二上·江苏南通·期中）过点作圆的切线，则切线长为__________. 题型06已知切线求参数 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 【典例2】（24-25高二上·天津武清·期中）若直线与圆相切，则实数________． 【变式1】（24-25高二下·河南·阶段检测）已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 【变式2】（2025·辽宁·二模）已知直线与圆相切，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·福建泉州·阶段检测）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 题型07圆的弦长与中点弦问题 【典例1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【典例2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知圆内有一点、经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为______． 【变式1】（福建莆田市2027届高三毕业班开学质量诊断练习数学试题）直线被圆所截得的弦长为_____． 【变式2】（25-26高二上·广东湛江·期中）已知圆经过，，三点. (1)求圆的一般方程； (2)求直线被圆截得的弦长. 【变式3】（25-26高二上·贵州贵阳·期末）已知圆内有一点，过点A且倾斜角为的直线l与圆O相交于两点． (1)当时，求弦的长； (2)是否存在弦MN被点A平分？若存在，写出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 题型08已知圆的弦长求方程或参数 【典例1】（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知直线被圆所截得的弦长为，则_____. 【典例2】（25-26高二上·安徽·期末）已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 【变式1】（24-25高二上·安徽淮南·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为________. 【变式2】（25-26高二上·重庆·期中）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【变式3】（25-26高二上·北京丰台·期末）已知圆心为的圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于，两点，当时，求的值. 题型09圆内接三角形面积 【典例1】（24-25高二上·湖北咸宁·期中）已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【典例2】（23-24高二上·云南昆明·阶段检测）已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线的方程． 【变式1】（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 【变式2】已知圆，直线l过原点． (1)若直线l与圆M相切，求直线l的方程； (2)若直线l与圆M交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线l的方程． 【变式3】（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 题型10直线与圆的实际应用 【典例1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【典例2】（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【变式1】（24-25高二上·浙江·期中）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 【变式2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【变式3】（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 题型11直线与圆中的定点定值问题 【典例1】（25-26高三上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线，直线l与圆C相交于点A，B，圆C与x轴正半轴交于点D． (1)若，求直线l的方程； (2)记直线AD，BD的斜率分别为，，求证：为定值． 【典例2】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线．    (1)求直线被圆所截得的最短弦长； (2)已知点在轴左侧，直线与圆交于，两点． （i）当弦最长时，若的面积为，求的值； （ii）在（i）的条件下，直线上是否存在异于点的定点，使得对于圆上的任一点，都有为定值，若存在，求出所有满足条件的点的坐标及该定值，若不存在，说明理由． 【变式1】（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线过点. (1)若直线与轴、轴的截距之和为0，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)若直线与圆交于，两点，点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【变式2】（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段检测）阿波罗尼斯圆是古希腊数学家阿波罗尼斯的一个研究成果：平面内到两定点距离之比为常数（，）的点的轨迹是圆，这个圆也称为阿氏圆.已知O为坐标原点，动点P到点的距离是到点的距离的2倍，记动点P的轨迹是曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知直线l过定点，且与曲线C交于M，N两点，设直线OM，ON的斜率分别为，，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【变式3】（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知圆与直线，动直线过定点. (1)求直线关于点的对称直线，并判断直线与圆的位置关系； (2)若直线与圆相交于P、Q两点，点是PQ的中点，直线与直线相交于点.探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 题型12根据直线与圆位置关系求距离最值 【典例1】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【典例2】（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知，则的最小值为_____． 【变式1】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知点在圆上运动，点到直线的距离的最大值为_____. 【变式2】（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）圆上的点到直线的最大距离是______． 【变式3】已知圆上的点到直线的最近距离为，则k=______. 题型13直线与圆综合问题 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）已知x和y满足圆的标准方程．求： (1)的最值； (2)圆上一点P与，所围成的三角形的面积的最大值和最小值． 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 【变式1】（25-26高一下·北京延庆·期末）已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 【变式2】（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【变式3】（25-26高二下·上海·阶段检测）如图，已知圆方程为，直线方程为，过点的一条动直线与直线相交于点. (1)若直线与夹角为，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，是弦中点，求点的轨迹. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 2．（25-26高二下·湖北随州·期末）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广西贵港·三模）直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．2 C． D．1 4．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则实数（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·安徽六安·阶段检测）已知圆与直线相切，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 6．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 8．（多选）（2025·河北邯郸·一模）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 9．（2026高三·全国·专题练习）直线被圆所截得的线段的长为______． 10．（25-26高二上·云南德宏·期末）直线与以点为圆心的圆相交于两点，且，则圆的标准方程为________． B能力提升 1．（26-27高三上·北京·开学考试）已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 5．（2026高二·全国·专题练习）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； C综合素养 1．（2026高三·全国·专题练习）已知两圆和． (1)若两圆在直线的两侧，求实数b的取值范围； (2)求经过点且和两圆都没有公共点的直线斜率k的取值范围． 2．（25-26高一下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 3．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 4．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 5．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知圆，直线过原点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 2.5.1直线与圆的位置关系 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 【即学即练1】（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 知识点02：直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点03：直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 【即学即练2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过引直线l,与圆C：相切于Q,则__________. 【答案】 【详解】由已知可得圆心坐标，半径， 点到圆心的距离为， 则切线长. 知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 【即学即练3】（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意求出圆的圆心到直线的距离，减半径得答案． 【详解】圆的圆心， 圆心到直线的距离, 故直线与圆相离． 的最小值为． 第三部分 题型精讲 题型01判断直线与圆的位置关系 【典例1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较即可判断位置关系. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 【典例2】（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 【变式1】（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系判断即可． 【详解】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 【变式2】（河北衡水中学2024届高三年级下学期二调考试数学试题）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 【变式3】（2026·湖南·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为2． 因为心到的距离为，所以与圆相离． 题型02由直线与圆的位置关系求参数 【典例1】（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 【答案】D 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程求解实数. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. 【典例2】（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，利用直线与圆有交点列不等式求解即可 【详解】由题圆C：，圆心， 圆心到直线l：的距离为， 若l与C有公共点，则 【变式1】（多选）（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】利用若直线与圆有交点则圆心到直线的距离不大于半径的性质建立不等式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径为，直线，若圆与直线有交点， 则圆心到直线的距离，解得，故选A、B. 【变式2】（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. 【变式3】（2026·北京·高考真题）若直线与圆相切，则________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 题型03直线与圆相交问题 【典例1】已知圆的弦AB的中点为，直线AB交y轴于点M，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】求出，由垂径定理得到，求出AB所在直线的方程，联立圆的方程，得到两根之积，进而得到，求出，的值. 【详解】由题设可得，圆心，则． 根据圆的性质可知，， ∴AB所在直线的方程为，即． 联立方程，可得：， 设，，则，故， 中，令，得， ∴. 故选：A． 【典例2】过点且斜率为的直线与圆：交于，两点，若，则______. 【答案】/ 【分析】设出直线的方程与圆的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】设直线的方程为， 则有， 显然点在：内部， 所以过点的直线与圆：一定交于两点， 设，则有， 因为， 所以， 于是有，或舍去， 故答案为：    【变式1】（2025·山东·二模）直线与圆交于两点，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，联立方程组得出，由平面向量数量积的坐标运算列出方程求解即可． 【详解】设， 由得，，则， ， 由得，， 故选：B． 【变式2】直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出，根据向量数量积可求答案. 【详解】联立,得， 则，即，所以， 设，则：，， 故选：C 【变式3】已知圆：，是否存在满足以下两个条件的直线:（1）斜率为；（2）直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点. 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由. 【答案】存在，是或. 【分析】设直线方程,联立与圆的刚才得到韦达定理，即可根据向量垂直的坐标关系，代入求解. 【详解】设直线存在，其方程为，它与圆C的交点设为、 则由， 得（＊） ∴ ∴ 由得， ∴， 即，解得， ∴或 容易验证或时方程（＊）有实根. 故存在这样的直线有两条，其方程是或. 题型04求切线方程 【典例1】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】利用切线定义结合点到直线距离公式，分斜率存在与不存在讨论即可得. 【详解】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离， 解得，则； 综上所述：的方程为或. 故选：A. 【典例2】（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）过点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】或 【分析】分斜率存在和不存在两种情况，结合圆心到切线的距离等于半径即可求得. 【详解】圆的圆心为，半径， 当切线的斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为（等于半径），所以是切线的方程； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 此时圆心到直线距离等于半径，即，解得， 所以切线方程为 综上，过点且与圆相切的直线方程为或 故答案为：或 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 【答案】 【详解】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 【变式2】（25-26高二下·上海·期中）经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】 【分析】根据题意，求得，由直线与切线垂直得出切线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，因为在圆上，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即， 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）写出过点且与圆相切的一条直线方程__________________． 【答案】或（写出一条即可） 【分析】设切线为，利用圆心到直线的距离等于半径求出的值，即可得解. 【详解】依题意切线的斜率存在，设斜率为k，则切线为，即， 则圆心到直线的距离，解得或， 所以切线方程为或． 故答案为：或（写出一条即可）. 题型05切线长（切点弦）问题 【典例1】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切线长公式计算. 【详解】由题意知，，半径， 则. 故选：A 【典例2】过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为_________. 【答案】 【分析】根据题意，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，过点作圆的两条切线，设两切点分别为、， 则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 为两圆的公共弦所在的直线，则有， 变形可得：； 即直线的方程为， 故答案为： 【变式1】（2026·重庆九龙坡·一模）过点作圆的切线，则切线长为___________． 【答案】3 【分析】求出已知圆的圆心、半径，再利用勾股定理求出切线长. 【详解】圆，即的圆心，半径， 点，， 所以所求切线长为. 故答案为：3 【变式2】已知圆，过圆外一点作圆的两条切线（切点为），则直线的方程为_________． 【答案】 【分析】求出以为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦的方程 【详解】解：的圆心为，半径为， 则以为直径的圆的方程为， 将两圆的方程相减可得公共弦的方程为， 化简得， 故答案为： 【变式3】（25-26高二上·江苏南通·期中）过点作圆的切线，则切线长为__________. 【答案】 【分析】把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即可. 【详解】方程可化为，圆心，半径， 所以切线长为. 故答案为： 题型06已知切线求参数 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由直线与圆的位置关系，应用点到直线距离公式列方程求参数值. 【详解】由的圆心为，半径为1， 由直线与圆相切，则，可得. 故选：C 【典例2】（24-25高二上·天津武清·期中）若直线与圆相切，则实数________． 【答案】0或 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，根据圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果. 【详解】由可得：， 所以圆心为，半径为2， 由题意可得：， 解得：或， 故答案为：0或 【变式1】（24-25高二下·河南·阶段检测）已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】圆的方程化为标准式并确定圆心和半径，根据直线与圆相切及点线距离公式列方程求参数. 【详解】由，则， 所以圆心，半径，， 由题设，则. 故选：A. 【变式2】（2025·辽宁·二模）已知直线与圆相切，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出正实数的值. 【详解】因为，则圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆相切， 所以，. 故选：A. 【变式3】（23-24高二上·福建泉州·阶段检测）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得. 【详解】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故选：C. 题型07圆的弦长与中点弦问题 【典例1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】圆可化为，得圆心，半径 用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离： 弦长 【典例2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知圆内有一点、经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为______． 【答案】 【分析】由已知结合直线与圆相交的性质及直线垂直的斜率关系即可求解． 【详解】圆整理得， 即圆的圆心为点，半径为， 由题可知点 是弦的中点，则， 由题意得，， 则， 所以经过点的直线的方程为，即． 故答案为：． 【变式1】（福建莆田市2027届高三毕业班开学质量诊断练习数学试题）直线被圆所截得的弦长为_____． 【答案】 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式计算求解即可. 【详解】圆可化为 所以圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 【变式2】（25-26高二上·广东湛江·期中）已知圆经过，，三点. (1)求圆的一般方程； (2)求直线被圆截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设圆的一般方程，再应用待定系数法求出待定参数即得答案； （2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）设圆的一般方程为，， 将各点坐标代入，可得，解得， 所以圆的一般方程为； （2）由（1）可得圆的方程为，则圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 【变式3】（25-26高二上·贵州贵阳·期末）已知圆内有一点，过点A且倾斜角为的直线l与圆O相交于两点． (1)当时，求弦的长； (2)是否存在弦MN被点A平分？若存在，写出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）求出直线的方程，再利用圆心到直线的距离和半径求解弦的长； （2）根据点平分弦时，求得的斜率，再利用点斜式求直线方程. 【详解】（1）当时，直线的斜率， 由直线过，得直线的方程为，即. 圆心到直线的距离， 所以弦长 （2）若弦被点平分，则， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 题型08已知圆的弦长求方程或参数 【典例1】（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知直线被圆所截得的弦长为，则_____. 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长公式建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意得圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 因为直线被圆截得的弦长为， 所以由弦长公式得，解得或. 故答案为：或 【典例2】（25-26高二上·安徽·期末）已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 【答案】(1)圆的标准方程. (2)直线的方程为或. 【分析】（1）由圆所过的点结合待定系数法计算求解即可； （2）由圆心到直线距离和弦长公式列等量关系求出直线斜率即可得解. 【详解】（1）设圆M的方程为， 则由题有， 所以圆的方程为， 则圆的标准方程. （2）由题可知点在圆内，圆的圆心为、半径， 当直线l的斜率不存在时，其方程为，圆心到该直线的距离为3， 此时弦长，不合题意， 所以直线的斜率存在，设直线，即， 又，所以圆心到直线距离或. 所以直线的方程为或. 【变式1】（24-25高二上·安徽淮南·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为________. 【答案】或 【分析】将直线按照斜率是否存在两种情况，分别利用垂径定理列方程求解即得所求. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时， 的方程为， 此时直线被圆截得弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 因圆心到直线距离， 由垂径定理，弦长， 解得，则直线的方程为. 故答案为：或. 【变式2】（25-26高二上·重庆·期中）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)2或 【分析】（1）直线与圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离，由圆心和半径得圆的方程； （2）设直线的斜率为，利用圆的弦长公式求出的值即可. 【详解】（1）因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. （2）由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以， 解得或. 【变式3】（25-26高二上·北京丰台·期末）已知圆心为的圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于，两点，当时，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，求解半径，即可得解， （2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）设圆的半径为， 则圆心到直线的距离， 故圆的方程为. （2）由可得圆心C到直线的距离为. 则圆心到直线的距离为，解得或. 题型09圆内接三角形面积 【典例1】（24-25高二上·湖北咸宁·期中）已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入点的坐标计算，即可得到圆的一般式方程，再化为标准式即可； （2）由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设的方程为， 由题意可得，解得， 所以的方程为， 化为标准方程可得. （2）由（1）可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 且， 因此的面积为. 【典例2】（23-24高二上·云南昆明·阶段检测）已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据点到直线的距离即可根据相切求解， （2）根据圆的弦长公式，即可结合面积求解. 【详解】（1）由已知可设圆心， 圆C与直线：相切，且， 所以， 解得或（舍）， 所以圆C的方程为． （2）设圆心C到直线的距离为d， 则，， 即，解得，（舍去） 又，所以，解得， 所以直线的方程为或． 【变式1】（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用直线和圆相切的性质列方程求解即可； （2）利用直线和圆的弦长公式和三角形的面积列方程求解即可. 【详解】（1）将圆C：化为标准方程， 得，故圆心，半径为. 因为直线l：与圆C相切， 所以， 解得， 所以圆C的标准方程为. （2）设圆心C到直线m的距离为d. 则，所以，解得. 故， 解得或. 所以直线m的方程为或 【变式2】已知圆，直线l过原点． (1)若直线l与圆M相切，求直线l的方程； (2)若直线l与圆M交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线l的方程． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于半径来求得直线的方程. （2）设出直线的方程，由点到直线的距离公式、弦长公式求得三角形面积的表达式，结合二次函数的性质求得的面积最大时直线的方程. 【详解】（1）①当直线l的斜率不存在时，直线l为，显然符合直线与圆相切， ②当斜率存在时，设直线为，圆M的圆心坐标， 圆心到直线的距离， 由题意得：直线l与圆M相切，则，解得：， 所以直线l的方程为：， 综上所述，直线l的方程为：或 （2）直线l的斜率不存在时，直线l为与圆相切，不符合题意，故直线l斜率必存在， 设直线l的方程为：， 圆心到直线的距离，弦长， 所以， 当时，面积S最大， 这时，整理得，解得，或， 所以直线l的方程：或． 【变式3】（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设圆的标准方程为.将两点的坐标代入方程，求出的值，即可得解； （2）求出圆心到直线的距离，再利用几何法求出弦长，分析出点到直线的最大距离为，再根据三角形的面积公式计算即可得解. 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为. 因为圆过点，， 所以，即. 将上面两式相减，消去，可得，解得， 将其代入，解得. 所以圆的标准方程为； （2）    由（1）知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 则，要使面积的最大， 只须点到直线的距离最大，最大距离为， 故面积的最大值为. 题型10直线与圆的实际应用 【典例1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 【典例2】（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【分析】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【详解】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 【变式1】（24-25高二上·浙江·期中）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 【答案】(1)； (2)小时. 【分析】（1）由题设知，骑行路线正好与圆相切时此人不被台风影响，此时角最大，结合已知求最大的正切值即可. （2）写出此人骑行方向为北偏东所在直线的方程，再利用弦心距、圆的半径与弦长的几何关系求该直线被圆所截弦长，即可求此人被台风影响持续时间. 【详解】（1）由题意，如图，圆是以坐标原点为圆心，为半径的圆， 要使此人不被台风影响，骑行路线正好与圆相切时，角最大， 由，，则，知，则最大. （2）由题意，骑行路线所在直线方程为，圆心到直线的距离为， 该直线与圆相交的弦长为， 即此人被台风影响持续时间为.    【变式2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），有，化简并整理即可求解. （2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有，它是以为圆心，8为半径的圆． 所以曲线的方程为：． （2）   ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，且，解得， 所以综上可知的取值范围为． 【变式3】（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 【答案】(1)；（或） (2)小次车会进入安全预警区，理由如下： 圆C化成标准方程为,圆心为C,半径, 因圆C到直线的距离. 所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区. 【分析】（1）设圆的一般方程用待定系数法将三个点代入求解. （2）根据题意写出小汽车行驶轨迹的直线方程，求出圆心到直线的距离 与半径做比较并判断直线与圆的位置关系，从而得到答案. 【详解】（1）由题意得,, 设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点, 所以解得 所以圆C的方程为；（或） （2）略 题型11直线与圆中的定点定值问题 【典例1】（25-26高三上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线，直线l与圆C相交于点A，B，圆C与x轴正半轴交于点D． (1)若，求直线l的方程； (2)记直线AD，BD的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据圆得垂径定理可求出的值，从而可求直线l的方程； （2）令，结合圆的方程求出点的坐标，设，，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，得利用斜率公式得从而可求出为定值． 【详解】（1）圆的方程化为标准形式： 故圆心，半径长 设圆心到直线（即）的距离为，根据弦长公式： ，已知 代入得：，解得： 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得 因此，直线的方程为或． （2）由圆，令，得（取正半轴），故 ； 设，， 联立直线与圆的方程得方程组， 消去，整理得 由韦达定理，得 又直线AD，BD的分别为 因此： 又 故 故为定值． 【典例2】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线．    (1)求直线被圆所截得的最短弦长； (2)已知点在轴左侧，直线与圆交于，两点． （i）当弦最长时，若的面积为，求的值； （ii）在（i）的条件下，直线上是否存在异于点的定点，使得对于圆上的任一点，都有为定值，若存在，求出所有满足条件的点的坐标及该定值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，定点，为定值 【分析】（1）利用直线系方程的特征，求出直线过定点，当时，弦长最短，利用弦长公式即可求解； （2）（i）当弦最长时，直线经过圆心，求出直线方程，由的面积列方程求的值； （ii）假设存在定点满足题意，方法一，设，由和，整理得，解出和即可；方法二，直线与圆的交点为，则，令，解出并检验即可. 【详解】（1）直线变形为， 令得所以直线过定点， 圆，圆心坐标为，圆半径为 ，点在圆内， 当时，所截得弦长最短， 直线被圆所截得的最短弦长为． （2）（i）当经过圆心时，弦最长，由， 得，此时， 到直线的距离为， 根据题意，得，即，解得； （ii）方法一：直线的方程为，假设存在定点满足题意． 设，则， 故， ，， 整理得，， 根据题意得 解得或（舍去）， 综上所述，在直线上存在定点，使得为定值． 方法二：设直线上的点，直线与圆的交点为， 则， 令得，或（舍去）， 此时． 若存在定点满足题意，则． 下证点满足题意，设圆上任意一点，则． 综上所述，在直线上存在定点，使得为定值 【变式1】（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线过点. (1)若直线与轴、轴的截距之和为0，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)若直线与圆交于，两点，点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)或. (2)或. (3) 【分析】（1）根据直线的截距式方程计算即可求解； （2）根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算求出直线的斜率，即可求解； （3）易知直线的斜率存在.设：，，.联立圆的方程，根据韦达定理表示，结合两点表示斜率公式化简计算即可证明. 【详解】（1）当直线经过原点时，直线的方程为； 当直线不经过原点时，设直线的方程为， 则解得所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. （2）圆的标准方程为，其圆心为，半径为1. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）略 【变式2】（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段检测）阿波罗尼斯圆是古希腊数学家阿波罗尼斯的一个研究成果：平面内到两定点距离之比为常数（，）的点的轨迹是圆，这个圆也称为阿氏圆.已知O为坐标原点，动点P到点的距离是到点的距离的2倍，记动点P的轨迹是曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知直线l过定点，且与曲线C交于M，N两点，设直线OM，ON的斜率分别为，，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）设，根据化简可得； （2）讨论直线的斜率，再联立方程组，结合韦达定理和斜率公式化简即可. 【详解】（1）设，因，所以， 整理得曲线C的方程； （2）当l斜率不存在时，l：，此时l与C只交于一点，不符合题意； 当l斜率存在时，设直线l的方程为，，， 联立，得， 由得，且，， 所以 ， 所以为定值. 【变式3】（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知圆与直线，动直线过定点. (1)求直线关于点的对称直线，并判断直线与圆的位置关系； (2)若直线与圆相交于P、Q两点，点是PQ的中点，直线与直线相交于点.探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)直线为，相离； (2)是，. 【分析】（1）根据直线关于点对称，即有两直线平行且该点到两直线的距离相等，设直线，利用点到直线的距离公式列方程求参数，进而判断直线与圆的位置关系； （2）设的方程为，联立圆和直线求坐标，再应用向量数量积的坐标运算求，即可得结论. 【详解】（1）点到直线的距离为， 设直线，则，解得（舍）或， 所以直线为，又圆的圆心为且半径， 圆心到直线的距离，所以直线和圆相离；    （2）由题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得， 所以，则， ，则， ， 由，得，则， ， ， 为定值. 题型12根据直线与圆位置关系求距离最值 【典例1】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数法，求得圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，以及圆的性质，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 【典例2】（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】将所求式子看成圆上的点到直线距离的5倍，进而转化为圆到直线的距离可得. 【详解】由，表示圆上的点到直线的距离的5倍. 圆的圆心，半径，如图： 由圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，且圆上点到直线距离的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：3. 【变式1】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知点在圆上运动，点到直线的距离的最大值为_____. 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置结合图象即可确定距离的最大值. 【详解】将圆的方程化简为，因为圆心到直线的距离为 ，所以该直线与圆相离， 由题意根据直线与圆的关系，画出图象得 由图可以看出，当点位于图中位置时，点到直线的距离最大， 最大值为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）圆上的点到直线的最大距离是______． 【答案】 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆心和半径，利用圆心到直线的距离加上半径，可求解. 【详解】将圆化为标准方程可得， 所以圆的圆心为，半径， 根据点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为， 所以可得最大距离为. 故答案为： 【变式3】已知圆上的点到直线的最近距离为，则k=______. 【答案】 【分析】利用点线距离公式求圆心到的距离，由列方程求参数. 【详解】由圆的标准方程为，则圆心为，半径为， 所以，圆心到的距离，则， 所以，可得. 故答案为： 题型13直线与圆综合问题 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）已知x和y满足圆的标准方程．求： (1)的最值； (2)圆上一点P与，所围成的三角形的面积的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值和最小值分别为和 (2)最大值和最小值分别为， 【分析】（1）将 视为圆上动点到原点的距离平方，利用圆心到原点的距离与半径的关系确定距离范围； （2）将三角形面积表示为底边 与点 到直线 的距离之积的一半，转化为求圆上动点到定直线距离的最值问题． 【详解】（1）因为圆的圆心为,半径为, 而表示该圆上一点到原点的距离的平方, 因圆心到原点的距离, 圆上点到原点的距离的范围为：， 即， 所以， 因此， 所以的最小值为，最大值为． （2）已知、，则直线的方程为：， 且， 设点到直线的距离为，则的面积， 因此，面积的最值等价于求点到直线距离的最值， 圆心到直线的距离， 所以圆上点到直线的距离的范围为：， 即， 则，． 即的面积最小值为，最大值为． 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 【答案】(1) (2)证明：设过A点的圆C的一条切线为，T为切点， 则． ， 为定值． (3)1 【分析】（1）根据直线的方向向量和过点坐标，得到直线方程，因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离小于半径，可列出不等式得到斜率的取值范围； （2）过圆外一点作圆的切线，则切线长为定值，根据切割线定理即可证明结论； （3）设点坐标，联立直线与圆的方程，利用韦达定理和向量积的坐标运算求斜率的值． 【详解】（1）∵直线l过点且方向向量， ∴直线l的方程为，则，整理得， 即，得． （2）略 （3）设，， 将代入方程 得， ， ． ，解得． 又当时，，． 【变式1】（25-26高一下·北京延庆·期末）已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 【答案】(1)或. (2)最短长度为，此时的方程为. 【分析】（1）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，对斜率的存在性进行讨论之后，结合点在圆之外，设出直线的方程，由圆半径、弦长、弦心距之间的关系求出直线斜率即可； （2）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，由圆的几何性质和相互垂直直线的斜率关系即可求出的斜率，进而求出的方程. 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系即可求出此时最短弦的长度. 【详解】（1） 由圆可知，圆心为，半径为， 由可知，， 因为，所以点在圆之外， 显然，当直线的斜率不存在时，与圆相离，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设为， 设直线的方程为，即， 所以，圆心到直线的距离，即弦心距， 不妨设直线被圆截得的弦为， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系可得， ，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或，即或， 综上，直线的方程为或. （2） 由可知，， 因为，所以点在圆之内， 不妨设直线被圆截得的弦为， 当时，最短，此时弦心距， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系， 则， 因为直线的斜率，且， 所以直线的斜率为，代入点斜式可得， 直线的方程为，即， 综上，被圆截得的线段的最短长度为， 此时的方程为. 【变式2】（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）设出圆心坐标，根据已知条件列方程求参数，写出圆的标准方程；（2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，讨论斜率是否存在，求出直线方程. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心， 由得， 化简得，解得， 故圆心，半径， 圆的标准方程为 （2） 圆心到直线的距离为，由弦长公式 ， 得，解得， 当直线斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为， 整理得， 由点到直线距离公式可得，解得 ， 直线的方程为； 综上直线的方程为或. 【变式3】（25-26高二下·上海·阶段检测）如图，已知圆方程为，直线方程为，过点的一条动直线与直线相交于点. (1)若直线与夹角为，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，是弦中点，求点的轨迹. 【答案】(1)或 (2)点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆且在圆内的部分 【分析】（1）利用两直线夹角公式求出直线的斜率，再求直线方程即可. （2）利用垂径定理得到，根据向量垂直的坐标表示结合直线与圆的位置关系即可求出点的轨迹. 【详解】（1）圆可化为，圆心坐标为，半径为. 直线：，斜率为. 设直线的斜率为，则，即， 解得或. 当时，直线方程为，即； 当时，直线方程为，即； 所以直线方程为或. （2） 设，因为是弦中点，所以，所以. 又，， 所以，即， 整理得. 因为直线与圆相交于两点，所以点应在圆的内部. 所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆且在圆内的部分. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【详解】圆C：的圆心为，半径为， 圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故A正确.. 2．（25-26高二下·湖北随州·期末）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以在直线上， 所以，解得. 3．（2026·广西贵港·三模）直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】借助点到直线距离公式与圆的弦长公式计算即可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 则到直线的距离， 则. 4．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得圆的圆心为，半径为， 直线被圆截得的弦长为，则直线过圆心， 圆心代入直线得，解得. 5．（25-26高二下·安徽六安·阶段检测）已知圆与直线相切，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】首先将圆的方程化成标准方程，再利用直线与圆相切的条件即可求解. 【详解】将圆的方程化成标准方程为， 因为圆与直线相切， 则有，解得. 6．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 7．（多选）（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 【答案】BC 【分析】根据点与圆的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项． 【详解】由圆，得圆心，半径． 对于A，若在圆上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故A错误． 对于B，若在圆内，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故B正确． 对于C，若在圆外，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确． 对于D，若在直线上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故D错误． 故选：BC. 8．（多选）（2025·河北邯郸·一模）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出圆的圆心和半径，再按直线的斜率是否存在分类，结合圆的切线性质求解. 【详解】圆的圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为1，不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切得：，解得或， 所以直线的方程为：或. 故选：AC 9．（2026高三·全国·专题练习）直线被圆所截得的线段的长为______． 【答案】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式计算，结合几何法求弦长即可求解. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由于圆的半径，所以弦长为. 10．（25-26高二上·云南德宏·期末）直线与以点为圆心的圆相交于两点，且，则圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】利用圆的弦长公式计算出圆的半径可得答案. 【详解】设圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ， 则弦长公式为 ， 代入已知条件得：， 平方，化简得：， 点 到直线 的距离 ： ， 代入得：. 因此圆的标准方程为： 故答案为： B能力提升 1．（26-27高三上·北京·开学考试）已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】圆心到直线的距离为：， 所以直线上的点与圆上的点的距离的最小值为： . 2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】求出点的对称点，数形结合得到所求最短路径为到圆上一点的最小值，求出答案. 【详解】关于的对称点设为， 则，解得，故， 光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径 为到圆上一点的最小值， 的圆心为，半径， 连接，则即为最小值， 即. 3．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 【答案】 【分析】确定两个切点坐标，得到直线方程，结合点到线距离公式即可求解. 【详解】 如图，其中一条切线为轴，设切点为． 设另一条切线的方程为，由到切线的距离为2， 得，解得． 所以的方程为． 联立， 消去化简的：， 解得，故， 即，所以． 所以的方程为：，即：． 所以的最小值为点到直线的距离，即． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【答案】 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    5．（2026高二·全国·专题练习）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）将目标式看作圆上动点 到定点 距离的平方，利用圆心到定点距离与半径的关系确定距离范围，从而得到平方的最值． 【详解】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． C综合素养 1．（2026高三·全国·专题练习）已知两圆和． (1)若两圆在直线的两侧，求实数b的取值范围； (2)求经过点且和两圆都没有公共点的直线斜率k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知圆心，必在直线的两侧，且直线与两圆相切或相离，进而列式求解即可； （2）分析可知直线与两圆均相离，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）圆的圆心为，圆的圆心为，两圆半径均为2， 因为两圆在直线的两侧， 可知圆心，必在直线的两侧， 则，解得． 且直线与两圆相切或相离， 则，解得或或， 综上所述：实数b的取值范围为． （2）设所求的直线方程． 因为直线与两圆无公共点，即直线与两圆均相离， 则，解得， 所以斜率k的取值范围为. 2．（25-26高一下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 【答案】(1)证明：设，则，， 由，则， 即，又， 整理得，配方得， 故点P的曲线C为圆， 则圆心，半径为； (2) (3) 【分析】（1）设 ，将 两边平方，展开后对配方，即可化为圆的标准方程，即可直接读出圆心坐标和半径； （2）利用（1）中所得可得圆C方程，及其圆心坐标与半径，再利用切线性质计算即可得； （3）由题意可得为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形性质与点到直线距离公式计算即可得. 【详解】（1）略 （2）若，则圆C为，圆心，半径为， 若切线斜率不存在，则为，此时圆心C到的距离为，不符； 若切线斜率存在，设过点A且与曲线C相切的直线方程为， 则有，化简得，解得， 故过点A且与曲线C相切的直线方程为； （3）由题意可得，又，则， 故为等腰直角三角形， 则点到直线的距离为， 即有，整理得，解得. 3．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 【答案】(1)直线与圆相离，圆上点到直线距离最小值为，最大值为； (2) 【分析】（1）将圆方程化为标准式确定圆心、半径，利用点到直线距离公式判定位置关系并求解距离最值. （2）根据圆上恰有两个点到直线的距离为列不等式，由此求得的范围. 【详解】（1）将圆的方程配方化为标准形式， 可得圆心，半径. 当时，直线整理为， 圆心到直线的距离， 因为，因此，直线与圆相离. 圆上点到直线距离的最小值为， 最大值为. （2）直线整理为，圆心到直线的距离，由得. 圆上恰有两个点到直线距离为，因此，， 代入得，， 解得，所以的取值范围是. 4．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 【答案】(1) 由直线，整理成， 由，解得，则直线恒过定点 (2) (3)或 【详解】（1）略 （2）根据题意，圆. 则圆的标准方程，圆心为，半径. 若直线与圆相切，则有，解得， 即当时，直线与圆相切． （3）设圆心到直线的距离为， 依题意，有，即，解得， 又由，解得或. 直线的方程为或. 5．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知圆，直线过原点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）先检验直线斜率不存在时是否满足条件，当直线斜率存在时设直线的方程，根据点到直线的距离等于半径，求出斜率，由此可得结论； （2）先说明直线的斜率存在，再设其方程为，由点到直线的距离公式及直线与圆相交时的弦长公式，求出面积的表达式，利用二次函数的性质即得. 【详解】（1）圆的圆心的坐标为，半径， ①当直线的斜率不存在时，直线为， 圆心到直线的距离， 直线为圆的切线， ②当斜率存在时，设直线为， 圆心到直线的距离， 由题知直线与圆相切， 则，解得， 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. （2）直线的斜率不存在时，直线为与圆相切，不符合题意，故直线斜率必存在， 设直线的方程为， 圆心到直线的距离，弦长， 所以， 当时，面积最大， 此时，整理得， 解得， 所以直线的方程或. 学科网（北京）股份有限公司 $