上册 3.3 相似三角形的性质&3.4 图形的位似-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（北师大版·河南专版）

相似三角 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.若△ABC∽△DEF,且对应中线比为2：3，则 △ABC与△DEF的周长比为( ) A.3:2B.2:3C.4:9 D.9:16 2.如图，在口ABCD中，E为CD上一点，连接 AE,BD,且AE,BD交于点F,S△DEF:S△ABF= 4:25,则SADEF:S△MDr=（ ) A.2:3B.2:5C.3:5 D.3:2 20 第2题图 第3题图 3.如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测 出自己与树的距离为20m,树的顶端在水 中的倒影距自己5m远，淇淇的身高为1.7 m,则树高为() A.3.4mB.4.7mC.5.1mD.6.8m 4.如图，△ABC是面积为18cm2的等边三角 形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成 三等份，则图中阴影部分的面积为( ) A.4 cm2 B.6 cm2 C.8 cm2 D.10 cm2 第4题图 第5题图 5.“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法， 如图，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手 大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正 左侧方的某一个参照物(CD∥AB),已知大多 数人的眼距长约为6.4厘米左右，而手臂长 追梦之旅铺路卷·铺路帮手 形的性质 测试分数：45分 约为64厘米左右。若CD的估测长度为50 米，那么C0的大致距离为( )米。 A.250B.320C.500 D.750 6.我国古书《墨经》中记载了世界上最早的 “小孔成像”的现象。墨子曾进行如下实 验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙 前，当阳光照射时，小孔对面墙壁上会呈现 一个倒立的人像。已知初始状态下，小孔0 到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距 离均为6米，要使像CD的长度变为原来的 1.5倍，下列操作正确的是( ) 暗室 像 小孔 A.人向暗室后退2米 B.人向暗室前进2米 C.人向暗室后退4米 D.人向暗室前进4米 二、填空题（每小题3分，共9分） 7.已知△ABC∽△DEF,SAARG:SADEF=1:6, △ABC的周长为15cm,△DEF的周长为 cm 8.如图，点D,E分别在△ABC的边AC,AB上， △ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中 点，若A-,则a4 AN 2 S△ABC B B 第8题图 第9题图 九年级·BS·数学第14页 9.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点， 当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动， 另一端B向上翘起，石头就被撬动。现有 一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向 上翘起10cm,已知AC与BC之比为5：1， 要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向 下压 cm 三、解答题(18分) 10.(9分)如图，AD和BC相交于点E,ACBD, 点F在CD上，AC=4,BD=6SA3’ S△cEF_2 (1)求EF的长； (2)已知SACBD=25,求△CEF的面积。 11.(9分)一数学兴趣小组为了测量灯柱AB 的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平 面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好 在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再 将平面镜向后移动4m(即FC=4m)放在 点F处。从点F处向后退1.5m到点H 处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· A点的像，测得眼睛距地面的高度ED、GH 为1.5m,已知点B、C、D、F、H在同一水平 线上，且GH⊥FH,ED⊥CD,AB⊥BH。(平 面镜的大小忽略不计) 方案二：如图2，利用标杆CD测量灯柱的 高度。已知标杆CD高1.5m,测得DE= 2m,CE=2.5m。 方案三：如图3，利用三角板的直角边CE 保持水平，并且边CE与点M在同一直线 上。已知两条边CE=0.4m,EF=0.2m, 测得边CE离地面距离DC=1.5m。 三种方案中，方案 不可行，请选择 可行的方案求出灯柱的高度。 f长， 图1 图2 图3 年级·BS·数学第15页 图形 测试时间：20分钟 一、选择题（每小题3分，共9分） 1.如图，以点0为位似中心，把△ABC放大为 原图形的2倍得到△A'B'C',以下说法中错 误的是( A.△ABC∽△A'B'C B.点C、点O、点C'三点在同一直线上 C.A0:AA'=1:2 D.AB∥A'B 0 第1题图 第2题图 2.如图，在平面直角坐标系中，以原点0为位 似中心，若A点坐标为(1,2)，C点坐标为 (2,4),AB=√5，则线段CD长为() A.2 B.4 C.25 D.√5 3.如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似 图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为 (-4,2),点E的坐标为(-1,1)，则这两个 正方形位似中心的坐标为( A.(2,0) D3 B.(1,1) BCF衣 C.(-2,0) D.(-1,0) 二、填空题（每小题3分，共6分） 4.如图，平面直角坐标系中，正方形EFBG和正 方形ABCD是以O为位似中心的位似图形， 位似比为1：2，点F,B,C在x轴上，若AD= 4,则点G的坐标为 追梦之旅铺路卷·铺路帮手 的位似 测试分数：25分 第4题图 第5题图 5.数学思想·分类讨论如图，△A0B三个顶点 的坐标分别为A(8,0),0(0,0),B(8,-6), 点M为OB的中点。以点O为位似中心， 把△A0B缩小为原来的2，得到△A'OB,点 M'为OB'的中点，则MM'的长为 三、解答题（共10分） 6.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A(-1,1),B(-2,0),C (0,-2)。 (1)以原点0为位似中心，在点0另一侧画 △A'B'C',使它与△ABC位似，且相似比为 2:1,并写出点A',B,C的坐标。 (2)若四边形AA'B'P是矩形，请直接写出 点P的坐标。 0 B: 九年级·BS·数学第16页12.解：(1)(500-10x) (3分) (2)根据题意得：(30+x-20)(500-10x)=8000,解得：x1 =10,x2=30, (7分) 又.要尽可能让顾客得到实惠，.x=10。答：该木雕的 售价上涨10元/件。 (10分) 第三章图形的相似 相似多边形 1.D2.D3.B 4.B【解析】对折两次后得到的小长方形纸片的长为b, 1 a b 宽为40，：小长方形与原长方形相似，心6=1心a =2b(负值已舍去)。故选B。 5.116.9 7.解：(1)设 =6=C=k,则a=5k,b=4k,c=6k, 2b+c =4=6 Aa =2×4k+6k1467 4×5k20k109 (3分) (2)△ABC的周长为60，.a+b+c=60,.5k+4k+6k= 60,∴.k=4, (5分) ∴.a=5k=20,b=4k=16,c=6k=24,.三角形的各边的长 分别为20,16,24。 (7分) 相似三角形的判定 1.A2.C3.C4.D5.A 6.∠B=∠E(答案不唯一)7.6 88 9 【解折BP=BC=2,BC=6CP=4,AB= AC=9,.∠B=∠C,∴.∠BAP+∠APB=180°-∠B, ∠APD=∠B,∴.∠APB+∠DPC=180°-∠APD=180° ∠B,LDPC=∠BMP,△ABP△PCD,g-Pg PC DC .CD 9.3或5【解析】分两种情况：①若△EFP∽△ABB,则 6 铺 ∠PEF=LEAB,.PE∥AB,.四边形ABEP为矩形，. PA=EB=3;②若△PFE△ABE,则∠PEF=∠AEB。 AD∥BC,.∠PAF=LAEB,.∠PEF=∠PAF,.PE= 答案 PA。PF⊥AE,.点F为AE的中点，Rt△ABE中，AB= 4,BE=3,.AE=5,.EF=2AE=5 2。:△PEF △AEB, AE BE PE=PA=25 PE EF 。满足条件的PA的 值为3或25 9 10.解：由题意可知：DF=AD-AF=5-3=2,FE/CD,∴DF AF 器点w (4分) AD AE AF AE (2)证明：DE/BC,DB-EC FE/GD,FDEC 0 (9分) 11.解：(1)△BCD∽△BAC。 (1分) 4 理由如下：~BD-3_2BC-2.BDBC BC2=3'BA=3,BCBA,而 追梦之旅铺路卷·九年 ∠DBC=LCBA,∴.△BCD∽△BAC; (5分) (2:△BCD△BAC,C0-BC AC-BA CD=5 3,BA=3, BC=2,AC=CD·BA 2 (9分) BC 12.解：(1)依题意可得BP=20-4x,CQ=3x,当BP=CQ时， 20 20-4x=3x,解得x= 70 (4分) (2)能。 (5分) ①当△A△c08时布品器.即费-帮得 或=0（含去： x=- (7分) ②当△APQ∽△CBQ时，有 品品货“解得 203x =5或x=-10(合去)。放当-号秒或=5秒时， △APO与△COB相似。 (10分) 相似三角形的性质 1.B 2.B【解析】.四边形ABCD是平行四边形，.DCAB,. △DFEM△BFA。S△DEr:S△ABr=4:25,.EF:FA=2:5, SADEF:S△Dr=2:5。故选B。 3.C 4.B【解析】：EH∥FG∥BC,∴.△AEH△AFG∽△ABC, 又：AB被藏成三等份，小SAe :@-(45=a- AB =9’SAABC (0-号52m5e8om别5au=5 -S△ABm=6cm2。故选B。 5. 6.B【解析】设像CD的长度变为原来的1.5倍时小孔0 到人AB的距离为x米。AB∥CD,∴.△OAB△ODC, 品级解得=4，人向晴空前连2术，故 选B。 7.1568.4 9.50【解析】过，点C作MN平行于水平线，过A作AM1 MN,过点B作BN⊥MN,∴.AM∥BN,.△ACM∽△BCV, ACW即AM=5BN。当BN≥10cm时，AMP 50cm。故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端，点A向 下压50cmc CE AC 4 10.解：(1)AC∥BD,.△ACE△DBE,BEDB6 2 .SAcEr=2 CE_CF=2 3SAnE3CBCD (2分) 又：LECF=LBCD,.△ECF∽△BCD,BDCD EF CF 子Bn-号6 12 (4分) 5 59 (2):△ECFM△BCD,SAm（ ScE=()2、4】 -25° (6分) SAC=25,心S4cr=25×4=4-△CEF的面积为4 (9分) 11.解：二、三 (2分) 选方案一：∠ECD=∠ACB,∠EDC=∠ABC,∴.△ABC AB BC △EDC,.=,.AB三CD二·5U。（6分) 级·BS·数学第33页 AB BE GH·BF 同理可得△ABF∽△CHE,CH-HFAB= FH BC+4。∴.1.5BC=BC+4,解得BC=8,∴.AB=12米。即 灯柱高12米。 (9分) 图形的位似 1.C2.C 3.A【解析】连接AE并延长交x轴于H,则，点H为位似中 职=EF,即O+1= 心，△EF一△B,小那B,即Om+42解得 OH=2,.点H的坐标为(2,0)。故选A。 4.(4,2) 5名或5【解析]如因，在m△AOB B"M" 中，0B=√6+82=10，①当△A'0B' 在第四象限时，MW=②当 (B)B 15 △A"OB”在第二象限时，MM'= 21 6.解：(1)如图所示：点A'(2,-2),B'(4,0),C'(0,4); (7分) (2)P(1,3)。 (10分) 第四章投影与视图 1.A2.C3.C4.B5.B6.C7.A 8.B、A、C、D 9.7或8或9或10或11 10.4+3π 11.解：(1)该几何体的主视图、左视图和俯视图如下： (主视图) (左视图) (6分) (俯视图) (2)2 (9分) 12.解：过点C作CE⊥AB于点E,CD⊥BD,AB⊥BD, ∠B=∠BDC=∠BEC=90°，.四边形BECD为矩形， CE=BD=18m,BE=CD=3 m, (3分) 5即 根据题意可得g。1 -1 181.5解得AE=12,AB =AE+BE=12+3=15(m),旗杆的高度为15m。(9分) 13.解：(1)主俯 (4分) (2)这个组合几何体的表面积=2×(8×5+8×2+5×2)+4 ×m×6≈207.4(cm2)。 (8分) 14.獬：过点Q作QE⊥DC于点E,,CD⊥BN,∴.EQBN, ÷∠EQD=LQ0N=30,DE= >DQ=二m,主Rt △00中，0v0-0F-√5-（产5( 2(m), (4分) 追梦之旅铺路卷·九年 AP∥CQ,BP∥EQ,.△ABP△CBQ,CEEO' AB BP =2,解得BG=853, 5,853 CE 53 24CD=DE+BC=2+24 2 24(m),故大树的高度为60+853m 60+85V3 24 m。 （9分) 第五章二次函数 认识二次函数及二次函数的图象 1.B2.D3.C4.D5.A6.C 7.B【解析】由图可知，过M,P,Q和过N,P,Q的二次函 数开口向上，a>0,故排除A和C。.:IaI越大，开口越 小，.当a<0时，开口小的那个a更小，由图可知，过M, N,P三，点的二次函数的开口更小，.过M,N,P三，点的 二次函数的a更小。故选B。 8.B【解析】①函数的对称轴在y轴右侧，则ab<0,而c< 0,则abc>0,故①错误；②函数的对称轴为x=1,函数和x 轴的一个交点是(3,0)，则另外一个交点为(-1,0)，当x =-1时，y=a-b+c=0,故②错误；③函数的对称轴为x=1 云即a=名收③正确，符合题高：④由②③得，6= -2a,a-b+c=0,故3a+c=0,故8a+c>0正确。故选B。 1 9y=2（x-2)2 10.4【解析】抛物线y=a(x-2)2+1(a>0)的顶点A坐标 为(2,1)。ABy轴，.点B的横坐标为2，把x=2代 入y=- x2-2得，y=-3,B(2,-3),AB=4, △A0B的面积为】x4x2=4。 2 11.8 12.解：(1)把A(-1,0)代入y=ax2-2ax-3得a+2a-3=0, 解得a=1,.抛物线解析式为y=x2-2x-3。（2分) :y=x2-2x-3=(x-1)2-4,.抛物线的顶点坐标为(1， -4); (4分)铺 (2):点P(x,y)到y轴的距离不大于2，.-2≤x≤2。 x=-2时，y=5;x=2时，y=-3;x=1时，y有最小值 -4。 (6分) 手 .当-2≤x≤2时，-4≤y≤5，即n=-4,m=5,∴.m-n= 9。 (8分)案 1 13.解：(1)将C点代入，得16a+。×4+4=4,解得a=- 2 8 12 抛物线的解析式为：y三一8+2+4： (4分) (2)连接AC与对称轴交于点D,抛物线的对称轴为x= 2。.·AB=4W2,B、C关于对称轴对称，∴.DB=DC,∴.AD +BD=AD+CD=AC。此时△ABD的周长取得最小值，点 D即为所求。 (6分) 设直线AC解析式为y=x+b(k≠0)，将A、C两点代入 1 得0解得 2,.直线AC的解析式为y= =2 2+2。当x=2时，y=3,当点D的坐标为(2,3)时， 1 △ABD的周长最小。 (9分) 14.解：(1)令x=0,.y=4,.B(0,4)。令y=0,(x+2)2 =0,.x=-2,.A(-2,0)。 (2分) 及·BS·数学第34页